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黑龙江省哈三中2011-2012学年高二下学期期中考试--数学理


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哈三中 2011-2012 学年度下学期 高二学年第一模块考试数学试卷(理工类)
考试说明:本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时 间 120 分钟. (1)答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚; (2)选择题必须使用 2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔 书写, 字体工整, 字迹清楚; (3)请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效, 在草稿纸、试题卷上答题无效; (4)保持卡面清洁,不得折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、刮纸刀.

第I卷

(选择题, 共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.)
x 1. 已知函数 f ( x) ? xe 的导函数为 f ?( x) ,则 f ?( x) ? 0 的解集为

A. (??,?1)

B. (0,??)

C. (?1,??)

D. (??,0)

2. 某社区有 5000 户家庭,其中高收入家庭 1250 户,中等收入家庭 2800 户,低收入家庭 950 户,为了调查社会消费力的指标,采用分层抽样的方法从中抽取 1个容量若干的样本,若 高收入家庭抽取了 125 户,则低收入家庭被抽取的户数为 A. 500 B. 280 C. 125 D. 95 3. 已知函数 f ( x) ? x ln x ,若 f ?( x0 ) ? 1 ,则 x0 的值等于 A.

1 e

B. 1

C. e

D. e

2

4. 随机抽取某中学甲乙两班各 11 名同学,测量他们的身高(单位:厘米),获得身高数据的 茎叶图如图所示,则甲乙两班各 11 名同学身高的中位数之和为 A. 343 B. 340 甲班 3 9 8 9 8 1 3 2 0 2 8 18 17 16 15 乙班 1 0 2 3 5 6 8 8 9 9 C. 358 D. 349

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5. 已知随机变量 ? 服从正态分布 N 2, ? 2 , P?? ? 4? ? 0.8 ,则 P?? ? 0? ? A. 0 . 2 6. 曲线 y ? B. 0 . 4 C. 0 . 7 D. 0.8

?

?

x 在点 (0,0) 处的切线方程为 x ?1 1 A. y ? ? x B. y ? x C. y ? x 2

D. y ? 2 x

7. 已知函数 f ( x) 的导函数为 f ?( x) ,满足 f ( x) ? 2 xf ?(2) ? x 3 ,则 f ?(2) 等于 A. ? 8 B. ? 12 C. 8 D. 12

8. 函数 f ( x ) 的导函数图像如图所示,则函数 f ( x) 的极小值点个数有

y

A. 0 个 C. 2 个 9.

B. 1 个 D. 3 个

?

?

2 0

(cos x ? sin x)dx 等于
B. 1 C. ? 1

O

x
2 2

A. 0

D.

10. 2012 年,我校从国外引进一套新型教学设备,已知该设备的最佳使用年限是年均消耗费 用最低的年限(年均消耗费用=年均成本费用+年均保养费) .设买该装备总费用为 99900 元,前 x 年总保养费用 y 满足 y ? 50x ? 1000x ? 100 .则这种设备最佳使用年限为
3

A. 9 年

B. 10 年

C. 11 年

D. 12 年

3 2 11.由直线 y ? ? x 和曲线 y ? x ? 4x ? 4x ? 2 围成的图形的面积为

A.

1 2

B.

1 4

C.

1 9

D.

1 12

12.函数 f ( x) 的导函数为 f ?( x) ,对任意的 x ? R 都有 2 f ?( x) ? f ( x) 成立,则 A. 3 f (2 ln 2) ? 2 f (2 ln 3) C. 3 f (2 ln 2) ? 2 f (2 ln 3) B. 3 f (2 ln 2) ? 2 f (2 ln 3) D. 3 f (2 ln 2) 与 2 f (2 ln 3) 的大小不确定

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在题后的横线上. ) 13. 函数 y ? x ? 3x 在 x 等于
3 2

处取得极小值.

14. 某高中采用系统抽样的方法从该校高一年级 1600 名学生中抽取 50 名学生作视力健康检 查.现将 1600 名学生从 1 到 1600 进行编号.已知从 65 ~ 96 这 32 个数中取的数是 78 , 则在第 1 小组 1 ~ 32 中抽到的数是 .
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15. 某同学 5 次考试的成绩分别为 x, y,100,110,90 ,已知这 5 次成绩的平均数为 100 ,方差为

200 ,则 | x ? y | 的值为
16. 已知 f ( x) ? ? x ? x ln x ? m, g ( x) ? ?



3 3e x ,若任取 x1 ? (0, ) ,都存在 2 2 3 ? 4x


3 x 2 ? (0, ) ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,则 m 的取值范围为 2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17. (本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? ax 2 ? 3 x ,其中 a ? R ,且 x ? 1 是函数 y ? f ( x) 的极值点. 3

(Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 在 [0,4] 的最大值.

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18. (本小题满分 12 分) 哈三中数学教研室对高二学生的记忆力 x 和判断力 y 进行统计分析,所得数据如下表所 示:

x y

6

2

8 3

10 5

12
6

(Ⅰ)请画出上表数据的散点图;

?x ? a ? ?b ?; (Ⅱ)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y
(Ⅲ)根据(Ⅱ)中求出的线性回归方程,预测记忆力为 11 的学生的判断力.

?? (参考公式: b

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y ? nx
2

?x
i ?1

?x ) ? ? y ?b ,a

2 i

y

6 5 4 3 2 1 O

2

4

6

8 10 12

x

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19.(本小题满分 12 分) 在对哈三中高二学生喜欢学的科目的一次调查中, 共调查了 200 人, 其中男同学 120 人, 女同学 80 人,男同学中有 80 人喜欢学数学,另外 40 人喜欢学语文;女同学中有 30 人 喜欢学数学,另外 50 人喜欢学语文. (Ⅰ)填表,完成 2 ? 2 列联表; 喜欢科目 性别 女 男 总计 (Ⅱ)能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为性别与喜欢科目有关系? 参考公式 K
2 2 ? a ? b ? c ? d ??ad ? bc? ? ?a ? b??c ? d ??a ? c??b ? d ?

数学

语文

总计

P K2 ?k

?

?

0.25 1.323

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k

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20. (本小题满分 12 分) 某校从高二期中考试的学生中随机抽取 100 名学生,得到其数学成绩如下表所示. (Ⅰ)请在频率分布表中的①、②、③位置填上相应的数据,并补全频率分布直方图, 再根据频率分布直方图估计众数和平均数的值; (Ⅱ)若按成绩分层抽样,抽取 20 名同学参加市里数学测试,再从这 20 名学生成绩中 抽取 3 名同学的成绩,求 3 人中只有 1 人成绩低于 120 分的概率. 分组 频数 ① 频率

[100,110) [110,120)
[120,130) [130,140)

0.050 0.200


20


30
10

0.300

[140,150]
合计 频率 组距

0.100
1.000

100

0.035 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005
O 100 110 120 130 140 150
数学成绩

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21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? (1 ? a ) ln x ?

1 2 ax ? x (a ? 0) . 2

(Ⅰ)讨论函数 f ( x) 的单调性; (Ⅱ)若存在 x0 ? (0,1] ,使得 M ( x0 , f ( x0 )) 处的切线 l 穿过 M 点(即动点在点 M 附近 沿曲线 y ? f ( x) 运动,经过点 M 时,从 l 的一侧进入另一侧) ,求实数 a 的取值范 围.

22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2x 2 ? 4 x ? 4 ? x ln x ? 8m , m 为实数. (Ⅰ)证明:当 x ? [1,??) 时, f ( x) ? ( x ? 1) ln x ? x ? 8m ? 1 恒成立; (Ⅱ)当 x ? 2 时, f ( x) ? 4m x 恒成立,求整数 m 的最大值.

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哈三中 2011-2012 学年度下学期 高二学年第一学段数学(理工类)答案
一、 选择题 1 C 13. 2 15. 40 三、解答题 17.解: (Ⅰ) a ? 2 (Ⅱ) 2 D 3 B 4 B 5 A 6 C 14. 14 16. (1 ? 7 B 8 B 9 A 10 B 11 D 12 B

二、 填空题

3 e ,?? ) 4

4 3

? ? 0.7 x ? 2.3 ; 18.解: (Ⅰ)图略(Ⅱ) y (Ⅲ) 5.4
19. 解: (Ⅰ)图略 (Ⅱ) K ?
2

200(80 ? 50 ? 30 ? 40) 2 ? 6.635 80 ? 90 ? 110? 120

则有 99 % 把握认为“性别和喜欢科目有关系”. 20.解: (Ⅰ) ① ? 5 ,② ? 35 ③ ? 0.350 图略, 众数 125 ,平均值 127 (Ⅱ)

35 76

21. 解: (I) a ? 0 时, (0,1) 递增, (1,??) 递减

1 1? a a ? (0, ) 时, (0,1) 递增, (1, ) 递减, (1,??) 递增 2 a 1 a ? 时, (0,??) 递增 2 1 1? a 1? a a ? ( ,1) 时, (0, ) 递增, ( ,1) 递减, (1,??) 递增 2 a a

a ? [1,??) 时, (0,1) 递减, (1,??) 递增
(II)

1 ? a ?1 2

22. 解: (I)证明略 (II)最大整数为 3

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