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三角函数复习


任意角 的概念

角度制与 弧度制

同角三角函数 的基本关系 任意角的 三角函数

三角函数的 诱导公式

三角函数的 图象和性质
(周期性)

函数y ? A sin(?x ? ? )的图像

三角函数 的应用

任意角
1、角的概念推广
⑴.“旋转”形成角 ⑵.“正角”与“负角”“零角” (3).象限角与轴线角

2、终边相同的角

结论:所有与?终边相同的角连同?在内可以构成一个集合:

S ? ? | ? ? ? ? k ? 360 , k ? Z
?

?

?

你会用集合的形式写出终边在x、y轴上 的角吗? X轴正半轴呢? 终边落在第二象限呢?

?的终边与 240 的终边相同,则
?

? ?
2 3 ,

呢?反之又如何?

弧度制

1定义:长度等于半径长的弧所对的圆心角 称为1弧度的角 2角度制与弧度制的换算: ? ? 1 ? ? 0.01745 180 2? =360? ? ? 180 ? ?= 180? 1? ? ? 57.30? ? 57 ?18' ? ? ? ? 你还记得特殊角的转换吗?

r
1rad

r r

l
? rad

r

弧长和面积公式:

角?的弧度数的绝对值

l |α | = (l 为弧长,r 为半径) r
圆心角没特殊说明指的是正角。

弧长公式: l=|α| R
扇形面积公式 :

1 S ? lR 2

1 2 ? ?R 2

1,定义

?

任意角的三角函数
的终边

P(x,y)

x y cos ? ? sin ? ? r r
三角函数
y ? sin ?
R R

y tan ? ? x
定义域

2,三角函数在各个象限及坐标轴上的正负性 3,三角函数的定义域,值域。
你记住了它们的定义域吗? 特殊角的三角函数值
y ? cos? y ? tan? y ? cot? y ? sec? y ? csc?
(k ? Z ) 2 ? ? k? (k ? Z )

? ? k? ?

?

? ? k? ?

?

? ? k? (k ? Z )

2

(k ? Z )

4,三角函数的几何意义

角? 的终边在第一象限
y

角? 的终边在第二象限
角? 的终边

角? 的终边

y

P

T

P

o

M

A

x

M

o

A T

x

正弦线:MP 余弦线:OM 正切线:AT o
M

角? 的终边在第三象限 y
T

角? 的终边在第四象限 y

A
T

x

M

o
P
角? 的终边

A

x

P

角? 的终边

?为锐角,有sin ? ? ? ? tan?

x ? cos? , y ? sin ? .

同角三角函数的基本关系
sin2 ? ? cos2 ? ? 1
sin ? tan ? ? cos ?

点P( x, y)在单位圆上

及这两个公式的 等价变形
题型:求值,

化简,
证明。

已知一个三角函数值,结合角的范围求 别的函数值 也要注意角的范围去绝对值和根号 由繁到简,注意证明步骤。

诱导公式
诱导公式的作用是:

把求任意角的三角函数值,转化为求0到π/2角的三角函数值. 诱导公式的类型: (π/2的偶数倍) 2kπ +α(k ∈z), π+α ,π-α ,-α ,2π-α
π π 3π 3π 2 +α , 2 -α , 2 +α , 2 -α

(π/2的奇数倍)

★ ★诱导公式的记忆规律:奇变偶不变,符号看象限.
(其中 k ? Z ):

sin(? ? 2k? ) ? sin ?

sin(? ? ?) -sin? ? cos(? ? ?) -cos? ? tan( ? ?) tan? ? ?

sin(??) -sin? ? cos(??) cos? ? tan(??) ?tan? ?

你能正确写出各组诱导公式吗?

cos(? ? 2k? ) ? cos? tan( ? 2k? ) ? tan? ?
sin(? ? ?) sin? ? cos(? ? ?) -cos? ? tan( ? ?) ?tan? ? ?
sin( π -α )=cosα 2 π -α )=sinα 2

sin(2? ? ?) -sin? ? cos(2? ? ?) cos? ? tan(2? ? ?) ?tan? ?
Sin( cos( tan( π +α )=cosα 2 π +α )=-sinα 2

cos( tan(

π -α )=cotα 2

π +α )=-cotα 2

sin(

3π +α )=-cosα 2

sin(

3π -α )=-cosα 2 3π -α )=-sinα 2

3π cos( +α )=sinα 2 3π tan( +α )=-cotα 2

cos( tan(

3π -α )=cotα 2

函数
y

三角函数的图象和性质 y ? cos ? y ? tan ? y ? sin ?
1

图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 单调性

?

y

o?
-1

?

?

2?

1?

?

?

x

o
-1

? ? ? ?

?

y
2?

x

?

?
2

o

? 2

x

R

? ?1,1?
T ? 2? 奇函数
增区间
减区间
? ? ? ? ? ? 2 ? 2k? , 2 ? 2k? ? ? ?

? ?1,1?
T ? 2?

R

? ? ? x | x ? k? ? , k ? Z ? ? 2 ? ?

R

偶函数
增区间

T ?? 奇函数
增区间 ? ?? ? k? ? , k? ? ? ? 2 2? ?
(k ? Z )

(k ? Z )

?2k? ? ? , 2k? ?
(k ? Z ) (k ? Z )

减区间

3 ?? ? ? 2k? , ? ? 2k? ? ?2 2 ? ?

? 2k? , ? ? 2k? ?

(k ? Z )

函数
y

三角函数的图象和性质 y ? cos ? y ? tan ? y ? sin ?
1

图象

?

y

o?
-1

?

?

2?

1?

?

?

x

o
-1

? ? ? ?

?

y
2?

x

?

?
2

o

? 2

x

对称轴 x ? k? ? 对称中心

?
2

,k ?Z

x ? k? , k ? Z
( k? ?

(k? ,0), k ? Z 2 涉及到y ? A sin(?x ? ? )的对称轴,单调性周期性等问题。 ,
,0), k ? Z
(

?

k? ,0), k ? Z 2

如果含有绝对值呢?
解题 方法 整体思想 换元思想

1 ? sin 6 ? ? cos6 ? 化简(1) sin ?k? ? ? ? ? cos[(k ? 1)? ? ? ] ( k ? Z ) (2) sin 2 ? ? sin 4 ? sin[(k ? 1)? ? ? ] ? cos(k? ? ? )
【思维点拨】(1)分清k的奇偶,决定函数值符号是关键; (2)平方降次是化简的重要手段之一。
1 ? sin ? 1 ? sin ? + 1 ? sin ? 1 ? sin ?

(3).若 sinα cosα <0,sinα tanα <0.化简

三角函数复习
π 已知函数 f(x) = 3sin(2x + ) 例1: 3 π π (1)当 x∈? 0, ? 时,若3sin(2x + ) = a ,求 ? ?
sin(

π π π 分析: + )+( - 2x) = (2x 3 6 2 由诱导公式有
π π sin( - 2x) = cos(2x + ) 6 3

π - 2x) 6

?

12 ?

3

答:

9 - a2 3

1 例2、:已知 sin ? ? cos ? ? , ? ? ?0, ? ? 54 4 求 sin ? cos? , sin ? ? cos? , sin ? ? cos ? , tan?

的值.

证明:
1 ? 2 sin x cos x 1 ? tan x ? 例 3.求证: 2 2 cos x ? sin x 1 ? tan x
【解题回顾】 ★证等式常用方法: (1)左边证明到右边或右边证明到左边(从繁到简为原则) (2)两边向中间证 (3)分析法; (4)用综合法 ★ ★证等式的思路要灵活,根据等式两边式子结构特点,寻求思路.

例4:已知函数 ? cos2 x ? a sin x ? a 2 ? 2a ? 5, 有最大值7,求a y

例5:若方程2 ? sin 2 x ? m(2 ? sin 2 x)有解,则m的取值范围
实际上可转化为求值域的问题

三角函数复习
π f(x) = 3sin(2x + ) 已知函数 例6: 3 π (2)用五点法作出函数 f(x) = 3sin(2x + ) 在一个周期 3

内的简图;并指出其减区间,对称轴和对称中心
2x + π 3

0
π 6

x y

π 2 π 12

π
π 3
0

3π 2 7π 12


5π 6

0

3

-3

0

π f(x) = 3sin(2x + ) 已知函数 例6: 3 π (2)用五点法作出函数 y = 3sin(2x + ) 在一个周期 3 内的简图;并指出其减区间,对称轴和对称中心
π 2x + 3

三角函数复习

0
π 6

x y

y π 3 2? π π ? 12 π o 6

π
?

12

π 3

7π π 12 3

?

5π 6

3π 2 7π x 12


5π 6

0

-3 3

?

0

-3

0

三角函数复习
例6: 已知函数
(2)用五点法作出函数 在一个周期 内的简图;并指出其减区间,对称轴和对称中心
y 3
?
7π 12

π f(x) = 3sin(2x + ) 3

π f(x) = 3sin(2x + ) 3

π ? o π π? 12 3 6

?

5π 6

x
(k∈Z)

-3

?

减区间
π 2x + 3

x y

π = kπ + π (k∈z)3π 对称轴 x 2 12 0 2 2 π π 对称中心 π( kπ - π ,0) (k∈Z)7π 12 2 6 3 6 12

7π ?π ? + kπ, + kπ ? ?12 12 ? ?

π
0


5π 6

0

3

-3

0

π f(x) = 3sin(2x + ) 3 π π (3)如何将 f(x) = 3sin(2x + ) 的图象 变换到 y = 3sin(2x + ) 3 6

三角函数复习

例6: 已知函数
的图象?

解:3) y = 3sin(2x + ) = 3sin[2(x ( 6
= f(x π ) 12

π

π π )+ ] 12 3

?

π y = 3sin(2x + ) 3

向右移 个单位 y = 3sin(2x + π )
π 12

6

如何由 y ? sin x的图像得到 y ? 3 sin( 2 x ? ) 6

?

三角函数复习
已知函数 f(x) = 3sin(2x + ) 例6:
? π? x∈?0, ? 时, f(x)- k > 0 恒成立,求实数k (4)若 2? ? y

π 3

的取值范围。 解: 法1:图象法;

3

?
7π 12

π ? o π π? 12 3 6

?

5π 6

x

-3

?

π 已知函数 f(x) = 3sin(2x + ) 例6: 3 π? f(x)- k > 0 恒成立,求实数k (4)若 x∈?0, ? 时, 2? y 的取值范围。 3 ? 解:

三角函数复习

法1:图象法;

-

3 3 6- 2

π ?

o

π π? 12 3

π 2

7π 12

?

5π 6

x y=k

-3

?

由图可得 法2:值域法

k <-

3 3 2

? ?

-

3 3 π ≤3sin(2x + )≤3 2 3 3 3 k <2

已知函数 例7:

若弹簧振子对平衡位置的位移 x(cm)与时间t(s)之间的 关系由上述关系式决定,回答下列问题. (1)求小球初始位置;经过多少时间小球往复振动一次? (2)小球的最高点和最低点与平衡位置的距离分别是多少? (3)求t=1s时弹簧振子对平衡位置的位移(精确到0.001)
解: 在平衡位置以上且距平衡位置 3 (1) 2 经过 ? s小球往复振动一次
3cm

π x = 3sin(2 t + ) 3

三角函数复习

(2)都是 3cm
(3) 0.283 cm

1.函数 f ( x) ? sin x ? cos x 的最小正周期是

2.设函数f ( x) ? x ( x ? R), 若0 ? ? ?
3

?
2

时, f (m ? sin ? ) ? f (1 ? m) ? 0

恒成立, 则求m的取值范围。


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