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湖南省衡阳县第一中学2015-2016学年高二数学上学期期中试题 文


衡阳县一中 2015 年下学期高二期中考试数学试题 文
分值 150 分 一、选择题 1. 数列 1,3,6,10,?的一个通项公式是(C )


时量 120 分钟

A. an=n2-(n-1) B . an=n2-1

C. an=

2.命题“ ? x0 ? (0, ??) , ln x0 ? x0 ? 1 ”的否定是( C A. ? x0 ? (0, ??) , ln x0 ? x0 ? 1 C. ? x ? (0, ??) , ln x ? x ? 1

n(n ? 1) n(n ? 1) D. an= 2 2
) B. ? x0 ? (0, ??) , ln x0 ? x0 ? 1 D. ? x ? (0, ??) , ln x ? x ? 1

3.设 x,y 满足约束条件

,则 z=2x-3y 的最小值是( B )

A.-7 B.-6 C.-5 D.-3 4.△ABC 中,已知 (a ? b ? c)(b ? c ? a) ? bc ,则 A 的度数等于( A ) A. 120 5.若直线
?

B. 60

?

C. 150

?

D. 30

?

x y ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 过点 (1,1) ,则 a ? b 的最小值等于( C ) a b
B.3 C.4 D.5 ( D.128 C )

A.2

6.设 {an} 是公比为正数的等比数列, 若 a1=1,a5=16,则数列 {an} 前 7 项的和为 A.63 B.64 C.127
2

b c ? R ,“ b 2 ? 4ac ? 0 ”是“函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 的图像恒在 x 轴上方” 7. 已知 a、、
的( D ) A.充分非必要条件 要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必

8.设 ??? C 中.若 a ? 2 , c ? 2 3 , cos ? ? A. 3 B. 2

3 ,且 b ? c ,则 b ? ( B ) 2
D. 3

C. 2 2

9.△ABC 中,

cos A a ? ,则△ABC 一定是( A ) cos B b
B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 )

A.等腰三角形

10.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 S3 ? 9 , S6 ? 36 ,则 a7 ? a8 ? a9 ? ( B A.63 B.45 C.36 D.27

1

11.已知 x ? 0 , y ? 0 , x,a,b,y 成等差数列, x,c,d,y 成等比数列,则 最小值是( D ) A. 0 B. 1 12.给出如下三个命题: ①设 a,b ? R,且 ab ? 0, 若

( a ? b) 2 的 cd

C. 2

D. 4

a b >1,则 <1; b a

②四个非零实数 a、b、c、d 依次成等比数列的充要条件是 ad=bc; ③在 Δ ABC 中,A>B 的充要条件是 sinA>sinB. 其中正确命题的序号是( C ) (A)①② (B)②③ (C)①③ 二、填空题: 13 不等式 ? x ? 3x ? 4 ? 0 的解集为
2

(D)①②③

? ?4,1?

. (用区间表示)

0 0 14.若 ?ABC 中, AC ? 3 , A ? 45 , C ? 75 ,则 BC ? __ 2 _____.

15. 若等比数列{an}的各项均为正数,且 a10a11+a9a12=2e ,则 ln a1+ln a2+?+ln a20 =__50______. 16.若 a , b 是函数 f ? x ? ? x ? px ? q ? p ? 0, q ? 0? 的两个不同的零点,且 a, b, ?2 这三
2

5

个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则 p ? q 的值等于 __9______.

2 适当排序后成等比 【解析】由韦达定理得 a ? b ? p , a ? b ? q ,则 a ? 0, b ?0 ,当 a, b, ?
4 .当适当排序后成等差数列时, ?2 必 a 4 4 不是等差中项,当 a 是等差中项时, 2a ? ? 2 ,解得 a ? 1 , b ? 4 ;当 是等差中项时, a a 8 ? a ? 2 ,解得 a ? 4 , b ? 1 ,综上所述, a ? b ? p ? 5 ,所以 p ? q ? 9 . a
数列时, ?2 必为等比中项,故 a ? b ? q ? 4 , b ? 三、解答题:
2 17. ( 本 题 满 分 10 分 ) 设 p : 方 程 x ? mx ? 1 ? 0 有 两 个 不 等 的 负 根 , q : 方 程

p ? q 为真, p ? q 为假,求 m 的取值范围. 4x2 ? 4(m ? 2) x ? 1? 无实根,若 0

? ? ? m2 ? 4 ? 0 解:若方程 x ? mx ? 1 ? 0 有两个不等的负根,则 ? , ? x1 ? x2 ? ?m ? 0
2

所以 m ? 2 ,即

p : m ? 2.
若方程 4 x ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无实根,则 ? ? 16(m ? 2) ? 16 ? 0 ,
2 2

即1 ? m ? 3 ,

所以 p :1 ? m ? 3 .
2

因为 p ? q 为真,则 p, q 至少一个为真,又 p ? q 为假,则 p, q 至少一个为假. 所以 p, q 一真一假,即“ p 真 q 假”或“ p 假 q 真” . 所以 ?

?m ? 2 ? m?2 或? ? m ? 1或m ? 3 ?1 ? m ? 3

所以 m ? 3 或 1 ? m ? 2 .

故实数 m 的取值范围为 (1, 2] ? [3, ??) . 18.(本小题满分 12 分)已知关于 x 的不等式 kx -2x+6k<0(k≠0). (1)若不等式的解集为{x|x<-3 或 x>-2},求 k 的值; (2)若不等式的解集为 R,求 k 的取值范围. 【解】 (1)∵不等式 kx -2x+6k<0 的解集为{x|x<-3 或 x>-2}, ∴x1=-3 与 x2=-2 是方程 kx -2x+6k=0(k≠0)的两根, -2 2 2 ∴- = =-3-2,∴k=- . k k 5 (2)若不等式的解集为 R,即 kx -2x+6k<0 恒成立,
? ?k<0 则满足? 2 ?Δ =4-24k <0 ?
2 2 2 2

,∴k<-

6 , 6

∴k∈{k|k<-

6 }. 6

19.已知 A 、 B 、 C 为 ?ABC 的三内角,且其对边分别为 a 、 b 、 c ,若

cos B cos C ? sin B sin C ?

1 . 2

(Ⅰ)求 A ; (Ⅱ)若 a ? 2 3, b ? c ? 4 ,求 ?ABC 的面积. 解: (Ⅰ)? cos B cos C ? sin B sin C ? 又? 0 ? B ? C ? ? ,? B ? C ? ( Ⅱ ) 由 余 弦

1 2

? cos( B ? C ) ?

?
3


1 2

? A ? B ? C ? ? ,? A ?


2? . 3


a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ? cos A

(2 3 ) 2 ? (b ? c) 2 ? 2bc ? 2bc ? cos
即 :

2? 3


1 12 ? 16 ? 2bc ? 2bc ? (? ) 2

? bc ? 4

? S ?ABC ?

1 1 3 bc ? sin A ? ? 4 ? ? 3. 2 2 2

20.已知{an}是首项为 1,公差为 2 的等差数列,Sn 表示{an}的前 n 项和. (1)求 an 及 Sn; 2 (2)设{bn}是首项为 2 的等比数列,公比 q 满足 q -(a4+1)q+S4=0,求{bn}的通项公 式及其前 n 项和 Tn.
3

解:(1)因为{an}是首项 a1=1,公差 d=2 的等差数列,所以 an=a1+(n-1)d=2n-1. n(a1+an) n(1+2n-1) 2 故 Sn=1+3+?+(2n-1)= = =n . 2 2 2 2 (2)由(1)得 a4=7,S4=16.因为 q -(a4+1)q+S4=0,即 q -8q+16=0, 2 所以(q-4) =0,从而 q=4. 又因为 b1=2,{bn}是公比 q=4 的等比数列, n-1 n-1 2n-1 所以 bn=b1q =2×4 =2 . b1(1-qn) 2 n 从而{bn}的前 n 项和 Tn= = (4 -1). 1-q 3

21.如图,位于 A 处的信息中心获悉:在其正东方向相距 40 海里的

B 处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知
在其南偏西 30 ? 、相距 20 海里的 C 处的乙船,现乙船朝北偏东 ? 的 方向沿直线 CB 前往 B 处救援,求 cos ? 的值. 解:由题意可知:在 ?ABC 中,∵ AB ? 40, AC ? 20, ?BAC ? 120? , ∴由余弦定理得: BC ? AB ? AC ? 2 AB ? AC ? cos ?BAC ? 2800 ? BC ? 20 7 .
2 2 2

在 ?ABC 中,由正弦定理得

AB BC AB 21 . ? ? sin ?ACB ? sin ?BAC ? sin ?ACB sin ?BAC BC 7

又由 ?BAC ? 120? 知, ?ACB 为锐角,从而 cos ?ACB ?

2 7 . 7 21 . 14

故由 ? ? ?ACB ? 30? ,及余弦的和角公式可得 cos ? ? cos(?ACB ? 30?) ? 22.设数列{an}的前 n 项为 Sn,点 (n, (1)求数列{an}的通项公式。 (2)设 bn ?

Sn ), (n ? N * ) 均在函数 y = 3x-2 的图象上. n

m 3 * ,Tn 为数列{bn}的前 n 项和,求使得 Tn ? 对所有 n ? N 都成 20 a n ? a n ?1

立的最小正整数 m. (1)∵点 ( n, 3分 ∴a1= s1 =1 当 n ? 2 时, an ? S n ? S n?1 ? (3n 2 ? 2n) ? [3(n ? 1) 2 ? 2(n ? 1)] ? 6n ? 5

Sn S ) 在函数 y = 3x-2 的图象上,? n ? 3n ? 2, 即S n ? 3n 2 ? 2n ???? n n

? an ? 6n ? 5 n ? N * ???????????????? 6 分 3 3 1 1 1 (2) bn ? ? ? ( ? ) ????8 分 a n ? an?1 (6n ? 5)(6n ? 1) 2 6n ? 5 6n ? 1
4

Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? [( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 2 1 7 7 13 13 19 6n ? 5 6n ? 1 1 1 ? (1 ? ) 2 6n ? 1 1 1 m 1 m )? (n ? N * ) 成立的 m 必须且仅需满足 ? 即m ? 10 , 因此,使得 (1 ? 2 6n ? 1 20 2 20
故满足要求的最小整数 m 为 10.????????12 分

5


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