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第2章 函数概念与基本初等函数单元检测(苏教版必修1)(有答案,含部分试题解析)


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第 2 章 函数概念与基本初等函数Ⅰ单元测验 (本卷满分 160 分)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上. ........ 1. (2012?诸城市)已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的增函数,函数 y=f(x﹣1)图象关于点 (1,0)对称,若对任意的 x,y∈R,不等式 f(x ﹣6x+21)+f(y ﹣8y)<0 恒成立,则当 2 2 x>3 时,x +y 的取值范围是 _________ . 2. (2008?浙江)已知 t 为常数,函数 y=|x ﹣2x﹣t|在区间[0,3]上的最大值为 2,则 t= _________ . 3.已知图象变换:① 关于 y 轴对称;② 关于 x 轴对称; ③ 右移 1 个单位; ④ 左移一个单位; ⑤ 右移 个单位; ⑥ 左移 个单位; ⑦ 横坐标伸长为原来的 2 倍,纵坐标不变;⑧ 横坐标缩短为 原来的一半,纵坐标不变.由 y=e 的图象经过上述某些变换可得 y=e 可以依次是 _________ (请填上变换的序号) .
x 1﹣2x 2 2 2

的图象,这些变换

4. (2010?天津)设函数 f(x)=x﹣ ,对任意 x∈[1,+∞) ,f(mx)+mf(x)<0 恒成立, 则实数 m 的取值范围是 _________ . 5.已知函数 f(x)=x ,x∈[﹣1,2],g(x)=ax+2,x∈[﹣1,2],若对任意 x1∈[﹣1,2], 总存在 x2∈[﹣1,2],使 f(x1)=g(x2)成立,则 a 的取值范围是 _________ .
2

6.设定义域为 R 的函数 f(x)

,若关于 x 的方程 2f (x)+2bf(x)

2

+1=0 有 8 个不同的实数根,则 b 的取值范围是 _________ .
3

7.设函数 f(x)=x +x,若 范围是 _________ .

时,f(mcosθ)+f(1﹣m)>0 恒成立,则 m 取值

8.若不等式 数 λ 的取值范围是 _________ . 9. (2010?天津)设函数 f(x)=x ﹣1,对任意
2

对于一切实数 x∈(0,2)都成立,则实

, 恒成立,则实数 m 的取值范围是

_________ .
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10.已知函数

, ,设 F(x)=f(x+3)?g(x﹣3) ,且函数 F(x)

的零点均在区间[a,b](a<b,a,b∈Z)内,则 b﹣a 的最小值为

_________ .

11.不等式 a>2x﹣1 对于 x∈[1,2 恒成立,则实数的取值范围是 _________ . 12.若函数 y=f(x)存在反函数 y=f (x) ,且函数 y=2x﹣f(x)的图象过点(2,1) ,则函 ﹣1 数 y=f (x)﹣2x 的图象一定过点 _________ . 13.定义在 R 上的函数满足 f(0)=0,f(x)+f(1﹣x)=1, <x2≤1 时,f(x1)≤f(x2) ,则 = _________ . ,且当 0≤x1
﹣1

14. (2010?福建)已知定义域为(0,+∞)的函数 f(x)满足: (1)对任意 x∈(0,+∞) ,恒有 f(2x)=2f(x)成立; (2)当 x∈(1,2]时 f(x)=2﹣x 给出结论如下: ① 任意 m∈Z,有 f(2 )=0; ② 函数 f(x)的值域为[0,+∞) ; ③ 存在 n∈Z,使得 f(2 +1)=9; k k ④ “函数 f(x)在区间(a,b)上单调递减”的充要条件是“存在 k∈Z,使得(a,b)?(2 ,2 ﹣1 ) . 其中所有正确结论的序号是 _________ 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、 ....... 证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分)
(2012 年高考(上海文理))已知函数 f ( x) ? lg( x ? 1) .
n m

(1)若 0 ? f (1 ? 2 x) ? f ( x) ? 1 ,求 x 的取值范围; (2)若 g (x) 是以 2 为周期的偶函数,且当 0 ? x ? 1 时,有 g ( x) ? f ( x) ,求函数

y ? g (x) ( x ? [1, 2]) 的反函数.

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16.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 2 x ? 1 , g ( x) ? ?

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? x2 , x ? 0 ??1, x ? 0

,求 f [ g ( x)] 和 g[ f ( x)] 的解析式.

17.(本小题满分 14 分)

? x 2 ? 2, ( x ? 2) . 设函数 f ( x) ? ? ? 2 x, ( x ? 2)
(1)求 f (9) 的值; (2)若 f ( x0 ) ? 8 ,求 x0 .

18. (本题满分 16 分)已知函数 f ( x) ? ?2x 2 ? mx ? 3 为 (?5,?3 ? n) 上的偶函数, (1)求实数 m, n 的值; (2)证明: f (x) 在 (?5,0] 上是单调增函数

19. (本题满分 16 分)(2012 年高考(江苏))如图,建立平面直角坐标系 xoy , x 轴在地平面 上, y 轴垂直于地平面,单位长度为 1 千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程

y ? kx ?

1 (1 ? k 2 ) x2 (k ? 0) 表示的曲线上,其中 k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落 20

地点的横坐标. (1)求炮的最大射程; (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为 3.2 千米,试问它的横坐标 a 不超过多 少时, 炮弹可以击中它?请说明理由.

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20.(本小题满分 16 分)

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已知函数 f ( x) ? loga (1 ? x) ? loga ( x ? 3) ,其中 0 ? a ? 1 ,记函数 f (x) 的定义域为 D. (1)求函数 f (x) 的定义域 D; (2)若函数 f ( x ) 的最小值为 ?4 ,求 a 的值; (3) 若对于 D 内的任意实数 x ,不等式 ? x 2 ? 2mx ? m2 ? 2m < 1 恒成立,求实数 m 的取值范 围.

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第 2 章 函数概念与基本初等函数Ⅰ单元测验 参考答案与试题解析
一、填空题(共 14 小题) (除非特别说明,请填准确值) 1. (2012?诸城市)已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的增函数,函数 y=f(x﹣1)图象关于点 (1,0)对称,若对任意的 x,y∈R,不等式 f(x ﹣6x+21)+f(y ﹣8y)<0 恒成立,则当 2 2 x>3 时,x +y 的取值范围是 (13,49) . 考点: 函数恒成立问题;函数单调性的性质;函数的图象. 专题: 综合题. 分析: 由函数 y=f(x﹣1)的图象关于点(1,0)对称,结合图象平移的知识可知函数 y=f(x)
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2

2

的图象关于点(0,0)对称,从而可知函数 y=f(x)为奇函数,由 f(x ﹣6x+21)+f 2 2 2 (y ﹣8y)<0 恒成立,可把问题转化为(x﹣3) +(y﹣4) <4,借助于的有关知识 可求. 解答: 解:∵ 函数 y=f(x﹣1)的图象关于点(1,0)对称, ∴ 函数 y=f(x)的图象关于点(0,0)对称, 即函数 y=f(x)为奇函数,则 f(﹣x)=﹣f(x) , 又∵ f(x)是定义在 R 上的增函数且 f(x ﹣6x+21)+f(y ﹣8y)<0 恒成立 2 2 2 ∴ f(x ﹣6x+21)<﹣f(y ﹣8y)=f(8y﹣y )恒成立, 2 2 ∴ ﹣6x+21<8y﹣y , x 2 2 ∴ (x﹣3) +(y﹣4) <4 恒成立, 设 M (x,y) ,则当 x>3 时,M 表示以(3,4)为圆心 2 为半径的右半圆内的任意 一点, 则 d= 表示区域内的点和原点的距离. ,
2 2

2

由下图可知:d 的最小值是 OA= OB=OC+CB,5+2=7,
2 2

当 x>3 时,x +y 的范围为(13,49) . 故答案为: (13,

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49) . 点评: 本题考查了函数图象的平移、函数的奇偶性、单调性及圆的有关知识,解决问题的关 键是把“数”的问题转化为“形”的问题,借助于图形的几何意义减少了运算量,体现“数 形结合:及”转化”的思想在解题中的应用. 2. (2008?浙江)已知 t 为常数,函数 y=|x ﹣2x﹣t|在区间[0,3]上的最大值为 2,则 t= 1 . 考点: 分段函数的解析式求法及其图象的作法. 分析: 本题应先画出函数的大体图象,利用数形结合的方法寻找解题的思路.画出大体图象 后不难发现函数的最大值只能在 x=1 或 x=3 处取得,因此分情况讨论解决此题. 2 解答: 解:记 g(x)=x ﹣2x﹣t,x∈[0,3], 则 y=f(x)=|g(x)|,x∈[0,3] f(x)图象是把函数 g(x)图象在 x 轴下方的部分翻折到 x 轴上方得到, 其对称轴为 x=1,则 f(x)最大值必定在 x=3 或 x=1 处取得 2 (1)当在 x=3 处取得最大值时 f(3)=|3 ﹣2× 3﹣t|=2, 解得 t=1 或 5, 当 t=5 时,此时,f(0)=5>2 不符条件, 当 t=1 时,此时,f(0)=1,f(1)=2,符合条件. 2 (2)当最大值在 x=1 处取得时 f(1)=|1 ﹣2× 1﹣t|=2, 解得 t=1 或﹣3, 当 t=﹣3 时,f(0)=3>2 不符条件, 当 t=1 此时,f(0)=1,f(1)=2,符合条件. 综上 t=1 时 故答案为:1. 点评: 本题主要考查二次函数的图象性质和绝对值对函数图象的影响变化.
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2

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3.已知图象变换:① 关于 y 轴对称;② 关于 x 轴对称; ③ 右移 1 个单位; ④ 左移一个单位; ⑤ 右移 个单位; ⑥ 左移 个单位; ⑦ 横坐标伸长为原来的 2 倍,纵坐标不变;⑧ 横坐标缩短为 原来的一半,纵坐标不变.由 y=e 的图象经过上述某些变换可得 y=e 的图象,这些变换 可以依次是 ①⑤ ③或⑧⑤ ⑥或④① ① (请填上变换的序号) ⑧或①⑧ ①或⑧① ⑧或④⑧ . 考点: 函数的图象与图象变化. 专题: 分类讨论. x 1﹣2x 分析: 函数 y=e 的图象与函数 y=e 的图象,均在 x 轴上方,故其变换不可能是关于 x 轴 对称对称变换,而剩余的变换可分为横向伸缩变换,横向平移变换,关于 x 轴对称变 换,根据三种变换法则,我们将图象变换分为第一步对称,第二步对称,第三步对称 三种情况进行分析,即可得到答案. 解答: 解:观察变换前后 x 的系数,可得函数只进行;⑧ 横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不 变的伸缩变换,
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x

1﹣2x

函数 y=e 的图象与函数 y=e 的图象,均在 x 轴上方, 故不需要进行② 关于 x 轴对称变换, 但观察到两个解析式,底数相同,指数部分含 x 项符号相反,故一定要进行① 关于 y 轴 对称变换, (1)若第一步进行对称变换,第二步进行伸缩变换,第三步进行平移变换, 平移变换为:右移 个单位,即①⑤ ⑧; (2)若第一步进行对称变换,第二步进行平移变换,第三步进行伸缩变换, 平移变换为:右移 1 个单位,即①⑧ ③; (3)若第一步进行伸缩变换,第二步进行对称变换,第三步进行平移变换, 则平移变换为:右移 个单位,即⑧⑤ ①; (4)若第一步进行伸缩变换,第二步进行平移变换,第三步进行对称变换, 则平移变换为:左移 个单位,即⑧① ⑥ (5)若第一步进行平移变换,第二步进行对称变换,第三步进行伸缩变换, 则平移变换为:左移一个单位,即④⑧ ① (6)若第一步进行平移变换,第二步进行伸缩变换,第三步进行对称变换, 则平移变换为:左移一个单位,即④① ⑧ 故答案为:①⑤ ③或⑧⑤ ⑥或④① ① ⑧或①⑧ ①或⑧① ⑧或④⑧ 点评: 本题考查的知识点是函数的图象与图象变化,其中根据变换前后的函数解析式,分析 出能够确定的变换,如本题中的对称变换和伸缩变换,是解答本题的关键.

x

1﹣2x

4. (2010?天津)设函数 f(x)=x﹣ ,对任意 x∈[1,+∞) ,f(mx)+mf(x)<0 恒成立, 则实数 m 的取值范围是 m<﹣1 考点: 函数恒成立问题. 专题: 计算题.
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分析: 已知 f(x)为增函数且 m≠0,分当 m>0 与当 m<0 两种情况进行讨论即可得出答案. 解答: 解:已知 f(x)为增函数且 m≠0, 当 m>0,由复合函数的单调性可知 f(mx)和 mf(x)均为增函数, 此时不符合题意. 当 m<0 时,有 因为 y=2x 在 x∈[1,+∞)上的最小值为 2, 所以 1+
2 2



即 m >1,解得 m<﹣1 或 m>1(舍去) . 故答案为:m<﹣1. 点评: 本题主要考查了恒成立问题的基本解法及分类讨论思想,属于难题,解决恒成立问题 通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解. 5.已知函数 f(x)=x ,x∈[﹣1,2],g(x)=ax+2,x∈[﹣1,2],若对任意 x1∈[﹣1,2], 总存在 x2∈[﹣1,2],使 f(x1)=g(x2)成立,则 a 的取值范围是 (﹣∞,﹣2]∪ [2,+∞) . 考点: 函数恒成立问题. 专题: 综合题;函数的性质及应用. 分析: 存在性问题:“若对任意 x1∈[﹣1,2],总存在 x2∈[﹣1,2],使 f(x1)=g(x2)成立”, 只需函数 y=f(x)的值域为函数 y=g(x)的值域的子集即可. 解答: 解:若对任意 x1∈[﹣1,2],总存在 x2∈[﹣1,2],使 f(x1)=g(x2)成立, 只需函数 y=f(x)的值域为函数 y=g(x)的值域的子集即可. 2 函数 f(x)=x ,x∈[﹣1,2]的值域为[0,4]. 下求 g(x)=ax+2 的值域. ① a=0 时,g(x)=2 为常数,不符合题意舍去; 当 ② a>0 时,g(x)的值域为[2﹣a,2+2a],要使[0,4]?[2﹣a,2+2a], 当
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2



,解得 a≥2;

③ a<0 时,g(x)的值域为[2+2a,2﹣a],要使[0,4]?[2+2a,2﹣a], 当 需 ,解得 a≤﹣2;

综上,m 的取值范围为(﹣∞,﹣2]∪ [2,+∞) 故答案为: (﹣∞,﹣2]∪ [2,+∞) . 点评: 本题主要考查函数恒成立问题以及函数单调性的应用,解题时要认真审题,仔细解答, 注意等价转化思想的合理运用.

6.设定义域为 R 的函数 f(x)

,若关于 x 的方程 2f (x)+2bf(x) .

2

+1=0 有 8 个不同的实数根,则 b 的取值范围是 ﹣1.5<b<﹣ 考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 计算题.
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2 分析: 题中原方程 2f (x)+2bf(x)+1=0 有 8 个不同实数解,即要求对应于 f(x)=某个常 数 K,有 2 个不同的 K,再根据函数对应法则,每一个常数可以找到 4 个 x 与之对应, 就出现了 8 个不同实数解 故先根据题意作出 f(x)的简图: 由图可知,只有满足条件的 K 在开区间(0,1)时符合题意.再根据一元二次方程根 的分布理论可以得出答案. 解答: 解:根据题意作出 f(x)的简图:

由图象可得当 f(x)∈(0,1)时,有四个不同的 x 与 f(x)对应.再结合题中“方程 2 2 2f(x) (x) +2bf +1=0 有 8 个不同实数解“, 可以分解为形如关于 K 的方程 2k +2bK+1=0 2 有两个不同的实数根 K1、K ,且 K1 和 K2 均为大于 0 且小于 1 的实数.

列式如下:

,即

,可得﹣1.5<b<﹣

故答案为:﹣1.5<b<﹣ 点评: 本题考查了函数的图象与一元二次方程根的分布的知识,属于难题,采用数形结合的 方法解决,使本题变得易于理解.数形结合是数学解题中常用的思想方法,能够变抽 象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质;另外,由于使用了数形结合的方法, 很多问题便迎刃而解,且解法简捷.
3

7.设函数 f(x)=x +x,若 范围是 (﹣∞,1) .

时,f(mcosθ)+f(1﹣m)>0 恒成立,则 m 取值

考点: 函数恒成立问题. 专题: 计算题. 3 分析: 由函数 f(x)=x +x,可知 f(x)为奇函数,增函数,然后可得 f(mcosθ)>f(m﹣1) , 从而得出 mcosθ>m﹣1,根据 cosθ∈[0,1],即可求解.
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3 解答: 解:由函数 f(x)=x +x,可知 f(x)为奇函数,增函数, ∴ f(mcosθ)+f(1﹣m)>0 恒成立,即 f(mcosθ)>f(m﹣1) ,

∴ mcosθ>m﹣1,当

时,cosθ∈[0,1],



,解得:m<1,

故答案为: (﹣∞,1) . 点评: 本题考查了函数恒成立的问题,难度较大,关键是先判断函数的奇偶性与单调性.

8.若不等式 数 λ 的取值范围是 [4,+∞) . 考点: 函数恒成立问题. 专题: 计算题. 分析: 2 先设 f(x)=x(x +8) (8﹣x) 1=f(x) ,y
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对于一切实数 x∈(0,2)都成立,则实

,y2=λ(x+1) .利用导数工具得出 x∈(0,

2)时,f(x)单调增, 原不等式对于一切实数 x∈(0,2)都成立转化为:y1<f(x) =12.即对 x∈(0,2) ,

y1<y2 都成立,从而得出实数 λ 的取值范围. 解答: 2 解:设 f(x)=x(x +8) (8﹣x) 1=f(x) ,y2=λ(x+1) ,y . x∈(0,2)时,f'(x)=24x ﹣4x +64﹣16x>0. 说明 x∈(0,2)时,f(x)单调增, 原不等式对于一切实数 x∈(0,2)都成立转化为:y1<f(x) =12.
2 3

即当 x=2 时,由 λ(2+1)≥12 得 λ≥4. ∴ x∈(0,2) 1<y2 都成立,有 λ≥4. 对 ,y 故答案为:[4,+∞) . 点评: 本小题主要考查函数单调性的应用、导数在单调性问题中的应用、函数恒成立问题等 基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.属于难题.
2

9. (2010?天津)设函数 f(x)=x ﹣1,对任意

, 恒成立,则实数 m 的取值范围是



考点: 函数恒成立问题. 专题: 计算题.
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分析: 依据题意得

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上恒定成立,即 立,求出函数函数 解答: 解:依据题意得

在 的最小值即可求出 m 的取值.

上恒成



上恒定成立, 即 当
2

在 时,函数 取得最小值

上恒成立. ,所以 ,即(3m +1)
2

(4m ﹣3)≥0, 解得 或 , ]∪ [ ,+∞) .

故答案为: (﹣∞,﹣

点评: 本题是较为典型的恒成立问题,难度较大,解决恒成立问题通常可以利用分离变量转 化为最值的方法求解.

10.已知函数

, ,设 F(x)=f(x+3)?g(x﹣3) ,且函数 F(x)

的零点均在区间[a,b](a<b,a,b∈Z)内,则 b﹣a 的最小值为

9 .

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 计算题;综合题;分类讨论. 分析: 利用导数分别求出函数 f(x) 、g(x)的零点所在的区间,f′(x)>0,因此 f(x)是
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R 上的增函数,且 f(0)=1>0,f(﹣1)= 0,因此 g(x)是 R 上的减函数,且 g(1)= 2+2﹣ +…﹣

<0,g′(x)< >0,g(2)=1﹣

<0,函数 f(x)在(﹣1,0)上有一个零点;函数 g(x)在(1,

2) 上有一个零点, 然后要求 F , (x) (x+3) (x﹣3) =f ?g 的零点所在区间, 即求 f (x+3) 的零点和 g(x﹣3)的零点所在区间,根据图象平移即可求得结果.

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解答: 解:f′(x)=1﹣x+x ﹣x +…+x
2 3

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2010

=



∴ f′(x)>0,因此 f(x)是 R 上的增函数, 且 f(0)=1>0,f(﹣1)= ∴ 函数 f(x)在(﹣1,0)上有一个零点;
2 3 2010

<0,

g′(x)=﹣1+x﹣x +x ﹣…﹣x

=



∴ g′(x)<0,因此 g(x)是 R 上的减函数,且 g(1)= g(2)=1﹣2+2﹣ +…﹣ <0,

>0,

∴ 函数 g(x)在(1,2)上有一个零点, ∵ F(x)=f(x+3)?g(x﹣3) ,且函数 F(x)的零点均在区间[a,b](a<b,a,b∈Z) 内, ∴ f(x+3)的零点在(﹣4,﹣3)内,g(x﹣3)的零点在(4,5)内, 因此 F(x)=f(x+3)?g(x﹣3)的零点均在区间[﹣4,5]内, ∴ b﹣a 的最小值为 9. 故答案为:9. 点评: 此题是难题.考查函数零点判定定理和利用导数研究函数的单调性以及数列求和问题 以及函数图象的平移,体现了分类讨论的思想,以及学生灵活应用知识分析解决问题 的能力. 11.不等式 a>2x﹣1 对于 x∈[1,2 恒成立,则实数的取值范围是 a≥3 . 考点: 函数恒成立问题. 专题: 综合题. 分析: x∈[1,2],知 1≤2x﹣1≤3,所以由不等式 a>2x﹣1 对于 x∈[1,2]恒成立,能求出实 由 数 a 的取值范围. 解答: 解:∵ x∈[1,2], ∴ 2≤2x≤4, 1≤2x﹣1≤3, ∵ 不等式 a>2x﹣1 对于 x∈[1,2]恒成立, ∴ 实数的取值范围是 a≥3. 故答案为:a≥3. 点评: 本题考查函数的恒成立问题,解题时要认真审题,仔细解答,注意挖掘题设中的隐含 条件,合理地进行等价转化.
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12.若函数 y=f(x)存在反函数 y=f (x) ,且函数 y=2x﹣f(x)的图象过点(2,1) ,则函 ﹣1 数 y=f (x)﹣2x 的图象一定过点 (3,﹣4) .
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﹣1

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考点: 反函数. 专题: 综合题. ﹣1 分析: 函数 y=f(x)存在反函数 y=f (x) ,且函数 y=2x﹣f(x)的图象过点(2,1) ,可解
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得 f(2)=3,由此得出 f (3)=2,代入 y=f (x)﹣2x 求得函数图象过的定点坐标 ﹣1 解答: 解:∵ 函数 y=f(x)存在反函数 y=f (x) ,且函数 y=2x﹣f(x)的图象过点(2,1) , ∴ f(2)=3, ∴ (3)=2, f ﹣1 ∴ x=3 时,y=f (3)﹣2× 当 3=﹣4 ﹣1 函数 y=f (x)﹣2x 的图象一定过点(3,﹣4) . 故答案为: (3,﹣4) . 点评: 题考查反函数,解题的关键是熟练掌握反函数的定义,由定义求出函数所过的定点.
﹣1

﹣1

﹣1

13.定义在 R 上的函数满足 f(0)=0,f(x)+f(1﹣x)=1, <x2≤1 时,f(x1)≤f(x2) ,则 = .

,且当 0≤x1

考点: 函数的值. 专题: 计算题;综合题. 分析: 先由已知条件 f(0)=0,f(x)+f(1﹣x)=1,
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求出一些特值,f

(1)=1,

,可得 f( )= , =f ) ( 可以看出 x∈

再由当 0≤x1<x2≤1 时,(x1) (x2) 结合 f ≤f , 时,f(x)= , 再利用条件 将 逐步转化到

内,代入求解即可. 对称,

解答: 解:由 f(x)+f(1﹣x)=1 可知 f(x)的图象关于 由 f(0)=0 得 f(1)=1, ,

中令 x=1 可得 f( )= , 又因为 0≤x1<x2≤1 时,f(x1)≤f(x2) , 所以 x∈ 由 时,f(x)= , 可得 = ,

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因为 所以 所以 故答案为: , ,

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点评: 本题考查抽象函数的性质的应用问题及转化思想,综合性较强,难度较大. 14. (2010?福建)已知定义域为(0,+∞)的函数 f(x)满足: (1)对任意 x∈(0,+∞) ,恒有 f(2x)=2f(x)成立; (2)当 x∈(1,2]时 f(x)=2﹣x 给出结论如下: ① 任意 m∈Z,有 f(2 )=0; ② 函数 f(x)的值域为[0,+∞) ; ③ 存在 n∈Z,使得 f(2 +1)=9; k k ④ “函数 f(x)在区间(a,b)上单调递减”的充要条件是“存在 k∈Z,使得(a,b)?(2 ,2 ﹣1 ) . 其中所有正确结论的序号是 ①④ ② 考点: 抽象函数及其应用;函数的周期性. 专题: 综合题. 分析: 依据题中条件注意研究每个选项的正确性,连续利用题中第(1)个条件得到① 正确; 连续利用题中第(2)个条件得到② 正确; x 利用反证法及 2 变化如下:2,4,8,16,32,判断③ 命题错误; 据①③ ②的正确性可得④ 是正确的. m m﹣1 m﹣1 m﹣1 解答: 解:① f(2 )=f(2?2 )=2f(2 )=…=2 f(2) ,正确;
2275664

m

n

② x∈(2 ,2 取

m

m+1

) ,则
m

∈(1,2];f( )=2
m+1

)=2﹣

,从而

f(x)=2f( )=…=2 f(

﹣x,其中,m=0,1,2,…

从而 f(x)∈[0,+∞) ,正确; ③ f(2 +1)=2
x n n+1

﹣2 ﹣1,假设存在 n 使 f(2 +1)=9,即存在 x1,x2,

n

n



=10,

又,2 变化如下:2,4,8,16,32,显然不存在,所以该命题错误; ④ 根据前面的分析容易知道该选项正确; 综合有正确的序号是①④ ②. 点评: 本题通过抽象函数,考查了函数的周期性,单调性,以及学生的综合分析能力,难度 不大.

15. 解:(1)由 ?

?2 ? 2 x ? 0 ,得 ? 1 ? x ? 1 . ? x ?1 ? 0

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2?2 x x ?1 2 3

?2 由 0 ? lg(2 ? 2x) ? lg( x ? 1) ? lg 2x ?1x ? 1 得 1 ?

? 10

因为 x ? 1 ? 0 ,所以 x ? 1 ? 2 ? 2 x ? 10 x ? 10 , ? 由?

? x? 1. 3

? ?1 ? x ? 1 得? 2 ? x ? 1 3 3 ?2?x?1 3 ? 3

(2)当 x?[1,2]时,2-x?[0,1],因此

y ? g ( x) ? g ( x ? 2) ? g (2 ? x) ? f (2 ? x) ? lg(3 ? x)
由单调性可得 y ? [0, lg 2] . 因为 x ? 3 ? 10y ,所以所求反函数是 y ? 3 ? 10 , x ? [0, lg 2]
x

?2 x 2 ? 1, x ? 0 16. 解: f [ g ( x)] ? ? ? ?3, x ? 0

1 ? 2 ?(2 x ? 1) , x ? 2 ? g[ f ( x)] ? ? ? ?1, x ? 1 ? ? 2

17. 解:(1)因为 9 ? 2 ,所以 f (9) ? 2 ? 9 ? 18 (2) ⅰ)若 x0 ? 2 ? 8 ,则 x0 ? 6 ,即 x0 ?
2 2

6或 ? 6 ,而 x0 ? 2 ,所以 x0 的值

不存在; ⅱ)若 2 x0 ? 8, 则x0 ? 4 ? 2, 所以x0 ? 2 综上得 x0 ? 2 18. 解:(1) m ? 0, n ? 8 (2)由(1)知, f ( x) ? ?2x 2 ? 3 设 ? 5 ? x1 ? x2 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?2x1 ? 2x2
2 2

= 2( x2 ? x1 )(x1 ? x2 ) 因为 ? 5 ? x1 ? x2 ,所以 x2 ? x1 ? 0, x1 ? x2 ? 0 所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f (x) 在 (?5,0] 上是单调增函数. 19. 解:(1)在 y ? kx ?

1 1 (1 ? k 2 ) x2 (k ? 0) 中,令 y ? 0 ,得 kx ? (1 ? k 2 ) x2 =0 . 20 20

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由实际意义和题设条件知 x > 0,k > 0 . ∴ x=

20k 20 20 = ? =10 ,当且仅当 k =1 时取等号. 2 1 1? k ?k 2 k

∴炮的最大射程是 10 千米. (2)∵ a > 0 ,∴炮弹可以击中目标等价于存在 k ? 0 ,使 ka ? 即关于 k 的方程 a 2 k 2 ? 20ak ? a 2 ? 64=0 有正根. 由 ?= ? ?20a ? ? 4a 2 a 2 ? 64 ? 0 得 a ? 6 .
2

1 (1 ? k 2 )a2 =3.2 成立, 20

?

?

此时, k =

20a ?

? ?20a ?

2

? 4a 2 ? a 2 ? 64 ?

2a 2

> 0 (不考虑另一根).

∴当 a 不超过 6 千米时,炮弹可以击中目标.

20. 解:(1)要使函数有意义:则有 ? ∴ 函数的定义域 D 为 (?3,1)

?1 ? x ? 0 ,解得 ? 3 ? x ? 1 ?x ? 3 ? 0
………………………………………2 分
2

(2) f ( x) ? log a (1 ? x)( x ? 3) ? log a ( ? x ? 2 x ? 3) ? log a ? ?( x ? 1) 2 ? 4 ? ? ?

? ?3 ? x ? 1 ∴0 < - ( ? 1 2 ? 4? 4 x ) ? 0 ? a ? 1 ,∴ log a ? ?( x ? 1) 2 ? 4 ? ? log a 4 ,即 f ( x)min ? log a 4 , ……5 分 ? ?
由 loga 4 ? ?4 ,得 a (注: ∴4 不化简为 ∴a ? 4 a? 4 4 ? ?
? 1
?4

? 4 ,∴ a ? 4

?

1 4

?

2 . 2

………………………7 分

21 2
?

2 扣 1 分) 2
……………………9 分

(3)由题知-x2+2mx-m2+2m<1 在 x∈(?3,1) 上恒成立,
? x 2 -2mx+m2-2m+1>0 在 x∈(?3,1) 上恒成立,
2 2

令 g(x)=x -2mx+m -2m+1,x∈(?3,1) , 配方得 g(x)=(x-m)2-2m+1,其对称轴为 x=m, ①当 m≤-3 时, g(x)在 (?3,1) 为增函数, g(-3)= (-3-m)2-2m+1= m2+4m +10≥0, ∴ 2 而 m +4m +10≥0 对任意实数 m 恒成立,∴ m≤-3. ………………11 分 ② 当-3<m<1 时,函数 g(x)在(-3,-1)为减函数,在(-1, 1)为增函数, 1 1 ∴ g(m)=-2m+1>0,解得 m< . ∴ -3<m< …………13 分 2 2 2 ③当 m≥1 时,函数 g(x)在 (?3,1) 为减函数,∴ g(1)= (1-m) -2m+1= m2-4m +2≥0, 1 解得 m≥ 2 ? 2 或 m≤ 2 ? 2 , ∴ -3<m< ………………15 分 2 1 综上可得,实数 m 的取值范围是 (-∞, )∪ 2 ? 2 ,+∞) ……………16 分 [ 2

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