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【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版)选修1-1练习:1章 常用逻辑用语 综合素质检测]


第一章综合素质检测
时间 120 分钟,满分 150 分。

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.命题“对任意的 x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是( A.不存在 x∈R,x3-x2+1≤0 B.存在 x∈R,x3-x2+1≥0 C.存在 x∈R,x3-x2+1>0 D.对任意 x∈R,x3-x2+1>0 [答案] C [解析] 全称命题的否定是特称命题,将“任意”改为“存在”,将“≤”改为“>”. 2.若命题“p∨q”为真命题,“? p”为真命题,则( A.p 真 q 真 C.p 真 q 假 [答案] B [解析] ∵“? p”为真命题,∴p 为假命题,又“p∨q”为真命题,∴q 为真命题. 1 3.设 a∈R,则“a>1”是“ <1”的( a A.充分不必要条件 C.充要条件 [答案] A 1 1 [解析] a>1? <1, <1?/ a>1,故选 A. a a 4.有下列四个命题 ①“若 b=3,则 b2=9”的逆命题; ②“全等三角形的面积相等”的否命题; ③“若 c≤1,则 x2+2x+c=0 有实根”; ④“若 A∪B=A,则 A?B”的逆否命题. 其中真命题的个数是( A.1 C.3 [答案] A [解析] “若 b=3,则 b2=9”的逆命题:“若 b2=9,则 b=3”,假; ) B.2 D.4 ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 B.p 假,q 真 D.p 假 q 假 ) )

“全等三角形的面积相等”的否命题是:“不全等的三角形,面积不相等”,假; 若 c≤1,则方程 x2+2x+c=0 中,Δ=4-4c=4(1-c)≥0,故方程有实根; “若 A∪B=A,则 A?B”为假,故其逆否命题为假. 5.命题“所有奇数的立方是奇数”的否定是( A.所有奇数的立方不是奇数 B.不存在一个奇数,它的立方是偶数 C.存在一个奇数,它的立方是偶数 D.不存在一个奇数,它的立方是奇数 [答案] C [解析] “所有奇数的立方是奇数”的否定是“存在一个奇数的立方不是奇数”,故选 C. 6.“若 a⊥α,则 a 垂直于 α 内任一条直线”是( A.全称命题 C.不是命题 [答案] A [解析] 命题中含有全称量词,故为全称命题,且是真命题. 7.“B=60° ”是“△ABC 三个内角 A、B、C 成等差数列”的( A.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 [答案] B [解析] 在△ABC 中,若 B=60° ,则 A+C=120° , ∴2B=A+C,则 A、B、C 成等差数列; 若三个内角 A、B、C 成等差,则 2B=A+C, 又 A+B+C=180° ,∴3B=180° ,B=60° . 8.“a<0”是“方程 ax2+2x+1=0 至少有一个负数根”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 [答案] A [解析] 当 a<0 时,Δ=4-4a>0, ∴方程 ax2+2x+1=0 有两个不等实根,不妨设两根分别为 x1、x2. 2 则 x1+x2=- >0, a 1 x1x2= <0, a 故方程 ax2+2x+1=0 有一正根一负根. B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) B.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ) ) )

B.特称命题 D.假命题

1 当 a=0 时,方程 ax2+2x+1=0 有一负根为- , 2 ∴a<0?方程 ax2+2x+1=0 至少有一个负数根, 方程 ax2+2x+1=0 至少有一个负数根?/ a<0,故选 A. 9.“a=-1”是方程“a2x2+(a+2)y2+2ax+a=0”表示圆的( A.充分非必要条件 C.充要条件 [答案] C [解析] 当 a=-1 时,方程为 x2+y2-2x-1=0, 即(x-1)2+y2=2 表示圆, 若 a2x2+(a+2)y2+2ax+a=0 表示圆,则应满足
2 ? ?a =a+2≠0 ? ,解得 a=-1,故选 C. 2 3 ??2a? -4a >0 ?

)

B.必要非充分条件 D.既非充分也非必要条件

10.若集合 A={1,m2},B={2,4},则“m=2”是“A∩B={4}”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 [答案] A B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

)

[解析] 由“m=2”可知 A={1,4},B={2,4},所以可以推得 A∩B={4},反之,如果 “A∩B={4}”可以推得 m2=4, 解得 m=2 或-2, 不能推得 m=2, 所以“m=2”是“A∩B ={4}”的充分不必要条件. 11.下列命题中的真命题是( π A.?x∈[0, ],sinx+cosx≥2 2 C.?x∈R,x2+x=-1 [答案] D π π [解析] ∵对任意 x∈R, 有 sinx+cosx= 2sin(x+ )≤ 2, ∴A 假; ∵x∈( , π)时, tanx<0, 4 2 1 3 sinx>0,∴B 假;∵x2+x+1=(x+ )2+ >0,∴方程 x2+x=-1 无解,∴C 假;∵x2+2x- 2 4 (4x-3)=x2-2x+3=(x-1)2+2≥2,∴对任意 x∈R,x2+2x-(4x-3)>0 恒成立,故 D 真. 12.下列命题错误的是( ) ) π ? B.?x∈? ?2,π?,tanx>sinx D.?x∈R,x2+2x>4x-3

A.命题“若 m>0,则方程 x2+x-m=0 有实根”的逆否命题为“若方程 x2+x-m=0 无实根,则 m≤0” B.对于命题 p:“?x∈R,使得 x2+x+1<0”,则? p:“?x∈R,均有 x2+x+1≥0” C.若 p∧q 为假命题,则 p、q 均为假命题 D.“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件

[答案] C [解析] 若 p∧q 为假命题,则 p、q 均为假命题,或 p、q 一真一假,故选 C. 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,将正确答案填在题中横线上) 13.命题“?x∈[-2,3],-1<x<3”的否定是________. [答案] ?x∈[-2,3],x≤-1 或 x≥3 [解析] 全称命题的否定是特称命题,将“?”改为“?”,将“-1<x<3”改为“x≤ -1 或 x≥3”. 14.命题“?x∈(-1,1),2x+a=0”是真命题,则 a 的取值范围为________. [答案] (-2,2) [解析] 设 f(x)=2x+a,由题意得函数 f(x)在(-1,1)内有零点, ∴(a+2)(a-2)<0,∴-2<a<2. 15.给出命题:“若函数 y=f(x)是幂函数,则函数 y=f(x)的图象不过第四象限”.在 它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是________. [答案] 1 [解析] 因为命题:“若函数 y=f(x)是幂函数,则函数 y=f(x)的图象不过第四象限”是 真命题,其逆命题“若函数 y=f(x)的图象不过第四象限,则函数 y=f(x)是幂函数”是假命 题,如函数 y=x+1.再由互为逆否命题真假性相同知,在它的逆命题、否命题、逆否命题三 个命题中,真命题的个数是 1. 16.给出下列四个命题: ①?x∈R,x2+2x>4x-3 均成立; ②若 log2x+logx2≥2,故 x>1; c c ③命题“若 a>b>0,且 c<0,则 > ”的逆否命题是真命题; a b ④“a=1”是“直线 x+y=0 与直线 x-ay=0 互相垂直”的充分不必要条件. 其中正确的命题为________(只填正确命题的序号). [答案] ①②③ [解析] ①中,x2+2x>4x-3?x2-2x+3>0?(x-1)2+2>0,故①正确. ②中,显然 x≠1 且 x>0 若 0<x<1,则 log2x<0,logx2<0,从而 log2x+logx2<0,与已知 矛盾,故 x>1,故②正确 c c ③中,命题“若 a>b>0,且 c<0,则 > ”为真命题,故其逆否命题是真命题,∴③正 a b 确. ④“a=1”是直线 x+y=0 与直线 x-ay=0 互相垂直的充要条件,故④不正确. 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本题满分 12 分)判断下列命题的真假:

(1)?x∈R,2x>0; (2)?x∈Q,x2-3x-1 是有理数; (3)?x∈N,2x=x2; (4)?x、y∈Z,x2+y2=10. [解析] (1)真命题,对任意的 x,2x>0 恒成立. (2)真命题,对于任意的有理数 x,x2-3x-1 都是有理数. (3)真命题,x=2,4 时,2x=x2 成立. (4)真命题,x=1,y=3 时,x2+y2=10 成立. (1)(2)(3)(4)都是真命题. 18. (本题满分 12 分)写出命题“若 x2+7x-8=0, 则 x=-8 或 x=1 的逆命题、 否命题、 逆否命题,并分别判断它们的真假.” [解析] 逆命题:若 x=-8 或 x=1,则 x2+7x-8=0. 逆命题为真. 否命题:若 x2+7x-8≠0,则 x≠-8 且 x≠1. 否命题为真. 逆否命题:若 x≠-8 且 x≠1,则 x2+7x-8≠0. 逆否命题为真. 19.(本题满分 12 分)判断下列命题是全称命题还是特称命题,并判断其真假. (1)对数函数都是单调函数; (2)至少有一个整数,它既能被 11 整除,又能被 9 整除; 1 (3)?x∈{x|x>0},x+ ≥2; x (4)?x0∈Z,log2x0>2. [解析] (1)本题隐含了全称量词“所有的”, 其实命题应为“所有的对数函数都是单调 函数”,是全称命题,且为真命题. (2)命题中含有存在量词“至少有一个”,因此是特称命题,真命题. (3)命题中含有全称量词“?”,是全称命题,真命题. (4)命题中含有存在量词“?”,是特称命题,真命题. 20.(本题满分 12 分)对于下列命题 p,写出? p 的命题形式,并判断? p 命题的真假: (1)p:91∈(A∩B)(其中全集 U=N*,A={x|x 是质数},B={x|x 是正奇数}); (2)p:有一个素数是偶数; (3)p:任意正整数都是质数或合数; (4)p:一个三角形有且仅有一个外接圆. [解析] (1)? p:91?A 或 91?B;假命题.

(2)? p:所有素数都不是偶数;假命题. (3)? p:存在一个正整数不是质数且不是合数;真命题. (4)? p:存在一个三角形至少有两个外接圆或没有外接圆;假命题. 21.(本题满分 12 分)设命题 p:(4x-3)2≤1;命题 q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若? p 是? q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围. 1 [解析] 由(4x-3)2≤1,得 ≤x≤1, 2 1 令 A={x| ≤x≤1}. 2 由 x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,得 a≤x≤a+1, 令 B={x|a≤x≤a+1}. 由? p 是? q 的必要不充分条件,得 p 是 q 的充分不必要条件,即 A B, 1 ? ?a≤2 1 ∴? ,∴0≤a≤ . 2 ? ?a+1≥1 1 ∴实数 a 的取值范围是[0, ]. 2 2 22.(本题满分 14 分)(2014· 马鞍山二中期中)设命题 p:f(x)= 在区间(1,+∞)上是 x-m 减函数;命题 q:x1,x2 是方程 x2-ax-2=0 的两个实根,且不等式 m2+5m-3≥|x1-x2| 对任意的实数 a∈[-1,1]恒成立,若(? p)∧q 为真,试求实数 m 的取值范围. [解析] 对命题 p:x-m≠0,又 x∈(1,+∞),故 m≤1, 对命题 q:|x1-x2|= ?x1+x2?2-4x1x2= a2+8对 a∈[-1,1]有 a2+8≤3, ∴m2+5m-3≥3?m≥1 或 m≤-6. 若(? p)∧q 为真,则 p 假 q 真,
? ?m>1, ∴? ∴m>1. ?m≥1或m≤-6, ?


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