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高考数学一轮复习 热点难点精讲精析 2.11导数及其应用

高考一轮复习热点难点精讲精析: 2.11 导数及其应用 一、变化率与导数、导数的运算 (一)利用导数的定义求函数的导数 1、相关链接 (1)根据导数的定义求函数 y ? f ( x) 在点 x0 处导数的方法: ①求函数的增量 ?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ; ?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ; ? ?x ?x ?y ③得导数 f ?( x0 ) ? lim ,简记作:一差、二比、三极限。 ?x ? 0 ?x ②求平均变化率 (2)函数的导数与导数值的区间与联系:导数是原来函数的导函数,而导数值是导函数在某一点的 函数值,导数值是常数。 2、例题解析 〖例 1〗求函数 y= 1 的在 x=1 处的导数。 x 解析: ?y ? ? 1 1 1 ? 1 ? ?x ? ? 1 ? ?x 1 1 ? ?x 1 ? ?x 1 ? 1 ? ?x ? ??x ? , ?y 1 ?? , ?x 1 ? ?x 1 ? 1 ? ?x ? ? ?y 1 1 ? lim[ ? ?? . ?x ?0 ?x ?x ?0 2 1 ? ?x 1 ? 1 ? ?x lim ? ? 1 ? y? |x ?1 ? ? . 2 〖例 2〗一质点运动的方程为 s ? 8 ? 3t 2 。 (1) 求质点在[1,1+Δ t]这段时间内的平均速度; (2) 求质点在 t=1 时的瞬时速度(用定义及求求导两种方法) 1 分析(1)平均速度为 ?s ; ?t (2)t=1 时的瞬 时速度即 s ? 8 ? 3t 2 在 t=1 处的导数值。 解答: (1)∵ s ? 8 ? 3t 2 ∴Δ s=8-3(1+Δ t) -(8-3×1 )=-6Δ t-3(Δ t) , 2 2 2 v? ? ?s ? ?6 ? 3?t . ?t ?t ? 0 (3) 定义法:质点在 t=1 时的瞬时速度 v ? lim (4) 求导法:质点在 t 时刻的瞬时速度 ?s ? lim(?6 ? 3?t ) ? ?6 ?t ?t ?0 v ? s?(t ) ? (8 ? 3t 2 )? ? 6t ,当 t=1 时,v=-6×1=-6. 注:导数的物理意义建立了导数与物体运动的瞬时速度之间的关系。对位移 s 与时间 t 的关系式求导 可得瞬时速度与时间 t 的关系。根据导数的定义求导数是求导数的基本方法,请按照“一差、二比、三极 限”的求导步骤来求。 (二)导数的运算 1、相关链接 (1)运用可导函数求导法则和导数公式,求函数 y ? f ( x) 在开区间(a,b)内的导数的基本步骤: ①分析函数 y ? f ( x) 的结构和特征; ②选择恰当的求导法则和导数公式求导; ③整理得结果。 (2)对较复杂的函数求导数时,诮先化简再求导,特别是对数函数真数是根式或分式时,可用对数 的性质转化真数为有理式或整式求解更为方便。 (3)复合函数的求导方法 求复合函数的导数,一般是运用复合函数的求导法则,将问题转化为求基本函数的导数解决。 ①分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的,适当选定中间变量; ②分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导,而其中特别要注意的是中间变量; ③根据基本函数的 导数公式及导数的运算法则,求出各函数的导数,并把中间变量转换成自变量的函 数; ④复合函数的求导熟练以后,中间步骤可以省略,不必再写出函数的 复合过程。 2、例题解析 2 〖例〗求下列函数的导数。 ?1? y ? ? 2

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