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高中数学必修2立体几何专题-线面垂直专题典型例题精选精讲

习题精选精讲

线面垂直的证明中的找线技巧

?

通过计算,运用勾股定理寻求线线垂直

1 如图 1,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, M 为 CC1 的中点,AC 交 BD 于点 O,求证: A1O ? 平面 MBD.

证明:连结 MO, A1M ,∵DB⊥ A1 A ,DB⊥AC, A1A AC ? A ,

∴DB⊥平面 A1ACC1 ,而 A1O ? 平面 A1ACC1 ∴DB⊥ A1O .

设正方体棱长为 a

,则

A1O2

?

3 2

a2 , MO2

?

3 4

a2





Rt△

A1C1M

中,

A1M 2

?

9 4

a2

.∵

A1O 2

?

MO2

?

A1M

2

,∴

A1O ? OM . ∵OM∩DB=O,∴ A1O ⊥平面 MBD.
评注:在证明垂直关系时,有时可以利用棱长、角度大小等数据,通过计算来证明.

?

利用面面垂直寻求线面垂直

2 如图 2, P 是△ABC 所在平面外的一点,且 PA⊥平面 ABC,平面 PAC⊥平面 PBC.求证:BC⊥平面 PAC.

证明:在平面 PAC 内作 AD⊥PC 交 PC 于 D.

因为平面 PAC⊥平面 PBC,且两平面交于 PC,
AD ? 平面 PAC,且 AD⊥PC,由面面垂直的性质,得 AD⊥平面 PBC. 又∵ BC ?
平面 PBC,∴AD⊥BC.
∵PA⊥平面 ABC, BC ? 平面 ABC,∴PA⊥BC.
∵AD∩PA=A,∴BC⊥平面 PAC. (另外还可证 BC 分别与相交直线 AD,AC 垂直,从而得到 BC⊥平面 PAC). 评注:已知条件是线面垂直和面面垂直,要证明两条直线垂直,应将两条直线中的一 条纳入一个平面中,使另一条直线与该平面垂直,即从线面垂直得到线线垂直.在空间图形中,高一级的垂直关系中蕴含着
低一级的垂直关系,通过本题可以看到,面面垂直 ?线面垂直 ?线线垂直.
一般来说,线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决,其关系为:线线垂直 ???判 性?定 质???? 线面垂直 ???判 性?定 质???? 面面
垂直.这三者之间的关系非常密切,可以互相转化,从前面推出后面是判定定理,而从后面推出前面是性质定理.同学们 应当学会灵活应用这些定理证明问题.下面举例说明.
3 如图1所示,ABCD 为正方形, SA ⊥平面 ABCD,过 A 且垂直于 SC 的平面分别交 SB,SC,SD 于 E,F,G . 求证: AE ? SB , AG ? SD .

证明:∵ SA ? 平面 ABCD, ∴ SA ? BC .∵ AB ? BC ,∴ BC ? 平面 SAB.又∵ AE ? 平面 SAB,∴ BC ? AE .∵ SC ?平面 AEFG,∴ SC ? AE .∴ AE ? 平面 SBC.∴ AE ? SB .同 理可证 AG ? SD .

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评注:本题欲证线线垂直,可转化为证线面垂直,在线线垂直与线面垂直的转化中,平面起到了关键作用,同学们应多 注意考虑线和线所在平面的特征,从而顺利实现证明所需要的转化. 4 如图2,在三棱锥A-BCD 中,BC=AC,AD=BD,作 BE⊥CD,E为垂足,作 AH⊥BE 于H.求证:AH⊥平面 BCD.

证明:取 AB 的中点F,连结 CF,DF.
∵ AC ? BC ,∴ CF ? AB . ∵ AD ? BD ,∴ DF ? AB . 又 CF DF ? F ,∴ AB ?平面 CDF. ∵ CD ? 平面 CDF,∴ CD ? AB . 又 CD ? BE , BE AB ? B , ∴ CD ? 平面 ABE, CD ? AH . ∵ AH ? CD, AH ? BE , CD BE ? E , ∴ AH ? 平面 BCD.
评注:本题在运用判定定理证明线面垂直时,将问题转化为证明线线垂直;而证明线线垂直时,又转化为证明线面垂直.如
此反复,直到证得结论.
5 如图3, AB 是圆O的直径,C是圆周上一点, PA ? 平面 ABC.若 AE⊥PC ,E为垂足,F是 PB 上任意一点,
求证:平面 AEF⊥平面 PBC.

证明:∵AB 是圆O的直径,∴ AC ? BC . ∵ PA ? 平面 ABC, BC ? 平面 ABC, ∴ PA ? BC .∴ BC ? 平面 APC. ∵ BC ? 平面 PBC,
∴平面 APC⊥平面 PBC. ∵AE⊥PC,平面 APC∩平面 PBC=PC, ∴AE⊥平面 PBC.
∵ AE ? 平面 AEF,∴平面 AEF⊥平面 PBC.
评注:证明两个平面垂直时,一般可先从现有的直线中寻找平面的垂线,即证线面垂直,而证线面垂直则需从已知条件
出发寻找线线垂直的关系.
6. 空间四边形 ABCD 中,若 AB⊥CD,BC⊥AD,求证:AC⊥BD
A

D

B

O

C

证明:过 A 作 AO⊥平面 BCD 于 O。? AB?CD, ? CD?BO 同理 BC⊥DO ∴O 为△ABC 的垂心 于是BD?CO ? BD?AC

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7. 证明:在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,A1C⊥平面 BC1D

D1

C1

A1

B1

D

C

A

B

证明:连结 AC

? BD?AC
AC 为 A1C 在平面 AC 上的射影

? BD?A1C

?

同理可证A1C?BC1

? ?

?

A1C?平面BC1 D

8. 如图, PA? 平面 ABCD,ABCD 是矩形,M、N 分别是 AB、PC 的中点,求证: MN?AB
P

N

D

C

.

EN // 1 DC

证:取 PD 中点 E,则

2

A

M

B

P

E

N

D

C

A

M

B

? EN // AM ? AE / / MN

又 ? CD?AD?

PA?平面AC

? ?

?

CD?平面PAD ? AE ? 平面PAD??

CD?AE ?

? CD / / AB

? ?

?

MN?AB

AE / / MN ??

9 如图在Δ ABC 中, AD⊥BC, ED=2AE, 过 E 作 FG∥BC, 且将Δ AFG 沿 FG 折起,使∠A'ED=60°,求证:A'E⊥平面 A'BC

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分析:弄清折叠前后,图形中各元素之间的数量关系和位置关系。 解:
∵FG∥BC,AD⊥BC ∴A'E⊥FG ∴A'E⊥BC 设 A'E=a,则 ED=2a 由余弦定理得: A'D2=A'E2+ED2-2?A'E?EDcos60°=3a2 ∴ED2=A'D2+A'E2 ∴A'D⊥A'E ∴A'E⊥平面 A'BC

A'

G

A

E

F

C D
B

10 如图, 在空间四边形 SABC 中, SA?平面 ABC, ?ABC = 90?, AN?SB 于 N, AM?SC 于 M。求证: ①AN?BC; ②SC?平面 ANM 分析:

①要证 AN?BC, 转证, BC?平面 SAB。 ②要证 SC?平面 ANM, 转证, SC 垂直于平面 ANM 内的两条相交直线, 即证 SC?AM, SC?AN。要证 SC?AN, 转证 AN?平面 SBC, 就可以了。 证明:
①∵SA?平面 ABC ∴SA?BC
又∵BC?AB, 且 AB ? SA = A
∴BC?平面 SAB
∵AN ? 平面 SAB
∴AN?BC
②∵AN?BC, AN?SB, 且 SB ? BC = B
∴AN?平面 SBC ∵SCC 平面 SBC ∴AN?SC
又∵AM?SC, 且 AM ? AN = A
∴SC?平面 ANM
11 已知如图,P?平面 ABC,PA=PB=PC,∠APB=∠APC=60°,∠BPC=90 °求证:平面 ABC⊥平面 PBC

分析:要证明面面垂直,只要在其呈平面内找一条线,然后证明直线与另一平面垂直即可。显然 BC 中点 D,证明 AD 垂直

平 PBC 即可

证明:取 BC 中点 D 连结 AD、PD ∵PA=PB;∠APB=60°

∴Δ PAB 为正三角形

同理Δ PAC 为正三角形

设 PA=a

在 RTΔ BPC 中,PB=PC=a

BC= 2 a

2
∴PD= a

在Δ ABC 中

AD= AB 2 ? BD 2

2

2

2

=

2 2

? a∵AD2+PD2= ??
?

2 2

a

????

? ????

2 2

a ????

=a2=AP2∴Δ APD 为直角三角形即 AD⊥DP 又∵AD⊥BC

∴AD⊥平面 PBC

∴平面 ABC⊥平面 PBC

12. 如图,直角 BAC 在? 外, AB//? , AC ?? ? C ,求证: ?BAC在? 内射影 ?CA?B? 为直角。

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A

B

A'

B'

C

α

证:如图所示, AA? ? ? 、 BB? ? ? , ?B?A?C 为射影。 AA? // BB? 确定平面 ?

? ? ? ? A?B??

?

?

AB ? ? AB //?

? ? ??

?

AB //

AB??? ? ?

?

AB

?

AA?

?

?? ?

?

AB

?

面AA?C

AA? ? A?B? ??

? ?

AB ? AC ??

? A?B? ? 面CA?A ? A?B? ? CA? ? ?CA?B? 为直角

13 以 AB 为直径的圆在平面? 内, PA ? ? 于 A,C 在圆上,连 PB、PC 过 A 作 AE⊥PB 于 E,AF⊥PC 于 F,试判断图
中还有几组线面垂直。

P

E

F

A

B

C

解:

PA ? ? ?

?

BC

?

?

? ?

?

PA

?

BC

? ?

AB为直径 ? AC ? BC??

?

? BC ? 面PAC??

AF

?

面PAC

? ?

??

?

AF AF

? ?

?

?

BC??

PC

? ?

?

??

?

AF

?

面PBC

?

AF AE

? ?

PB? PB??

?

PB

? 面

AEF

两个平面垂直例题解析 1.在三棱锥 A—BCD 中,若 AD⊥BC,BD⊥AD,△BCD 是锐角三角形,那么必有( ) A.平面 ABD⊥平面 ADC B.平面 ABD⊥平面 ABC C.平面 ADC⊥平面 BCD D.平面 ABC⊥平面 BCD

【解析】由 AD⊥BC,BD⊥AD ?AD⊥平面 BCD,面 AD ? 平面 ADC∴平面 ADC⊥平面 BCD.【答案】C
2.直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,∠ACB=90°,AC=AA1=a,则点 A 到平面 A1BC 的距离是( )

2

A.a

B. 2 a

C. 2 a

D. 3 a

【解析】取 A1C 的中点 O,连结 AO,∵AC=AA1,∴AO⊥A1C,又该三棱柱是直三棱柱.∴平面 A1C⊥平面 ABC.又
2 ∵BC⊥AC∴BC⊥AO,因 AO⊥平面 A1BC,即 A1O 等于 A 到平面 ABC 的距离.解得:A1O= 2 a【答案】C

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3.三个平面两两垂直,它们的三条交线交于一点 O,P 到三个面的距离分别是 3,4,5,则 OP 的长为( )

A.5 3

B.5 2

C.3 5

D.2 5

【解析】构造一个长方体,OP 为对角线.【答案】B 4.在两个互相垂直的平面的交线上,有两点 A、B,AC 和 BD 分别是这两个平面内垂直于 AB 的线段,AC=6,AB=8,
BD=24,则 C、D 间距离为_____.

【解析】如图,CD= CA2 ? AD2 = CA2 ? AB2 ? BD2 = 62 ? 82 ? 242 = 676 =26

5.设两个平面α 、β ,直线 l,下列三个条件:①l⊥α ,②l∥β ,③ α ⊥β .若以其中两个作为前提,另一个作为

结论,则可构成三个命题,这三个命题中正确的命题个数为( )

A.3

B.2

C.1

D.0

【解析】①② ?③,其余都错【答案】C
【典型例题精讲】 [例 1] 如图 9—39,过 S 引三条长度相等但不共面的线段 SA、SB、SC,且∠ASB=∠ASC=60°,∠BSC=90°,求 证:平面 ABC⊥平面 BSC.

图 9—39

【证明】∵SB=SA=SC,∠ASB=∠ASC=60°∴AB=SA=AC 取 BC 的中点 O,连 AO、SO,则 AO⊥BC,SO⊥BC,

∴∠AOS 为二面角的平面角,设 SA=SB=SC=a,又∠BSC=90°,∴BC=
11

2 2 a,SO= 2 a,

AO2=AC2-OC2=a2- 2 a2= 2 a2,∴SA2=AO2+OS2,∴∠AOS=90°,从而平面 ABC⊥平面 BSC.
【评述】要证两平面垂直,证其二面角的平面角为直角.这也是证两平面垂直的常用方法. [例 2]如图 9—40,在三棱锥 S—ABC 中,SA⊥平面 ABC,平面 SAB⊥平面 SBC.

图 9—40 (1)求证:AB⊥BC;(2)若设二面角 S—BC—A 为 45°,SA=BC,求二面角 A—SC—B 的大小.

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(1)【证明】作 AH⊥SB 于 H,∵平面 SAB⊥平面 SBC.平面 SAB∩平面 SBC=SB,∴AH⊥平面 SBC, 又 SA⊥平面 ABC,∴SA⊥BC,而 SA 在平面 SBC 上的射影为 SB,∴BC⊥SB,又 SA∩SB=S, ∴BC⊥平面 SAB.∴BC⊥AB. (2)【解】∵SA⊥平面 ABC,∴平面 SAB⊥平面 ABC,又平面 SAB⊥平面 SBC,∴∠SBA 为二面角 S—BC—A 的 平面角, ∴∠SBA=45°.设 SA=AB=BC=a,
2 作 AE⊥SC 于 E,连 EH,则 EH⊥SC,∴∠AEH 为二面角 A—SC—B 的平面角,而 AH= 2 a,AC= 2 a,SC= 3 a,
6 AE= 3 a
3 ∴sin∠AEH= 2 ,二面角 A—SC—B 为 60°.
【注】三垂线法是作二面角的平面角的常用方法. [例 3]如图 9—41,PA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 是矩形,PA=AD=a,M、N 分别是 AB、PC 的中点.

(1)求平面 PCD 与平面 ABCD 所成的二面角的大小;(2)求证:平面 MND⊥平面 PCD

(1)【解】PA⊥平面 ABCD,CD⊥AD, ∴PD⊥CD,故∠PDA 为平面 ABCD 与平面 PCD 所成二面角的平面角,在 Rt△PAD 中,PA=AD, ∴∠PDA=45°

1

(2)【证明】取 PD 中点 E,连结 EN,EA,则 EN

2 CD AM,∴四边形 ENMA 是平行四边形,∴EA∥MN.

∵AE⊥PD,AE⊥CD,∴AE⊥平面 PCD,从而 MN⊥平面 PCD,∵MN ? 平面 MND,∴平面 MND⊥平面 PCD.

【注】 证明面面垂直通常是先证明线面垂直,本题中要证 MN⊥平面 PCD 较困难,转化为证明 AE⊥平面 PCD 就较简

单了.另外,在本题中,当 AB 的长度变化时,可求异面直线 PC 与 AD 所成角的范围.

[例 4]如图 9—42,正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F、M、N 分别是 A1B1、BC、C1D1、B1C1 的中点.

图 9—42 (1)求证:平面 MNF⊥平面 ENF.(2)求二面角 M—EF—N 的平面角的正切值.

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(1)【证明】∵M、N、E 是中点,∴ EB1 ? B1N ? NC1 ? C1M ∴ ?ENB1 ? ?MNC1 ? 45?
∴ ?MNE ? 90? 即 MN⊥EN,又 NF⊥平面 A1C1,MN ? 平面A1C1 ∴MN⊥NF,从而 MN⊥平面 ENF.∵MN ?
平面 MNF, ∴平面 MNF⊥平面 ENF. (2)【解】过 N 作 NH⊥EF 于 H,连结 MH.∵MN⊥平面 ENF,NH 为 MH 在平面 ENF 内的射影,

2

3

∴由三垂线定理得 MH⊥EF,∴∠MHN 是二面角 M—EF—N 的平面角.在 Rt△MNH 中,求得 MN= 2 a,NH= 3 a,

MN ? 6

6

∴tan∠MHN= NH 2 ,即二面角 M—EF—N 的平面角的正切值为 2 .

[例 5]在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,侧棱长为 3 ,E、F 分别是 AB1、CB1
的中点,求证:平面 D1EF⊥平面 AB1C.

【证明】如图 9—43,∵E、F 分别是 AB1、CB1 的中点,

图 9—43∴EF∥AC.∵AB1=CB1,O 为 AC 的中点.∴B1O⊥AC.故 B1O⊥EF.在 Rt△B1BO 中,∵BB1= 3 ,BO=1. 1
∴∠BB1O=30°,从而∠OB1D1=60°,又 B1D1=2,B1O1= 2 OB1=1(O1 为 BO 与 EF 的交点) ∴△D1B1O1 是直角三角形,即 B1O⊥D1O1,∴B1O⊥平面 D1EF.又 B1O ? 平面 AB1C,∴平面 D1EF⊥平面 AB1C.
1.棱长都是 2 的直平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中,∠BAD=60°,则对角线 A1C 与侧面 DCC1D1 所成角的正弦值为 _____.
【解】过 A1 作 A1G⊥C1D1 于 G,由于该平行六面体是直平行六面体,∴A1G⊥平面 D1C,连结 CG,∠A1CG 即为 A1C 与侧面 DCC1D1 所成的角.

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3 ∵A1G= A1 D1 ·sin∠A1 D1 G=2sin60°=2· 2 = 3 而

AC=

AB2 ? BC2 ? 2AB? BC ? cos120? =

22 ? 22 ? 2 ? 2 ? 2 ? (? 1) ? 2 3

2



A1C= A1A2 ? AC2 ? 4 ? 12 ? 4 ,

A1G ? 3

3

∴sin∠A1CG= A1C 4 .【答案】 4

2.E、F 分别是正方形 ABCD 的边 AB 和 CD 的中点,EF、BD 相交于 O,以 EF 为棱将正方形折成直二面角,则∠ BOD=_____.

【解析】设正方形的边长为 2a.

则 DO2=a2+a2=2a2OB2=a2+a2=2a2DB2=DF2+FB2=a2+4a2+a2=6a2∴cos∠

2a2 ? 2a2 ? 6a2 ? ? 1

DOB= 2 ? 2a ? 2a

2 ,∴∠DOB=120°

?

3.如图 9—44,已知斜三棱柱 ABC—A1B1C1 的各棱长均为 2,侧棱与底面成 3 的角,侧面 ABB1A1 垂直于底面,

图 9—44 (1)证明:B1C⊥C1A.(2)求四棱锥 B—ACC1A1 的体积.

(1)【证明】过 B1 作 B1O⊥AB 于 O,∵面 ABB1A1⊥底面 ABC,面 ABB1A1 ? 面ABC ? AB ∴B1O⊥面 ABC,
?

∴∠B1BA 是侧棱与底面所成角,∴∠B1BA= 3 ,又各棱长均为 2,∴O 为 AB 的中点,连 CO,则 CO⊥AB,而 OB1∩CO=O, ∴AB⊥平面 B1OC,又 B1C ? 平面 OB1C,∴B1C⊥AB,连 BC1,∵BCC1B1 为边长为 2 的菱形,∴B1C⊥BC1,而 AB
∩BC1=B,
∴B1C⊥面 ABC1∵A1C ? 面 ABC1∴B1C⊥AC1

3

1

(2)【解】在 Rt△BB1O 中,BB1=2,BO=1,B1O= 3 ,V 柱=Sh= 4 ·4· 3 V =3,∴ B? A1B1C1 = 3 V 柱=1,

V V B? AA1C1C =V 柱- B? A1B1C1 =3-1=2
4.如图 9—45,四棱锥 P—ABCD 的底面是边长为 a 的正方形,PA⊥底面 ABCD,E 为 AB 的中点,且 PA=AB.

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图 9—45 (1)求证:平面 PCE⊥平面 PCD;(2)求点 A 到平面 PCE 的距离.

(1)【证明】PA⊥平面 ABCD,AD 是 PD 在底面上的射影, 又∵四边形 ABCD 为矩形,∴CD⊥AD,∴CD⊥PD,∵AD∩PD=D∴CD⊥面 PAD,∴∠PDA 为二面角 P—CD—B 的
平面角,∵PA=PB=AD,PA⊥AD∴∠PDA=45°,取 Rt△PAD 斜边 PD 的中点 F,则 AF⊥PD,∵AF ? 面 PAD ∴CD

1

1

⊥AF,又 PD∩CD=D∴AF⊥平面 PCD,取 PC 的中点 G,连 GF、AG、EG,则 GF

2 CD 又 AE

2 CD,

∴GF AE∴四边形 AGEF 为平行四边形∴AF∥EG,∴EG⊥平面 PDC 又 EG ? 平面 PEC,∴平面 PEC⊥平面 PCD.
(2)【解】由(1)知 AF∥平面 PEC,平面 PCD⊥平面 PEC,过 F 作 FH⊥PC 于 H,则 FH⊥平面 PEC ∴FH 为 F 到平面 PEC 的距离,即为 A 到平面 PEC 的距离.在△PFH 与 △PCD 中,∠P 为公共角,
FH ? PF 而∠FHP=∠CDP=90°,∴△PFH∽△PCD.∴ CD PC ,设 AD=2,∴PF= 2 ,

2 ?2? 6

6

PC= PD2 ? CD2 ? 8 ? 4 ? 2 3 ,∴FH= 2 3

3 ∴A 到平面 PEC 的距离为 3 .

5.已知直四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 的底面是菱形,对角线 AC=2,BD=2 3 ,E、F 分别为棱 CC1、BB1 上的点,且
满足 EC=BC=2FB.

图 9—46 (1)求证:平面 AEF⊥平面 A1ACC1;(2)求异面直线 EF、A1C1 所成角的余弦值.

(1)【证明】∵菱形对角线 AC=2,BD=2
1 点 O,MO 2 EC FB ?

3 ∴BC=2,EC=2,FB=1,取 AE 中点 M,连结 MF,设 BD 与 AC 交于

平面 AEF⊥平面 ACC1A1

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(2)在 AA1 上取点 N,使 AN=2,连结 NE,则 NE AC A1C1

故∠NEF 为异面直线 A1C1 与 EF 所成的角,连结 NF,在直角梯形 NABF 中易求得 NF= 5 ,同理求得 EF= 5 .

3?4?5 ? 5

5

在△ENF 中,cos∠NEF= 2 ? 2 ? 5 5 ,即 EF 与 A1C1 所成角的余弦值为 5 .

【解题指导】在证明两平面垂直时,一般方法是先从现有的直线中寻找平面的垂线;若没有这样的直线,则可通过作辅 助线来解决,而作辅助线则应有理论根据并且要有利于证明,不能随意添加.在有平面垂直时,一般要用性质定理,在一个 平面内作交线的垂线,使之转化为线面垂直.解决这类问题的关键是熟练掌握“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”间的 转化条件和转化应用.

【拓展练习】 一、备选题 1.如图,AB 是圆 O 的直径,C 是圆周上一点,PA⊥平面 ABC. (1)求证:平面 PAC⊥平面 PBC; (2)若 D 也是圆周上一点,且与 C 分居直径 AB 的两侧,试写出图中所有互相垂直的各对平面.

(1)【证明】∵C 是 AB 为直径的圆 O 的圆周上一点,AB 是圆 O 的直径 ∴BC⊥AC;
又 PA⊥平面 ABC,BC ? 平面 ABC,
∴BC⊥PA,从而 BC⊥平面 PAC.
∵BC ? 平面 PBC,
∴平面 PAC⊥平面 PBC. (2)【解】平面 PAC⊥平面 ABCD;平面 PAC⊥平面 PBC;平面 PAD⊥平面 PBD;平面 PAB⊥平面 ABCD;平面 PAD ⊥平面 ABCD.
1
2.ABC—A′B′C′是正三棱柱,底面边长为 a,D,E 分别是 BB′,CC′上的一点,BD= 2 a,EC=a.
(1)求证:平面 ADE⊥平面 ACC′A′; (2)求截面△ADE 的面积.

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(1)【证明】分别取 A′C′、AC 的中点 M、N,连结 MN, 则 MN∥A′A∥B′B, ∴B′、M、N、B 共面,∵M 为 A′C′中点,B′C′=B′A′,∴B′M⊥A′C′,又 B′M⊥AA′且 AA′∩A′ C′=A′ ∴B′M⊥平面 A′ACC′. 设 MN 交 AE 于 P,
a

∵CE=AC,∴PN=NA= 2 . 1

又 DB= 2 a,∴PN=BD.
∵PN∥BD, ∴PNBD 是矩形,于是 PD∥BN,BN∥B′M, ∴PD∥B′M. ∵B′M⊥平面 ACC′A′,
∴PD⊥平面 ACC′A′,而 PD ? 平面 ADE,
∴平面 ADE⊥平面 ACC′A′. (2)【解】∵PD⊥平面 ACC′A′,

3

∴PD⊥AE,而 PD=B′M= 2 a,

AE= 2 a. 1

∴S△ADE= 2 ×AE×PD

1 2a ? 3 a ? 6 a2

=2×

2

4.


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