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2019秋高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.3空间向量的数量积运算练习(含解析)新人教A版选修2_1

3.1.3 空间向量的数量积运算

A 级 基础巩固

一、选择题 1.对于 a,b,c 向量和实数 λ ,下列命题中的真命题是( ) A.若 a·b=0,则 a=0 或 b=0 B.若 λ a=0,则 λ =0 或 a=0 C.若 a2=b2,则 a=b 或 a=-b D.若 a·b=a·c,则 b=c

答案:B 2.已知 a,b 均为单位向量,它们的夹角为 60°,那么|a+3b|=( )

A.13

B. 13

C.2

D. 5

解析:|a+3b|= (a+3b)2= a2+6a·b+9b2=

1+6×cos 60°+9= 13.

答案:B 3.若 a 与 a+2b 的数量积为 6,且|a|=2,|b|=1,则向量 a 与 b 之间的夹角为( )

A.π6

B.π3

2 C.3π

5 D.6π

答案:B
→→ →→ →→ 4.A,B,C,D 是空间不共面的四点,且满足AB·AC=0,AC·AD=0,AB·AD=0,M 为
BC 中点,则△AMD 是( )

A.钝角三角形

B.锐角三角形

C.直角三角形

D.不确定

答案:C 5.已知空间向量 a,b,c 满足 a+b+c=0,|a|=2,|b|=3,|c|=4,则 a 与 b 的夹

角为( )

A.30°

B.45°

C.60°

D.以上都不对

答案:D

二、填空题 6.已知空间向量 a,b,c 满足 a+b+c=0,|a|=3,|b|=1,|c|=4,则 a·b+b·c +c·a 的值为________. 解析:因为 a+b+c=0,所以(a+b+c)2=0,

-1-

所以 a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=0, 所以 a·b+b·c+c·a=-32+122+42=-13. 答案:-13 7.已知|a|=3 2,|b|=4,m=a+b,n=a+λ b,〈a,b〉=135°,m⊥n,则 λ =________. 解析:由 m⊥n,得(a+b)·(a+λ b)=0, 所以 a2+(1+λ )a·b+λ b2=0, 所以 18+(λ +1)·3 2×4cos 135°+16λ =0,
3 即 4λ +6=0,所以 λ =-2. 答案:-32 8.已知向量 a 与 b 的夹角为 135°,且|a|=|b|=4,则 a·(2a-b)=________. 解析:a·(2a-b)=2a2-a·b=2×42-4×4·cos 135°=32+8 2 答案:32+8 2 三、解答题 9.如图所示,在平行四边形 ABCD 中,AD=4,CD=3,∠BAD=120°,PA⊥平面 ABCD, PA=6.求 PC 的长.
→→→→ 解:因为PC=PA+AD+DC,
→ →→ →→→ 所以|PC|2=PC·PC=(PA+AD+DC)2
→ → → →→ →→ →→ =|PA|2+|AD|2+|DC|2+2PA·AD+2PA·DC+2AD·DC
→→ =62+42+32+2·|AD|·|DC|·cos 120°=49.
→ 所以|PC|=7,故 PC 的长为 7. 10.如图所示,正三棱柱 ABC?A1B1C1 中,底面边长为 2. (1)设侧棱长为 1,求证:AB1⊥BC1; (2)设 AB1 与 BC1 的夹角为π3 ,求侧棱的长.
-2-

→→→ → →→ (1)证明:AB1=AB+BB1,BC1=BB1+BC.

因为 BB1⊥平面 ABC,

→→

→→

所以BB1·AB=0,BB1·BC=0.

又△ABC 为正三角形,

→→ 所以〈AB,BC〉=π

→→ -〈BA,BC〉=π

-π3

=23π

.

→ → → → → → → → →→ → → → → → 因为AB1·BC1=(AB+BB1)·(BB1+BC)=AB·BB1+AB·BC+BB12+BB1·BC=|AB|·|BC

→→ → |·cos〈AB·BC〉+BB12=-1+1=0,

所以 AB1⊥BC1.

→→ → →

→→ →

(2)解:结合(1)知AB1·BC1=|AB|·|BC|·cos〈AB,BC〉+BB12=

→ BB12-1.

→ 又|AB1|=

→→ (AB+BB1)2=

→→ 2+BB12=|BC1|,

→ 所以 cos〈A→B1,B→C1〉=BB12-→1=12.
2+BB12

→ 所以|BB1|=2,即侧棱长为 2.

B 级 能力提升

1.已知空间向量 a,b,c,两两夹角为 60°,其模都为 1,则|a-b+2c|=( )

A. 5

B.5

C.6

D. 6

解析:因为|a|=|b|=|c|=1,〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°,

所以 a·b=b·c=a·c=12,a2=b2=c2=1.

所以|a-b+2c|= (a-b+2c)2

-3-

= a2+b2+4c2-2a·b+4a·c-4c·b

= 1+1+4-2×12+4×12-4×12

= 6-1+2-2= 5.

答案:A

2.已知|a|=2,|b|=1,〈a,b〉=60°,则使向量 a+λ b 与 λ a-2b 的夹角为钝角

的实数 λ 的取值范围是________.

解析:由题意知?????( coas+ 〈λa+b) λ · b,(λλaa--22bb〉)≠<0-,1,

即?????( (aa+ +λλ

b)·(λ b)·(λ

a-2b)<0, a-2b)≠-|a+λ

b|·|λ

a-2b|,?

λ 2+2λ -2<0.所以-1- 3<λ <-1+ 3.

答案:(-1- 3,-1+ 3) 3.在棱长为 1 的正方体 ABCD?A′B′C′D′中,E,F 分别是 D′D,BD 的中点,G 在棱 CD 上,且 CG=14CD,H 为 C′G 的中点.

(1)求 EF,C′G 所成角的余弦值;

(2)求 FH 的长.

→→



解:设AB=a,AD=b,AA′=c,

则 a·b=b·c=c·a=0,|a|2=a2=1,|b|2=b2=1,

|c|2=c2=1.

(1)因为→EF=→ED+→DF=-12c+12(a-b)=12(a-b-c),

C→′G=C′ →C+→CG=-c-14a,

所以→EF·C→′G=12(a-b-c)·???-c-41a???=12(-14a2+c2)=38,

|E→F|2=14(a-b-c)2=14(a2+b2+c2)=34,

-4-

|C′ →G|2=???-c-41a???2=c2+116a2=1167,

→ 所以|EF|=

23,|C′ →G|=

17 4,

→→ cos〈EF,C′G〉=

→→ EF·C′G →→



51 17 ,

|EF||C′G|

所以 EF,C′G 所成角的余弦值为 1571.

→→→ → → (2)因为FH=FB+BC+CC′+C′H
=12(a-b)+b+c+12C′ →G

=12(a-b)+b+c+12???-c-41a??? =38a+12b+12c,

所以|F→H|2=???38a+12b+12c???2=694a2+14b2+14c2=4614,

所以 FH 的长为 841.

-5-