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证明数列不等式之放缩技巧及缩放在数列中的应用大全


证明数列不等式之放缩技巧以及不等式缩放在数列中应用 大全
证明数列型不等式,其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧,充满思考性 和挑战性。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其 特征,抓住其规律进行恰当地放缩. 一、利用数列的单调性 例 1.证明:当 n ? 6, n ? Z 时,

n(n ? 2) ?1. 2n

n(n ? 2) (n ? 1)(n ? 3) n(n ? 2) 3 ? n 2 (n ? 6) , 证法一: 令 cn ? 则 cn ?1 ? cn ? ? ? n ?1 ? 0 , 2n 2 n ?1 2n 2 6?8 3 ? ? 1. 所以当 n ? 6 时, cn?1 ? cn .因此当 n ? 6 时, cn ? c6 ? 64 4 n( n ? 2) ? 1. 于是当 n ? 6 时, 22 6 ? (6 ? 2) 48 3 ? ? ? 1 成立. 证法二:可用数学归纳法证.(1)当 n = 6 时, 26 64 4 k ( k ? 2) ? 1. (2)假设当 n ? k (k ? 6) 时不等式成立,即 2k (k ? 1)(k ? 3) k (k ? 2) (k ? 1)(k ? 3) (k ? 1)(k ? 3) ? ? ? ? 1. 则当 n=k+1 时, 2k ?1 2k 2k (k ? 2) (k ? 2)?2k n( n ? 1) ? 1. 由(1)、(2)所述,当 n≥6 时, 22
二、借助数列递推关系 例 2.已知 an ? 2 ? 1 .证明:
n

1 1 1 2 ? ??? ? ?n ? N? ? . a2 a3 an?1 3

证明:?

1 1 1 1 1 1 1 ? n?1 ? n ?1 ? ? n ? ? , an?1 2 ? 1 2 ? 2 2 2 ? 1 2 an

∴S ?

1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 ? ??? ? ? ? ? ... ? ( ) n?1 ? ? ? [1 ? ( ) n ] ? . a2 a3 an?1 a2 2 a2 2 a2 3 2 3
5 ? 2x ,设正项数列 ?an ? 满足 a1 =l, an?1 ? f ? an ? . 16 ? 8 x

例 3. 已知函数 f(x)= (1) 试比较 an 与

5 的大小,并说明理由; 4
n 5 1 n - an ,记 Sn= ? bi .证明:当 n≥2 时,Sn< (2 -1). 4 4 i ?1

(2) 设数列 ?bn ? 满足 bn =

分析:比较大小常用的办法是作差法,而求和式的不等式常用的办法是放缩法。 解:(1) 因为 an ? 0, an ?1 ? 0, 所以 16 ? 8an ? 0,0 ? an ? 2.
1

5 5 48(an ? ) a ? 5 ? 2an 5 5 3 n 4 ,因为 2 ? a ? 0, 所以 a ? 5 与 a ? 5 同号, 4 an ?1 ? ? ? ? ? ? n n ?1 n 4 4 4 16 ? 8an 4 32(2 ? an ) 2 2 ? an

5 5 1 5 5 5 ? ? ? 0 , a2 ? ? 0, a3 ? ? 0, ?, an ? ? 0, 即 an ? . 4 4 4 4 4 4 3 1 5 3 1 5 3 1 (2) 当 n ? 2 时, bn ? ? an ? ? ? ( ? an ?1 ) ? ? ? bn ?1 ? ? ? bn ?1 ? 2bn ?1 , 4 2 2 ? an ?1 4 2 2 ? an ?1 2 2? 5 4
因为 a1 ? 所以 bn ? 2 ? bn?1 ? 22 ? bn?2 ? ? ? 2n?1 b1 ? 2n?3 ,

1 1 ?1? 所以 Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 2 ?2?
例 4. 已知不等式

3? n

1 (1 ? 2n ) 1 4 ? ? (2n ? 1) . 1? 2 4

1 1 1 1 ? ? ? ? ? [log 2 n], 其中 n 为不大于 2 的整数, [log2 n] 表示不 2 3 n 2

超 过 l o2 n g 的 最 大 整 数 。 设 数 列

?an ?

的 各 项 为 正 且 满 足

a1 ? b(b ? 0), an ?

nan ?1 (n ? 2) 2b .证明: a n ? , n ? 3,4,5? . 2 ? b[log2 n] n ? an?1

证明:由 a n ?

nan?1 1 1 1 ? ? , 得: a n a n ?1 n n ? an?1

?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 (n ? 2) , ? ? ? ? ? ? , ,? , a n a n ?1 n a n?1 a n?2 n ? 1 a 2 a1 2

以上各式两边分别相加得:

1 1 1 1 1 ? ? ? ??? , a n a1 n n ? 1 2

?

2 ? b[log2 n] 1 1 1 1 1 1 1 , ? ? ? ? ? ? ? ? [log 2 n] = 2b an b n n ? 1 2 b 2

? an ?

2b 2 ? b[log2 n]

(n ? 3) .

三、裂项放缩 例 5.求证:
6n 1 1 1 5 ? 1? ? ??? 2 ? (n ? 1)(2n ? 1) 4 9 n 3
1 ? n2 1 1 n ? 4
2

解析:因为

?

1 ? ? 1 ? 2? ? ? 4n ? 1 ? 2n ? 1 2n ? 1 ? 4
2

,所以

?k
k ?1

n

1
2

1 1 ? 2 5 ?1 1 ? 1 ? 2? ? ? ? ? ? ? ? 1? ? 2n ? 1 2n ? 1 ? 3 3 ?3 5

又1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 2
4 9 n 2?3 3? 4

1 1 n ? 1? ? n(n ? 1) n ?1 n ?1

2

当 n ? 3 时, 当 n ? 2 时,

n 6n ? n ? 1 (n ? 1)(2n ? 1)

,当 n ? 1 时,

6n 1 1 1 ? 1? ? ??? 2 , (n ? 1)(2n ? 1) 4 9 n

6n 1 1 1 6n 1 1 1 5 ? 1? ? ??? 2 ? . ? 1 ? ? ? ? ? 2 ,所以综上有 ( n ? 1 )( 2 n ? 1 ) 4 9 n 3 (n ? 1)(2n ? 1) 4 9 n

例 6.已知 an ? 2n ? 1 , f ? x ? ? 2x ?1 证明:由于 bn f ? n ? ?



求证: Tn ? b1 f ?1? ? b2 f ? 2? ? ? ? bn f ? n ? ?

1 . 6

n ?1 n 1 1 ? 2 ? 1? ? ? 2 ? 1? 1 ? 1 1 ? n ?1 ? 2 ? ? ? ? n ? n ?1 ? n n ?1 n n ?1 2 ? 2 ? 1?? 2 ? 1? 2 ? 2 ?1 2 ?1? ? 2 ? 1?? 2 ? 1?

1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ? 1 Tn ? b1 f ?1? ? b2 f ? 2 ? ? ? ? bn f ? n ? ? ?? ? ? ? n?1 ? ? ??? ? ??? ? n 2 ?? 1 ? 2 1 ? 22 ? ? 1 ? 22 1 ? 23 ? 2 ? 1 2 ? 1 ?? ?

1? 1 1 ? 1 1 1 ? ? ? n ?1 ? ? ? ? . 2 ?1? 2 2 ?1? 2 1? 2 6
2 例 7. 已知 f ( x) ? x ? x ,数列 ?an ? 的首项 a1 ?

1 , a n ?1 ? f (a n ) . 2
1 1 1

(1) 求证: a n ?1 ? a n ;(2) 求证: n ? 6 时 1 ? 1? a ? 1? a ? ? ? 1? a ? 2 . 1 2 n
2 证明:⑴ an?1 ? an ? an ,∵ a1 ?

1 2 ,∴ a2 , a3 ,?an 都大于 0,∴ an ? 0 ,∴ a n ?1 ? a n . 2

(2)

1 a n?1

?

1 1 1 1 1 1 1 ,∴ .故 ? ? ? ? ? 1 ? a n a n a n?1 a ? a n an (1 ? a n ) an 1 ? an
2 n

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 2? 1 ? a1 1 ? a2 1 ? an a1 a2 a2 a3 an an?1 a1 an?1 an ?1 1 2 1 3 3 2 3 ∵ a 2 ? ( ) ? ? , a 3 ? ( ) ? ? 1 ,又∵ n ? 2 an?1 ? an ,∴ an?1 ? a3 ? 1 . 2 2 4 4 4
∴1 ? 2 ?

1 a n ?1

?2 ,

∴1 ?

1 1 1 ? ??? ? 2. 1 ? a1 1 ? a 2 1 ? an
1 1 1 1 n ? ? ? ??? ? n ? 2 3 4 2 ?1 2

四、分类放缩 例 8.当 n ? 3,n ? Z , 时,求证: 1 ?

,n ? 2 时不等式显然成立. 证明:当 n ? 1

1?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? n ? 1? ? ( 2 ? 2) ? ( 3 ? 3 ? 3 ? 3) ? ??? ? ( n ? n ? ??? ? n ) 2 3 4 2 ?1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

?

n . 2 2 n?2 1 1 1 7 [2 ? (?1) n ] .证明:对任意整数 m ? 4 ,有 ? ??? ? . 3 a 4 a5 am 8

例 9. 已知 an ?

分析:不等式左边很复杂,要设法对左边的项进行适当放缩,使之能够求和。
3

而左边=

1 1 1 3 1 1 1 ? ??? ? [ 2 ? 3 ? ? ? m? 2 ] ,如果我们把上式 a4 a5 am 2 2 ? 1 2 ? 1 2 ? (?1)m
1 1 1 1 ? 3 ? 2 ? 3 , 2 ?1 2 ?1 2 2
2

中的分母中的 ? 1 去掉,就可利用等比数列的前 n 项公式求和,由于-1 与 1 交错出现,容易 想到将式中两项两项地合并起来一起进行放缩,尝试知:

1 1 1 1 1 ? 4 ? 3 ? 4 ,因此,可将 2 保留,再将后面的项两两组合后放缩,即可 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 2
3

求和。这里需要对 m 进行分类讨论, (1)当 m 为偶数 (m ? 4) 时,

1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? ? ( ? ) ??? ( ? ) ? ? ( 3 ? 4 ? ? ? m?2 ) 2 2 2 2 2 a 4 a5 am a4 a5 a 6 am?1 am
? 1 3 1 1 1 3 7 ? ? (1 ? m ? 4 ) ? ? ? 2 2 4 2 8 8 2

(2)当 m 是奇数 (m ? 4) 时, m ? 1 为偶数,

1 1 1 1 1 1 1 1 7 ? ??? ? ? ? ??? ? ? . a 4 a5 a m a 4 a5 a 6 am am?1 8
所以对任意整数 m ? 4 ,有

7 1 1 1 ? 。 ? ??? a 4 a5 am 8

五、利用函数单调性(导数)放缩 例 10. 已知函数 f ( x) ? x ? ln ?1 ? x ? ,数列 ?an ? 满足 0 ? a1 ? 1, an?1 ? f ? an ? ; 数列

?bn ? 满足 b1 ? 2 , bn?1 ? 2 (n ? 1)bn ,

1

1

n ? N * .求证:

an 2 2 ; (Ⅲ) , 则当 n≥2 时, bn ? an ? n! . (Ⅰ)0 ? an?1 ? an ? 1;(Ⅱ)an ?1 ? 若 a1 ? 2 2
分析:第(1)问用数学归纳法证明;第(2)问利用函数的单调性;第(3)问进行放缩。 证明:(Ⅰ)先用数学归纳法证明 0 ? an ? 1 , n ? N .
*

(1)当 n=1 时,由已知得结论成立; (2)假设当 n=k 时,结论成立,即 0 ? ak ? 1 .则当 n=k+1 时, 因为 0<x<1 时, f ?( x) ? 1 ?

1 x ? ? 0 ,所以 f(x)在(0,1)上是增函数. x ?1 x ?1

又 f(x)在 ?0,1? 上连续,所以 f(0)<f( ak )<f(1),即 0< ak ?1 ? 1 ? ln 2 ? 1. 故当 n=k+1 时,结论也成立. 即 0 ? an ? 1 对于一切正整数都成立.
4

又由 0 ? an ? 1 , 得 an?1 ? an ? an ? ln ?1? an ? ? an ? ? ln(1? an ) ? 0 ,从而 an?1 ? an . 综上可知 0 ? an?1 ? an ? 1.

(Ⅱ)构造函数 g(x)=

x2 x2 ? ln(1 ? x) ? x , 0<x<1, -f(x)= 2 2

由 g ?( x) ?

x2 ? 0 ,知 g(x)在(0,1)上增函数. 又 g(x)在 ?0,1? 上连续,所以 g(x)>g(0)=0. 1? x an 2 a2 ? f ? an ? >0,从而 an ?1 ? n . 2 2

因为 0 ? an ? 1 ,所以 g ? an ? ? 0 ,即

(Ⅲ) 因为 b1 ?

n ?1 b 1 1 , bn ?1 ? (n ? 1)bn ,所以 bn ? 0 , n ?1 ? , 2 2 2 bn
————①

所以 bn ?

bn bn?1 b2 1 ? ? ? b1 ? n ? n ! bn?1 bn?2 b1 2

由(Ⅱ) an ?1 ?

an 2 a a a a a a a a a , 知: n?1 ? n , 所以 n = 2 ? 3 ? n ? 1 2 ? n ?1 , 2 a1 a1 a2 an?1 2 2 an 2 2

因为 a1 ?

2 , n≥2, 0 ? an?1 ? an ? 1. 2
a1 a2 an ?1 a n 2?a 2 1 ? ? a1 < n1?1 < n1 = n ————② 2 2 2 2 2 2

所以 an ?

由①② 两式可知: bn ? an ? n! . 例 11.求证: ln 2 ? ln 3 ? ln 4 ? ? ? ln 3
2 3 4 3
n n

? 3n ?

5n ? 6 (n ? N * ) . 6

证 明 : 先 构 造 函 数 有
n l 2n l 3n l 4n l 3n 1 1 1 ? ? ? ? ? n ? 3n ? 1 ? ( ? ? ? ? n ) 2 3 4 2 3 3 3

ln x? x ?1?

ln x 1 ?1? x x

, 从 而

因为 1 ? 1 ? ? ? 1
2 3

3n

1 1? ? 1 1? ? 1 1 1 1 1 1? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? n ? n ??? n ? 2 ?1 3 ? ? 2 3? ? 4 5 6 7 8 9? ?2

?

? 3 n ?1 5 ? 3 3? ? 9 9 ? 3 n ?1 ? 5n ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? n ? ? n ?1 ? 6 ? 6 9 ? ? 18 27 ? 3 ? ? 2?3 ? 6
n

所以 ln 2 ? ln 3 ? ln 4 ? ? ? ln 3
2 3 4 3
n

? 3n ? 1 ?

5n 5n ? 6 ? 3n ? 6 6

5

高考中利用放缩方法证明不等式,文科涉及较少,但理科却常常出现,且多是在压轴题 中出现。放缩法证明不等式有法可依,但具体到题,又常常没有定法,它综合性强,形式复 杂,运算要求高,往往能考查考生思维的严密性,深刻性以及提取和处理信息的能力,较好 地体现高考的甄别功能。 本文旨在归纳几种常见的放缩法证明不等式的方法, 以冀起到举一 反三,抛砖引玉的作用。 一、 放缩后转化为等比数列。 例 1. {bn } 满足: b1 ? 1, bn?1 ? bn 2 ? (n ? 2)bn ? 3 (1) 用数学归纳法证明: bn ? n (2)

Tn ?

1 1 1 1 1 ,求证: Tn ? ? ? ? ... ? 2 3 ? b1 3 ? b2 3 ? b3 3 ? bn

解:(1)略 (2) ?bn?1 ? 3 ? bn (bn ? n) ? 2(bn ? 3) 又 ?bn ? n

?bn?1 ? 3 ? 2(bn ? 3) , n ? N *
迭乘得: bn ? 3 ? 2n?1 (b1 ? 3) ? 2n?1

?

1 1 ? n?1 , n ? N * bn ? 3 2
1 1 1 1 1 1 1 ? 3 ? 4 ? ... ? n ?1 ? ? n ?1 ? 2 2 2 2 2 2 2 2

?Tn ?

点评:把握“ bn ? 3 ”这一特征对“ bn?1 ? bn 2 ? (n ? 2)bn ? 3 ”进行变形,然后去 掉一个正项, 这是不等式证明放缩的常用手法。 这道题如果放缩后裂项或者用数学归纳 法,似乎是不可能的,为什么?值得体味! 二、放缩后裂项迭加 例 2.数列 {an } , an ? ( ?1) 求证: s2 n ? 解: s2 n ? 1 ?
n ?1

1 ,其前 n 项和为 s n n

2 2
1 1 1 1 1 ? ? ? ... ? ? 2 3 4 2n ? 1 2n

6

令b n?

1 , {bn } 的前 n 项和为 Tn 2n(2n ? 1) 1 1 1 1 ? ( ? ) 2n(2n ? 2) 4 n ? 1 n

当 n ? 2 时, bn ?

? s2 n ? Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ( ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? ) 2 12 30 4 3 4 4 5 6 4 n ?1 n

?

7 1 2 ? ? 10 4n 2

点评:本题是放缩后迭加。放缩的方法是加上或减去一个常数,也是常用的放缩手 法。值得注意的是若从第二项开始放大,得不到证题结论,前三项不变,从第四项开始 放大,命题才得证,这就需要尝试和创新的精神。 例 3.已知函数 f ( x) ? ax ?

b ? c(a ? 0) 的图象在 (1, f (1)) 处的切线方程为 x

y ? x ?1
(1)用 a 表示出 b, c (2)若 f ( x) ? ln x 在 [1, ??) 上恒成立,求 a 的取值范围 (3)证明: 1 ? 解: (1) (2)略 (3)由(II)知:当 a ?

1 1 1 n ? ? ... ? ? ln(n ? 1) ? 2 3 n 2(n ? 1)

1 时, 有f ( x) ? ln x( x ? 1) 2 1 1 1 令 a ? , 有f ( x) ? ( x ? ) ? ln x( x ? 1). 2 2 x 1 1 且当 x ? 1时, ( x ? ) ? ln x. 2 x k ?1 ? ?1 1 k ?1 k 1 1 1 , 有 ln ? [ ? ] ? [(1 ? ) ? (1 ? )], 令x ? k k 2 k k ?1 2 k k ?1 1 1 1 ), k ? 1,2,3,? , n. 即 ln( k ? 1) ? ln k ? ( ? 2 k k ?1
将上述 n 个不等式依次相加得

ln(n ? 1) ?
整理得

1 1 1 1 1 ? ( ? ??? ) ? , 2 2 3 n 2(n ? 1)

1?

1 1 1 n ? ? ? ? ? ln(n ? 1) ? . 2 3 n 2(n ? 1)

7

点评:本题是 2010 湖北高考理科第 21 题。近年,以函数为背景建立一个不等关 系,然后对变量进行代换、变形,形成裂项迭加的样式,证明不等式,这是一种趋势, 应特别关注。当然,此题还可考虑用数学归纳法,但仍需用第二问的结论。 三、 放缩后迭乘 例 4. a1 ? 1, an ?1 ?

1 (1 ? 4an ? 1 ? 24an )(n ? N * ) . 16

(1) 求 a2 , a3 (2) 令 bn ? 1 ? 24an ,求数列 {bn } 的通项公式 (3) 已知 f (n) ? 6an?1 ? 3an ,求证: f (1) f (2) f (3)... f (n) ? 解: (1) (2)略 由(2)得 an ?

1 2

2 1 n 1 n 1 ( ) ?( ) ? 3 4 2 3 1 3 2 3 1 ? f ( n) ? n ? n ? 2 ? n ? n ? 1 ? 1 ? n 4 2 4 2 4 1 1 1 2 1 1 (1 ? n )(1 ? n ?1 ) 1 ? n ? n ? 2 n ?1 1 ? n 1 4 4 4 4 4 4 ?1 ? n ? ? ? 1 1 1 4 1 ? n ?1 1 ? n ?1 1 ? n ?1 4 4 4 1 1? n 4 ? f ( n) ? 1 1 ? n ?1 4 1 1 1 1 1? 1? 2 1? n 1? n 4 ? 4 ... 4 ? 4 ?1 ? f (1) f (2)... f (n) ? 1?1 1? 1 1? 1 2 2 n ?1 4 4

点评:裂项迭加,是项项相互抵消,而迭乘是项项约分,其原理是一样的,都似多 米诺骨牌效应。只是求 n 项和时用迭加,求 n 项乘时用迭乘。

8


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