kl800.com省心范文网

龙泉中学2013届高三周练理科数学试卷(16)


龙泉中学 2013 届高三周练理科数学试卷(16)
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。请将正确的答案填在答题卡上。 ) 22? 1、.若 {a n } 为等差数列, S n 是其前 n 项和,且 S11 ? ,则 tan a 6 的值为 ( ) 3 A. 3 B. ? 3 C. ? 3

8. 已知三棱锥 S ? ABC 中,底面 ABC 为边长等于 2 的等边三角形, SA 垂直于底面 ABC , SA =3, 那么直线 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值为 ( ) A.

3 4

B.

5 4

C.

7 4
0

D.

3 4
0

2、设 l , m 是两条不同的直线, ? 是一个平面,则下列命题正确的是 ( A.若 l ? m , m ? ? ,则 l ? ? C.若 l //? , m ? ? ,则 l //m

3 D. ? 3

9、 平行四边形 ABCD 中, AB=AC=1, ?ACD ? 90 ,将它沿对角线 AC 折起, AB 和 CD 成 60 角, 使 , 则 B,D 之间的距离为( ) B.

) A.2

B.若 l ? ? , l //m ,则 m ? ? D.若 l //? , m//? ,则 l //m

2

C. 2 或 2

D.2 或 4

10.已知 O 为平面上的一个定点,A、B、C 是该平面上不共线的三个动点,点 P 满足条件:

3、某几何体的三视图如图所示,其中正视图是腰长为 2 的等腰三角形,侧视图是半径为 1 的半圆,该 几何体的体积为( ) S

??? ???? ? ??? ? ???? ??? OB ? OC ? AB AC ? 则动点 P 的轨迹一定通过 ?ABC 的( OP ? ?? ( ??? ? ???? ), ? ? (0, ??) , 2 | AB | cos B | AC | cos C
A.重心 B.垂心 C.外心 D.内心

)

二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11、 PA, PB, PC 是从点 P 引出的三条射线,每两条的夹角都是 60 ? ,则直线 PC 与平面 A. A O B E C

3 ? 3

B.

3 ? 6

C.

3 ? 2

D. 3?

D

PAB 所成角的余弦值为______
12、一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 45°,腰和上底长均为 1 的等腰梯形,则这个平面图形的面积是 .

4、 已知 O 为正方形 ABCD 的中心,S 为平面 ABCD 外一点, 且 SO ? 平面 ABCD,E 是 BC 的中点,动点 P 在侧面 SCD 上 运动且总有 PE ? AC,则动点 P 的轨迹是( ) A. SC 的中点 B. 点 S 与 CD 中点的连线 C. SC 的中点与 CD 中点的连线 D. 线段 SC 5、设集合 A ?

(第 4 题图)

OB , 两两垂直, OA > OB > OC , OC 13、 如图, 在三棱锥 O ? ABC 中, 三条棱 OA , 且 分别经过三条棱 OA , OB , OC 作一个截面平分三棱锥的体积,截面面积依次
为 S1 , S2 , S3 ,则 S1 , S2 , S3 的大小关系为 。
2 .现有 2

?? x, y ? || x | ? | y |? 1? , B ? ?? x, y ? ( y ? x)( y ? x) ? 0? , M ? A ? B ,若动点


P( x, y ) ? M ,则 x2 ? ( y ? 1)2 的取值范围是(
A. [ , ] 6、已知等差数列 过原点 A.100 ) ,则

14.如图,正方体 ABCD- A1B1C1D1 的棱长 为 1,线段 B1D1 上有两个动点 E、F,且 EF ? 如下四个结论: ① ? BE; AC ② EF//平面 ABCD; ③ 三棱锥 A-BEF 的 体积为定值; ④ 异面直线 AE、BF 所成的角为定 值. 其中正确结论的序号是 . C1 D1
1 1

E F A1

B1
1

1 5 2 2

B. [

2 5 , ] 2 2

的前 项和为 =( ) B. 101

10 2 10 D. [ ] , ] 2 2 2 ??? ? ??? ? ??? ? ,若 OB ? a1OA ? a 200OC ,且 A、B、C 三点共线(该直线不
C. [ , C. 200 D. 201

1 2

C D A

B

15、 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数, 设 对任意的 x ? R , 都有 f (2 ? x) ? f ( x ? 2) , 且当 x ? [?2, 0] 时,

7、已知 S , A, B, C 是球 O 表面上的点, SA ? 平面ABC , AB ? BC , SA ? AB ? 1 , BC ? 2 , 则球 O 的表面积等于( ) A.4 ? B.3 ? C.2 ? D. ?

?1? 若关于 x 的方程 f ( x) ? loga ( x ? 2) ? 0 ? a ? 1? 在区间 (?2, 6] 内恰有三个不同实 f ( x) ? ? ? ? 1 , ?2? 根,则实数 a 的取值范围是 .

x

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16. (本小题 满分 12 分) 如图,平面 EFGH 分别平行于 CD、AB,E、F、G、H 分别在 BD、BC、AC、AD 上,且 CD=a, AB=b,CD⊥AB.(1)求证:四边形 EFGH 是矩形. D (2)设

DE ? ? (0 ? ? ? 1) ,问 ? 为何值时,四边形 EFGH 的面积最大? DB
H E G A (第 16 题图) B F C

19、 (本小题满分 12 分) O 已知在四棱锥 P ? ABCD 中, 侧面 PAB ? 底面 ABCD , 为 AB 中点,AD // BC ,AB ? BC , PA ? PB ? BC ? AB ? 2 , AD ? 3 。 (1)求证: CD ? 平面 POC ; P (2)求二面角 O ? PD ? C 的余弦值。

A

D

O
B
第 19 题图

C

17、 (本小题满分 12 分)已知 ?ABC 中, | AC |? 1 , ?ABC ? 120 , ?BAC ? ? ,
0

20、 (本小题满分 13 分)如图,四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形,每条侧棱的长都是 底面边长的 2 倍,P 为侧棱 SD 上的点。 (1)求证:AC⊥SD; (2)若 SD⊥平面 PAC,求二面角 P-AC-D 的大小 (3)在(2)的条件下,侧棱 SC 上是否存在一点 E,使得 BE∥平面 PAC。 若存在,求 SE:EC 的值;若不存在,试说明理由。 B

S

记 f (? ) ? AB ? BC , (1)求 f (? ) 关于 ? 的表达式; (2)求 f (? ) 的值域; B 120° A

??? ??? ? ?

P A D

?



C

18. 如图 1,在矩形 ABCD 中,AB=4,BC=3,沿对角线 AC 把矩形折成二面角 D-AC-B(如图 2), 并且 D 点在平面 ABC 内的射影恰好落在 AB 上. (1)求证:AD⊥平面 DBC; (2)求二面角 D-AC-B 的正弦值.

21、 (本小题满分 14 分)设 Sn 是正项数列 ?an ? 的前 n 项和,且 Sn ? an 2 ? an ? (1)求证数列 ?an ? 为等差数列并求数列 ?an ? 的通项公式;

1 4

1 2

3 . 4

(2)是否存在等比数列 ?bn ? ,使 a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn ? ? 2n ?1? ? 2n?1 ? 2 对一切正整 数都成立?并证明你的结论; (3)设 cn ?

1 1 ( n? N* ) ,且数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn ,试比较 Tn 与 的大小。 1 ? an 6

龙泉中学 2013 届高三周练理科数学试卷(16)参考答案
命题:张建军 一、选择题(50 分) 1 序号 B 答案 2 B 3 A 4 C 5 A 审核:李祖安 6 A 7 A 8 D 9 C 10 C

??? ???? ? OB ? OC ???? 10. 解析:设线段 BC 的中点为 D,则 ? OD , 2 ??? ???? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? OB ? OC ? ???? AB AC AB AC ? ? ? ? ∴ OP ? ?? ( ??? ? ??? ) ? OD ? ? ( ??? ? ??? ), 2 | AB | cos B | AC | cos C | AB | cos B | AC | cos C ??? ? ??? ? ??? ???? ? ??? ? AB AC ? ? ∴ OP ? OD ? ? ( ??? ? ??? ) ? DP , | AB | cos B | AC | cos C ??? ? ??? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ? AB AC AB ? BC AC ? BC ? ? ? ? ∴ DP ? BC ? ? ( ??? ? ??? ) ? BC ? ? ( ??? ? ??? ) | AB | cos B | AC | cos C | AB | cos B | AC | cos C ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ? ??? ? | AB || BC | cos(? ? B) | AC || BC | cos C ??? ? ??? ? ? ?( ? ) ? ? (? | BC | ? | BC |) ? 0 , | AB | cos B | AC | cos C ∴ DP ? BC , 即点 P 一定在线段 BC 的垂直平分线上, 即动点 P 的轨迹一定通过 ?ABC 的外心.
二、填空题: 11.

1 ? 1 ? ? s i n?(? ) ? (0 ? ? ? ) 2 …………………………………7 分 3 6 6 3 ? ? ? 5? (2)由 0 ? ? ? ? ? 2? ? ? ; …………………………………8 分 3 6 6 6 1 ? ∴ ? sin( 2? ? ) ? 1 ;……………………………………………………10 分 2 6 1 ∴ f (? ) ? (0, ] ………………………………………………………………12 分 6
18. (1)证明:设点 D 在 AB 上的射影为 H,则 DH⊥平面 ABC. 又 BC?平面 ABC,∴DH⊥BC. ∵BC⊥AB,DH∩AB=H,∴BC⊥平面 ADB,∴BC⊥AD.又∠ADC=90° , 即 AD⊥DC,BC∩DC=C,∴AD⊥平面 DBC. (2)解:由(1)知,DH⊥平面 ABC,在平面 ABC 内过点 H 作 HE⊥AC 于点 E,连接 DE,则 DE⊥AC, ∴∠DEH 为所求二面角 D-AC-B 的平面角. AD· DC 3×4 12 在 Rt△ADC 中 ,DE= = = . AC 5 5 由(1)知,AD⊥平面 DBC,∴AD⊥BD,∴BD= AB2-AD2= 7. AD· BD 3× 7 3 7 在 Rt△ADB 中,DH= = = . AB 4 4 3 7 4 DH 5 7 5 7 在 Rt△DHE 中,sin ∠DEH= = = ,即二面角 D-AC-B 的正弦值为 . DE 12 16 16 5 点拨:解决翻折问题的步骤:①分别画出平面图形和翻折后的立体图形; ②弄清在翻折过程中,哪些量不变,哪些量发生了变化;③根据不变量和已知的条件,求出需求 的量. 19 解: (Ⅰ)证明:? PA ? PB ? AB , O 为 AB 中点 ? PO ? AB ? 侧面 PAB ? 底面 ABCD , PO ? 侧面 PAB ,侧面 PAB ? 底面 ABCD ? AB ? PO ? 底面 ABCD ? CD ? 底面 ABCD ? PO ? CD 在 Rt?OBC 中, OC ? OB ? BC ? 5
2 2 2

3 3

12. 2 ? 2

13. S3 ? S2 ? S1

14. ①②③

15.

?

3

4, 2

?

三、解答题: 16.解:(1)证明:∵CD∥面 EFGH, CD ? 平面 BCD 而平面 EFGH∩平面 BCD=EF.∴CD∥EF 同理 HG∥CD.∴EF∥HG 同理 HE∥GF.∴四边形 EFGH 为平行四边形 由 CD∥EF,HE∥AB∴∠HEF(或其补角)为 CD 和 AB 所成的角, 又∵CD⊥AB.∴HE⊥EF.∴四边形 EFGH 为矩形. (2)解:由(1)可知在△ABD 中 EH∥AB,∴ 在△BCD 中 EF∥CD,∴

DE EH ? ? ? ? EH ? ?b DB AB

BE EF ? ? 1 ? ? ? EF ? a(1 ? ? ) BD CD ? ?1? ? 2 1 ) ? ab 又 EFGH 是矩形,故 S矩形ABCD = a(1 ? ? ) ? b ? ab( 2 4 1 1 当且仅当 ? ? 1 ? ?即? ? 时等号成立,即 E 为 BD 的中点时,矩形 EFGH 的面积最大为 ab. 2 4
17 解: (1)由正弦定理有: ∴ | BC |?

在 Rt?OAD 中, OD ? OA ? AD ? 10
2 2 2

2 2 2 在直角梯形 ABCD 中, CD ? AB ? ( AD ? BC) ? 5

? OC 2 ? CD 2 ? OD 2 即 ?ODC 是以 ?OCD 为直角的直角三角形,当然有 OC ? CD ? OC, OP 是平面 POC 内的两条相交直线 ? CD ? 平面 POC ……………6 分 (Ⅱ)解法一:如图建立空间直角坐标系 O ? xyz ,则 P(0,0, 3) , D(?1,3,0) , C (1,2,0)

| BC | 1 | AB | ? ? ;……………………2分 0 sin ? sin 120 sin(600 ? ? )
0

? OP ? (0,0, 3),OD ? (?1,3,0),CP ? (?1,?2, 3),CD ? (?2,1,0)
假设平面 OPD 的一个法向量为 m ? ( x1 , y1 , z1 ) ,平面 PCD 的法向量为 n ? ( x2 , y2 , z 2 ) 则 由?

1 sin(60 ? ? ) sin ? , | AB |? ;…………………………………4分 0 sin 120 sin 1200 ? ? 4 1 2 3 1 0 cos? ? sin ? ) sin ? ∴ f (? ) ? AB? BC ? sin ? ? sin( 60 ? ? ) ? ? ( 3 2 3 2 2

?OP ? m ? 0 ? ?OD ? m ? 0 ?

可得 ?

? 3 z1 ? 0 ?? x1 ? 3 y1 ? 0

,取 y1 ? 1 ,得 x1 ? 3 , z1 ? 0 ,即 m ? (3,1,0) ,

?CP ? n ? 0 ?? x ? 2 y 2 ? 3 z 2 ? 0 ? 由? 可得 ? 2 , x2 ? 3 , y2 ? 2 3 ,z 2 ? 5 , n ? ( 3,2 3,5) 取 得 即 ?CD ? n ? 0 ?? 2 x 2 ? y 2 ? 0 ?
3 3 故二面角 O ? PD ? C 的余弦值为 。…12 分 ? ? ? cos ? m, n ?? 4 4 10 40 mn
解法二:过点 C 作 CM ? OD 于点 M ,过点 M 作 MN ? PD 于点 N ,连接 CN 。 则由于 PO ? 平面 OCD ,PO ? 平面 POD , 所以平面 POD ? 平面 OCD , CM ? 平面 OCD , ? 平 面 P O D ? 平 面 O C D ? OD , ∴ CM ? 平 面 P O D , ∴ CM ? PD , ? MN ? PD , MN ? CM ? M ,∴ PD ? 平面 MCN ,∴ PD ? NC ,即 ?MNC 是二 P 面角 O ? PD ? C 的平面角。 在 Rt?OCD 中, CM ? 在 Rt?PCD 中, CN ?

化简: an 2 ? an?12 ? 2 ? an?1 ? an ? ? 0 ,∴ ? an?1 ? an ?? an ? an?1 ? 2? ? 0 .

∵ an ? 0 ,∴ an ? an?1 ? 2 ,∴ ?an ? 是首项为 3 、公差为 2 的等差数列。

m?n

5 3

(Ⅱ)假设存在适合条件的等比数列 ?bn ? ,则 n ? 1 时, a1b1 ? 22 ? 2 ? 6 ,得: b1 ? 2 ; 猜想: bn ? 2n ,使 a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn ? ? 2n ? 1? ? 2n?1 ? 2 对 n ? N * 都成立。…7′ 下面证明 3 ? 2 ? 5 ? 22 ? 7 ? 23 ? ? ? ? 2n ? 1? ? 2n ? ? 2n ? 1? ? 2n?1 ? 2 . 设 S ? 3 ? 2 ? 5 ? 22 ? 7 ? 23 ? ? ? ? 2n ? 1? ? 2n . 则 2S ? 3 ? 22 ? 5 ? 23 ? ? ? ? 2n ? 1? ? 2n ? ? 2n ? 1? ? 2n?1 两式相减得: S ? ?3 ? 2 ? 2 22 ? 23 ? ? ? 2n ? ? 2n ? 1? ? 2n?1 ? 2 ? 2n? 2 ? ? 2n ? 1? ? 2n?1
n ? 2 时有: a1b1 ? a2b2 ? 3 ? 23 ? 2 ? 26 ,即 3 ? 2 ? 5b2 ? 26 ,∴ b2 ? 4 .

∴ an ? 3 ? ? n ? 1? ? 2 ? 2n ? 1 ……………………………………………………………4 分

OC ? CD OC ? CD PC ? CD
2 2

?
?

10 , 2


N
A D

?

?

? ? 2n ? 1? ? 2n?1 ? 2 …………………………………………………… 10 分
(Ⅲ)∵ cn ?

2 10

1

13 PC 2 ? CD 2 15 MN 3 2 2 所以 MN ? CN ? CM ? ,所以 cos?MNC ? ? CN 4 26 3 故二面角 O ? PD ? C 的余弦值为 。……………12 分 4

M

O

? 2n ? 2?

2

?

1? 1 1 ? , ? ? ? ? 2n ? 1?? 2n ? 3? 2 ? 2n ? 1 2n ? 3 ? ? 1
1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ? 1 ?? 3 ? 5 ? ? ? 5 ? 7 ? ? ? ? ? 2 n ? 1 ? 2 n ? 3 ? ? 2 ?? ? ? ? ? ??

∴ Tn ? c1 ? c2 ? ? ? cn ?

B
第 19 题图

C

1?1 1 ? 1 ? ? ? ? ? .……………………………………………………………14 分 2 ? 3 2n ? 3 ? 6

20.解: (Ⅰ)连 BD,设 AC 交 BD 于 O,由题意 SO ? AC 。在正方形 ABCD 中, AC ? BD ,所以 AC ? 平面SBD ,得 AC ? SD . (Ⅱ)设正方形边长 a ,则 SD ?

2 a ,所以 ?SDO ? 60? , 2 连 OP ,由(Ⅰ)知 AC ? 平面SBD ,所以 AC ? OP , 且 AC ? OD , 所以 ?POD 是二面角 P ? AC ? D 的平面角。 0 0 由 SD ? 平面PAC ,知 SD ? OP ,所以 ?POD ? 30 ,即二面角 P ? AC ? D 的大小为 30 。 (Ⅲ)在棱 SC 上存在一点 E,使 BE // 平面PAC

2a ,又 OD ?

2 a ,故可在 SP 上取一点 N ,使 PN ? PD ,过 N 作 PC 的平行线与 SC 4 的交点即为 E 。连 BN。在 ? BDN 中知 BN // PO , 1, 又由于 NE // PC ,故平面 BEN // 平面PAC ,得 BE // 平面PAC ,由于 SN:NP ? 2: 1. 故 SE:EC ? 2:
由(Ⅱ)可得 PD ? 21. 【解】 (Ⅰ)∵ Sn ? an 2 ? an ?

3 . 4 1 1 3 ∴当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? a12 ? a1 ? ,注意 an ? 0 ,解得: a1 ? 3 . 4 2 4 3? ?1 1 3? ?1 2 1 当 n ≥ 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? ? an ? an ? ? ? ? an ?12 ? an ?1 ? ? 2 4? ?4 2 4? ?4

1 4

1 2


赞助商链接

龙泉中学2016届高三周练理科数学试卷(35)

龙泉中学2016届高三周练理科数学试卷(35)_数学_高中教育_教育专区。龙泉中学 ...(16 ? 8 ? 4 ? 4)2 ? 6.969 ? 6.635 , 20 ?12 ? 20 ?12 ??...

龙泉中学2012届高三周练理科数学试卷(24)

龙泉中学2012届高三周练理科数学试卷(24)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。龙泉...4 三、解答题 解答题 16.解:这位农民种水稻 亩,种花生 亩时可以得到最大...

龙泉中学2013级高二政治周练4.5

龙泉中学2013级高二政治周练4.5_政史地_高中教育_...(2) 16、马克思说“哲学家并不像蘑菇那样是从地...2014小学教师资格考试《... 2014幼儿园教师资格考...

龙泉中学2013-2014生物周练5

龙泉中学2013-2014生物周练5_高一理化生_理化生_高中教育_教育专区。龙泉中学 ...16.B 【解析】 试题分析:终止 CO2 的供应,CO2 的固定减少,C3 的含量下降,...