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湖南省湘阴县第一中学2015-2016学年高一上学期期中考试数学试卷


湘阴一中 2015 年下学期高一年级期中考试 数 学 试 卷
命题人:郑光华 时 量:120 分钟 审题人:周建山 满 分:120 分

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分.在每小题的 4 个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.设全集 U ? ?1, 2,3, 4,5? , A ? ?1, 2? B ? ?2,3, 4? ,则 (CU A) ? B ? ( A. ?3, 4? B. ) D. ?1, 2,3, 4?

?3, 4,5?

C. )

?2,3, 4,5?

2.函数 y ? log3 (3 ? x) 的定义域为( A. (??,3] B. (??,3)

C. (3,??)

D. [3,??) )

3.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+ ∞)上单调递减的是( A. y ?
1 x

B. y ? ? x2 ? 1

C. y ? e? x

D. y ? lg | x |

4.将边长为 1 的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周,所得几何体的侧面 积是( A. 4? ) B. 3? C. ? D. 2? )

1 5. 已知幂函数 f ( x) ? x? 的图象过点 (2, ) ,则函数 f ( x) 的值域为( 2

A. (??, 0)

B. (0, ??)

C. (??,0) ? (0, ??)

D. (??, ??) )

6. 右图是一个几何体的三视图,则此几何体的直观图是(

正视图

侧视图

A

B

C

D ) C. c ? b ? a ) D.(2,3)
俯视图 (第 6 题)

7. 已知 a ? 30.4 , b ? 0.43 , c ? log0.4 3 ,则( A. b ? a ? c B. c ? a ? b

D. a ? c ? b

8. 函数 f ( x) ? ex ? x ? 2 的零点所在的区间为( A.(-1,0) B.(1,2)

C.(0,1)

9.已知函数 y ? f ( x) 在 R 上为奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x2 ? 2x , 则 f (?3) ? ( A.-3 ) B.3 C.15 )
3 ) 2

D.-15

10. 函数 f ( x) ? lg( x2 ? 3x ? 2) 的单调递增区间为( A. (-∞,1) B. (2,+∞) ) C. (-∞,

D. (

3 ,+∞) 2

11. 函数 y ? 2x ? x2 的图像大致是(

A

B

C

D

12.已知偶函数 f ? x ? 在区间 ?0, ??? 单调递减,则满足 f ? ln x? ? f ?1? 的 x 取值范围 是( )

?1 ? A. ? ,1? ?e ?

? 1? B. ? 0, ? ? ?1, ?? ? ? e?

?1 ? C. ? ,e ? ?e ?

D. (0,1) ? (e, ??)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.将答案填在题中横线上. 13.已知函数 y ? f ( x) 是 y ? a x (a ? 0且a ? 1) 的反函数,且函数 y ? f ( x) 的图象过 点 (9, 2) ,则 a ? . .

14.已知正方体的棱长为 1,则正方体的外接球的体积为

15.若函数 f ( x) ? x2 ? ax ? 1 在 (0, 2) 上有两个零点,则实数 a 的取值范围 为 .

?4 log 2 x , 0 ? x ? 2 ? 16.已知函数 f ( x) ? ? 1 2 ,若存在实数a, b, c, d 满足 x ? 5 x ? 12, x ? 2 ? ?2
f (a) ? f (b) ? f (c) ? f (d ), 其中d ? c ? b ? a ? 0 ,则 abcd 的取值范围





三、解答题:本大题共 6 小题,共 56 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. 17.(本题满分 8 分) 已知集合 A ? {x | 3 ? x ? 7}, B ? {x | x2 ?12x ? 20 ? 0} , C ? {x | x ? a} . (1)求 (?R A) ? B ; (2)若 A ? C ? A ,求 a 的取值范围.

18.(本题满分 8 分) 已知函数 f ( x) ?
1 ? x2 . x?2 ?2

(1)求函数 f ( x) 的定义域; (2)判断函数 f ( x) 的奇偶性,并说明理由.

19.(本题满分 8 分) 若函数 f ( x) ? loga x (0 ? a ? 1) 在区间 [2, 8] 上的最大值与最小值之差为 2 , 求 a 的值.

20.(本题满分 10 分) 某租赁公司拥有汽车 100 辆. 当每辆车的月租金为 3000 元时, 可全部租出. 当 每辆车的月租金每增加 50 元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每 月需要维护费 150 元,未租出的车每辆每月需要维护费 50 元. (1)当每辆车的月租金定为 3600 元时,能租出多少辆车? (2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是 多少?

21.(本题满分 10 分)
?cx ? 1 ? 已知函数 f ( x) ? ? ? x c2 ? ?2 ? 1 (0 ? x ? c) (c ? x ? 1)

,满足 f (c 2 ) ?

9 . 8

(1)求常数 c 的值; (2)解不等式 f ( x) ?
2 ? 1. 8

22.(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? log9 (9x ?1) ? kx(k ? R) 是偶函数. (1)求 k 的值; (2)若函数 y ? f ( x) 的图象与直线 y ?
1 x ? b 没有交点,求 b 的取值范围 . 2

4 3x ? a ) ,若函数 f ( x)与h( x) 的图象有且只有一个公共点, (3)设 h( x) ? log 9 (a ? 3

求实数 a 的取值范围.

湘阴一中 2015 年下学期高一年级期中考试
数 学 答 卷
时量:120 分钟 满分:120 分

一、选择题(48 分,每题 4 分) 座位号: 题号 答案 二、填空题(16 分,每题 4 分)
13. . . 14.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12

考场:

15 .



16.

三、解答题(56 分) (注意:超出矩形边框外的答案无效)
17.

班级:

姓名:

座位号 18.

19.

20.

21.

22.

湘阴一中 2015 年下学期高一年级期中考试数学
参考答案 一.选择题(48 分,每题 4 分)
题号 答案 1 C 2 B 3 B 4 D 5 C 6 D 7 C 8 B 9 A 10 B 11 A 12 C

二.填空题(16 分,每题 4 分)
13. 3 14.
3 ? 2

5 15. ( ? , ?2) 2

16. (16,24)

三.解答题
17.(8 分) 解: (1) Q A ? { x | 3 ? x ? 7} , B ? { x | x 2 ? 12 x ? 20 ? 0} ? { x | 2 ? x ? 10} ∴ ?R A ? { x | x ? 3或x ? 7} ∴

(?R A) ? B ? { x | 2 ? x ? 3或7 ? x ? 10}.

(2) Q A ? C ? A, ? A ? C

Q A ? { x | 3 ? x ? 7}, C ? { x | x ? a} ,

? a ? 7.
18. (8 分)

?1- x 2 ? 0 ? 由? , 解得: ? 1 ? x ? 1, 且x ? 0 解:(1) ? ? x ? 2 -2 ? 0
(2)函数 f(x)是奇函数,理由如下:

?函数的定义域为? x ?1 ? x ? 1, 且x ? 0?
1 ? x2 x

由(1)知,函数 f(x)的定义域关于原点对称,且 f ( x) ?

1 ? ( ? x) 2 1 ? x2 且 f(-x)= ?? ? ? f ( x) ?x x
∴ 函数 f(x)为奇函数. 19.(8 分) 解:因为 0 ? a ? 1 , 所以函数 f ( x) ? loga x 在区间 [ 2, 8] 上是减函数,

当 x ? 2 时有最大值 f (2) ? loga 2 ,当 x ? 8 时有最小值 f (8) ? loga 8 . 由已知得 即 log a

loga 2 ? loga 8 ? 2 .

1 1 ? 2 ,可得 a ? . 4 2 1 故 a? 2
3 600-3 000 =12, 50

20. (10 分) 解:(1)当每辆车的月租金定为 3 600 元时,未租出的车辆数为 所以这时租出了 100-12=88 辆车. (2)设每辆车的月租金定为 x 元,则租赁公司的月收益为

1 x-3 000 ? x-3 000 ? f(x)= ?100- ×50=- (x-4 050)2+307 050. ? (x-150)- 50 ? 50 50 ?
所以,当 x=4 050 时,f(x)最大,其最大值为 f(4 050)=307 050. 当每辆车的月租金定为 4 050 元时,月收益最大,其值为 307 050 元. 21. (10 分) 解:解:(1)因为 0 ? c ? 1 ,所以 c ? c ;
2

由 f (c ) ?
2

9 9 1 3 ,即 c ? 1 ? , c ? . 8 8 2

?1 1? ? ?? ? x ? ? ? 2 x ? 1, 2? ? ? (2)由(1)得 f ( x) ? ? ?? ? ?2?4 x ? 1, ? ≤ x ? 1? ? ?? ? ?
由 f ( x) ?

2 ? 1 得, 8
1 2 1 ?x? , 时,解得 2 4 2

当0 ? x ? 当

1 1 5 ≤ x ? 1 时,解得 ≤ x ? , 2 2 8

所以 f ( x) ?

? 2 5? 2 ? ? ? x ? ?. ? 1 的解集为 ? x 8? 8 ? 4 ? ?

22. (12 分) 解: (1)因为 y=f(x)为偶函数,所以?x∈R,f(﹣x)=f(x) , 即 log9(9﹣x+1)﹣kx=log9(9x+1)+kx 对于?x∈R 恒成立. 即 恒成立

即(2k+1)x=0 恒成立,而 x 不恒为零,所以 (2)由题意知方程



即方程 log9(9x+1)﹣x=b 无解.

令 g(x)=log9(9x+1)﹣x,则函数 y=g(x)的图象与直线 y=b 无交点. 因为 任取 x1、x2∈R,且 x1<x2,则 于是 ,从而 .

,即 g(x1)>g(x2) , 所以 g(x)在(﹣∞,+∞)是单调减函数. 因为 ,所以 .

所以 b 的取值范围是 (??, 0] . (3)由题意知方程 令 3x=t>0,则关于 t 的方程 有且只有一个正根. 若 a=1,则 ,不合,舍去; 有且只有一个实数根. (记为(*) )

若 a≠1,则方程(*)的两根异号或有两相等正根. 由 或﹣3;但 ,不合,舍去;而 ;

方程(*)的两根异号?(a﹣1)?(﹣1)<0,即﹣a+1<0,解得:a>1.
综上所述,实数 a 的取值范围{﹣3}∪(1,+∞) .


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