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立体几何中的向量公式


向量法解立体几何
用传统的方法解立体几何需要烦琐的分析、复杂的计算。而用向量法解题思 路清晰、过程简洁。对立体几何的常见问题都可以起到化繁为简,化难为易的效 果。 一. 证明两直线平行 已知两直线 a 和 b , A, B ∈ a, C , D ∈ b ,则 a // b

? 存在唯一的实数 λ 使

AB = λ CD
二. 证明直线和平面平行

, , 1.已知直线 a ?α, A B∈a, C, D E∈α 且三点不共线, a ∥ α ? 存在有序实数 则
对 λ , ? 使 AB = λ CD + ? CE
A B

, 2.已知直线 a ?α, A B∈a, 和平面
α 的法向量 n ,则 a ∥ α ? AB ⊥ n
三.证明两个平面平行 已知两个不重合平面 α , β ,法向量分别为 m, n ,则 α ∥ β 四.证明两直线垂直
C

E D

? m // n

已知直线 a, b 。 A, B ∈ a, C , D ∈ b ,则 a ⊥ b ? AB ? CD = 0 五.证明直线和平面垂直 已知直线

a和平面 α

,且 A、B

∈a

,面α 的法向量为

m

,则

a ⊥ α ? AB // m
六.证明两个平面垂直 已 知 两 个 平 面 α, β , 两 个 平 面 的 法 向 量 分 别 为

m,n

,则

α ⊥β ?m⊥n
七.求两异面直线所成的角 已知两异面直线 a, b ,

A, B ∈ a , C , D ∈ b ,则异面直线所成的角 θ 为:

cos θ =

AB ? CD AB CD

八.求直线和平面所成的角

已知 A,B 为直线 a 上任意两点,n 为平面 α 的法向量,则 a 和平面 α 所成的角

θ 为:
1.

π ? π? 当 AB ? n ∈ ? 0, ? 时 θ = ? AB ? n 2 ? 2? π ?π ? 当 AB ? n ∈ ? , π ? 时 θ = AB ? n ? 2 ?2 ?

2.

九.求二面角 1.已知二面角 α ? l ? β ,且 A, B ∈ α , C , D ∈ β且AB ⊥ l , CD ⊥ l ,则二面 角的平面角 θ 的大小为: θ

= AB, CD

2.已知二面角 α ? l ? β , m, n 分别为面 α , β 的法向量,则二面角的平面角 θ 的 大小与两个法向量所成的角相等或互补。即 θ

= m, n 或π ? m, n

注:如何判断二面角的平面角和法向量所成的角的关系。 (1)通过观察二面角锐角还是钝角,再由法向量的成的角求之。 (2)通过观察法向量的方向,判断法向量所成的角与二面角的平面角相等还 是互补。 十.求两条异面直线的距离 已知两条异面直线 a, b , 异面直线的距离 d =

m

是与两直线都垂直的向量, A ∈ a, B ∈ b 则两条

AB ? m m

十一.求点到面的距离 已知平面 α 和点 A,B 且 A ? α , B ∈ α , m 为平面 α 的法向量,则点 A 到平面

α 的距离 d =

AB ? m m


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