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2018高考数学(理)专题突破—圆锥曲线中的热点问题


圆锥曲线中的热点问题 【考点梳理】 1.圆锥曲线中的范围、 最值问题, 可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数 为函数值),或者利用式子的几何意义求解. 2.定点、定值问题 (1)定点问题:在解析几何中,有些含有参数的直线或曲线的方程,不论参数如 何变化,其都过某定点,这类问题称为定点问题. 若得到了直线方程的点斜式:y-y0=k(x-x0),则直线必过定点(x0,y0);若得到 了直线方程的斜截式:y=kx+m,则直线必过定点(0,m). (2)定值问题:在解析几何中,有些几何量,如斜率、距离、面积、比值等基本 量和动点坐标或动直线中的参变量无关,这类问题统称为定值问题. 3.存在性问题的解题步骤: (1)先假设存在,引入参变量,根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式 (组). (2)解此方程(组)或不等式(组),若有解则存在,若无解则不存在. (3)得出结论. 【题型突破】 题型一、圆锥曲线中的最值、范围 【例 1】如图所示,设抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,抛物线 上的点 A 到 y 轴的距离等于|AF|-1. (1)求 p 的值; (2)若直线 AF 交抛物线于另一点 B, 过 B 与 x 轴平行的直线和过 F 与 AB 垂直的直线交于点 N,AN 与 x 轴交于点 M,求 M 的横坐标的取值范围. 【解析】(1)由题意可得,抛物线上点 A 到焦点 F 的距离等于点 A 到直线 x=-1 的距离, p 由抛物线的定义得2=1,即 p=2. (2)由(1)得,抛物线方程为 y2=4x,F(1,0), 可设 A(t2,2t),t≠0,t≠±1. ∵AF 不垂直于 y 轴,可设直线 AF:x=sy+1(s≠0), 2 ?y =4x, 由? 消去 x 得 y2-4sy-4=0. x = sy + 1 ? 2? ?1 故 yAyB=-4,∴B?t2,- t ?. ? ? 又直线 AB 的斜率为 2t , t -1 2 t2-1 故直线 FN 的斜率为- 2t , t2-1 2 从而得直线 FN:y=- 2t (x-1),直线 BN:y=- t . 2 2? ?t +3 ,- t ?. ∴N? 2 ?t -1 ? 设 M(m,0),由 A,M,N 三点共线得 2t = , t -m 2 t2+3 t-2 t -1 2 2 2t + t 2t 2 2 于是 m= 2 =2+ 2 ,∴m<0 或 m>2. t -1 t -1 经检验知,m<0 或 m>2 满足题意. 综上,点 M 的横坐标的取值范围是(-∞,0)∪(2,+∞). 【类题通法】 求圆锥曲线中范围、最值的主要方法:(1)几何法:若题目中的条件和结论能明 显体现几何特征和意义,则考虑利用图形性质数形结合求解. (2)代数法:若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系,或者不等关系, 或者已知参数与新参数之间的等量关系等,则利用代数法求参数的范围. 【对点训练】 x2 y2 3 已知点 A(0,-2),椭圆 E:a2+b2=1(a>b>0)的离心率为 2 ,F 是椭圆 E 的右焦 2 3 点,直线 AF 的斜率为 3 ,O 为坐标原点. (1)求 E 的方程; (2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P,Q 两点,当△OPQ 的面积最大时,求 l 的 方程. 2 2 3 【解析】(1)设 F(c,0),由条件知, c = 3 ,得 c= 3. c 3 又a= 2 ,所以 a=2,b2=a2-c2=1. x2 2 故 E 的方程为 4 +y =

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