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第九章解析几何


第九章 解析几何(10) 学案 47 直线及其方程
导学目标: 1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线位置的几何要素.2.理解 直线的倾斜角和斜率的概念, 掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线位置的几何 要素,掌握直线方程的几种形式,了解斜截式与一次函数的关系.

自主梳理 1.直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角 ①定义:当直线 l 与 x 轴相交时,我们取 x 轴作为基准,x 轴________与直线 l________ 方向之间所成的角 α 叫做直线 l 的倾斜角.当直线 l 与 x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角 为________. ②倾斜角的范围为______________. (2)直线的斜率 ①定义:一条直线的倾斜角 α 的________叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母 k 表示,即 k=________,倾斜角是 90° 的直线斜率不存在. ②过两点的直线的斜率公式: 经过两点 P1(x1, y1), P2(x2, y2) (x1≠x2)的直线的斜率公式为 k=______________________. 2.直线的方向向量 → 经 过 两 点 P1(x1 , y1) , P2(x2 , y2) 的 直 线 的 一 个 方 向 向 量 为 P1P2 , 其 坐 标 为 ________________,当斜率 k 存在时,方向向量的坐标可记为(1,k). 3.直线的方程和方程的直线 已知二元一次方程 Ax+By+C=0 (A2+B2≠0)和坐标平面上的直线 l,如果直线 l 上任 意一点的坐标都是方程____________的解,并且以方程 Ax+By+C=0 的任意一个解作为 点的坐标都在__________,就称直线 l 是方程 Ax+By+C=0 的直线,称方程 Ax+By+C =0 是直线 l 的方程. 4.直线方程的五种基本形式 名称 方程 适用范围 点斜式 不含直线 x=x0 斜截式 不含垂直于 x 轴的直线 两点式 不含直线 x=x1 (x1≠x2)和直线 y=y1(y1≠y2) 截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 平面直角坐标系内的直线都适用 5.线段的中点坐标公式 若点 P1,P2 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),且线段 P1P2 的中点 M 的坐标为(x,y), ?x= , ? 则? 此公式为线段 P1P2 的中点坐标公式. ? , ?y= 自我检测 1 ? 1.(2011· 银川调研)若 A(-2,3),B(3,-2),C? ) ?2,m?三点共线,则 m 的值为( 1 1 A. B.- C.-2 D.2 2 2 2.直线 l 与两条直线 x-y-7=0,y=1 分别交于 P、Q 两点,线段 PQ 的中点为(1, -1),则直线 l 的斜率为( ) 3 3 2 2 A.- B. C. D.- 2 2 3 3
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3.下列四个命题中,假命题是( ) A.经过定点 P(x0,y0)的直线不一定都可以用方程 y-y0=k(x-x0)表示 B.经过两个不同的点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x- x1)(y2-y1)来表示 x y C.与两条坐标轴都相交的直线不一定可以用方程 + =1 表示 a b D.经过点 Q(0,b)的直线都可以表示为 y=kx+b 4.(2011· 商丘期末)如果 A· C<0,且 B· C<0,那么直线 Ax+By+C=0 不通过( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5.已知直线 l 的方向向量与向量 a=(1,2)垂直,且直线 l 过点 A(1,1),则直线 l 的方程 为( ) A.x-2y-1=0 B.2x+y-3=0 C.x+2y+1=0 D.x+2y-3=0

探究点一 倾斜角与斜率 例 1 已知两点 A(-1,-5)、B(3,-2),直线 l 的倾斜角是直线 AB 倾斜角的一半, 求 l 的斜率.

变式迁移 1 直线 xsin α-y+1=0 的倾斜角的变化范围是( ) π? ? A.?0,2? B.(0,π) π π? π? ?3π ? C.? D.? ?-4,4? ?0,4?∪? 4 ,π? 探究点二 直线的方程 例 2 (2011· 武汉模拟)过点 M(0,1)作直线,使它被两直线 l1:x-3y+10=0,l2:2x+y -8=0 所截得的线段恰好被 M 所平分,求此直线方程.

变式迁移 2 求适合下列条件的直线方程: (1)经过点 P(3,2)且在两坐标轴上的截距相等; (2)经过点 A(-1,-3),倾斜角等于直线 y=3x 的倾斜角的 2 倍.
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探究点三 直线方程的应用

例 3 过点 P(2,1)的直线 l 交 x 轴、y 轴正半轴于 A、B 两点,求使: (1)△AOB 面积最小时 l 的方程; (2)|PA|· |PB|最小时 l 的方程.

变式迁移 3 为了绿化城市, 拟在矩形区域 ABCD 内建一个矩形草坪(如图), 另外△EFA 内部有一文物保护区不能占用,经测量|AB|=100 m,|BC|=80 m,|AE|=30 m,|AF|=20 m, 应如何设计才能使草坪面积最大?

探究点四 数形结合思想 例 4 已知实数 x,y 满足 y=x2-2x+2(-1≤x≤1). y+3 试求 的最大值与最小值. x+2

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变式迁移 4 直线 l 过点 M(-1,2)且与以点 P(-2,-3)、Q(4,0)为端点的线段恒相交, 则 l 的斜率范围是( ) 2 2 A.[- ,5] B.[- ,0)∪(0,5] 5 5 2 2 π π C.(-∞,- ]∪[5,+∞) D.[- , )∪( ,5] 5 5 2 2 1.要正确理解倾斜角的定义,明确倾斜角的范围为 0° ≤α<180° ,熟记斜率公式 k= y2-y1 ,该公式与两点顺序无关.已知两点坐标(x1≠x2),根据该公式可以求出经过两点 x2-x1 的直线斜率,而 x1=x2,y1≠y2 时,直线斜率不存在,此时直线的倾斜角为 90° . y-y1 x-x1 2.当直线没有斜率(x1=x2)或斜率为 0(y1=y2)时,不能用两点式 = 求直线方 y2-y1 x2-x1 程,但都可以写成(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)的形式.直线方程的点斜式、斜截式、 两点式、截距式都可以化成一般式,但是有些直线的一般式方程不能化成点斜式、斜截 式、两点式或截距式. 3.使用直线方程时,一定要注意限制条件以免解题过程中丢解,如点斜式的使用条件 是直线必须有斜率, 截距式的使用条件是截距存在且不为零, 两点式的使用条件是直线 不与坐标轴垂直.

(满分:75 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.(2011· 临沂月考)已知直线 l 经过 A(2,1)、B(1,m2) (m∈R)两点,那么直线 l 的倾斜角 的取值范围是( ) π? ?π ? A.(0,π) B.? ?0,4?∪?2,π? π? π π? ?π ? C.? D.? ?0,4? ?4,2?∪?2,π? 2.若直线 l:y=kx- 3与直线 2x+3y-6=0 的交点位于第一象限,则直线 l 的倾斜角 的取值范围是( ) π π ?π,π? , ? A.? B. 6 3 ? ? ?6 2? π π? π π? C.? D.? ?3,2? ?6,2? 3.点 P(x,y)在经过 A(3,0),B(1,1)两点的直线上,那么 2x+4y 的最小值是( ) A.2 2 B.4 2 C.16 D.不存在 4.(2011· 宜昌调研)点 A(a+b,ab)在第一象限内,则直线 bx+ay-ab=0 不经过的象限 是( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
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5.(2011· 包头期末)经过点 P(2,-1),且在 y 轴上的截距等于它在 x 轴上的截距的 2 倍 的直线 l 的方程为( ) A.2x+y=2 B.2x+y=4 C.2x+y=3 D.2x+y=3 或 x+2y=0 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 6. 过两点 A(m2+2, m2-3), B(3-m-m2,2m)的直线 l 的倾斜角为 45° , 则 m=________. 2 7.直线 x+(a +1)y+1=0(a∈R)的倾斜角的取值范围是________. 8.设 A、B 是 x 轴上的两点,点 P 的横坐标为 2,且|PA|=|PB|,若直线 PA 的方程为 x -y+1=0,则直线 PB 的方程是________________. 三、解答题(共 38 分) 9.(12 分)已知两点 A(-1,2),B(m,3),求: (1)直线 AB 的斜率 k; (2)求直线 AB 的方程; 3 (3)已知实数 m∈?- -1, 3-1?,求直线 AB 的倾斜角 α 的范围. ? 3 ?

10.(12 分)(2011· 秦皇岛模拟)已知线段 PQ 两端点的坐标分别为(-1,1)、(2,2),若直线 l:x+my+m=0 与线段 PQ 有交点,求 m 的范围.

11.(14 分)已知直线 l:kx-y+1+2k=0 (k∈R). (1)证明:直线 l 过定点; (2)若直线不经过第四象限,求 k 的取值范围; (3)若直线 l 交 x 轴负半轴于 A,交 y 轴正半轴于 B,△AOB 的面积为 S,求 S 的最小值 并求此时直线 l 的方程.

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学案 47
自主梳理 1.(1)①正向 向上 0° ②0° ≤α<180°

直线及其方程
(2)①正切值 tan α y2-y1 ② x2-x1 2.(x2-x1,

y2-y1) 3.Ax+By+C=0 直线 l 上 4.y-y0=k(x-x0) y=kx+b y-y1 x-x1 x y = + =1(a≠0,b≠0) Ax y2-y1 x2-x1 a b y1+y2 2

x1+x2 +By+C=0(A、B 不同时为 0) 5. 2 自我检测 1.A 2.D 3.D 4.C 5.D 课堂活动区 例 1 解题导引 斜率与倾斜角常与三角函数联系,本题需要挖掘隐含条件,判断角 的范围.关键是熟练掌握好根据三角函数值确定角的范围这一类题型. 解 设直线 l 的倾斜角为 α,则直线 AB 的倾斜角为 2α, -2-?-5? 3 2tan α 3 由题意可知:tan 2α= = ,∴ = . 3-?-1? 4 1-tan2α 4 整理得 3tan2α+8tan α-3=0. 1 3 解得 tan α= 或 tan α=-3,∵tan 2α= >0, 3 4 ∴0° <2α<90° ,∴0° <α<45° ,∴tan α>0, 1 故直线 l 的斜率为 . 3 变式迁移 1 D [直线 xsin α-y+1=0 的斜率是 k=sin α, 又∵-1≤sin α≤1,∴-1≤k≤1. π? 当 0≤k≤1 时,倾斜角的范围是? ?0,4?, 3π ? 当-1≤k<0 时,倾斜角的范围是? ? 4 ,π?.] 例 2 解题导引 (1)对直线问题,要特别注意斜率不存在的情况. (2)求直线方程常用方法——待定系数法. 待定系数法就是根据所求的具体直线设出方程,然后按照它们满足的条件求出参数. 10? 解 过点 M 且与 x 轴垂直的直线是 y 轴, 它和两已知直线的交点分别是? ?0, 3 ?和(0,8), 显然不满足中点是点 M(0,1)的条件. 故可设所求直线方程为 y=kx+1,与两已知直线 l1、l2 分别交于 A、B 两点,联立方程 ? y = kx+1, ? 组? ① ?x-3y+10=0, ?
?y=kx+1, ? ? ② ? ?2x+y-8=0,

7 7 由①解得 xA= ,由②解得 xB= . 3k-1 k+2 ∵点 M 平分线段 AB,∴xA+xB=2xM, 7 7 1 即 + =0,解得 k=- . 4 3k-1 k+2 故所求直线方程为 x+4y-4=0. 变式迁移 2 解 (1)设直线 l 在 x,y 轴上的截距均为 a, 若 a=0,即 l 过点(0,0)和(3,2),

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2 ∴l 的方程为 y= x,即 2x-3y=0. 3 x y 若 a≠0,则设 l 的方程为 + =1, a a 3 2 ∵l 过点(3,2),∴ + =1, a a ∴a=5,∴l 的方程为 x+y-5=0, 综上可知,直线 l 的方程为 2x-3y=0 或 x+y-5=0. (2)由已知:设直线 y=3x 的倾斜角为 α, 则所求直线的倾斜角为 2α. 2tan α 3 ∵tan α=3,∴tan 2α= 2 =- . 4 1-tan α 又直线经过点 A(-1,-3), 3 因此所求直线方程为 y+3=- (x+1), 4 即 3x+4y+15=0. 例 3 解题导引 先设出 A、 B 所在的直线方程, 再求出 A、 B 两点的坐标, 表示出△ABO 的面积,然后利用相关的数学知识求最值. 确定直线方程可分为两个类型: 一是根据题目条件确定点和斜率或确定两点, 进而套用 直线方程的几种形式,写出方程,此法称直接法;二是利用直线在题目中具有的某些性质, 先设出方程(含参数或待定系数),再确定参数值,然后写出方程,这种方法称为间接法. x y 解 设直线的方程为 + =1 (a>2,b>1), a b 2 1 由已知可得 + =1. a b 21 2 1 (1)∵2 · ≤ + =1,∴ab≥8. ab a b 1 ∴S△AOB= ab≥4. 2 2 1 1 当且仅当 = = , a b 2 即 a=4,b=2 时,S△AOB 取最小值 4, x y 此时直线 l 的方程为 + =1, 4 2 即 x+2y-4=0. 2 1 (2)由 + =1,得 ab-a-2b=0,变形得(a-2)(b-1)=2, a b |PA|· |PB| = ?2-a?2+?1-0?2· ?2-0?2+?1-b?2 = [?2-a?2+1]· [?1-b?2+4] ≥ 2?a-2?· 4?b-1?. 当且仅当 a-2=1,b-1=2, 即 a=3,b=3 时,|PA|· |PB|取最小值 4. 此时直线 l 的方程为 x+y-3=0. 变式迁移 3 解 如图所示建立直角坐标系,则 E(30,0),F(0,20),

x y ∴线段 EF 的方程为 + =1(0≤x≤30). 30 20
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在线段 EF 上取点 P(m,n), 作 PQ⊥BC 于点 Q, PR⊥CD 于点 R,设矩形 PQCR 的面积为 S, 则 S=|PQ||PR|=(100-m)(80-n). m n 又 + =1(0≤m≤30), 30 20 m ∴n=20(1- ). 30 2 ∴S=(100-m)(80-20+ m) 3 2 18 050 =- (m-5)2+ (0≤m≤30). 3 3 |EP| 30-5 ∴当 m=5 时,S 有最大值,这时 = =5. |PF| 5 所以当矩形草坪的两边在 BC、 CD 上, 一个顶点在线段 EF 上, 且这个顶点分 EF 成 5∶1 时,草坪面积最大. 例 4 解题导引 解决这类问题的关键是弄清楚所求代数式的几何意义,借助数形结 合,将求最值问题转化为求斜率取值范围问题,简化了运算过程,收到事半功倍的效果.

y+3 由 的几何意义可知,它表示经过定点 P(-2,-3)与曲线段 AB 上任一点(x, x+2 y)的直线的斜率 k,由图可知: kPA≤k≤kPB,由已知可得: A(1,1),B(-1,5), 4 ∴ ≤k≤8, 3 y+3 4 故 的最大值为 8,最小值为 . 3 x+2 变式迁移 4 C 解

[如图,过点 M 作 y 轴的平行线与线段 PQ 相交于点 N. 2 kMP=5,kMQ=- . 5 当直线 l 从 MP 开始绕 M 按逆时针方向旋转到 MN 时,倾斜角在增大,斜率也在增大, 这时,k≥5.当直线 l 从 MN 开始逆时针旋转到 MQ 时, π ∵正切函数在( ,π)上仍为增函数, 2 2 ∴斜率从-∞开始增加,增大到 kMQ=- , 5 2 故直线 l 的斜率范围是(-∞,- ]∪[5,+∞).] 5 课后练习区 1.B 2.B 3.B 4.C 5.D
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3 6.-2 7.[ π,π) 8.x+y-5=0 4 9.解 (1)当 m=-1 时, 直线 AB 的斜率不存在;(1 分) 1 当 m≠-1 时,k= .(3 分) m+1 (2)当 m=-1 时,AB 的方程为 x=-1,(5 分) 1 当 m≠-1 时,AB 的方程为 y-2= (x+1), m+1 2m+3 x 即 y= + .(7 分) m+1 m+1 2m+3 x ∴直线 AB 的方程为 x=-1 或 y= + . m+1 m+1 (8 分) π (3)①当 m=-1 时,α= ; 2 ②当 m≠-1 时, 1 3 ∵k= ∈(-∞,- 3]∪? ,+∞?, m+1 ?3 ? π π π 2 π ? ? ? ∴α∈? ?6,2?∪?2, 3 ?.(10 分) 综合①②,知直线 AB 的倾斜角 π 2π? α∈? ?6, 3 ?.(12 分) 10.



直线 x+my+m=0 恒过 A(0,-1)点.(2 分) -1-1 kAP= =-2, 0+1 -1-2 3 kAQ= = ,(5 分) 2 0-2 1 3 1 则- ≥ 或- ≤-2, m 2 m 2 1 ∴- ≤m≤ 且 m≠0.(9 分) 3 2 又 m=0 时直线 x+my+m=0 与线段 PQ 有交点, 2 1 ∴所求 m 的范围是- ≤m≤ .(12 分) 3 2 11.(1)证明 直线 l 的方程是:k(x+2)+(1-y)=0, ? ? ?x+2=0 ?x=-2 令? ,解之得? , ?1-y=0 ?y=1 ? ? ∴无论 k 取何值,直线总经过定点(-2,1).(4 分) (2)解 由方程知, 当 k≠0 时直线在 x 轴上的截距为- 1+2k , 在 y 轴上的截距为 1+2k, k

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1+2k ? ?- ≤-2 k 要使直线不经过第四象限,则必须有? ,解之得 k>0;(7 分) ? 1 + 2k ≥ 1 ? 当 k=0 时,直线为 y=1,符合题意,故 k≥0.(9 分) 1+2k ? (3)解 由 l 的方程,得 A?- ,0 , k ? ? 1+2k ? ?- <0, k B(0,1+2k).依题意得? ? ?1+2k>0, 解得 k>0.(11 分) 1 ∵S= · |OA|· |OB| 2 1 ?1+2k? = · · |1+2k| 2? k ? 2 1 1 ?1+2k? 1? 1 = · = ?4k+k+4? ?≥2×(2×2+4)=4, 2 k 2 1 “=”成立的条件是 k>0 且 4k= , k 1 即 k= , 2 ∴Smin=4,此时 l:x-2y+4=0.(14 分)

学案 48

直线与直线的位置关系

导学目标: 1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方 法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、 点到直线的距离公式, 会求两条平 行直线间的距离.

自主梳理 1.两直线的位置关系 平面上两条直线的位置关系包括平行、相交、重合三种情况. (1)两直线平行 对于直线 l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2, l1∥l2?________________________. 对于直线 l1:A1x+B1y+C1=0, l2:A2x+B2y+C2=0(A2B2C2≠0), l1∥l2?________________________. (2)两直线垂直 对于直线 l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2, l1⊥l2?k1· k2=____. 对于直线 l1:A1x+B1y+C1=0, l2:A2x+B2y+C2=0, l1⊥l2?A1A2+B1B2=____. 2.两条直线的交点 两条直线 l1:A1x+B1y+C1=0, l2:A2x+B2y+C2=0, 如果两直线相交,则交点的坐标一定是这两个方程组成的方程组的____;反之,如果这
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个方程组只有一个公共解,那么以这个解为坐标的点必是 l1 和 l2 的________,因此,l1、l2 是否有交点,就看 l1、l2 构成的方程组是否有________. 3.有关距离 (1)两点间的距离 平面上两点 P1(x1, y1), P2(x2, y2)间的距离|P1P2|=__________________________________. (2)点到直线的距离 平 面 上 一 点 P(x0 , y0) 到 一 条 直 线 l : Ax + By + C = 0 的 距 离 d = ________________________. (3)两平行线间的距离 已知 l1、l2 是平行线,求 l1、l2 间距离的方法: ①求一条直线上一点到另一条直线的距离; ②设 l1: Ax+By+C1=0, l2: Ax+By+C2=0, 则 l1 与 l2 之间的距离 d=________________. 自我检测 1.(2011· 济宁模拟)若点 P(a,3)到直线 4x-3y+1=0 的距离为 4,且点 P 在不等式 2x+ y-3<0 表示的平面区域内,则实数 a 的值为( ) A.7 B.-7 C.3 D.-3 2.若直线 l1:y=k(x-4)与直线 l2 关于点(2,1)对称,则直线 l2 恒过定点( ) A.(0,4) B.(0,2) C.(-2,4) D.(4,-2) am 3. 已知直线 l1: ax+by+c=0, 直线 l2: mx+ny+p=0, 则 =-1 是直线 l1⊥l2 的( ) bn A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.(2009· 上海)已知直线 l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0 与 l2:2(k-3)x-2y+3=0 平行, 则 k 的值是( ) A.1 或 3 B.1 或 5 C.3 或 5 D.1 或 2 5.已知 2x+y+5=0,则 x2+y2的最小值是________.

探究点一 两直线的平行与垂直 例 1 已知两条直线 l1:ax-by+4=0 和 l2:(a-1)x+y+b=0.求满足以下条件的 a、 b 的值: (1)l1⊥l2 且 l1 过点(-3,-1); (2)l1∥l2,且原点到这两条直线的距离相等.

变式迁移 1 已知直线 l1:ax+2y+6=0 和直线 l2:x+(a-1)y+a2-1=0, (1)试判断 l1 与 l2 是否平行; (2)l1⊥l2 时,求 a 的值.

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探究点二 直线的交点坐标 例 2 已知直线 l1:4x+7y-4=0,l2:mx+y=0,l3:2x+3my-4=0.当 m 为何值时, 三条直线不能构成三角形.

变式迁移 2 △ABC 的两条高所在直线的方程分别为 2x-3y+1=0 和 x+y=0, 顶点 A 的坐标为(1,2),求 BC 边所在直线的方程.

探究点三 距离问题 例 3 (2011· 厦门模拟)已知三条直线:l1:2x-y+a=0 (a>0);l2:-4x+2y+1=0;l3: 7 5 x+y-1=0.且 l1 与 l2 的距离是 . 10 (1)求 a 的值; (2)能否找到一点 P,使 P 同时满足下列三个条件: ①点 P 在第一象限; 1 ②点 P 到 l1 的距离是点 P 到 l2 的距离的 ; 2 ③点 P 到 l1 的距离与点 P 到 l3 的距离之比是 2∶ 5. 若能,求点 P 的坐标;若不能,说明理由.

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变式迁移 3 已知直线 l 过点 P(3,1)且被两平行线 l1:x+y+1=0,l2:x+y+6=0 截得 的线段长为 5,求直线 l 的方程.

转化与化归思想的应用 例 (12 分)已知直线 l:2x-3y+1=0,点 A(-1,-2).求: (1)点 A 关于直线 l 的对称点 A′的坐标; (2)直线 m:3x-2y-6=0 关于直线 l 的对称直线 m′的方程; (3)直线 l 关于点 A(-1,-2)对称的直线 l′的方程. 【答题模板】 解 (1)设 A′(x,y),再由已知

33 4 ? ∴A′? ?-13,13?.[4 分] (2)在直线 m 上取一点, 如 M(2,0), 则 M(2,0)关于直线 l 的对称点 M′必在直线 m′上. 设

对称点 M′(a,b),则

6 30? 得 M′? ?13,13?.[6 分]

设直线 m 与直线 l 的交点为 N,则由 得 N(4,3). 又∵m′经过点 N(4,3),∴由两点式得直线 m′的方程为 9x-46y+102=0.[8 分] (3)方法一 在 l:2x-3y+1=0 上任取两点, 如 M(1,1),N(4,3),则 M,N 关于点 A(-1,-2)的对称点 M′,N′均在直线 l′上, 易得 M′(-3,-5),N′(-6,-7),[10 分] 再由两点式可得 l′的方程为 2x-3y-9=0.[12 分] 方法二 ∵l∥l′,∴设 l′的方程为 2x-3y+C=0 (C≠1), ∵点 A(-1,-2)到两直线 l,l′的距离相等,∴由点到直线的距离公式得 |-2+6+C| |-2+6+1| = ,解得 C=-9,[10 分] 22+32 22+32 ∴l′的方程为 2x-3y-9=0.[12 分] 方法三 设 P(x,y)为 l′上任意一点, 则 P(x,y)关于点 A(-1,-2)的对称点为 P′(-2-x,-4-y),[10 分] ∵点 P′在直线 l 上,∴2(-2-x)-3(-4-y)+1=0, 即 2x-3y-9=0.[12 分]
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【突破思维障碍】 点关于直线对称是轴对称中最基本的, 要抓住两点: 一是已知点与对称点的连线与对称 轴垂直; 二是已知点与对称点为端点的线段中点在对称轴上. 直线关于点的对称可转化为点 关于点的对称,直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称. 【易错点剖析】 (1)点关于线对称,不能转化为“垂直”及“线的中点在轴上”的问题. (2)线关于线对称,不能转化为点关于线的对称问题;线关于点的对称,不能转化为点 关于点的对称问题.

1.在两条直线的位臵关系中,讨论最多的还是平行与垂直,它们是两条直线的特殊位 臵关系. 解题时认真画出图形, 有助于快速准确地解决问题. 判断两直线平行与垂直时, 不要忘记考虑斜率不存在的情形,利用一般式则可避免分类讨论. |C1-C2| 2.运用公式 d= 2 求两平行直线间的距离时,一定要把 x、y 项系数化为相等的 A +B2 系数. 3.对称思想是高考热点,主要分为中心对称和轴对称两种,关键要把握对称问题的本 质,必要情况下可与函数的对称轴建立联系.

(满分:75 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.直线 3x+2y+4=0 与 2x-3y+4=0( ) A.平行 B.垂直 C.重合 D.关于直线 y=-x 对称 2.(2011· 六安月考)若直线 x+ay-a=0 与直线 ax-(2a-3)y-1=0 互相垂直,则 a 的 值是( ) A.2 B.-3 或 1 C.2 或 0 D.1 或 0 3π 3.已知直线 l 的倾斜角为 ,直线 l1 经过点 A(3,2)、B(a,-1),且 l1 与 l 垂直,直线 4 l2:2x+by+1=0 与直线 l1 平行,则 a+b 等于( ) A.-4 B.-2 C.0 D.2 4.P 点在直线 3x+y-5=0 上,且点 P 到直线 x-y-1=0 的距离为 2,则 P 点坐标 为( ) A.(1,2) B.(2,1) C.(1,2)或(2,-1) D.(2,1)或(-1,2) 5.设两条直线的方程分别为 x+y+a=0,x+y+b=0,已知 a、b 是方程 x2+x+c=0 1 的两个实根,且 0≤c≤ ,则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是( ) 8 2 1 2 A. , B. 2, 4 2 2 1 2 1 C. 2, D. , 2 2 2 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 6.(2011· 重庆云阳中学高三月考)直线 l1:x+my+6=0 和 l2:3x-3y+2=0,若 l1∥l2, 则 m 的值为______. 7.设直线 l 经过点(-1,1),则当点(2,-1)与直线 l 的距离最大时,直线 l 的方程为 ______________.
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8.若直线 m 被两平行线 l1:x-y+1=0 与 l2:x-y+3=0 所截得的线段的长为 2 2, 则 m 的倾斜角可以是 ①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75° 其中正确答案的序号是________. 三、解答题(共 38 分) 9.(12 分)(2011· 福州模拟)k 为何值时,直线 l1:y=kx+3k-2 与直线 l2:x+4y-4=0 的交点在第一象限.

10.(12 分)已知点 P1(2,3),P2(-4,5)和 A(-1,2),求过点 A 且与点 P1,P2 距离相等的 直线方程.

11.(14 分)(2011· 杭州调研)过点 P(3,0)作一直线,使它夹在两直线 l1:2x-y-2=0 与 l2:x+y+3=0 之间的线段 AB 恰被点 P 平分,求此直线的方程.

学案 48
自主梳理 1.(1)k1=k2 且 b1≠b2 2.解 交点 唯一解

直线与直线的位置关系
0

A 1 B1 C1 = ≠ (2)-1 A 2 B2 C2

3.(1) ?x2-x1?2+?y2-y1?2

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|Ax0+By0+C| |C1-C2| (2) (3)② 2 2 A +B A2+B2 自我检测 1.D 2.B 3.A 4.C 5. 5 课堂活动区 例 1 解题导引 运用直线的斜截式 y=kx+b 时,要特别注意直线斜率不存在时的特 殊情况.运用直线的一般式 Ax+By+C=0 时,要特别注意 A、B 为 0 时的情况,求解两直 线平行或垂直有关的问题并与求直线方程相联系,联立方程组求解,对斜率不存在的情况, 可考虑用数形结合的方法研究. 解 (1)由已知可得 l2 的斜率必存在,且 k2=1-a. 若 k2=0,则 a=1.由 l1⊥l2,l1 的斜率不存在,∴b=0. 又 l1 过(-3,-1),∴-3a+b+4=0, ∴b=3a-4=-1,矛盾.∴此情况不存在,即 k2≠0. a 若 k2≠0,即 k1= ,k2=1-a. b a 由 l1⊥l2,得 k1k2= (1-a)=-1. b 由 l1 过(-3,-1),得-3a+b+4=0, 解之得 a=2,b=2. (2)∵l2 的斜率存在,l1∥l2,∴l1 的斜率存在, a ∴k1=k2,即 =1-a. b 又原点到两直线的距离相等,且 l1∥l2, 4 ∴l1、l2 在 y 轴上的截距互为相反数,即 =b. b ?a=2, ? ? ?a=2, 解之得? 或? 3 ?b=-2 ? ?b=2. ? 2 ∴a、b 的值为 2 和-2 或 和 2. 3 变式迁移 1 解 (1)方法一 当 a=1 时, l1:x+2y+6=0, l2:x=0,l1 与 l2 不平行; 当 a=0 时,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1 与 l2 不平行; a 当 a≠1 且 a≠0 时,两直线可化为 l1:y=- x-3, 2 1 l2:y= x-(a+1), 1-a a 1 ? ?-2=1-a, l1∥l2?? ? ?-3≠-?a+1?, 解得 a=-1,

综上可知,a=-1 时,l1∥l2,否则 l1 与 l2 不平行. 方法二 由 A1B2-A2B1=0, 得 a(a-1)-1×2=0. 由 A1C2-A2C1≠0,得 a(a2-1)-1×6≠0, 2 ? ? ?a?a-1?-1×2=0 ?a -a-2=0, ∴l1∥l2?? 2 ?? 2 ?a?a -1?-1×6≠0 ?a?a -1?≠6. ? ? ∴a=-1,故当 a=-1 时,l1∥l2,否则 l1 与 l2 不平行. (2)方法一 当 a=1 时,l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1 与 l2 不垂直;
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当 a=0 时,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1 与 l2 不垂直; a 当 a≠1 且 a≠0 时,l1:y=- x-3, 2 1 l2:y= x-(a+1), 1-a a? 1 2 由? =-1?a= . ?-2?· 3 1-a 方法二 由 A1A2+B1B2=0, 2 得 a+2(a-1)=0?a= . 3 例 2 解题导引 ①转化思想的运用 三条直线l1、l2、l3 l1、l2、l3交于一点或至 ? ? 不能构成三角形 少有两条直线平行 三条直线 l2与l3的交 l2与l3对应方程组 ? ? 交于一点 点在l1上 的解适合l1的方程 ②分类讨论思想的运用 本题依据直线的位臵关系将不能构成三角形的情况分成两类,分类应注意按同一标准, 不重不漏. 解 当三条直线共点或至少有两条直线平行时,不能围成三角形. ①三条直线共点时,
? ?mx+y=0, 由? 得 ?2x+3my=4, ?

? ?x=2-3m ? -4m ? ?y=2-3m

4

2

2 (m2≠ ), 3

2

即 l2 与 l3 的交点为?

? 4 , -4m ?, 2 2? ?2-3m 2-3m ?

-4m 4 代入 l1 的方程得 4× -4=0, 2+7× 2-3m 2-3m2 1 解得 m= ,或 m=2. 3 4 ②当 l1∥l2 时,4=7m,∴m= ; 7 7 当 l1∥l3 时,4×3m=7×2,∴m= ; 6 6 当 l2∥l3 时,3m2=2,即 m=± . 3 ? 6 1 6 4 7 ? ∴m 取集合?- , , , , ,2?中的元素时,三条直线不能构成三角形. 3 3 3 7 6 ? ? 变式迁移 2 解 可以判断 A 不在所给的两条高所在的直线上,则可设 AB,AC 边上 的高所在直线的方程分别为 2x-3y+1=0,x+y=0, 则可求得 AB,AC 边所在直线的方程分别为 3 y-2=- (x-1),y-2=x-1, 2 即 3x+2y-7=0,x-y+1=0. ? ?3x+2y-7=0 由? ,得 B(7,-7), ?x+y=0 ?
?x-y+1=0 ? 由? ,得 C(-2,-1), ?2x-3y+1=0 ? 所以 BC 边所在直线的方程为 2x+3y+7=0. 第 17 页 共 98 页

例 3 解题导引 在应用平行线间的距离公式求两条平行线间的距离时,应注意公式 的适用条件, 即在两条平行线的方程中 x 与 y 的系数化为分别对应相等的条件下, 才能应用 该公式. 如本例中求两条直线 2x-y+a=0 与-4x+2y+1=0 间的距离时,需将前一条直线化 1 为-4x+2y-2a=0,或将后一条直线化为 2x-y- =0 后,再应用平行线间的距离公式. 2 解 (1)∵l1:4x-2y+2a=0 (a>0),l2:4x-2y-1=0, |2a+1| ∴两条平行线 l1 与 l2 间的距离为 d= , 2 5 |2a+1| 7 5 由已知,可得 = . 10 2 5 又 a>0,可解得 a=3. (2)设点 P 的坐标为(x,y), 由条件①,可知 x>0,y>0. 由条件②和③, |2x-y+3| |4x-2y-1| ? ? 5 = 4 5 可得? |2x-y+3| |x+y-1| 5· = 2· ? ? 5 2



?4|2x-y+3|=|4x-2y-1| ? 化简得? , ?|2x-y+3|=|x+y-1| ? 于是可得,4|x+y-1|=|4x-2y-1|, 也就是 4(x+y-1)=4x-2y-1,或 4(x+y-1)=-4x+2y+1, 1 解得 y= ,或 8x+2y-5=0. 2 1 当 y= 时,代入方程|2x-y+3|=|x+y-1|, 2 2 解得 x=-3<0 或 x=- <0,均舍去. 3 ?8x+2y-5=0 ? 由? , ? ?|2x-y+3|=|x+y-1| ? ? ?8x+2y-5=0 ?8x+2y-5=0 化简得? ,或? , ?x-2y+4=0 ?3x=-2 ? ?

?x=9 解得? 37 ?y=18

1

?x=-3<0 或? 31 ?y= 6

2

(舍去).

1 37? 即存在满足题设条件的点 P,其坐标为? ?9,18?. 变式迁移 3 解 方法一 若直线 l 的斜率不存在,则直线 l 的方程为 x=3,此时与 l1, l2 的交点分别是 A(3,-4),B(3,-9),截得的线段长|AB|=|-4+9|=5,符合题意. 当直线 l 的斜率存在时,则设直线 l 的方程为 y=k(x-3)+1,分别与直线 l1,l2 的方程 联立, ? ?y=k?x-3?+1, ?3k-2,1-4k?. 由? 解得 A? ? ? k+1 k+1 ? ?x+y+1=0, ?
?y=k?x-3?+1, ? ?3k-7,1-9k?. 由? 解得 B? ? ? k+1 k+1 ? ?x+y+6=0, ?

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由两点间的距离公式,得 ?3k-2-3k-7?2+?1-4k-1-9k?2=25, ? k+1 k+1 ? ? k+1 k+1 ? ? ? ? ? 解得 k=0,即所求直线方程为 y=1. 综上可知,直线 l 的方程为 x=3 或 y=1. 方法二 因为两平行线间的距离 |6-1| 5 2 d= = , 2 2

如图,直线 l 被两平行线截得的线段长为 5, 设直线 l 与两平行线的夹角为 θ, 2 则 sin θ= ,所以 θ=45° . 2 因为两平行线的斜率是-1, 故所求直线的斜率不存在或为 0. 又因为直线 l 过点 P(3,1), 所以直线 l 的方程为 x=3 或 y=1. 课后练习区 1.B 2.C 3.B 4.C 5.D 6.-1 7.3x-2y+5=0 8.①⑤
?y=kx+3k-2 ? 9.解 由? ? ?x+4y-4=0

12-12k x= ? ? 4k+1 ,得? 7k-2 y= ? ? 4k+1

.(5 分)

∵两直线的交点在第一象限, 12-12k ? ? 4k+1 >0 ∴? 7k-2 ? ?4k+1>0 2 ,∴ <k<1.(11 分) 7

2 即当 <k<1 时, 7 两直线的交点在第一象限.(12 分) 10.解 设所求直线为 l,由于 l 过点 A 且与点 P1,P2 距离相等,所以有两种情况, (1)当 P1,P2 在 l 同侧时,有 l∥P1P2,此时可求得 l 的方程为 5-3 y-2= (x+1),即 x+3y-5=0;(5 分) -4-2 (2)当 P1,P2 在 l 异侧时,l 必过 P1P2 的中点(-1,4),此时 l 的方程为 x=-1.(10 分) ∴所求直线的方程为 x+3y-5=0 或 x=-1. (12 分) 11.解 设点 A(x,y)在 l1 上, x = 3, ?x+ 2 由题意知? y+y ? 2 =0,
B B

∴点 B(6-x,-y),(6 分)

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? ?2x-y-2=0, 解方程组? ??6-x?+?-y?+3=0, ?

?x= 3 , 得? 16 ?y= 3 ,

11

16 -0 3 ∴k= =8.(12 分) 11 -3 3

∴所求的直线方程为 y=8(x-3),即 8x-y-24=0. (14 分)

学案 49

圆的方程

导学目标: 1.掌握确定圆的几何要素.2.掌握圆的标准方程与一般方程.3.初步了解用代 数方法处理几何问题的思想.

自主梳理 1.圆的定义 在平面内,到________的距离等于________的点的________叫圆. 2.确定一个圆最基本的要素是________和________. 3.圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 (r>0),其中________为圆心,____为半径. 4.圆的一般方程 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 表 示 圆 的 充 要 条 件 是 __________________ , 其 中 圆 心 为 ___________________,半径 r=____________________________. 5.确定圆的方程的方法和步骤 确定圆的方程主要方法是待定系数法,大致步骤为: (1)________________________________________________________________________ ; (2)________________________________________________________________________ ; (3)________________________________________________________________________ . 6.点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种. 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,点 M(x0,y0), (1)点在圆上:(x0-a)2+(y0-b)2____r2; (2)点在圆外:(x0-a)2+(y0-b)2____r2; (3)点在圆内:(x0-a)2+(y0-b)2____r2. 自我检测 1.方程 x2+y2+4mx-2y+5m=0 表示圆的条件是( ) 1 A. <m<1 B.m>1 4 1 1 C.m< D.m< 或 m>1 4 4 2.(2011· 南平调研)圆心在 y 轴上,半径为 1,且过点(1,2)的圆的方程是( ) 2 2 A.x +(y-2) =1 B.x2+(y+2)2=1 C.(x-1)2+(y-3)2=1 D.x2+(y-3)2=1 3.点 P(2,-1)为圆(x-1)2+y2=25 的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程是( )
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A.x-y-3=0 B.2x+y-3=0 C.x+y-1=0 D.2x-y-5=0 4 . 已 知 点 (0,0) 在 圆 : x2 + y2 + ax + ay + 2a2 + a - 1 = 0 外 , 则 a 的 取 值 范 围 是 ________________. 5.(2011· 安庆月考)过圆 x2+y2=4 外一点 P(4,2)作圆的切线,切点为 A、B,则△APB 的外接圆方程为________.

探究点一 求圆的方程 例 1 求经过点 A(-2,-4),且与直线 l:x+3y-26=0 相切于点 B(8,6)的圆的方程.

变式迁移 1 根据下列条件,求圆的方程. (1)与圆 O:x2+y2=4 相外切于点 P(-1, 3),且半径为 4 的圆的方程; (2)圆心在原点且圆周被直线 3x+4y+15=0 分成 1∶2 两部分的圆的方程.

探究点二 圆的几何性质的应用 例 2 (2011· 滁州模拟)已知圆 x2+y2+x-6y+m=0 和直线 x+2y-3=0 交于 P,Q 两 点,且 OP⊥OQ (O 为坐标原点),求该圆的圆心坐标及半径.

变式迁移 2

如图,已知圆心坐标为( 3,1)的圆 M 与 x 轴及直线 y= 3x 分别相切于 A、B 两点,另 一圆 N 与圆 M 外切且与 x 轴及直线 y= 3x 分别相切于 C、D 两点.
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(1)求圆 M 和圆 N 的方程; (2)过点 B 作直线 MN 的平行线 l,求直线 l 被圆 N 截得的弦的长度.

探究点三 与圆有关的最值问题 例 3 已知实数 x、y 满足方程 x2+y2-4x+1=0. (1)求 y-x 的最大值和最小值; (2)求 x2+y2 的最大值和最小值.

y 变式迁移 3 如果实数 x,y 满足方程(x-3)2+(y-3)2=6,求 的最大值与最小值. x

1.求圆的标准方程就是求出圆心的坐标与圆的半径,借助弦心距、弦、半径之间的关 系计算可大大简化计算的过程与难度. 2.点与圆的位臵关系有三种情形:点在圆内、点在圆上、点在圆外,其判断方法是看 点到圆心的距离 d 与圆半径 r 的关系.d<r 时,点在圆内;d=r 时,点在圆上;d>r 时, 点在圆外. 3.本节主要的数学思想方法有:数形结合思想、方程思想.

(满分:75 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.(2011· 重庆)在圆 x2+y2-2x-6y=0 内,过点 E(0,1)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD,则四边形 ABCD 的面积为( )
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A.5 2 B.10 2 C.15 2 D.20 2 2 2.(2011· 合肥期末)方程 x +y2+ax+2ay+2a2+a-1=0 表示圆,则 a 的取值范围是 ( ) 2 2 A.a<-2 或 a> B.- <a<0 3 3 2 C.-2<a<0 D.-2<a< 3 2 2 3.圆 x +y +2x-4y+1=0 关于直线 2ax-by+2=0 (a、b∈R)对称,则 ab 的取值范 围是( ) 1? 1? A.? B.? ?-∞,4? ?0,4? 1 ? 1? C.? D.? ?-4,0? ?-∞,4? 4.已知点 P(2,1)在圆 C:x2+y2+ax-2y+b=0 上,点 P 关于直线 x+y-1=0 的对称 点也在圆 C 上,则实数 a,b 的值为( ) A.a=-3,b=3 B.a=0,b=-3 C.a=-1,b=-1 D.a=-2,b=1 5.(2011· 三明模拟)已知两点 A(-2,0),B(0,2),点 C 是圆 x2+y2-2x=0 上任意一点, 则△ABC 面积的最小值是( ) A.3- 2 B.3+ 2 3- 2 2 C.3- D. 2 2 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 6.(2010· 天津)已知圆 C 的圆心是直线 x-y+1=0 与 x 轴的交点,且圆 C 与直线 x+y +3=0 相切,则圆 C 的方程为________________. 7.圆心在直线 2x-3y-1=0 上的圆与 x 轴交于 A(1,0)、B(3,0)两点,则圆的方程为 ______________. 8. 设直线 ax-y+3=0 与圆(x-1)2+(y-2)2=4 相交于 A、 B 两点, 且弦 AB 的长为 2 3, 则 a=________. 三、解答题(共 38 分) 9.(12 分)根据下列条件,求圆的方程: (1)经过 A(6,5)、B(0,1)两点,并且圆心 C 在直线 3x+10y+9=0 上; (2)经过 P(-2,4)、Q(3,-1)两点,并且在 x 轴上截得的弦长等于 6.

10.(12 分)(2011· 舟山模拟)已知点(x,y)在圆(x-2)2+(y+3)2=1 上. (1)求 x+y 的最大值和最小值; y (2)求 的最大值和最小值; x
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(3)求 x2+y2+2x-4y+5的最大值和最小值.

11.(14 分)如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图,该圆拱跨度|AB|=20 米,拱高|OP|=4 米,每隔 4 米需用一支柱支撑,求支柱 A2P2 的高度(精确到 0.01 米)( 825≈28.72).

学案 49
自主梳理 1.定点 定长 集合

圆的方程

2.圆心 半径 3.(a,b) r D E D2+E2-4F - ,- ? 4.D2+E2-4F>0 ? 2? ? 2 2 5.(1)根据题意,选择标准方程或一般方程 (2)根据条件列出关于 a,b,r 或 D、E、F 的方程组 (3)解出 a、b、r 或 D、E、F,代入标准方程或一般方程 6.(1)= (2)> (3)< 自我检测 1.D 2.A 3.A -1- 7 1 -1+ 7 4.( ,-1)∪( , ) 3 2 3 5.(x-2)2+(y-1)2=5 课堂活动区 例 1 解题导引 (1)一可以利用圆的一般式方程,通过转化三个独立条件,得到有关 三个待定字母的关系式求解;二可以利用圆的方程的标准形式,由条件确定圆心和半径. (2)一般地,求圆的方程时,当条件中给出的是圆上若干点的坐标,较适合用一般式, 通过解三元方程组求待定系数; 当条件中给出的是圆心坐标或圆心在某直线上、 圆的切线方 程、圆的弦长等条件,适合用标准式. 解 方法一 设圆心为 C, 所求圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,

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E 6+ 2 D E ? 则圆心 C? ?- 2 ,- 2 ?.∴kCB= D. 8+ 2 由 kCB· kl=-1, E 6+ 2 ? 1? ∴ ·- =-1.① D ? 3? 8+ 2 又有(-2)2+(-4)2-2D-4E+F=0,② 又 82+62+8D+6E+F=0.③ 解①②③,可得 D=-11,E=3,F=-30. ∴所求圆的方程为 x2+y2-11x+3y-30=0. 方法二 设圆的圆心为 C,则 CB⊥l,从而可得 CB 所在直线的方程为 y-6=3(x-8), 即 3x-y-18=0.① 由 A(-2,-4),B(8,6),得 AB 的中点坐标为(3,1). 6+4 又 kAB= =1, 8+2 ∴AB 的垂直平分线的方程为 y-1=-(x-3), 即 x+y-4=0.② 11 x= , 2 11 3 ,- ?. 由①②联立后,解得 即圆心坐标为? 2 2? ? 3 y=- . 2

? ? ?

?11-8?2+?-3-6?2= ?2 ? ? 2 ? 11?2 ? 3?2 125 ∴所求圆的方程为? ?x- 2 ? +?y+2? = 2 .
∴所求圆的半径 r=
2

125 . 2

变式迁移 1 解 (1)设所求圆的圆心 Q 的坐标为(a,b),圆 Q 的方程为(x-a)2+(y-b)2 =4 ,又∵OQ=6, 2 2 2 ??0-a? +?0-b? =6 ∴联立方程? , ??-1-a?2+? 3-b?2=16 解得 a=-3,b=3 3, 所以所求圆的方程为(x+3)2+(y-3 3)2=16. (2)

如图,因为圆周被直线 3x+4y+15=0 分成 1∶2 两部分,所以∠AOB=120° ,而圆心 15 (0,0)到直线 3x+4y+15=0 的距离 d= 2 2=3,在△AOB 中,可求得 OA=6. 3 +4 所以所求圆的方程为 x2+y2=36. 例 2 解题导引 (1)在解决与圆有关的问题中,借助于圆的几何性质,往往会使得思 路简捷明了,简化思路,简便运算. (2)本题利用方程思想求 m 值,即“列出 m 的方程”求 m 值. 解 方法一 将 x=3-2y, 代入方程 x2+y2+x-6y+m=0, 得 5y2-20y+12+m=0.
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设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 y1、y2 满足条件: 12+m y1+y2=4,y1y2= . 5 ∵OP⊥OQ,∴x1x2+y1y2=0. 而 x1=3-2y1,x2=3-2y2. ∴x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2. ∴9-6(y1+y2)+5y1y2=0, 12+m ∴9-6×4+5× =0, 5 1 ? 5 ∴m=3,此时 1+36-3×4>0,圆心坐标为? ?-2,3?,半径 r=2. 方法二

如图所示, 设弦 PQ 中点为 M, ∵O1M⊥PQ, ∴kO1M=2. 1 ? 又圆心坐标为? ?-2,3?, 1? ∴O1M 的方程为 y-3=2? ?x+2?,即 y=2x+4.
? ?y=2x+4, 由方程组? 解得 M 的坐标为(-1,2). ?x+2y-3=0, ? 则以 PQ 为直径的圆可设为(x+1)2+(y-2)2=r2. ∵OP⊥OQ,∴点 O 在以 PQ 为直径的圆上. ∴(0+1)2+(0-2)2=r2,即 r2=5,MQ2=r2. 在 Rt△O1MQ 中,O1M2+MQ2=O1Q2. 1 1+?-6?2-4m - +1?2+(3-2)2+5= ∴? . ? 2 ? 4 1 5 - ,3?. ∴m=3.∴半径为 ,圆心为? ? 2 ? 2 变式迁移 2 解 (1)∵M 的坐标为( 3,1),∴M 到 x 轴的距离为 1,即圆 M 的半径为

1, 则圆 M 的方程为(x- 3)2+(y-1)2=1.

设圆 N 的半径为 r, 连接 MA,NC,OM, 则 MA⊥x 轴,NC⊥x 轴, 由题意知:M,N 点都在∠COD 的平分线上, ∴O,M,N 三点共线. 由 Rt△OAM∽Rt△OCN 可知, 2 1 |OM|∶|ON|=|MA|∶|NC|,即 = ?r=3, 3+r r 则 OC=3 3,则圆 N 的方程为(x-3 3)2+(y-3)2=9.
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(2)由对称性可知,所求的弦长等于过 A 点与 MN 平行的直线被圆 N 截得的弦的长度, 3 此弦的方程是 y= (x- 3),即 x- 3y- 3=0, 3 3 圆心 N 到该直线的距离 d= , 2 则弦长为 2 r2-d2= 33. 例 3 解题导引 与圆有关的最值问题,常见的有以下几种类型: y-b (1)形如 μ= 形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题;(2)形如 t=ax+by x-a 形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题;(3)形如(x-a)2+(y-b)2 形式的最值问 题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. 解 (1)y-x 可看作是直线 y=x+b 在 y 轴上的截距,当直线 y=x+b 与圆相切时,纵 |2-0+b| 截距 b 取得最大值或最小值,此时 = 3,解得 b=-2± 6. 2 所以 y-x 的最大值为-2+ 6,最小值为-2- 6. (2)x2+y2 表示圆上的一点与原点距离的平方, 由平面几何知识知, 在原点与圆心连线与 圆的两个交点处取得最大值和最小值. 又圆心到原点的距离为 ?2-0?2+?0-0?2=2, 所以 x2+y2 的最大值是(2+ 3)2=7+4 3, x2+y2 的最小值是(2- 3)2=7-4 3. 变式迁移 3 解 设 P(x,y), 则 P 点的轨迹就是已知圆 C:(x-3)2+(y-3)2=6. y 而 的几何意义就是直线 OP 的斜率, x y 设 =k,则直线 OP 的方程为 y=kx. x 当直线 OP 与圆相切时,斜率取最值. |3k-3| 因为点 C 到直线 y=kx 的距离 d= 2 , k +1 |3k-3| 所以当 2 = 6, k +1 即 k=3± 2 2时,直线 OP 与圆相切. y 即 的最大值为 3+2 2,最小值为 3-2 2. x 课后练习区 1.B [圆的方程化为标准形式为(x-1)2+(y-3)2=10,由圆的性质可知最长弦|AC|= 2 10,最短弦 BD 恰以 E(0,1)为中心,设点 F 为其圆心,坐标为(1,3). 故 EF= 5,∴BD=2 10-? 5?2=2 5, 1 ∴S 四边形 ABCD= AC· BD=10 2.] 2 2.D 3.A 4.B 5.A 6.(x+1)2+y2=2 7.(x-2)2+(y-1)2=2 8.0 9.解 (1)∵AB 的中垂线方程为 3x+2y-15=0, ?3x+2y-15=0, ?x=7, ? ? 由? 解得? (3 分) ? ? ?3x+10y+9=0, ?y=-3. ∴圆心为 C(7,-3).又|CB|= 65, 故所求圆的方程为(x-7)2+(y+3)2=65.(6 分) (2) 设 圆 的 方 程 为 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 , 将 P 、 Q 点 的 坐 标 分 别 代 入 得

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? ?2D-4E-F=20, ? ?3D-E+F=-10. ?

① ②

(8 分) 又令 y=0,得 x2+Dx+F=0,③ 由|x1-x2|=6 有 D2-4F=36.④ 由①②④解得 D=-2,E=-4,F=-8 或 D=-6,E=-8,F=0. 故所求圆的方程为 x2+y2-2x-4y-8=0,或 x2+y2-6x-8y=0.(12 分) 10.解 (1)设 t=x+y,则 y=-x+t,t 可视为直线 y=-x+t 的纵截距,所以 x+y 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值, 即直线与圆相切 时的纵截距. 由直线与圆相切,得圆心到直线的距离等于半径, |2+?-3?-t| 即 =1,解得 t= 2-1 或 t=- 2-1, 2 所以 x+y 的最大值为 2-1, 最小值为- 2-1.(4 分) y y (2) 可视为点(x,y)与原点连线的斜率, 的最大值和最小值就是过原点的直线与该圆有 x x 公共点时斜率的最大值和最小值,即直线与圆相切时的斜率. 设过原点的直线方程为 y=kx,由直线与圆相切,得圆心到直线的距离等于半径,即 |2k-?-3?| =1, 1+k2 2 3 2 3 解得 k=-2+ 或 k=-2- , 3 3 y 2 3 所以 的最大值为-2+ , x 3 2 3 最小值为-2- .(8 分) 3 (3) x2+y2+2x-4y+5, 即 [x-?-1?]2+?y-2?2,其最值可视为点(x,y)到定点(-1,2)的距离的最值,可转化为 圆心(2,-3)到定点(-1,2)的距离与半径的和或差. 又因为圆心到定点(-1,2)的距离为 34,所以 x2+y2+2x-4y+5的最大值为 34+1, 最小值为 34-1.(12 分) 11.解 建立如图所示的坐标系,设该圆拱所在圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0, 由于圆心在 y 轴上,所以 D=0,那么方程即为 x2+y2+Ey+F=0.(3 分)

下面用待定系数法来确定 E、F 的值. 因为 P、B 都在圆上,所以它们的坐标(0,4)、(10,0)都是这个圆的方程的解, ?42+4E+F=0, ? 于是有方程组? 2 (7 分) ?10 +F=0, ? 解得 F=-100,E=21. ∴这个圆的方程是 x2+y2+21y-100=0.(10 分) 把点 P2 的横坐标 x=-2 代入这个圆的方程, 得(-2)2+y2+21y-100=0,y2+21y-96=0. ∵P2 的纵坐标 y>0,故应取正值,

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-21+ 212+4×96 ≈3.86(米). 2 所以支柱 A2P2 的高度约为 3.86 米.(14 分) ∴y=

学案 50

直线、圆的位置关系

导学目标: 1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用 直线和圆的方程解决一些简单的问题 .3.在学习过程中,体会用代数方法处理几何问题的思 想.

自主梳理 1.直线与圆的位置关系 位置关系有三种:________、________、________. 判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法: (1)代数法:利用判别式 Δ,即直线方程与圆的方程联立方程组消去 x 或 y 整理成一元二

次方程后,计算判别式 Δ (2)几何法:利用圆心到直线的距离 d 和圆半径 r 的大小关系: d<r?________,d=r?________,d>r?________. 2.圆的切线方程 若圆的方程为 x2+y2=r2,点 P(x0,y0)在圆上,则过 P 点且与圆 x2+y2=r2 相切的切线 方程为____________________________. 注:点 P 必须在圆 x2+y2=r2 上. 经过圆(x-a)2+(y-b)2=r2 上点 P(x0,y0)的切线方程为________________________. 3.计算直线被圆截得的弦长的常用方法 (1)几何方法 运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算. (2)代数方法 运用韦达定理及弦长公式 |AB|= 1+k2|xA-xB| = ?1+k2?[?xA+xB?2-4xAxB]. 说明:圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法. 4.圆与圆的位置关系 (1)圆与圆的位置关系可分为五种: ________、 ________、 ________、 ________、 ________. 判断圆与圆的位置关系常用方法: (几何法)设两圆圆心分别为 O1、 O2, 半径为 r1、 r2 (r1≠r2), 则|O1O2|>r1+r2 ________; |O1O2| = r1 + r2 ______ ; |r1 - r2|<|O1O2|<r1 + r2 ________ ; |O1O2| = |r1 - r2| ________;0≤|O1O2|<|r1-r2|??________. (2)已知两圆 x2+y2+D1x+E1y+F1=0 和 x2+y2+D2x+E2y+F2=0 相交, 则与两圆共交 点的圆系方程为________________________________________________________________, 其中 λ 为 λ≠-1 的任意常数,因此圆系不包括第二个圆. 当 λ=-1 时,为两圆公共弦所在的直线,方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0. 自我检测 1. (2010· 江西)直线 y=kx+3 与圆(x-3)2+(y-2)2=4 相交于 M, N 两点, 若|MN|≥2 3, 则 k 的取值范围是( )
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3 ? A.? ?-4,0? 3? B.? ?-∞,-4?∪[0,+∞) C.?- 3 3? ? 3,3? 2 ? D.? ?-3,0? 2.圆 x2+y2-4x=0 在点 P(1, 3)处的切线方程为( ) A.x+ 3y-2=0 B.x+ 3y-4=0 C.x- 3y+4=0 D.x- 3y+2=0 2 3.(2011· 宁夏调研)圆 C1:x +y2+2x+2y-2=0 与圆 C2:x2+y2-4x-2y+1=0 的公 切线有且仅有( ) A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 4.过点(0,1)的直线与 x2+y2=4 相交于 A、B 两点,则|AB|的最小值为( ) A.2 B.2 3 C.3 D.2 5 2 2 5.(2011· 聊城月考)直线 y=x+1 与圆 x +y =1 的位置关系是( ) A.相切 B.相交但直线不过圆心 C.直线过圆心 D.相离

探究点一 直线与圆的位置关系 例 1 已知圆 C:x2+y2+2x-4y+3=0. (1)若圆 C 的切线在 x 轴和 y 轴上的截距相等,求此切线的方程; (2)从圆 C 外一点 P(x1, y1)向该圆引一条切线, 切点为 M, O 为坐标原点, 且有|PM|=|PO|, 求使得|PM|取得最小值时点 P 的坐标.

变式迁移 1 从圆 C:(x-1)2+(y-1)2=1 外一点 P(2,3)向该圆引切线,求切线的方程 及过两切点的直线方程.

探究点二 圆的弦长、中点弦问题
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例 2 (2011· 汉沽模拟)已知点 P(0,5)及圆 C:x2+y2+4x-12y+24=0. (1)若直线 l 过点 P 且被圆 C 截得的线段长为 4 3,求 l 的方程; (2)求过 P 点的圆 C 的弦的中点的轨迹方程.

变式迁移 2 已知圆 C:x2+y2-6x-8y+21=0 和直线 kx-y-4k+3=0. (1)证明:不论 k 取何值,直线和圆总有两个不同交点; (2)求当 k 取什么值时,直线被圆截得的弦最短,并求这条最短弦的长.

探究点三 圆与圆的位置关系 例 3 已知圆 C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0,圆 C2:x2+y2+2x-2my+m2-3=0, m 为何值时, (1)圆 C1 与圆 C2 相外切;(2)圆 C1 与圆 C2 内含.

变式迁移 3 已知⊙A: x2+y2+2x+2y-2=0, ⊙B: x2+y2-2ax-2by+a2-1=0.当 a, b 变化时,若⊙B 始终平分⊙A 的周长,求: (1)⊙B 的圆心 B 的轨迹方程; (2)⊙B 的半径最小时圆的方程.

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探究点四 综合应用 例 4 已知圆 C:x2+y2-2x+4y-4=0.问在圆 C 上是否存在两点 A、B 关于直线 y= kx-1 对称,且以 AB 为直径的圆经过原点?若存在,写出直线 AB 的方程;若不存在,说 明理由.

变式迁移 4 已知过点 A(0,1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C: (x-2)2+(y-3)2=1 相交于 M、 N 两点. (1)求实数 k 的取值范围; → → (2)若 O 为坐标原点,且OM· ON=12,求 k 的值.

1.求切线方程时,若知道切点,可直接利用公式;若过圆外一点求切线,一般运用圆 心到直线的距离等于半径来求,但注意有两条. 2.解决与弦长有关的问题时,注意运用由半径、弦心距、弦长的一半构成的直角三角 形,也可以运用弦长公式.这就是通常所说的“几何法”和“代数法”. 3.判断两圆的位臵关系,从圆心距和两圆半径的关系入手.

(满分:75 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)
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1.直线 l:y-1=k(x-1)和圆 x2+y2-2y=0 的位置关系是( ) A.相离 B.相切或相交 C.相交 D.相切 2. (2011· 珠海模拟)直线 3x-y+m=0 与圆 x2+y2-2x-2=0 相切, 则实数 m 等于( ) A. 3或- 3 B.- 3或 3 3 C.-3 3或 3 D.-3 3或 3 3 3.过原点且倾斜角为 60° 的直线被圆 x2+y2-4y=0 所截得的弦长为( ) A. 3 B.2 C. 6 D.2 3 4.若圆(x-3)2+(y+5)2=r2 上有且仅有两个点到直线 4x-3y-2=0 的距离为 1,则半 径 r 的取值范围是( ) A.(4,6) B.[4,6) C.(4,6] D.[4,6] 5.(2010· 全国Ⅰ)已知圆 O 的半径为 1,PA、PB 为该圆的两条切线,A、B 为两切点, → → 那么PA· PB的最小值为( ) A.-4+ 2 B.-3+ 2 C.-4+2 2 D.-3+2 2 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 6.若圆 x2+y2=4 与圆 x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦的长为 2 3,则 a=________. 7.(2011· 三明模拟)已知点 A 是圆 C:x2+y2+ax+4y-5=0 上任意一点,A 点关于直线 x+2y-1=0 的对称点也在圆 C 上,则实数 a=________. 8.(2011· 杭州高三调研)设直线 3x+4y-5=0 与圆 C1:x2+y2=4 交于 A,B 两点,若 圆 C2 的圆心在线段 AB 上,且圆 C2 与圆 C1 相切,切点在圆 C1 的劣弧 ? AB 上,则圆 C2 的 半径的最大值是________. 三、解答题(共 38 分) 9. (12 分)圆 x2+y2=8 内一点 P(-1,2), 过点 P 的直线 l 的倾斜角为 α, 直线 l 交圆于 A、 B 两点. 3π (1)当 α= 时,求 AB 的长; 4 (2)当弦 AB 被点 P 平分时,求直线 l 的方程.

10.(12 分)(2011· 湛江模拟)自点 A(-3,3)发出的光线 l 射到 x 轴上,被 x 轴反射,其反 射光线所在直线与圆 x2+y2-4x-4y+7=0 相切,求光线 l 所在直线的方程. 11.(14 分)已知两圆 x2+y2-2x-6y-1=0 和 x2+y2-10x-12y+m=0.求: (1)m 取何值时两圆外切? (2)m 取何值时两圆内切? (3)m=45 时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.
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学案 50

直线、圆的位置关系

自主梳理 1.相切 相交 相离 (1)相交 相切 相离 (2)相交 相切 相离 2.x0x+y0y=r2 (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y- b)=r2 4.(1)相离 外切 相交 内切 内含 相离 外切 相 交 内切 内含 (2)(x2+y2+D1x+E1y+F1)+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0 自我检测 1.A 2.D 3.B 4.B 5.B 课堂活动区 例 1 解题导引 (1)过点 P 作圆的切线有三种类型: 当 P 在圆外时,有 2 条切线; 当 P 在圆上时,有 1 条切线; 当 P 在圆内时,不存在. (2)利用待定系数法设圆的切线方程时,一定要注意直线方程的存在性,有时要进行恰 当分类. (3)切线长的求法: 过圆 C 外一点 P 作圆 C 的切线,切点为 M,半径为 R, 则|PM|= |PC|2-R2. 解 (1)将圆 C 配方得(x+1)2+(y-2)2=2. ①当直线在两坐标轴上的截距为零时,设直线方程为 y=kx, |k+2| 由 = 2,解得 k=2± 6,得 y=(2± 6)x. 1+k2 ②当直线在两坐标轴上的截距不为零时, 设直线方程为 x+y-a=0, |-1+2-a| 由 = 2, 2 得|a-1|=2,即 a=-1,或 a=3. ∴直线方程为 x+y+1=0,或 x+y-3=0. 综上,圆的切线方程为 y=(2+ 6)x,或 y=(2- 6)x, 或 x+y+1=0,或 x+y-3=0. (2)由|PO|=|PM|, 2 2 2 得 x2 1+y1=(x1+1) +(y1-2) -2, 整理得 2x1-4y1+3=0. 即点 P 在直线 l:2x-4y+3=0 上. 当|PM|取最小值时,即 OP 取得最小值,直线 OP⊥l, ∴直线 OP 的方程为 2x+y=0. ? ?2x+y=0, 3 3 - , ?. 解方程组? 得点 P 的坐标为? 10 5? ? ? ?2x-4y+3=0, 变式迁移 1 解 设圆切线方程为 y-3=k(x-2),
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即 kx-y+3-2k=0,∴1=

|k+2-2k| , k2+1

3 ∴k= ,另一条斜率不存在,方程为 x=2. 4 ∴切线方程为 x=2 和 3x-4y+6=0. 3-1 圆心 C 为(1,1),∴kPC= =2, 2-1 1 ∴过两切点的直线斜率为- ,又 x=2 与圆交于(2,1), 2 ∴过切点的直线为 x+2y-4=0. 例 2 解题导引 (1)有关圆的弦长的求法: 已知直线的斜率为 k,直线与圆 C 相交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,点 C 到 l 的距离 为 d,圆的半径为 r. 方法一 代数法:弦长|AB|= 1+k2|x2-x1| = 1+k2· ?x1+x2?2-4x1x2; 方法二 几何法:弦长|AB|=2 r2-d2. (2)有关弦的中点问题: 圆心与弦的中点连线和已知直线垂直,利用这条性质可确定某些等量关系. 解 (1)方法一

如图所示,|AB|=4 3,取 AB 的中点 D,连接 CD,则 CD⊥AB,连接 AC、BC, 则|AD|=2 3,|AC|=4, 在 Rt△ACD 中,可得|CD|=2. 当直线 l 的斜率存在时,设所求直线的斜率为 k,则直线的方程为 y-5=kx,即 kx-y +5=0. |-2k-6+5| 由点 C 到直线 AB 的距离公式,得 2 =2, k +?-1?2 3 解得 k= . 4 3 当 k= 时,直线 l 的方程为 3x-4y+20=0. 4 又直线 l 的斜率不存在时,也满足题意,此时方程为 x=0. ∴所求直线的方程为 3x-4y+20=0 或 x=0. 方法二 当直线 l 的斜率存在时, 设所求直线的斜率为 k, 则直线的方程为 y-5=kx,即 y=kx+5. ? ?y=kx+5, 联立直线与圆的方程? 2 2 ?x +y +4x-12y+24=0, ? 2 2 消去 y,得(1+k )x +(4-2k)x-11=0.① 设方程①的两根为 x1,x2, 2k-4 ? ?x +x = 1+k , 由根与系数的关系,得? 11 ?x x =-1+k . ?
1 2 2 1 2 2



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由弦长公式,得 1+k2|x1-x2| = ?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2]=4 3. 3 将②式代入,解得 k= , 4 此时直线方程为 3x-4y+20=0. 又 k 不存在时也满足题意,此时直线方程为 x=0. ∴所求直线的方程为 x=0 或 3x-4y+20=0. (2)设过 P 点的圆 C 的弦的中点为 D(x,y), → → 则 CD⊥PD,即CD· PD=0, (x+2,y-6)· (x,y-5)=0, 化简得所求轨迹方程为 x2+y2+2x-11y+30=0. 变式迁移 2 (1)证明 由 kx-y-4k+3=0, 得(x-4)k-y+3=0. ∴直线 kx-y-4k+3=0 过定点 P(4,3). 由 x2+y2-6x-8y+21=0, 即(x-3)2+(y-4)2=4, 又(4-3)2+(3-4)2=2<4. ∴直线和圆总有两个不同的交点. 3-4 (2)解 kPC= =-1. 4-3 可以证明与 PC 垂直的直线被圆所截得的弦 AB 最短,因此过 P 点斜率为 1 的直线即为 |3-4-1| 所求,其方程为 y-3=x-4,即 x-y-1=0.|PC|= = 2, 2 ∴|AB|=2 |AC|2-|PC|2=2 2. 例 3 解题导引 圆和圆的位臵关系,从交点个数也就是方程组解的个数来判断,有 时得不到确切的结论,通常还是从圆心距 d 与两圆半径和、差的关系入手. 解 对于圆 C1 与圆 C2 的方程,经配方后 C1:(x-m)2+(y+2)2=9; C2:(x+1)2+(y-m)2=4. (1)如果 C1 与 C2 外切, 则有 ?m+1?2+?-2-m?2=3+2. (m+1)2+(m+2)2=25. m2+3m-10=0,解得 m=-5 或 m=2. (2)如果 C1 与 C2 内含, 则有 ?m+1?2+?m+2?2<3-2. (m+1)2+(m+2)2<1,m2+3m+2<0, 得-2<m<-1, ∴当 m=-5 或 m=2 时,圆 C1 与圆 C2 外切; 当-2<m<-1 时,圆 C1 与圆 C2 内含. 变式迁移 3 解 (1)两圆方程相减得公共弦方程 2(a+1)x+2(b+1)y-a2-1=0.① 依题意,公共弦应为⊙A 的直径, 将(-1,-1)代入①得 a2+2a+2b+5=0.② ?x=a ? 设圆 B 的圆心为(x,y),∵? , ?y=b ? ∴其轨迹方程为 x2+2x+2y+5=0. (2)⊙B 方程可化为(x-a)2+(y-b)2=1+b2. 1 由②得 b=- [(a+1)2+4]≤-2, 2
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∴b2≥4,b2+1≥5.当 a=-1,b=-2 时,⊙B 半径最小, ∴⊙B 方程为(x+1)2+(y+2)2=5. 例 4 解题导引 这是一道探索存在性问题,应先假设存在圆上两点关于直线对称, 由垂径定理可知圆心应在直线上,以 AB 为直径的圆经过原点 O,应联想直径所对的圆周角 为直角利用斜率或向量来解决.因此能否将问题合理地转换是解题的关键. 解 圆 C 的方程可化为(x-1)2+(y+2)2=9, 圆心为 C(1,-2). 假设在圆 C 上存在两点 A、B,则圆心 C(1,-2)在直线 y=kx-1 上,即 k=-1. 于是可知,kAB=1. 设 lAB:y=x+b,代入圆 C 的方程, 整理得 2x2+2(b+1)x+b2+4b-4=0,

Δ=4(b+1)2-8(b2+4b-4)>0,b2+6b-9<0, 解得-3-3 2<b<-3+3 2. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 1 则 x1+x2=-b-1,x1x2= b2+2b-2. 2 由 OA⊥OB,知 x1x2+y1y2=0, 也就是 x1x2+(x1+b)(x2+b)=0, ∴2x1x2+b(x1+x2)+b2=0, ∴b2+4b-4-b2-b+b2=0,化简得 b2+3b-4=0, 解得 b=-4 或 b=1,均满足 Δ>0. 即直线 AB 的方程为 x-y-4=0,或 x-y+1=0. 变式迁移 4 解 (1)方法一 ∵直线 l 过点 A(0,1)且斜率为 k, ∴直线 l 的方程为 y=kx+1. 将其代入圆 C:(x-2)2+(y-3)2=1, 得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0.① 由题意:Δ=[-4(1+k)]2-4×(1+k2)×7>0, 4- 7 4+ 7 得 <k< . 3 3 方法二 同方法一得直线方程为 y=kx+1, 即 kx-y+1=0. |2k-3+1| |2k-2| 又圆心到直线距离 d= = 2 , k2+1 k +1 |2k-2| 4- 7 4+ 7 ∴d= 2 <1,解得 <k< . 3 3 k +1 4+4k ? ?x +x = 1+k (2)设 M(x ,y ),N(x ,y ),则由①得? 7 ?x x =1+k ?
1 2 2 1 1 2 2 1 2 2



→ → ∴OM· ON=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1 4k?1+k? = +8=12?k=1(经检验符合题意),∴k=1. 1+k2 课后练习区
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1.C 2.C 3.D 4.A 5.D 6.1 7.-10 8.1 3π 9.解 (1)当 α= 时,kAB=-1, 4 直线 AB 的方程为 y-2=-(x+1),即 x+y-1=0.(3 分) |0+0-1| 2 故圆心(0,0)到 AB 的距离 d= = , 2 2 1 8- = 30.(6 分) 2 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2), 2 2 ? ?x1+y1=8, 则 x1+x2=-2,y1+y2=4.由? 2 2 ?x2+y2=8, ? 两式相减得(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0, 即-2(x1-x2)+4(y1-y2)=0, y1-y2 1 ∴kAB= = .(10 分) x1-x2 2 1 ∴直线 l 的方程为 y-2= (x+1), 2 即 x-2y+5=0.(12 分) 10. 从而弦长|AB|=2

解 已知圆 C:x2+y2-4x-4y+7=0 关于 x 轴对称的圆为 C1:(x-2)2+(y+2)2=1, 其圆心 C1 的坐标为(2,-2),半径为 1,由光的反射定律知,入射光线所在直线方程与圆 C1 相切.(4 分) 设 l 的方程为 y-3=k(x+3),则 |5k+2+3| =1,(8 分) 12+k2 4 3 即 12k2+25k+12=0.∴k1=- ,k2=- . 3 4 则 l 的方程为 4x+3y+3=0 或 3x+4y-3=0. (12 分) 11.解 两圆的标准方程分别为 (x-1)2+(y-3)2=11,(x-5)2+(y-6)2=61-m, 圆心分别为 M(1,3),N(5,6), 半径分别为 11和 61-m. (1)当两圆外切时, ?5-1?2+?6-3?2= 11+ 61-m. 解得 m=25+10 11.(4 分) (2)当两圆内切时,因定圆的半径 11小于两圆圆心间距离,故只有 61-m- 11=5. 解得 m=25-10 11.(8 分) (3)两圆的公共弦所在直线的方程为 (x2+y2-2x-6y-1)-(x2+y2-10x-12y+45)=0, 即 4x+3y-23=0.(12 分) 由圆的半径、弦长、弦心距间的关系,不难求得公共弦的长为

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? 11?2-?

?|4+3×3-23|?2 ? =2 7.(14 分) 42+32 ? ?

学案 51





导学目标: 1.了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问 题中的作用.2.掌握椭圆的定义,几何图形、标准方程及其简单几何性质.

自主梳理 1.椭圆的概念 在 平 面 内 与 两 个 定 点 F1 、 F2 的 距 离 的 和 等 于 常 数 ( 大 于 |F1F2|) 的 点 的 轨 迹 叫 做 ________.这两定点叫做椭圆的________,两焦点间的距离叫________. 集合 P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中 a>0,c>0,且 a,c 为常数: (1)若________,则集合 P 为椭圆; (2)若________,则集合 P 为线段; (3)若________,则集合 P 为空集. 2.椭圆的标准方程和几何性质 x2 y2 + =1 a2 b2 (a>b>0) y2 x2 + =1 a2 b2 (a>b>0)

标准方程

图形

范围 对称性 顶点 性 质 轴 焦距 离心率 a,b,c 的关系 自我检测

-a≤x≤a -b≤y≤b 对称轴:坐标轴 A1(-a,0),A2(a,0) B1(0,-b),B2(0,b)

-b≤x≤b -a≤y≤a 对称中心:原点 A1(0,-a),A2(0,a) B1(-b,0),B2(b,0)

长轴 A1A2 的长为 2a;短轴 B1B2 的长为 2b |F1F2|=2c c e= ∈(0,1) a c2=a2-b2

x2 1.已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆 +y2=1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的 3 另外一个焦点在 BC 边上,则△ABC 的周长是( ) A.2 3 B.6 C.4 3 D.12 2 2 2.(2011· 揭阳调研)“m>n>0”是方程“mx +ny =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
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C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2 2 3.已知椭圆 x sin α-y cos α=1 (0≤α<2π)的焦点在 y 轴上,则 α 的取值范围是( ) 3π ? π 3π? ? ? A.? 4 ,π? B.?4, 4 ? π ? π 3π? C.? D.? ?2,π? ? 2, 4 ? x2 y2 4.椭圆 + =1 的焦点为 F1 和 F2,点 P 在椭圆上,如果线段 PF1 的中点在 y 轴上, 12 3 那么|PF1|是|PF2|的( ) A.7 倍 B.5 倍 C.4 倍 D.3 倍 2 2 5.(2011· 开封模拟)椭圆 5x +ky =5 的一个焦点是(0,2),那么 k 等于( ) A.-1 B.1 C. 5 D.- 5

探究点一 椭圆的定义及应用 例 1 (教材改编)一动圆与已知圆 O1:(x+3)2+y2=1 外切,与圆 O2:(x-3)2+y2=81 内切,试求动圆圆心的轨迹方程.

变式迁移 1 求过点 A(2,0)且与圆 x2+4x+y2-32=0 内切的圆的圆心的轨迹方程.

探究点二 求椭圆的标准方程 例 2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程: (1)长轴是短轴的 3 倍且经过点 A(3,0); 1 ? (2)经过两点 A(0,2)和 B? ?2, 3?.

6 ,求椭圆的标准方程; 3 (2)已知椭圆的中心在原点, 以坐标轴为对称轴, 且经过两点 P1( 6, 1)、 P2(- 3, - 2), 求椭圆的标准方程. 变式迁移 2 (1)已知椭圆过(3,0),离心率 e=

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探究点三 椭圆的几何性质 例 3 (2011· 安阳模拟)已知 F1、 F2 是椭圆的两个焦点, P 为椭圆上一点, ∠F1PF2=60° . (1)求椭圆离心率的范围; (2)求证:△F1PF2 的面积只与椭圆的短轴长有关.

x2 y2 变式迁移 3 已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的长、短轴端点分别为 A、B,从此椭圆上一点 a b M(在 x 轴上方)向 x 轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点 F1,AB∥OM. (1)求椭圆的离心率 e; (2)设 Q 是椭圆上任意一点,F1、F2 分别是左、右焦点,求∠F1QF2 的取值范围.

方程思想的应用 (12 分)(2011· 北京朝阳区模拟)已知中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆 C 的离心率 1 3 为 ,且经过点 M(1, ),过点 P(2,1)的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 A,B. 2 2 (1)求椭圆 C 的方程; → → →2 (2)是否存在直线 l,满足PA· PB=PM ?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明 理由. 【答题模板】 x2 y2 解 (1)设椭圆 C 的方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b 例

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+ =1, ? ?a 4b 由题意得?c 1 = , a 2 ? ?a =b +c .
2 2 2 2 2 2

1

9

x2 y2 解得 a2=4,b2=3.故椭圆 C 的方程为 + =1.[4 分] 4 3

(2) 若 存 在 直 线 l 满 足 条 件 , 由 题 意 可 设 直 线 l 的 方 程 为 y = k(x - 2) + 1 , 由 x y2 ? ? 4 + 3 =1, ?

?y=k?x-2?+1, ?

得(3+4k2)x2-8k(2k-1)x+16k2-16k-8=0.[6 分] 因为直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 A,B, 设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 所以 Δ=[-8k(2k-1)]2-4· (3+4k2)· (16k2-16k-8)>0. 1 整理得 32(6k+3)>0,解得 k>- .[7 分] 2 8k?2k-1? 16k2-16k-8 又 x1+x2= ,x1x2= , 3+4k2 3+4k2 → → →2 且PA· PB=PM , 5 即(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)= , 4 5 所以(x1-2)(x2-2)(1+k2)= , 4 5 即[x1x2-2(x1+x2)+4](1+k2)= .[9 分] 4 16k2-16k-8 8k?2k-1? 4+4k2 5 2 所以[ -2× = , 2 2 +4](1+k )= 3+4k 3+4k 3+4k2 4 1 解得 k=± .[11 分] 2 1 所以 k= .于是存在直线 l 满足条件, 2 1 其方程为 y= x.[12 分] 2 【突破思维障碍】 直线与椭圆的位置关系主要是指公共点问题、 相交弦问题及其他综合问题. 反映在代数 上, 就是直线与椭圆方程联立的方程组有无实数解及实数解的个数的问题, 它体现了方程思 想的应用,当直线与椭圆相交时,要注意判别式大 于零这一隐含条件, 它可以用来检验所求参数的值是否有意义, 也可通过该不等式来求 参数的范围. 对直线与椭圆的位置关系的考查往往结合平面向量进行求解, 与向量相结合的 题目, 大都与共线、 垂直和夹角有关, 若能转化为向量的坐标运算往往更容易实现解题功能, 所以在复习过程中要格外重视.

1.求椭圆的标准方程,除了直接根据定义外,常用待定系数法(先定性,后定型,再定 x2 y2 参).当椭圆的焦点位臵不明确而无法确定其标准方程时,可设方程为 + =1 (m>0, m n n>0 且 m≠n), 可以避免讨论和繁杂的计算, 也可以设为 Ax2+By2=1 (A>0, B>0 且 A≠B), 这种形式在解题中更简便. 2.椭圆的几何性质分为两类:一是与坐标轴无关的椭圆本身固有的性质,如:长轴长、 短轴长、 焦距、 离心率等; 另一类是与坐标系有关的性质, 如: 顶点坐标, 焦点坐标等. 第 一类性质是常数,不因坐标系的变化而变化,第二类性质是随坐标系变化而相应改变.
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3.直线与椭圆的位臵关系问题.它是高考的热点,通常涉及椭圆的性质、最值的求法 和直线的基础知识、线段的中点、弦长、垂直问题等,分析此类问题时,要充分利用数 形结合法、设而不求法、弦长公式及根与系数的关系去解决.

(满分:75 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.(2011· 温州模拟)若△ABC 的两个顶点坐标分别为 A(-4,0)、B(4,0),△ABC 的周长为 18,则顶点 C 的轨迹方程为( ) x2 y2 y2 x2 A. + =1 (y≠0) B. + =1 (y≠0) 25 9 25 9 x2 y2 y2 x2 C. + =1 (y≠0) D. + =1 (y≠0) 16 9 16 9 2 2 x y 2.已知椭圆 + =1,长轴在 y 轴上,若焦距为 4,则 m 等于( ) 10-m m-2 A.4 B.5 C.7 D.8 3. 已知 F1、 F2 是椭圆的两个焦点, 过 F1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A、 B 两点, 若△ABF2 是等腰直角三角形,则这个椭圆的离心率是( ) 3 2 A. B. C. 2-1 D. 2 2 2 4.(2011· 天门期末)已知圆(x+2)2+y2=36 的圆心为 M,设 A 为圆上任一点,N(2,0), 线段 AN 的垂直平分线交 MA 于点 P,则动点 P 的轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 x2 y2 5.椭圆 + =1 上一点 M 到焦点 F1 的距离为 2,N 是 MF1 的中点,则|ON|等于( ) 25 9 3 A.2 B.4 C.8 D. 2 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 3 6.已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为 ,且 G 上一点到 G 的 2 两个焦点的距离之和为 12,则椭圆 G 的方程为______________. x2 y2 7.(2011· 唐山调研)椭圆 + =1 的焦点为 F1、F2,点 P 在椭圆上.若|PF1|=4,则|PF2| 9 2 =________;∠F1PF2 的大小为________. 8.

x2 y2 如图,已知点 P 是以 F1、F2 为焦点的椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)上一点,若 PF1⊥PF2,tan a b 1 ∠PF1F2= ,则此椭圆的离心率是______. 2 三、解答题(共 38 分) x2 y2 9. (12 分)已知方向向量为 v=(1, 3)的直线 l 过点(0, -2 3)和椭圆 C:2+ 2=1(a>b>0) a b 6 的右焦点,且椭圆的离心率为 . 3
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(1)求椭圆 C 的方程; → → (2)若已知点 D(3,0),点 M,N 是椭圆 C 上不重合的两点,且DM=λDN,求实数 λ 的取 值范围.

10.(12 分)(2011· 烟台模拟)椭圆 ax2+by2=1 与直线 x+y-1=0 相交于 A,B 两点,C 2 是 AB 的中点,若|AB|=2 2,OC 的斜率为 ,求椭圆的方程. 2

11.(14 分)(2010· 福建)已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 A(2,3),且点 F(2,0)为其 右焦点. (1)求椭圆 C 的方程. (2)是否存在平行于 OA 的直线 l,使得直线 l 与椭圆 C 有公共点,且直线 OA 与 l 的距 离等于 4?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由.

学案 51





自主梳理 1.椭圆 焦点 焦距 (1)a>c (2)a=c (3)a<c 自我检测 1.C 2.C 3.D 4.A 5.B 课堂活动区 例 1 解 如图所示,设动圆的圆心为 C,半径为 r.

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则由圆相切的性质知, |CO1|=1+r,|CO2|=9-r, ∴|CO1|+|CO2|=10, 而|O1O2|=6, ∴点 C 的轨迹是以 O1、O2 为焦点的椭圆,其中 2a=10,2c=6,b=4. ∴动圆圆心的轨迹方程为 x2 y2 + =1. 25 16 变式迁移 1 解 将圆的方程化为标准形式为: (x+2)2+y2=62,圆心 B(-2,0),r=6. 设动圆圆心 M 的坐标为(x,y), 动圆与已知圆的切点为 C.

则|BC|-|MC|=|BM|, 而|BC|=6, ∴|BM|+|CM|=6. 又|CM|=|AM|, ∴|BM|+|AM|=6>|AB|=4. ∴点 M 的轨迹是以点 B(-2,0)、A(2,0)为焦点、线段 AB 中点(0,0)为中心的椭圆. a=3,c=2,b= 5. x2 y2 ∴所求轨迹方程为 + =1. 9 5 例 2 解题导引 确定一个椭圆的标准方程,必须要有一个定位条件(即确定焦点的位 x2 臵)和两个定形条件(即确定 a, b 的大小). 当焦点的位臵不确定时, 应设椭圆的标准方程为 2 a y2 y2 x2 + 2=1 (a>b>0)或 2 + 2=1 (a>b>0),或者不必考虑焦点位臵,直接设椭圆的方程为 mx2+ b a b ny2=1 (m>0,n>0,且 m≠n). 解 (1)若椭圆的焦点在 x 轴上, x2 y2 设方程为 2 + 2=1 (a>b>0). a b 9 ∵椭圆过点 A(3,0),∴ 2=1, a x2 ∴a=3,又 2a=3· 2b,∴b=1,∴方程为 +y2=1. 9 y2 x2 若椭圆的焦点在 y 轴上,设方程为 2+ 2=1 (a>b>0). a b 9 ∵椭圆过点 A(3,0),∴ 2=1, b

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∴b=3,又 2a=3· 2b, y2 x2 ∴a=9,∴方程为 + =1. 81 9 x2 y2 x2 综上可知椭圆的方程为 +y2=1 或 + =1. 9 81 9 1 2 2 ? (2)设经过两点 A(0,2),B? ?2, 3?的椭圆标准方程为 mx +ny =1,将 A,B 坐标代入方 4n=1 m=1 ? ? ? ? y2 程得?1 ?? 1 ,∴所求椭圆方程为 x2+ =1. 4 ?4m+3n=1 ? ? ?n=4 c 6 变式迁移 2 解 (1)当椭圆的焦点在 x 轴上时,∵a=3, = ,∴c= 6,从而 b2= a 3 a2-c2=9-6=3, x2 y2 ∴椭圆的标准方程为 + =1. 9 3 当椭圆的焦点在 y 轴上时, a2-b2 c 6 6 ∵b=3, = ,∴ = ,∴a2=27. a 3 a 3 x2 y2 ∴椭圆的标准方程为 + =1. 9 27 x2 y2 x2 y2 ∴所求椭圆的标准方程为 + =1 或 + =1. 9 3 9 27 2 2 (2)设椭圆方程为 mx +ny =1 (m>0,n>0 且 m≠n). ∵椭圆经过 P1、P2 点,∴P1、P2 点坐标适合椭圆方程, ?6m+n=1, ① ? 则? ? ?3m+2n=1, ②

?m=9, ①②两式联立,解得? 1 ?n=3.
x2 y2 ∴所求椭圆方程为 + =1. 9 3 例 3 解题导引 (1)椭圆上一点与两焦点构成的三角形,称为椭圆的焦点三角形,与 焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|+|PF2|=2a,得到 a、c 的关 系. 定义式的平方 ? ? (2)对△F1PF2 的处理方法?余弦定理 ? ?面积公式 ?|PF |+|PF |? =?2a? , ? ?4c =|PF | +|PF | -2|PF ||PF |cos θ, ?? 1 ? ?S =2|PF ||PF |sin θ.
1 2 2 1 2 2 2 1 2


1

2

2

1

2

x2 y2 设椭圆方程为 2 + 2=1 (a>b>0), a b |PF1|=m,|PF2|=n. 在△PF1F2 中,由余弦定理可知, 4c2=m2+n2-2mncos 60° . 2 2 ∵m+n=2a,∴m +n =(m+n)2-2mn=4a2-2mn. ∴4c2=4a2-3mn,即 3mn=4a2-4c2. (1)解
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又 mn≤?

c2 1 1 ∴4a2-4c2≤3a2.∴ 2≥ ,即 e≥ . a 4 2 1 ? ∴e 的取值范围是? ?2,1?. 4 1 3 (2)证明 由(1)知 mn= b2,∴S△PF1F2= mnsin 60° = b2, 3 2 3 即△PF1F2 的面积只与短轴长有关. b2 变式迁移 3 解 (1)∵F1(-c,0),则 xM=-c,yM= , a b2 b ∴kOM=- .∵kAB=- ,OM∥AB, ac a b2 b c 2 ∴- =- ,∴b=c,故 e= = . ac a a 2 (2)设|F1Q|=r1,|F2Q|=r2,∠F1QF2=θ, ∴r1+r2=2a,|F1F2|=2c, 2 2 r2 ?r1+r2?2-2r1r2-4c2 1+r2-4c cos θ= = 2r1r2 2r1r2 2 2 a a = -1≥ -1=0, r1r2 r1+r2 2 ? ? 2 π 当且仅当 r1=r2 时,cos θ=0,∴θ∈[0, ]. 2 课后练习区 1.A 2.D 3.C 4.B 5.B x2 y2 5 6. + =1 7.2 120° 8. 36 9 3 9.解 (1)∵直线 l 的方向向量为 v=(1, 3), ∴直线 l 的斜率为 k= 3. 又∵直线 l 过点(0,-2 3), ∴直线 l 的方程为 y+2 3= 3x. ∵a>b,∴椭圆的焦点为直线 l 与 x 轴的交点. c 6 ∴c=2.又∵e= = ,∴a= 6.∴b2=a2-c2=2. a 3 x2 y2 ∴椭圆方程为 + =1.(6 分) 6 2 (2)若直线 MN⊥y 轴,则 M、N 是椭圆的左、右顶点, 3+ 6 3- 6 λ= 或 λ= ,即 λ=5+2 6或 5-2 6. 3- 6 3+ 6 x y ? ? 6 + 2 =1, 若 MN 与 y 轴不垂直,设直线 MN 的方程为 x=my+3(m≠0).由? 得(m2 ?x=my+3 ? +3)y2+6my+3=0. 设 M、N 坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 6m 则 y1+y2=- 2 ,① m +3 3 y1y2= 2 ,② m +3 3 Δ=36m2-12(m2+3)=24m2-36>0,∴m2> . 2
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2 2

m+n?2 2 ? 2 ? =a (当且仅当 m=n 时取等号),

→ → → → ∵DM=(x1-3,y1),DN=(x2-3,y2),DM=λDN,显然 λ>0,且 λ≠1, ∴(x1-3,y1)=λ(x2-3,y2).∴y1=λy2. 1 12m2 36 代入①②,得 λ+ = 2 -2=10- 2 . λ m +3 m +3
2 ? ?λ -2λ+1>0, 3 1 ∵m > ,得 2<λ+ <10,即? 2 2 λ ?λ -10λ+1<0, ? 2

解得 5-2 6<λ<5+2 6且 λ≠1. 综上所述,λ 的取值范围是 5-2 6≤λ≤5+2 6, 且 λ≠1.(12 分) 10.解 方法一 设 A(x1,y1)、B(x2,y2), 代入椭圆方程并作差得 a(x1+x2)(x1-x2)+b(y1+y2)(y1-y2)=0. y1-y2 y1+y2 2 而 =-1, =k = , x1-x2 x1+x2 OC 2 代入上式可得 b= 2a.(4 分) ?ax2+by2=1 ? 由方程组? ,得(a+b)x2-2bx+b-1=0, ? x + y - 1 = 0 ? b-1 2b ∴x1+x2= ,x1x2= , a+b a+b 再由|AB|= 1+k2 |x2-x1|= 2|x2-x1|=2 2, 2b b-1 得?a+b?2-4· =4,(8 分) ? ? a+b 1 2 将 b= 2a 代入得 a= ,∴b= . 3 3 x2 2y2 ∴所求椭圆的方程是 + =1.(12 分) 3 3 ?ax2+by2=1, ? 方法二 由? ? ?x+y=1 2 得(a+b)x -2bx+b-1=0.(2 分) 设 A(x1,y1)、B(x2,y2), 4b2-4?a+b??b-1? 则|AB|= ?k2+1??x1-x2?2= 2· . ?a+b?2 a+b-ab =1.①(6 分) a+b x1+x2 b a 设 C(x,y),则 x= = ,y=1-x= , 2 a+b a+b 2 a 2 ∵OC 的斜率为 ,∴ = .(9 分) 2 b 2 1 2 代入①,得 a= ,b= . 3 3 x2 2y2 ∴椭圆方程为 + =1.(12 分) 3 3 ∵|AB|=2 2,∴ 11.解 方法一

x2 y2 (1)依题意,可设椭圆 C 的方程为 2+ 2=1(a>b>0),且可知其左焦点 a b

为 F′(-2,0). ? ?c=2, 从而有? ?2a=|AF|+|AF′|=3+5=8, ?
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? ?c=2, 解得? 又 a2=b2+c2,所以 b2=12, ?a=4. ? x2 y2 故椭圆 C 的方程为 + =1.(5 分) 16 12

3 (2)假设存在符合题意的直线 l,设其方程为 y= x+t. 2 3 y= x+t, 2 由 2 得 3x2+3tx+t2-12=0.(7 分) x y2 + =1, 16 12

? ? ?

因为直线 l 与椭圆 C 有公共点, 所以 Δ=(3t)2-4×3×(t2-12)≥0, 解得-4 3≤t≤4 3.(9 分) 另一方面,由直线 OA 与 l 的距离 d=4, |t| 得 =4,解得 t=± 2 13.(12 分) 9 +1 4 由于± 2 13?[-4 3,4 3],所以符合题意的直线 l 不存在.(14 分) x2 y2 方法二 (1)依题意,可设椭圆 C 的方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b 4 9 ? ?a2+b2=1, 且有? 解得 b2=12 或 b2=-3(舍去).

?a2-b2=4. ?

从而 a2=16.(3 分)

x2 y2 所以椭圆 C 的方程为 + =1.(5 分) 16 12 (2)同方法一.

学案 52

双曲线

导学目标: 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它们的简单几何性质.2. 理解数形结合的思想.

自主梳理 1.双曲线的概念 平面内动点 P 与两个定点 F1、F2(|F1F2|=2c>0)的距离之差的绝对值为常数 2a(2a<2c), 则点 P 的轨迹叫________.这两个定点叫双曲线的________,两焦点间的距离叫________. 集合 P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中 a、c 为常数且 a>0,c>0; (1)当________时,P 点的轨迹是________; (2)当________时,P 点的轨迹是________; (3)当________时,P 点不存在. 2.双曲线的标准方程和几何性质 x2 y2 y2 x2 标准方程 - =1(a>0,b>0) 2- 2=1(a>0,b>0) a b a2 b2

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图形

x≥a 或 x≤-a,y∈R x∈R,y≤-a 或 y≥a 对称轴:坐标轴 对称轴:坐标轴 对称性 对称中心:原点 对称中心:原点 顶点坐标: 顶点坐标: 顶点 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a) b a 性质 渐近线 y=± x y=± x a b c 离心率 e= ,e∈(1,+∞),其中 c= a2+b2 a 线段 A1A2 叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a;线段 B1B2 叫 实虚轴 做双曲线的虚轴, 它的长|B1B2|=2b; a 叫做双曲线的实半轴长, b 叫做双曲线的虚半轴长 a、b、c 的关系 c2=a2+b2 (c>a>0,c>b>0) 3.实轴长和虚轴长相等的双曲线为________________,其渐近线方程为________,离心 率为________. 自我检测 1.(2011· 安徽)双曲线 2x2-y2=8 的实轴长是( ) A.2 B.2 2 C.4 D.4 2 x2 y2 2.已知双曲线 - 2=1 (b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,其中一条渐近线方程为 y 2 b → → =x,点 P( 3,y0)在该双曲线上,则PF1· PF2等于( ) A.-12 B.-2 C.0 D.4 3.(2011· 课标全国)设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点,且与 C 的一条对称轴垂直,l 与 C 交于 A,B 两点,|AB|为 C 的实轴长的 2 倍,则 C 的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.2 D.3 4 . (2011· 武汉调研 ) 已知点 (m , n) 在双曲线 8x2 - 3y2 = 24 上,则 2m + 4 的范围是 __________________. x2 y2 5. 已知 A(1,4), F 是双曲线 - =1 的左焦点, P 是双曲线右支上的动点, 求|PF|+|PA| 4 12 的最小值.

范围

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探究点一 双曲线的定义及应用 例 1 已知定点 A(0,7),B(0,-7),C(12,2),以 C 为一个焦点作过 A,B 的椭圆,求 另一焦点 F 的轨迹方程.

变式迁移 1 已知动圆 M 与圆 C1:(x+4)2+y2=2 外切,与圆 C2:(x-4)2+y2=2 内切, 求动圆圆心 M 的轨迹方程.

探究点二 求双曲线的标准方程 例 2 已知双曲线的一条渐近线方程是 x-2y=0,且过点 P(4,3),求双曲线的标准方 程.

变式迁移 2

x2 y2 (2011· 安庆模拟)已知双曲线与椭圆 + =1 的焦点相同,且它们的离心 9 25

14 率之和等于 ,则双曲线的方程为____________. 5 探究点三 双曲线几何性质的应用 例 3 已知双曲线的方程是 16x2-9y2=144. (1)求此双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程; (2)设 F1 和 F2 是双曲线的左、右焦点,点 P 在双曲线上,且|PF1|· |PF2|=32,求∠F1PF2 的大小.

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x2 变式迁移 3 已知双曲线 C: -y2=1. 2 (1)求双曲线 C 的渐近线方程; (2)已知 M 点坐标为(0,1),设 P 是双曲线 C 上的点,Q 是点 P 关于原点的对称点.记 λ → → =MP· MQ,求 λ 的取值范围.

方程思想的应用 x2 y2 例 (12 分)过双曲线 - =1 的右焦点 F2 且倾斜角为 30° 的直线交双曲线于 A、B 两 3 6 点,O 为坐标原点,F1 为左焦点. (1)求|AB|; (2)求△AOB 的面积; (3)求证:|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|. 多角度审题 (1)要求弦长|AB|需要 A、 B 两点坐标或设而不求利用弦长公式, 这就需要 先求直线 AB;(2)在(1)的基础上只要求点到直线的距离;(3)要充分联想到 A、B 两点在双曲 线上这个条件. 【答题模板】 (1)解 由双曲线的方程得 a= 3,b= 6, ∴c= a2+b2=3,F1(-3,0),F2(3,0). 3 直线 AB 的方程为 y= (x-3).设 A(x1,y1),B(x2,y2), 3

?y= 33?x-3? 由? x y ? 3 - 6 =1
2 2

,得 5x2+6x-27=0.[2 分]

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6 27 ∴x1+x2=- ,x1x2=- , 5 5 ∴ |AB| = 1+k2 |x1 - x2| = 分] (2)解 直线 AB 的方程变形为 3x-3y-3 3=0. |-3 3| 3 ∴原点 O 到直线 AB 的距离为 d= = .[6 分] 2 2 ? 3? +?-3? 2 1 1 16 3 3 12 3 ∴S△AOB= |AB|· d= × × = .[8 分] 2 2 5 2 5 (3)证明 1+? 3?2 · ?x1+x2?2-4x1x2 = ?3? 4 · 3 36 108 16 3 + = .[4 25 5 5

如图,由双曲线的定义得 |AF2|-|AF1|=2 3, |BF1|-|BF2|=2 3,[10 分] ∴|AF2|-|AF1|=|BF1|-|BF2|, 即|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|.[12 分] 【突破思维障碍】 写出直线方程,联立直线方程、双曲线方程,消元得关于 x 的一元二次方程,利用弦长 公式求|AB|, 再求点 O 到直线 AB 的距离从而求面积, 最后利用双曲线的定义求证等式成立. 【易错点剖析】 在直线和双曲线相交的情况下解题时易忽视消元后的一元二次方程的判别式 Δ>0, 而导 致错解. 1.区分双曲线中的 a,b,c 大小关系与椭圆中 a,b,c 的大小关系,在椭圆中 a2=b2 +c2,而在双曲线中 c2=a2+b2;双曲线的离心率大于 1,而椭圆的离心率 e∈(0,1). x2 y2 b y2 x2 2.双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)的渐近线方程是 y=± x, 2- 2=1 (a>0,b>0)的渐近 a b a a b a 线方程是 y=± x. b 3.双曲线标准方程的求法:(1)定义法,根据题目的条件,判断是否满足双曲线的定义, 若满足,求出相应的 a、b、c,即可求得方程.(2)待定系数法,其步骤是:①定位:确 定双曲线的焦点在哪个坐标轴上;②设方程:根据焦点的位臵设出相应的双曲线方程; ③定值:根据题目条件确定相关的系数.

(满分:75 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.已知 M(-2,0)、N(2,0),|PM|-|PN|=3,则动点 P 的轨迹是( ) A.双曲线 B.双曲线左边一支 C.双曲线右边一支 D.一条射线 x2 y2 2.设点 P 在双曲线 - =1 上,若 F1、F2 为双曲线的两个焦点,且|PF1|∶|PF2|=1∶ 9 16 3,则△F1PF2 的周长等于( ) A.22 B.16 C.14 D.12
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x2 y2 3.(2011· 宁波高三调研)过双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)的右焦点 F 作圆 x2+y2=a2 的切 a b 线 FM(切点为 M),交 y 轴于点 P.若 M 为线段 FP 的中点,则双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.2 D. 5 x2 y2 4.双曲线 2- 2=1 的左焦点为 F1,左、右顶点分别为 A1、A2,P 是双曲线右支上的 a b 一点,则分别以 PF1 和 A1A2 为直径的两圆的位置关系是( ) A.相交 B.相离 C.相切 D.内含 x2 y2 5.(2011· 山东)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆 C:x2+y2-6x+5 a b =0 相切,且双曲线的右焦点为圆 C 的圆心,则该双曲线的方程为( ) x2 y2 x2 y2 A. - =1 B. - =1 5 4 4 5 2 2 x y x2 y2 C. - =1 D. - =1 3 6 6 3 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) y2 x2 6. (2011· 上海)设 m 是常数, 若点 F(0,5)是双曲线 - =1 的一个焦点, 则 m=________. m 9 2 2 x y 7.设圆过双曲线 - =1 的一个顶点和一个焦点,圆心在此双曲线上,则此圆心到双 9 16 曲线中心的距离为______. 8.(2011· 铜陵期末)已知以双曲线 C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中, 有一个内角为 60° ,则双曲线 C 的离心率为________. 三、解答题(共 38 分) 9.(12 分)根据下列条件,求双曲线方程: x2 y2 (1)与双曲线 - =1 有共同的渐近线,且经过点(-3,2 3); 9 16 x2 y2 (2)与双曲线 - =1 有公共焦点,且过点(3 2,2). 16 4

10.(12 分)(2011· 广东)设圆 C 与两圆(x+ 5)2+y2=4,(x- 5)2+y2=4 中的一个内切, 另一个外切. (1)求圆 C 的圆心轨迹 L 的方程; 3 5 4 5 (2)已知点 M( , ),F( 5,0),且 P 为 L 上动点,求||MP|-|FP||的最大值及此时 5 5 点 P 的坐标. 1 11.(14 分)(2010· 四川)已知定点 A(-1,0),F(2,0),定直线 l:x= ,不在 x 轴上的动点 2
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P 与点 F 的距离是它到直线 l 的距离的 2 倍.设点 P 的轨迹为 E,过点 F 的直线交 E 于 B、 C 两点,直线 AB、AC 分别交 l 于点 M、N. (1)求 E 的方程; (2)试判断以线段 MN 为直径的圆是否过点 F,并说明理由.

学案 52
自主梳理 1.双曲线 焦点 焦距 y=± x e= 2 自我检测

双曲线

(1)a<c 双曲线 (2)a=c 两条射线 (3)a>c 3.等轴双曲线

x2 y2 1.C [∵2x2-y2=8,∴ - =1, 4 8 ∴a=2,∴2a=4.] 2.C x2 y2 3.B [设双曲线的标准方程为 2- 2=1(a>0,b>0),由于直线 l 过双曲线的焦点且与 a b 2 x2 y2 b4 2 2 c 对称轴垂直,因此直线 l 的方程为 l:x=c 或 x=-c,代入 2- 2=1 得 y =b ( 2-1)= 2, a b a a b2 2b 2 2b2 ∴y=± ,故|AB|= ,依题意 =4a, a a a 2 2 2 c -a b ∴ 2=2,∴ 2 =e2-1=2,∴e= 3.] a a 4.(-∞,4-2 3]∪[4+2 3,+∞) 5.解 设双曲线的右焦点为 F1,则由双曲线的定义可知 |PF|=2a+|PF1|=4+|PF1|, ∴|PF|+|PA|=4+|PF1|+|PA|. ∴当满足|PF1|+|PA|最小时,|PF|+|PA|最小. 由双曲线的图象可知当点 A、P、F1 共线时,满足|PF1|+|PA|最小,易求得最小值为|AF1| =5, 故所求最小值为 9. 课堂活动区 例 1 解题导引 求曲线的轨迹方程时,应尽量地利用几何条件探求轨迹的曲线类型, 从而再用待定系数法求出轨迹的方程,这样可以减少运算量,提高解题速度与质量.在运用 双曲线的定义时,应特别注意定义中的条件“差的绝对值”,弄清所求轨迹是整条双曲线, 还是双曲线的一支,若是一支,是哪一支,以确保轨迹的纯粹性和完备性. 解 设 F(x,y)为轨迹上的任意一点, 因为 A,B 两点在以 C,F 为焦点的椭圆上, 所以|FA|+|CA|=2a,|FB|+|CB|=2a (其中 a 表示椭圆的长半轴).
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所以|FA|+|CA|=|FB|+|CB|. 所以|FA|-|FB|=|CB|-|CA|= 122+92- 122+52=2. 所以|FA|-|FB|=2. 由双曲线的定义知,F 点在以 A,B 为焦点,2 为实轴长的双曲线的下半支上. x2 所以点 F 的轨迹方程是 y2- =1 (y≤-1). 48 变式迁移 1 解

设动圆 M 的半径为 r,则由已知得,|MC1|=r+ 2, |MC2|=r- 2, ∴|MC1|-|MC2|=2 2, 又 C1(-4,0),C2(4,0), ∴|C1C2|=8.∴2 2<|C1C2|. 根据双曲线定义知,点 M 的轨迹是以 C1(-4,0)、C2(4,0)为焦点的双曲线的右支. ∵a= 2,c=4,∴b2=c2-a2=14. x2 y2 ∴点 M 的轨迹方程是 - =1 (x≥ 2). 2 14 例 2 解题导引 根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程,一般用待定系数法转化 为解方程(组),但要注意焦点的位臵,从而正确选取方程的形式,当焦点不能定位时,则应 分两种情况讨论.解决本题的方法有两种:一先定位,避免了讨论;二利用其渐近线的双曲 x2 y2 线系,同样避免了对双曲线方程类型的讨论.在共渐近线的双曲线系 2- 2=λ (参数 λ≠0) a b 中,当 λ>0 时,焦点在 x 轴上;当 λ<0 时,焦点在 y 轴上. 解 方法一 ∵双曲线的一条渐近线方程为 x-2y=0, 当 x=4 时,y=2<yp=3, ∴双曲线的焦点在 y 轴上. a 1 从而有 = ,∴b=2a. b 2 y2 x2 设双曲线方程为 2- 2=1, a 4a 由于点 P(4,3)在此双曲线上, 9 16 ∴ 2- 2=1,解得 a2=5. a 4a y2 x2 ∴双曲线方程为 - =1. 5 20 方法二 ∵双曲线的一条渐近线方程为 x-2y=0, x 即 -y=0, 2 x2 ∴双曲线的渐近线方程为 -y2=0. 4 x2 2 设双曲线方程为 -y =λ (λ≠0), 4 42 ∵双曲线过点 P(4,3),∴ -32=λ,即 λ=-5. 4 x2 2 y2 x2 ∴所求双曲线方程为 -y =-5,即 - =1. 4 5 20

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y2 x2 - =1 4 12 x2 y2 解析 由于在椭圆 + =1 中,a2=25,b2=9,所以 c2=16,c=4,又椭圆的焦点在 9 25 4 y 轴上,所以其焦点坐标为(0,± 4),离心率 e= .根据题意知,双曲线的焦点也应在 y 轴上, 5 14 4 y2 x2 坐标为(0,± 4),且其离心率等于 - =2.故设双曲线的方程为 2- 2=1 (a>0,b>0),且 c 5 5 a b 1 y2 x2 2 2 2 2 =4,所以 a= c=2,a =4,b =c -a =12,于是双曲线的方程为 - =1. 2 4 12 例 3 解题导引 双曲线问题与椭圆问题类似,因而研究方法也有许多相似之处,如 利用“定义”“方程观点”“直接法或待定系数法求曲线方程”“数形结合”等. x2 y2 解 (1)由 16x2-9y2=144,得 - =1, 9 16 ∴a=3,b=4,c=5.焦点坐标 F1(-5,0), 5 F2(5,0),离心率 e= , 3 4 渐近线方程为 y=± x. 3 (2)||PF1|-|PF2||=6, |PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2 cos∠F1PF2= 2|PF1||PF2| 2 ?|PF1|-|PF2|? +2|PF1||PF2|-|F1F2|2 = 2|PF1||PF2| 36+64-100 = =0, 64 ∴∠F1PF2=90° . 2 变式迁移 3 解 (1)因为 a= 2,b=1,且焦点在 x 轴上,所以渐近线方程为 y- x 2 2 =0,y+ x=0. 2 (2)设 P 点坐标为(x0,y0),则 Q 的坐标为(-x0,-y0), → → λ=MP· MQ=(x0,y0-1)· (-x0,-y0-1) 3 2 2 =-x2 0-y0+1=- x0+2. 2 ∵|x0|≥ 2,∴λ 的取值范围是(-∞,-1]. 课后练习区 1.C 2.A 3.A 4.C x2 y2 b 5.A [∵双曲线 2- 2=1 的渐近线方程为 y=± x, a b a 圆 C 的标准方程为(x-3)2+y2=4,∴圆心为 C(3,0). 又渐近线方程与圆 C 相切, 即直线 bx-ay=0 与圆 C 相切, 3b ∴ 2 2=2,∴5b2=4a2.① a +b x2 y2 又∵ 2- 2=1 的右焦点 F2( a2+b2,0)为圆心 C(3,0), a b ∴a2+b2=9.② 由①②得 a2=5,b2=4. x2 y2 ∴双曲线的标准方程为 - =1.] 5 4 6.16 变式迁移 2
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解析 由已知条件有 52=m+9,所以 m=16. 16 6 7. 8. 3 2 9.解 (1)方法一 由题意可知所求双曲线的焦点在 x 轴上, (2 分) x2 y2 设双曲线的方程为 2- 2=1, a b

?a=3, 由题意,得? ?-3? ?2 3? ? a - b =1,
2 2 2 2

b

4

9 解得 a2= ,b2=4.(4 分) 4 4 y2 所以双曲线的方程为 x2- =1.(6 分) 9 4 x2 y2 方法二 设所求双曲线方程 - =λ (λ≠0),(2 分) 9 16 1 将点(-3,2 3)代入得 λ= ,(4 分) 4 x2 y2 1 所以双曲线方程为 - = , 9 16 4 4 2 y2 即 x - =1.(6 分) 9 4 x2 y2 (2)设双曲线方程为 2- 2=1.由题意 c=2 5.(8 分) a b ?3 2?2 4 又双曲线过点(3 2,2),∴ 2 - 2=1. a b 2 2 2 又∵a +b =(2 5) , ∴a2=12,b2=8.(10 分) x2 y2 故所求双曲线的方程为 - =1.(12 分) 12 8 10.解 (1)设圆 C 的圆心坐标为(x,y),半径为 r. 圆(x+ 5)2+y2=4 的圆心为 F1(- 5,0),半径为 2, 圆(x- 5)2+y2=4 的圆心为 F( 5,0),半径为 2. ? ? ?|CF1|=r+2, ?|CF1|=r-2, 由题意得? 或? ?|CF|=r-2 ?|CF|=r+2, ? ? ∴||CF1|-|CF||=4.(4 分) ∵|F1F|=2 5>4.

x2 ∴圆 C 的圆心轨迹是以 F1(- 5,0),F( 5,0)为焦点的双曲线,其方程为 -y2=1.(6 4 分) (2)由图知,||MP|-|FP||≤|MF|,

∴当 M,P,F 三点共线,且点 P 在 MF 延长线上时,|MP|-|FP|取得最大值|MF|,(8 分) 且|MF|=
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3 5 4 5 ? - 5?2+? -0?2=2.(9 分) 5 5

直线 MF 的方程为 y=-2x+2 5,与双曲线方程联立得

? ?y=-2x+2 5, ?x2 2 整理得 15x2-32 5x+84=0. ? ? 4 -y =1,
14 5 6 5 解得 x1= (舍去),x2= . 15 5 2 5 此时 y=- .(11 分) 5 6 5 2 5 ∴当||MP|-|FP||取得最大值 2 时,点 P 的坐标为( ,- ).(12 分) 5 5 11.解 (1)设 P(x,y), 1 x- ?, 则 ?x-2?2+y2=2? ? 2? y2 2 化简得 x - =1(y≠0).(5 分) 3 (2)①当直线 BC 与 x 轴不垂直时,设 BC 的方程为 y=k(x-2) (k≠0),与双曲线方程 x2

y2 - =1 联立消去 y, 3 得(3-k2)x2+4k2x-(4k2+3)=0. 由题意知,3-k2≠0 且 Δ>0.(7 分) 设 B(x1,y1),C(x2,y2), 4k2+3 4k2 则 x1+x2= 2 ,x1x2= 2 , k -3 k -3 y1y2=k2(x1-2)(x2-2)=k2[x1x2-2?x1+x2?+4] 2 2 2 ?4k +3- 8k +4?=-9k . =k2? 2 ? 2 2 ? k -3 k -3 ? k -3 因为 x1,x2≠-1, y1 所以直线 AB 的方程为 y= (x+1). x1+1 1 3y1 因此 M 点的坐标为?2,2?x +1??, ? ? 1 → ?-3, 3y1 ? FM= 2 2?x +1? . ? ? 1 3 3y2 → 同理可得FN=?-2,2?x +1??. ? ? 2 3 3 9y1y2 → → ? ? ? ? 因此FM· FN=?-2?×?-2?+ 4?x1+1??x2+1? -81k2 k2-3 9 = + =0.(11 分) 4 ?4k2+3 4k2 ? + 2 +1? 4? 2 ? k -3 k -3 ? ②当直线 BC 与 x 轴垂直时,其方程为 x=2,则 B(2,3),C(2,-3). AB 的方程为 y=x+1, 1 3? → ? 3 3? 因此 M 点的坐标为? ?2,2?,FM=?-2,2?. 3 3? → 同理可得FN=? ?-2,-2?. → → ? 3? ? 3? 3 ? 3? 因此FM· FN=?-2?×?-2?+ ×?-2?=0.(13 分) 2 → → 综上,FM· FN=0,故 FM⊥FN.
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故以线段 MN 为直径的圆过点 F.(14 分)

学案 53

抛物线

导学目标: 1.掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程,知道它们的简单几何性质.2. 理解数形结合的思想.

自主梳理 1.抛物线的概念 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(F?l)距离______的点的轨迹叫做抛物线. 点 F 叫做 抛物线的__________,直线 l 叫做抛物线的________. 2.抛物线的标准方程与几何性质 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py (p>0) (p>0) (p>0) (p>0) 标准方程 p 的几何意义:焦点 F 到准线 l 的距离

图形

顶点 对称轴 焦点 离心率 准线方程 范围 开口方向 p x=- 2 x≥0, y∈R 向右 p F( ,0) 2

O(0,0) y=0 p F(- ,0) 2 e=1 p x= 2 x≤0, y∈R 向左 p y=- 2 y≥0, x∈R 向上 p y= 2 y≤0, x∈R 向下 p F(0, ) 2 x=0 p F(0,- ) 2

自我检测 1.(2010· 四川)抛物线 y2=8x 的焦点到准线的距离是( ) A.1 B.2 C.4 D.8 x2 y2 2.若抛物线 y2=2px 的焦点与椭圆 + =1 的右焦点重合,则 p 的值为( ) 6 2 A.-2 B.2 C.-4 D.4 3.(2011· 陕西)设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x=-2,则抛物线的方程是( ) A.y2=-8x B.y2=8x C.y2=-4x D.y2=4x 2 4.已知抛物线 y =2px (p>0)的焦点为 F,点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3)在抛物 线上,且 2x2=x1+x3,则有( ) A.|FP1|+|FP2|=|FP3| B.|FP1|2+|FP2|2=|FP3|2 C.2|FP2|=|FP1|+|FP3| D.|FP2|2=|FP1|· |FP3| 5.(2011· 佛山模拟)已知抛物线方程为 y2=2px (p>0),过该抛物线焦点 F 且不与 x 轴垂 直的直线 AB 交抛物线于 A、B 两点,过点 A、点 B 分别作 AM、BN 垂直于抛物线的准线,
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分别交准线于 M、N 两点,那么∠MFN 必是( ) A.锐角 B.直角 C.钝角 D.以上皆有可能

探究点一 抛物线的定义及应用 例 1 已知抛物线 y2=2x 的焦点是 F,点 P 是抛物线上的动点,又有点 A(3,2),求|PA| +|PF|的最小值,并求出取最小值时 P 点的坐标. 变式迁移 1 已知点 P 在抛物线 y2=4x 上,那么点 P 到点 Q(2, -1)的距离与点 P 到抛 物线焦点距离之和取得最小值时,点 P 的坐标为( ) 1 1 ? ? A.? B.? ?4,-1? ?4,1? C.(1,2) D.(1,-2) 探究点二 求抛物线的标准方程 例 2 (2011· 芜湖调研)已知抛物线的顶点在原点,焦点在 y 轴上,抛物线上一点 M(m, -3)到焦点的距离为 5,求 m 的值、抛物线方程和准线方程.

变式迁移 2 根据下列条件求抛物线的标准方程: (1)抛物线的焦点 F 是双曲线 16x2-9y2=144 的左顶点; (2)过点 P(2,-4).

探究点三 抛物线的几何性质 例 3 过抛物线 y2=2px 的焦点 F 的直线和抛物线相交于 A,B 两点,如图所示.

(1)若 A,B 的纵坐标分别为 y1,y2,求证:y1y2=-p2; (2)若直线 AO 与抛物线的准线相交于点 C,求证:BC∥x 轴.
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变式迁移 3 已知 AB 是抛物线 y2=2px (p>0)的焦点弦,F 为抛物线的焦点,A(x1,y1), B(x2,y2).求证: p2 (1)x1x2= ; 4 1 1 (2) + 为定值. |AF| |BF|

分类讨论思想的应用 (12 分)过抛物线 y2=2px (p>0)焦点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点,过 B 点作其 → → 准线的垂线,垂足为 D,设 O 为坐标原点,问:是否存在实数 λ,使AO=λOD? 多角度审题 这是一道探索存在性问题,应先假设存在,设出 A、B 两点坐标,从而 得到 D 点坐标,再设出直线 AB 的方程,利用方程组和向量条件求出 λ. 【答题模板】 例

→ → 解 假设存在实数 λ,使AO=λOD. 抛物线方程为 y2=2px (p>0), p ? p 则 F? ?2,0?,准线 l:x=-2, (1)当直线 AB 的斜率不存在,即 AB⊥x 轴时, p ? ?p ? 交点 A、B 坐标不妨设为:A? ?2,p?,B?2,-p?. p - ,-p?, ∵BD⊥l,∴D? ? 2 ? → ? p → ? p → → ? ∴AO=?-2,-p?,OD=?-2,-p? ?,∴存在 λ=1 使AO=λOD.[4 分] (2)当直线 AB 的斜率存在时,
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p? 设直线 AB 的方程为 y=k? ?x-2? (k≠0),

p y2 y2 - ,y2?,x1= 1 ,x2= 2 , 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 D? ? 2 ? 2p 2p p ? ?y=k? x- ? -p2 2? ? 由? 得 ky2-2py-kp2=0,∴y1y2=-p2,∴y2= ,[8 分] y1 2 ? ?y =2px y2 p p p2 1 → → - ,-y1?,OD=?- ,y2?=?- ,- ?, AO=(-x1,-y1)=? y1? ? 2p ? ? 2 ? ? 2 y2 p 1 - =- λ 2 p 2 y2 y2 → → 1 1 假设存在实数 λ,使AO=λOD,则 ,解得 λ = ,∴存在实数 λ = , 2 p p2 p2 -y1=- λ y1

? ? ?

→ → 使AO=λOD. → → 综上所述,存在实数 λ,使AO=λOD.[12 分] 【突破思维障碍】 由抛物线方程得其焦点坐标和准线方程, 按斜率存在和不存在讨论, 由直线方程和抛物 → → 线方程组成方程组,研究 A、D 两点坐标关系,求出AO和OD的坐标,判断 λ 是否存在. 【易错点剖析】 解答本题易漏掉讨论直线 AB 的斜率不存在的情况,出现错误的原因是对直线的点斜式 方程认识不足. 1.关于抛物线的定义 要注意点 F 不在定直线 l 上,否则轨迹不是抛物线,而是一条直线. 2.关于抛物线的标准方程 抛物线的标准方程有四种不同的形式,这四种标准方程的联系与区别在于: (1)p 的几何意义:参数 p 是焦点到准线的距离,所以 p 恒为正数. (2)方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同,一次项系数的符号决定抛物 线的开口方向. 3.关于抛物线的几何性质 抛物线的几何性质,只要与椭圆、双曲线加以对照,很容易把握,但由于抛物线的离心 率等于 1,所以抛物线的焦点弦具有很多重要性质,而且应用广泛.例如: 已知过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于 A、B 两点,设 A(x1,y1),B(x2, 2p y2),则有下列性质:|AB|=x1+x2+p 或|AB|= 2 (α 为 AB 的倾斜角),y1y2=-p2,x1x2 sin α p2 = 等. 4

(满分:75 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.(2011· 大纲全国)已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,直线 y=2x-4 与 C 交于 A,B 两点,则 cos∠AFB 等于( ) 4 3 A. B. 5 5 3 4 C.- D.- 5 5
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2.(2011· 湖北)将两个顶点在抛物线 y2=2px(p>0)上,另一个顶点是此抛物线焦点的正 三角形个数记为 n,则( ) A.n=0 B.n=1 C.n=2 D.n≥3 2 3.已知抛物线 y =2px,以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是( ) A.相离 B.相交 C.相切 D.不确定 4.(2011· 泉州月考)已知点 A(-2,1),y2=-4x 的焦点是 F,P 是 y2=-4x 上的点,为 使|PA|+|PF|取得最小值,则 P 点的坐标是( ) 1 ? A.? B.(-2,2 2) ?-4,1? 1 - ,-1? C.? D.(-2,-2 2) ? 4 ? → → 5.设 O 为坐标原点,F 为抛物线 y2=4x 的焦点,A 为抛物线上一点,若OA· AF=-4, 则点 A 的坐标为( ) A.(2,± 2) B.(1,± 2) C.(1,2) D.(2, 2) 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 6.(2011· 重庆)设圆 C 位于抛物线 y2=2x 与直线 x=3 所围成的封闭区域(包含边界)内, 则圆 C 的半径能取到的最大值为________. 7.(2011· 济宁期末)已知 A、B 是抛物线 x2=4y 上的两点,线段 AB 的中点为 M(2,2), 则|AB|=________. 8.(2010· 浙江)设抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,点 A(0,2).若线段 FA 的中点 B 在 抛物线上,则 B 到该抛物线准线的距离为________. 三、解答题(共 38 分) 9. (12 分)已知顶点在原点, 焦点在 x 轴上的抛物线截直线 y=2x+1 所得的弦长为 15, 求抛物线方程.

10. (12 分)(2011· 韶关模拟)已知抛物线 C: x2=8y.AB 是抛物线 C 的动弦, 且 AB 过 F(0,2), 分别以 A、B 为切点作轨迹 C 的切线,设两切线交点为 Q,证明:AQ⊥BQ.

11.(14 分)(2011· 济南模拟)已知定点 F(0,1)和直线 l1:y=-1,过定点 F 与直线 l1 相切
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的动圆圆心为点 C. (1)求动点 C 的轨迹方程; → → (2)过点 F 的直线 l2 交轨迹 C 于两点 P、Q,交直线 l1 于点 R,求RP· RQ的最小值.

学案 53
自主梳理 1.相等 焦点 准线 自我检测 1.C

抛物线

p [因为抛物线的准线方程为 x=-2,所以 =2,所以 p=4,所以抛物线的方程是 2 2 y =8x.所以选 B.] 3.B 4.C 5.B 课堂活动区 例 1 解题导引 重视定义在解题中的应用,灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离 与到准线距离的等价转化,是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径. 解 2.B

将 x=3 代入抛物线方程 y2=2x,得 y=± 6. ∵ 6>2,∴A 在抛物线内部. 设抛物线上点 P 到准线 l: 1 x=- 的距离为 d,由定义知 2 |PA|+|PF|=|PA|+d, 7 当 PA⊥l 时,|PA|+d 最小,最小值为 , 2 7 即|PA|+|PF|的最小值为 , 2 此时 P 点纵坐标为 2,代入 y2=2x,得 x=2, ∴点 P 坐标为(2,2). 变式迁移 1 A [

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点 P 到抛物线焦点的距离等于点 P 到抛物线准线的距离, 如图, |PF|+|PQ|=|PS|+|PQ|, 1 ? 故最小值在 S, P, Q 三点共线时取得, 此时 P, Q 的纵坐标都是-1, 点 P 的坐标为? ?4,-1?.] 例 2 解题导引 (1)求抛物线方程时,若由已知条件可知所求曲线是抛物线,一般用 待定系数法.若由已知条件可知所求曲线的动点的轨迹,一般用轨迹法; (2)待定系数法求抛物线方程时既要定位(即确定抛物线开口方向),又要定量(即确定参 数 p 的值).解题关键是定位,最好结合图形确定方程适合哪种形式,避免漏解; (3)解决抛物线相关问题时,要善于用定义解题,即把|PF|转化为点 P 到准线的距离,这 种“化斜为直”的转化方法非常有效,要注意领会和运用. 解 方法一 设抛物线方程为 x2=-2py (p>0), p? p 则焦点为 F? ?0,-2?,准线方程为 y=2. ∵M(m,-3)在抛物线上,且|MF|=5, m2=6p, ? ? ?p=4, ∴? 解得 ? p ?2 2 6. ?m=± m2+? ? ?-3+2? =5, ? ∴抛物线方程为 x2=-8y,m=± 2 6, 准线方程为 y=2. 方法二 如图所示,

设抛物线方程为 x2=-2py (p>0), p? 则焦点 F? ?0,-2?, p 准线 l:y= ,作 MN⊥l,垂足为 N. 2 p 则|MN|=|MF|=5,而|MN|=3+ , 2 p ∴3+ =5,∴p=4.∴抛物线方程为 x2=-8y, 2 准线方程为 y=2.由 m2=(-8)×(-3),得 m=± 2 6. x2 y2 变式迁移 2 解 (1)双曲线方程化为 - =1, 9 16 p 左顶点为(-3,0),由题意设抛物线方程为 y2=-2px (p>0)且- =-3,∴p=6.∴方程 2 2 为 y =-12x. (2)由于 P(2,-4)在第四象限且对称轴为坐标轴,可设方程为 y2=mx (m>0)或 x2=ny (n<0),代入 P 点坐标求得 m=8,n=-1, ∴所求抛物线方程为 y2=8x 或 x2=-y. 例 3 解题导引 解决焦点弦问题时,抛物线的定义有着广泛的应用,而且还应注意 焦点弦的几何性质.焦点弦有以下重要性质(AB 为焦点弦,以 y2=2px (p>0)为例):
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p ? (1)方法一 由抛物线的方程可得焦点坐标为 F? ?2,0?.设过焦点 F 的直线交抛物 线于 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2). ①当斜率存在时,过焦点的直线方程可设为 p ? ?y=k? x- ?, p? ? 2? ? y=k?x-2?,由? ? ?y2=2px, 消去 x,得 ky2-2py-kp2=0.(*) 当 k=0 时,方程(*)只有一解,∴k≠0, 由韦达定理,得 y1y2=-p2; ②当斜率不存在时,得两交点坐标为 ?p,p?,?p,-p?,∴y1y2=-p2. ?2 ? ?2 ? 综合两种情况,总有 y1y2=-p2. p ? p 方法二 由抛物线方程可得焦点 F? ?2,0?,设直线 AB 的方程为 x=ky+2,并设 A(x1, y1),B(x2,y2), p ? ?x=ky+2, 则 A、B 坐标满足? 证明

p2 ①y1y2=-p2,x1x2= ; 4 ②|AB|=x1+x2+p.

? ?y2=2px, p? 消去 x,可得 y2=2p? ?ky+2?,

整理,得 y2-2pky-p2=0,∴y1y2=-p2. y1 (2)直线 AC 的方程为 y= x, x1 2 p py1 py -p y1 - ,- ?,yC=- 1= ∴点 C 坐标为? . 2x1? ? 2 2x1 2px1 2 ∵点 A(x1,y1)在抛物线上,∴y1=2px1. y1y2· y1 又由(1)知,y1y2=-p2,∴yC= 2 =y2,∴BC∥x 轴. y1 p ? ? p? 变式迁移 3 证明 (1) ∵ y2 = 2px (p>0) 的焦点 F ? ?2,0? ,设直线方程为 y= k?x-2? (k≠0), p ? ?y=k? x- ? 2? ,消去 x,得 ky2-2py-kp2=0. ? 由?

? ?y2=2px

?y1y2?2 p2 ∴y1y2=-p2,x1x2= = , 4p2 4 p p2 当 k 不存在时,直线方程为 x= ,这时 x1x2= . 2 4 p2 因此,x1x2= 恒成立. 4 1 1 1 1 (2) + = + |AF| |BF| p p x1+ x+ 2 2 2 x1+x2+p = . p p2 x1x2+ ?x1+x2?+ 2 4
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p2 1 1 2 又∵x1x2= ,代入上式得 + = =常数, 4 |AF| |BF| p 1 1 所以 + 为定值. |AF| |BF| 课后练习区 ? ? ? ?y=2x-4, ?x=1, ?x=4, 1.D [方法一 由? 2 得? 或? ?y =4x, ?y=-2 ?y=4. ? ? ? 令 B(1,-2),A(4,4),又 F(1,0), ∴由两点间距离公式得|BF|=2,|AF|=5,|AB|=3 5. |BF|2+|AF|2-|AB|2 4+25-45 ∴cos∠AFB= = 2|BF|· |AF| 2×2×5 4 =- . 5 方法二 由方法一得 A(4,4),B(1,-2),F(1,0), → → ∴FA=(3,4),FB=(0,-2), → → ∴|FA|= 32+42=5,|FB|=2. → → FA· FB 3×0+4×?-2? 4 ∴cos∠AFB= = =- .] 5 → → 5×2 |FA|· |FB| 2.C [

p 如图所示,A,B 两点关于 x 轴对称,F 点坐标为( ,0),设 A(m, 2pm)(m>0),则由 2 抛物线定义, |AF|=|AA1|, p 即 m+ =|AF|. 2 又|AF|=|AB|=2 2pm, p p2 ∴m+ =2 2pm,整理,得 m2-7pm+ =0,① 2 4 p2 2 2 ∴Δ=(-7p) -4× =48p >0, 4 p2 ∴方程①有两相异实根,记为 m1,m2,且 m1+m2=7p>0,m1· m2= >0, 4 ∴m1>0,m2>0,∴n=2.] 3.C 4.A [过 P 作 PK⊥l (l 为抛物线的准线)于 K,则|PF|=|PK|, ∴|PA|+|PF|=|PA|+|PK|. ∴当 P 点的纵坐标与 A 点的纵坐标相同时,|PA|+|PK|最小,此时 P 点的纵坐标为 1, 1 ? 1 把 y=1 代入 y2=-4x,得 x=- ,即当 P 点的坐标为? ?-4,1?时,|PA|+|PF|最小.] 4 5.B 6. 6-1

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解析 如图所示,若圆 C 的半径取到最大值,需圆与抛物线及直线 x=3 同时相切,设 圆心的坐标为(a,0)(a<3),则圆的方程为(x-a)2+y2=(3-a)2,与抛物线方程 y2=2x 联立得 x2+(2-2a)x+6a-9=0,由判别式 Δ=(2-2a)2-4(6a-9)=0,得 a=4- 6,故此时半径 为 3-(4- 6)= 6-1. 7.4 2 解析 由题意可设 AB 的方程为 y=kx+m,与抛物线方程联立得 x2-4kx-4m=0,线 段 AB 中点坐标为(2,2),x1+x2=4k=4,得 k=1. 又∵y1+y2=k(x1+x2)+2m=4, ∴m=0.从而直线 AB:y=x,|AB|=2|OM|=4 2. 3 2 8. 4 p ? p ,0 ,线段 FA 的中点 B 的坐标为? ,1?,代入抛物 解析 抛物线的焦点 F 的坐标为? 2 ? ? ?4 ? p 2 线方程得 1=2p× ,解得 p= 2,故点 B 的坐标为? ,1?,故点 B 到该抛物线准线的距离 4 ?4 ? 2 2 3 2 为 + = . 4 2 4 9.解 设直线和抛物线交于点 A(x1,y1),B(x2,y2), 2 ? ?y =2px 2 ? (1)当抛物线开口向右时,设抛物线方程为 y =2px (p>0),则 ,消去 y 得, ?y=2x+1 ? 4x2-(2p-4)x+1=0, p-2 1 ∴x1+x2= ,x1x2= ,(4 分) 2 4 2 ∴|AB|= 1+k |x1-x2| = 5· ?x1+x2?2-4x1x2 p-2?2 1 = 5· ? ? 2 ? -4×4= 15,(7 分) p2 则 -p= 3,p2-4p-12=0,解得 p=6(p=-2 舍去), 4 抛物线方程为 y2=12x.(9 分) (2)当抛物线开口向左时,设抛物线方程为 y2=-2px (p>0),仿(1)不难求出 p=2, 此时抛物线方程为 y2=-4x.(11 分) 综上可得, 所求的抛物线方程为 y2=-4x 或 y2=12x.(12 分) 10.证明 因为直线 AB 与 x 轴不垂直, 设直线 AB 的方程为 y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2). y=kx+2, ? ? 由? 1 2 ? ?y=8x , 可得 x2-8kx-16=0,x1+x2=8k,x1x2=-16.(4 分) 1 1 抛物线方程为 y= x2,求导得 y′= x.(7 分) 8 4
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所以过抛物线上 A、B 两点的切线斜率分别是 1 1 1 1 k1= x1,k2= x2,k1k2= x1· x2 4 4 4 4 1 = x1· x2=-1.(10 分) 16 所以 AQ⊥BQ.(12 分) 11.解 (1)由题设点 C 到点 F 的距离等于它到 l1 的距离,

所以点 C 的轨迹是以 F 为焦点,l1 为准线的抛物线, ∴所求轨迹的方程为 x2=4y.(5 分) (2)由题意直线 l2 的方程为 y=kx+1,与抛物线方程联立消去 y 得 x2-4kx-4=0. 记 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 x1+x2=4k,x1x2=-4.(8 分) 2 ? 因为直线 PQ 的斜率 k≠0,易得点 R 的坐标为? ?-k,-1?.(9 分) 2 → → ? ?x2+2,y2+1? RP· RQ=?x1+k,y1+1? k ?· ? ? 2 2 ?? ? =? ?x1+k??x2+k?+(kx1+2)(kx2+2) 2 4 ? =(1+k2)x1x2+? ? k+2k?(x1+x2)+k2+4 2 ? 4 =-4(1+k2)+4k? ?k+2k?+k2+4 1 k2+ 2?+8,(11 分) =4? k? ? 1 2 ∵k + 2≥2,当且仅当 k2=1 时取到等号. k → → → → RP· RQ≥4×2+8=16,即RP· RQ的最小值为 16. (14 分)

学案 54

直线与圆锥曲线的位置关系

导学目标: 1.了解圆锥曲线的简单应用.2.理解数形结合的思想.

自主梳理 1.直线与椭圆的位置关系的判定方法 (1)将直线方程与椭圆方程联立,消去一个未知数,得到一个一元二次方程,若 Δ>0, 则直线与椭圆________; 若 Δ=0, 则直线与椭圆________; 若 Δ<0, 则直线与椭圆________. (2)直线与双曲线的位置关系的判定方法 将直线方程与双曲线方程联立消去 y(或 x),得到一个一元方程 ax2+bx+c=0. ①若 a≠0,当 Δ>0 时,直线与双曲线________;当 Δ=0 时,直线与双曲线________; 当 Δ<0 时,直线与双曲线________. ②若 a=0 时,直线与渐近线平行,与双曲线有________交点. (3)直线与抛物线位置关系的判定方法 将直线方程与抛物线方程联立,消去 y(或 x),得到一个一元方程 ax2+bx+c=0. ①当 a≠0,用 Δ 判定,方法同上.
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②当 a=0 时,直线与抛物线的对称轴________,只有________交点. 2.已知弦 AB 的中点,研究 AB 的斜率和方程 x2 y2 (1)AB 是椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)的一条弦,M(x0,y0)是 AB 的中点,则 kAB=________, a b kAB· kOM=__________.点差法求弦的斜率的步骤是: 2 2 x1 y2 x2 y2 1 2 ①将端点坐标代入方程: 2+ 2=1, 2+ 2=1. a b a b 2 x1 x2 y2 y2 2 1 2 ②两等式对应相减: 2- 2+ 2- 2=0. a a b b y1-y2 b2?x1+x2? b2x0 ③分解因式整理:kAB= =- 2 =- 2 . a y0 x1-x2 a ?y1+y2? x2 y2 (2)运用类比的手法可以推出:已知 AB 是双曲线 2- 2=1 的弦,中点 M(x0,y0),则 kAB a b 2 = __________________. 已知抛物线 y = 2px (p>0) 的弦 AB 的中点 M(x0 , y0) ,则 kAB = ____________. 3.弦长公式 直线 l:y=kx+b 与圆锥曲线 C:F(x,y)=0 交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点, 则|AB|= 1+k2|x1-x2| = 1+k2 ?x1+x2?2-4x1x2 1 1 或|AB|= 1+ 2|y1-y2|= 1+ 2· ?y1+y2?2-4y1y2. k k 自我检测 1.抛物线 y2=4x 的焦点为 F,准线为 l,经过 F 且斜率为 3的直线与抛物线在 x 轴上 方的部分相交于点 A,AK⊥l,垂足为 K,则△AKF 的面积是( ) A.4 B.3 3 C.4 3 D.8 2. (2011· 中山调研)与抛物线 x2=4y 关于直线 x+y=0 对称的抛物线的焦点坐标是( ) 1 ? A.(1,0) B.? ?16,0? 1? C.(-1,0) D.? ?0,-16? x2 y2 3.(2011· 许昌模拟)已知曲线 + =1 和直线 ax+by+1=0 (a、b 为非零实数),在同 a b 一坐标系中,它们的图形可能是( )

1? 2 4.(2011· 杭州模拟)过点? ?0,-2?的直线 l 与抛物线 y=-x 交于 A、B 两点,O 为坐标 → → 原点,则OA· OB的值为( ) 1 1 A.- B.- 2 4

C.-4

D.无法确定

探究点一 直线与圆锥曲线的位置关系 例 1 k 为何值时, 直线 y=kx+2 和曲线 2x2+3y2=6 有两个公共点?有一个公共点? 没有公共点?

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1 变式迁移 1 已知抛物线 C 的方程为 x2= y,过 A(0,-1),B(t,3)两点的直线与抛物线 2 C 没有公共点,则实数 t 的取值范围是( ) A.(-∞,-1)∪(1,+∞) 2 2 B.?-∞,- ?∪? ,+∞? 2? ?2 ? ? C.(-∞,-2 2)∪(2 2,+∞) D.(-∞,- 2)∪( 2,+∞) 探究点二 圆锥曲线中的弦长问题 x2 例 2 如图所示,直线 y=kx+b 与椭圆 +y2=1 交于 A、B 两点, 4

记△AOB 的面积为 S. (1)求在 k=0,0<b<1 的条件下,S 的最大值; (2)当|AB|=2,S=1 时,求直线 AB 的方程.

变式迁移 2 已知椭圆的两焦点为 F1(- 3,0),F2( 3,0),离心率 e=

3 . 2

(1)求椭圆的标准方程; (2)设直线 l:y=x+m,若 l 与椭圆相交于 P,Q 两点,且|PQ|等于椭圆的短轴长,求 m 的值.

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探究点三 求参数的范围问题 例 3 (2011· 开封模拟)直线 m:y=kx+1 和双曲线 x2-y2=1 的左支交于 A、B 两点, 直线 l 过点 P(-2,0)和线段 AB 的中点 M,求 l 在 y 轴上的截距 b 的取值范围.

x2 变式迁移 3 在平面直角坐标系 xOy 中,经过点(0, 2)且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 + 2 2 y =1 有两个不同的交点 P 和 Q. (1)求 k 的取值范围; → (2)设椭圆与 x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为 A、B,是否存在常数 k,使得向量OP → → +OQ与AB共线?如果存在,求 k 值;如果不存在,请说明理由.

例 l1,l2,

函数思想的应用 x2 y2 x2 y2 (12 分)已知椭圆 C 的方程为 2+ 2=1 (a>b>0),双曲线 2- 2=1 的两条渐近线为 a b a b

过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l,使 l⊥l1,又 l 与 l2 交于 P 点,设 l 与椭圆 C 的两个交点 由上至下依次为 A,B. (1)当 l1 与 l2 夹角为 60° ,双曲线的焦距为 4 时,求椭圆 C 的方程及离心率; |FA| (2)求 的最大值. |AP| 【答题模板】 b b 解 (1)双曲线的渐近线为 y=± x,两渐近线夹角为 60° ,又 <1,∴∠POx=30° , a a b 3 ∴ =tan 30° = ,∴a= 3b.又 a2+b2=22, a 3 ∴3b2+b2=4,[2 分]

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x2 ∴b2=1,a2=3,∴椭圆 C 的方程为 +y2=1, 3 2 2 a -b 6 ∴离心率 e= = .[4 分] a 3 a b (2)由已知,l:y= (x-c)与 y= x 联立, b a 2 a ab ? 解方程组得 P? ? c , c ?.[6 分] a2 ab |FA| → → ? 设 =λ,则FA=λAP,∵F(c,0),设 A(x0,y0),则(x0-c,y0)=λ? ? c -x0, c -y0?, |AP| a2 ab a2 ab c+λ· λ· ?c+λ· c c λ· ? c c? ∴x0= ,y0= .即 A? ? 1+λ ,1+λ?.[8 分] 1+λ 1+λ ? ? 2 2 2 2 4 将 A 点坐标代入椭圆方程,得(c +λa ) +λ a =(1+λ)2a2c2, 等式两边同除以 a4,(e2+λ)2+λ2=e2(1+λ)2,e∈(0,1),[10 分] 4 2 2 2 2 e -e ∴λ = 2 =-??2-e ?+2-e2?+3 ? ? e -2 ≤-2 2 ?2-e2?· 2+3=3-2 2=( 2-1)2, 2-e

|FA| ∴当 2-e2= 2,即 e2=2- 2时,λ 有最大值 2-1,即 的最大值为 2-1.[12 分] |AP| 【突破思维障碍】 最值问题是从动态角度去研究解析几何中数学问题的主要内容, 一是在准确把握题意的 基础上,建立函数、不等式模型,利用二次函数、三角函数的有界性、基本不等式解决;二 是利用数形结合,考虑相切、相交的几何意义解决. 【易错点剖析】 e4-e2 |FA| 不能把 转化成向量问题,使得运算繁琐造成错误,由 λ2= 2 不会求最值或忽视 |AP| e -2 e2-2<0 这个隐含条件. 1.直线与圆锥曲线的位臵关系是解析几何的重点内容之一,也是高考的热点,这类问 题往往与函数、不等式、三角、向量等知识综合、交汇考查,而且对综合能力的考查显 见其中.因此解决此类问题需要有较广的知识面及较强的解决问题的能力. 2.从题目类型上多见于与弦的中点、弦长、弦所在直线的斜率等有关的最值问题、参 数范围问题.基本思路就是直线方程与圆锥曲线方程联立消元得到形如 ax2+bx+c=0 -b c 的方程,由韦达定理得 x1+x2= ,x1x2= .然后再把要研究的问题转化为用 x1+x2 和 a a x1x2 去表示.最后,用函数、不等式等知识加以解决.需要注意的就是要注意对隐含条 件的挖掘,比如判别式 Δ≥0,圆锥曲线中有关量的固有范围等.

(满分:75 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) x2 y2 1.(2011· 菏泽调研)F1、F2 是椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)的两个焦点,P 是椭圆上任一点, a b 从任一焦点引∠F1PF2 的外角平分线的垂线,垂足为 Q,则点 Q 的轨迹为( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线

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x2 y2 2.若双曲线 - =1 的渐近线上的点 A 与双曲线的右焦点 F 的距离最小,抛物线 y2 9 4 =2px (p>0)通过点 A,则 p 的值为( ) 9 2 13 13 A. B.2 C. D. 2 13 13 3.(2011· 武汉月考)已知直线 l1:4x-3y+6=0 和直线 l2:x=-1,抛物线 y2=4x 上一 动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是( ) 11 37 A.2 B.3 C. D. 5 16 2 4.已知直线 y=k(x+2) (k>0)与抛物线 C:y =8x 相交于 A、B 两点,F 为 C 的焦点.若 |FA|=2|FB|,则 k 等于( ) 1 2 2 2 2 A. B. C. D. 3 3 3 3 x2 2 5.斜率为 1 的直线 l 与椭圆 +y =1 相交于 A、B 两点,则|AB|的最大值为( ) 4 4 5 A.2 B. 5 4 10 8 10 C. D. 5 5 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) x2 y2 6. (2011 届合肥期末)若直线 y=kx+1 (k∈R)与焦点在 x 轴上的椭圆 + =1 恒有公共 5 t 点,则 t 的范围是______________. y2 7.P 为双曲线 x2- =1 右支上一点,M、N 分别是圆(x+4)2+y2=4 和(x-4)2+y2=1 15 上的点,则|PM|-|PN|的最大值为________. 8.(2010· 全国Ⅱ)已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的准线为 l,过 M(1,0)且斜率为 3的直线 与 l 相交于点 A,与 C 的一个交点为 B,若 AM =M B ,则 p=________. 三、解答题(共 38 分) 9. (12 分)已知抛物线 y=-x2+3 上存在关于直线 x+y=0 对称的相异两点 A、 B, 求|AB| 的长.





x2 y2 3 10.(12 分)(2010· 天津)已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 e= ,连接椭圆的四个顶 a b 2 点得到的菱形的面积为 4. (1)求椭圆的方程; (2)设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A,B,已知点 A 的坐标为(-a,0),点 Q(0,y0)在 → → 线段 AB 的垂直平分线上,且QA· QB=4,求 y0 的值.

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x2 y2 11.(14 分)(2011· 江西)P(x0,y0)(x0≠± a)是双曲线 E: 2- 2=1(a>0,b>0)上一点,M, a b 1 N 分别是双曲线 E 的左,右顶点,直线 PM,PN 的斜率之积为 . 5 (1)求双曲线的离心率; (2)过双曲线 E 的右焦点且斜率为 1 的直线交双曲线于 A,B 两点,O 为坐标原点,C 为 → → → 双曲线上一点,满足OC=λOA+OB,求 λ 的值.

学案 54

直线与圆锥曲线的位置关系

自主梳理 1.(1)相交 相切 相离 (2)①相交 相切 相离 ②一个 b2x0 b2 b2x0 p (3)②平行 一个 2.(1)- 2 - 2 (2) 2 a y0 a a y0 y0 自我检测 1.C 2.C 3.C 4.B 课堂活动区 例 1 解题导引 用直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组解的个数,可以研究直线 与圆锥曲线的位臵关系,也就是用代数的方法研究几何问题,这是解析几何的重要思想方 法.方程组消元后要注意所得方程的二次项系数是否含有参数,若含参数,需按二次项系数 是否为零进行分类讨论,只有二次项系数不为零时,方程才是一元二次方程,后面才可以用 判别式 Δ 的符号判断方程解的个数,从而说明直线与圆锥曲线的位臵关系. ? ?y=kx+2, 解 由? 2 得 2x2+3(kx+2)2=6, 2 ?2x +3y =6, ? 即(2+3k2)x2+12kx+6=0, Δ=144k2-24(2+3k2)=72k2-48. 6 6 当 Δ=72k2-48>0,即 k> 或 k<- 时,直线和曲线有两个公共点; 3 3 6 6 当 Δ=72k2-48=0,即 k= 或 k=- 时,直线和曲线有一个公共点; 3 3 6 6 当 Δ=72k2-48<0,即- <k< 时,直线和曲线没有公共点. 3 3 4 变式迁移 1 D [直线 AB 的方程为 y= x-1(t=0 时不合题意,舍去),与抛物线方程 t

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1 2 1 4 x2= y 联立得 x2- x+ =0,由于直线 AB 与抛物线 C 没有公共点,所以 Δ= 2-2<0,解得 2 t 2 t t> 2或 t<- 2.] 例 2 解题导引 本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位臵关系等基础知识, 考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力. “设而不求”是解决直线与圆锥曲线交点问 题的基本方法.当所求弦为焦点弦时,可结合圆锥曲线的定义求解. x2 解 (1)设点 A 的坐标为(x1, b), 点 B 的坐标为(x2, b), 由 +y2=1, 解得 x1,2=± 2 1-b2, 4 1 所以 S= b|x1-x2|=2b 1-b2≤b2+1-b2=1. 2 2 当且仅当 b= 时,S 取到最大值 1. 2 y=kx+b ? ?2 (2)由?x 得(4k2+1)x2+8kbx+4b2-4=0, 2 + y = 1 ? ?4 Δ=16(4k2-b2+1).① 16?4k2-b2+1? =2.② 4k2+1 |b| 2S 又因为 O 到 AB 的距离 d= 2=|AB|=1, 1+k 2 2 所以 b =k +1.③ 将③代入②并整理,得 4k4-4k2+1=0, 1 3 解得 k2= ,b2= ,代入①式检查,Δ>0. 2 2 2 6 2 6 2 6 2 6 故直线 AB 的方程是:y= x+ 或 y= x- 或 y=- x+ 或 y=- x- . 2 2 2 2 2 2 2 2 x2 y2 变式迁移 2 解 (1)设椭圆方程为 2+ 2=1 (a>b>0), a b c 3 则 c= 3, = .∴a=2,b=1. a 2 x2 ∴所求椭圆方程为 +y2=1. 4 |AB|= 1+k2|x1-x2|= 1+k2· y=x+m, ? ?2 (2)由?x 消去 y 得关于 x 的方程: +y2=1, ? ?4 5x2+8mx+4(m2-1)=0, 则 Δ=64m2-80(m2-1)>0,解得 m2<5.(*) 8 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 x1+x2=- m, 5 2 4?m -1? x1x2= ,y1-y2=x1-x2, 5 ∴|PQ|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2= 2?x1-x2?2 8 16 2 ? - m?2 = 2?? ?? 5 ? - 5 ?m -1??=2, 15 30 解得 m2= ,满足(*),∴m=± . 8 4 例 3 解题导引 直线与圆锥曲线的位臵关系从代数的角度来看,就是直线方程与圆 锥曲线的方程组成的方程组有无解的问题,结合判别式 Δ 研究,利用设而不求与整体代入 等技巧与方法,从而延伸出一些复杂的参数范围的研究.

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? ?y=kx+1 由? 2 2 (x≤-1) ?x -y =1 ? 得(k2-1)x2+2kx+2=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),



?x +x = 2k <0 1-k 则? -2 ?x x =1-k >0
1 2 2 1 2 2 0 0 0 0

Δ=4k2+8?1-k2?>0 ,∴1<k< 2.

x +x k x= = ? 2 ? 1-k 设 M(x ,y ),由? y +y 1 y= = ? 2 ? 1-k
1 2 1 2

2



2

设 l 与 y 轴的交点为 Q(0,b),则由 P(-2,0), k 1 2 M?1-k2,1-k2?,Q(0,b)三点共线得 b= , ? ? -2k2+k+2 设 f(k)=-2k2+k+2,则 f(k)在(1, 2)上单调递减, ∴f(k)∈(-2+ 2,1), ∴b∈(-∞,-2- 2)∪(2,+∞). 变式迁移 3 解 (1)由已知条件,直线 l 的方程为 y=kx+ 2, x2 代入椭圆方程得 +(kx+ 2)2=1, 2 1 2? 2 整理得? ?2+k ?x +2 2kx+1=0.① 直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q 等价于 1 2? 2 2 2 Δ=8k2-4? ?2+k ?=4k -2>0,解得 k<- 2 或 k> 2 . 2 2 即 k 的取值范围为?-∞,- ?∪? ,+∞?. 2? ?2 ? ? → → (2)设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则OP+OQ=(x1+x2,y1+y2), 4 2k 由方程①,x1+x2=- .② 1+2k2 又 y1+y2=k(x1+x2)+2 2.③ → 而 A( 2,0),B(0,1),AB=(- 2,1). → → → 所以OP+OQ与AB共线等价于 x1+x2=- 2(y1+y2), 2 将②③代入上式,解得 k= . 2 2 2 由(1)知 k<- 或 k> ,故没有符合题意的常数 k. 2 2 课后练习区 1.A 2.C 3.A 4.D 5.C 6.[1,5) 7.5 8.2 9.解 设直线 AB 的方程为 y=x+b, ?y=-x2+3, ? 由? 消去 y 得 x2+x+b-3=0,(3 分) ?y=x+b, ? ∴x1+x2=-1.

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1 1 于是 AB 的中点 M(- ,- +b), 2 2 13 且 Δ=1-4(b-3)>0,即 b< .(6 分) 4 1 1 又 M(- ,- +b)在直线 x+y=0 上,∴b=1 符合.(8 分) 2 2 ∴x2+x-2=0.由弦长公式可得 |AB|= 1+12 ?-1?2-4×?-2?=3 2.(12 分) c 3 10.解 (1)由 e= = ,得 3a2=4c2. a 2 再由 c2=a2-b2,得 a=2b. 1 由题意可知 ×2a×2b=4,即 ab=2. 2 ? ? ?a=2b, ?a=2, 解方程组? 得? ? ? ?ab=2, ?b=1. 2 x 所以椭圆的方程为 +y2=1.(4 分) 4 (2)由(1)可知 A(-2,0),且直线 l 的斜率必存在.设 B 点的坐标为(x1,y1),直线 l 的斜率 为 k,则直线 l 的方程为 y=k(x+2). y=k?x+2?, ? ?2 于是 A,B 两点的坐标满足方程组?x 2 ? 4 +y =1. ? 由方程组消去 y 并整理,得 (1+4k2)x2+16k2x+(16k2-4)=0. 16k2-4 由根与系数的关系,得-2x1= , 1+4k2 2-8k2 4k 所以 x1= . 2,从而 y1= 1+4k 1+4k2 8k2 2k 设线段 AB 的中点为 M,则 M 的坐标为(- , ).(6 分) 1+4k2 1+4k2 以下分两种情况讨论: → ①当 k=0 时,点 B 的坐标是(2,0),线段 AB 的垂直平分线为 y 轴,于是QA=(-2,- → y0),QB=(2,-y0). → → 由QA· QB=4,得 y0=± 2 2.(8 分) ②当 k≠0 时,线段 AB 的垂直平分线的方程为 2k 1 8k2 y- ). 2=- (x+ k 1+4k 1+4k2 6k 令 x=0,解得 y0=- . 1+4k2 → → 由QA=(-2,-y0),QB=(x1,y1-y0), → → QA· QB=-2x1-y0(y1-y0) -2?2-8k2? 6k 4k 6k = + ( + ) 1+4k2 1+4k2 1+4k2 1+4k2 4 2 4?16k +15k -1? = =4, ?1+4k2?2 14 整理得 7k2=2,故 k=± . 7

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2 14 所以 y0=± .(11 分) 5 2 14 综上,y0=± 2 2或 y0=± .(12 分) 5 11.解 x2 y2 x2 y2 0 0 (1)由点 P(x0,y0)(x0≠± a)在双曲线 2- 2=1 上,有 2- 2=1. a b a b y0 y0 1 由题意有 · = ,(3 分) x0-a x0+a 5 c 30 可得 a2=5b2,c2=a2+b2=6b2,e= = .(6 分) a 5 ?x2-5y2=5b2, ? (2)联立? 得 4x2-10cx+35b2=0. ?y=x-c, ?

?x +x = 2 , 设 A(x ,y ),B(x ,y ),则? 35b ?x x = 4 .
1 2 1 1 2 2 2 1 2

5c



→ → → → 设OC=(x3,y3),OC=λOA+OB, ? ?x3=λx1+x2, 即? (9 分) ?y3=λy1+y2. ? 又 C 为双曲线上一点, 2 2 即 x2 3-5y3=5b ,有 2 (λx1+x2) -5(λy1+y2)2=5b2.化简得 2 2 2 2 λ2(x2 1-5y1)+(x2-5y2)+2λ(x1x2-5y1y2)=5b .② 又 A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线上, 2 2 2 2 2 所以 x2 1-5y1=5b ,x2-5y2=5b .(11 分) 由①式又有 x1x2-5y1y2=x1x2-5(x1-c)(x2-c) =-4x1x2+5c(x1+x2)-5c2=10b2, ②式可化为 λ2+4λ=0,解得 λ=0 或 λ=-4. (14 分)

学案 55

曲线与方程

导学目标: 了解曲线的方程与方程的曲线的对应关系.

自主梳理 1.曲线的方程与方程的曲线 在直角坐标系中,如果某曲线 C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一 个二元方程 f(x,y)=0 的实数解建立了如下的关系: (1)__________________都是这个方程的______. (2)以这个方程的解为坐标的点都是________________,那么,这个方程叫做曲线的方 程,这条曲线叫做方程的曲线. 2.平面解析几何研究的两个主要问题 (1)根据已知条件,求出表示平面曲线的方程; (2)通过曲线的方程研究曲线的性质. 3.求曲线方程的一般方法(五步法) 求曲线(图形)的方程,一般有下面几个步骤:
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(1)建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示________________________; (2)写出适合条件 p 的点 M 的集合 P=____________; (3)用坐标表示条件 p(M),列出方程 f(x,y)=0; (4)化方程 f(x,y)=0 为________; (5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在________. 自我检测 1.(2011· 湛江月考)已知动点 P 在曲线 2x2-y=0 上移动,则点 A(0,-1)与点 P 连线中 点的轨迹方程是( ) A.y=2x2 B.y=8x2 C.2y=8x2-1 D.2y=8x2+1 2 2 2.一动圆与圆 O:x +y =1 外切,而与圆 C:x2+y2-6x+8=0 内切,那么动圆的圆 心 P 的轨迹是( ) A.双曲线的一支 B.椭圆 C.抛物线 D.圆 3.(2011· 佛山模拟)已知直线 l 的方程是 f(x,y)=0,点 M(x0,y0)不在 l 上,则方程 f(x, y)-f(x0,y0)=0 表示的曲线是( ) A.直线 l B.与 l 垂直的一条直线 C.与 l 平行的一条直线 D.与 l 平行的两条直线 → → 4.若 M、N 为两个定点且|MN|=6,动点 P 满足PM· PN=0,则 P 点的轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 5.(2011· 江西)若曲线 C1:x2+y2-2x=0 与曲线 C2:y(y-mx-m)=0 有四个不同的交 点,则实数 m 的取值范围是( ) 3 3 3 3 A.(- , ) B.(- ,0)∪(0, ) 3 3 3 3 3 3 3 3 C.[- , ] D.(-∞,- )∪( ,+∞) 3 3 3 3

探究点一 直接法求轨迹方程 例 1 动点 P 与两定点 A(a,0),B(-a,0)连线的斜率的乘积为 k,试求点 P 的轨迹方程, 并讨论轨迹是什么曲线.

→ → 变式迁移 1 已知两点 M(-2,0)、N(2,0),点 P 为坐标平面内的动点,满足|MN||MP|+ → → MN· NP=0,则动点 P(x,y)的轨迹方程为______________. 探究点二 定义法求轨迹方程 例 2 (2011· 包头模拟)已知两个定圆 O1 和 O2,它们的半径分别是 1 和 2,且|O1O2|= 4.动圆 M 与圆 O1 内切,又与圆 O2 外切,建立适当的坐标系,求动圆圆心 M 的轨迹方程, 并说明轨迹是何种曲线.

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a ? ?a ? 变式迁移 2 在△ABC 中,A 为动点,B、C 为定点,B? ?-2,0?,C?2,0?,且满足条 1 件 sin C-sin B= sin A,则动点 A 的轨迹方程是( ) 2 2 2 16x 16y A. 2 - =1 (y≠0) a 15a2 2 2 16y 16x B. 2 - 2 =1 (x≠0) a 3a 16x2 16y2 C. 2 - 2=1 (y≠0)的左支 a 15a 16x2 16y2 D. 2 - 2 =1 (y≠0)的右支 a 3a 探究点三 相关点法(代入法)求轨迹方程 例 3 如图所示, 从双曲线 x2-y2=1 上一点 Q 引直线 x+y=2 的垂线, 垂足为 N.求线 段 QN 的中点 P 的轨迹方程.

变式迁移 3 已知长为 1+ 2的线段 AB 的两个端点 A、B 分别在 x 轴、y 轴上滑动,P 2→ → 是 AB 上一点,且AP= PB.求点 P 的轨迹 C 的方程. 2

分类讨论思想的应用 例 (12 分)

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过定点 A(a, b)任作互相垂直的两直线 l1 与 l2, 且 l1 与 x 轴交于点 M, l2 与 y 轴交于点 N, 如图所示,求线段 MN 的中点 P 的轨迹方程. 多角度审题 要求点 P 坐标,必须先求 M、N 两点,这样就要求直线 l1、l2,又 l1、l2 过定点且垂直,只要 l1 的斜率存在,设一参数 k1 即可求出 P 点坐标,再消去 k1 即得点 P 轨 迹方程. 【答题模板】 解 (1)当 l1 不平行于 y 轴时,设 l1 的斜率为 k1,则 k1≠0.因为 l1⊥l2, 1 所以 l2 的斜率为- , k1 l1 的方程为 y-b=k1(x-a),① 1 l2 的方程为 y-b=- (x-a),② k1 b 在①中令 y=0,得 M 点的横坐标为 x1=a- ,[4 分] k1 a 在②中令 x=0,得 N 点的纵坐标为 y1=b+ ,[6 分] k1 a b x= - , 2 2k1 设 MN 中点 P 的坐标为(x,y),则有 b a y= + , 2 2k1 a 消去 k1,得 2ax+2by-a2-b2=0 (x≠ ).③[8 分] 2 a b? (2)当 l1 平行于 y 轴时,MN 中点为? ?2,2?,其坐标满足方程③. 综合(1)(2)知所求 MN 中点 P 的轨迹方程为 2ax+2by-a2-b2=0.[12 分] 【突破思维障碍】 引进 l1 的斜率 k1 作参数,写出 l1、l2 的直线方程,求出 M、N 的坐标,求出点 P 的坐标, 得参数方程,消参化为普通方程,本题还要注意直线 l1 的斜率是否存在. 【易错点剖析】 a b? 当 AM⊥x 轴时,AM 的斜率不存在,此时 MN 中点为? ?2,2?,易错点是把斜率不存在的 a b? 情况忽略,因而丢掉点? ?2,2?.

? ? ?

1.求轨迹方程的常用方法:(1)直接法:如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关 系,这些条件简单明确,易于表达成含 x,y 的等式,就得到轨迹方程,这种方法称之 为直接法.用直接法求动点轨迹的方程一般有建系设点,列式,代换,化简,证明五个 步骤,但最后的证明可以省略.(2)定义法:运用解析几何中一些常用定义(例如圆锥曲 线的定义),可从曲线定义出发直接写出轨迹方程,或从曲线定义出发建立关系式,从 而求出轨迹方程.(3)代入法:动点所满足的条件不易表达或求出,但形成轨迹的动点 P(x,y)却随另一动点 Q(x′,y′)的运动而有规律的运动,且动点 Q 的轨迹为给定或容 易求得,则可先将 x′,y′表示为 x、y 的式子,再代入 Q 的轨迹方程,然后整理得 P 的轨迹方程,代入法也称相关点法.(4)参数法:求轨迹方程有时很难直接找出动点的 横坐标、纵坐标之间的关系,则可借助中间变量(参数),使 x、y 之间建立起联系,然 后再从所求式子中消去参数,得出动点的轨迹方程. 2.本节易错点:(1)容易忽略直线斜率不存在的情况;(2)利用定义求曲线方程时,应考 虑是否符合曲线的定义.
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(满分:75 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.已知椭圆的焦点是 F1、F2,P 是椭圆的一个动点,如果 M 是线段 F1P 的中点,则动 点 M 的轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线 2.(2011· 唐山模拟)已知 A、B 是两个定点,且|AB|=3,|CB|-|CA|=2,则点 C 的轨迹 为( ) A.双曲线 B.双曲线的一支 C.椭圆 D.线段 → → 3.长为 3 的线段 AB 的端点 A、B 分别在 x 轴、y 轴上移动,AC=2CB,则点 C 的轨迹 是( ) A.线段 B.圆 C.椭圆 D.双曲线

4.(2011· 银川模拟)如图,圆 O:x2+y2=16,A(-2,0),B(2,0)为两个定点.直线 l 是 圆 O 的一条切线,若经过 A、B 两点的抛物线以直线 l 为准线,则抛物线焦点所在的轨迹是 ( ) A.双曲线 B.椭圆 C.抛物线 D.圆 x2 y2 5.已知 F1、F2 是椭圆 + =1 的两个焦点,平面内一个动点 M 满足|MF1|-|MF2|=2, 4 3 则动点 M 的轨迹是( ) A.双曲线 B.双曲线的一个分支 C.两条射线 D.一条射线 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 6.已知两定点 A(-2,0),B(1,0),如果动点 P 满足|PA|=2|PB|,则点 P 的轨迹所包围的 图形的面积等于______. 7.(2011· 泰安月考)已知△ABC 的顶点 B(0,0),C(5,0),AB 边上的中线长|CD|=3,则顶 点 A 的轨迹方程为______________. y? → → 8.平面上有三点 A(-2,y),B? ?0,2?,C(x,y),若AB⊥BC,则动点 C 的轨迹方程为 __________. 三、解答题(共 38 分) 9.(12 分)已知抛物线 y2=4px (p>0),O 为顶点,A,B 为抛物线上的两动点,且满足 OA⊥OB,如果 OM⊥AB 于点 M,求点 M 的轨迹方程.

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10.(12 分)(2009· 宁夏,海南)已知椭圆 C 的中心为平面直角坐标系 xOy 的原点,焦点 在 x 轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是 7 和 1. (1)求椭圆 C 的方程; |OP| (2)若 P 为椭圆 C 上的动点,M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的一点, =λ,求点 M |OM| 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.

11.(14 分)(2011· 石家庄模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,有一个以 F1(0,- 3)和 F2(0, 3 3)为焦点、离心率为 的椭圆,设椭圆在第一象限的部分为曲线 C,动点 P 在 C 上,C 在 2 → → → 点 P 处的切线与 x 轴,y 轴的交点分别为 A,B,且OM=OA+OB.求: (1)点 M 的轨迹方程; → (2)|OM|的最小值.

学案 55

曲线与方程
3.(1) 曲线上任意一点 M 的坐标

自主梳理 1 . (1) 曲线上的点的坐标 解 (2) 曲线上的点 (2){M|p(M)} (4)最简形式 (5)曲线上 自我检测 1.C 2.A 3.C 4.A 5.B [

C1:(x-1)2+y2=1, C2:y=0 或 y=mx+m=m(x+1). 当 m=0 时,C2:y=0,此时 C1 与 C2 显然只有两个交点; 当 m≠0 时,要满足题意,需圆(x-1)2+y2=1 与直线 y=m(x+1)有两交点,当圆与直 3 线相切时,m=± , 3 即直线处于两切线之间时满足题意,

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3 3 <m<0 或 0<m< . 3 3 3 3 综上知- <m<0 或 0<m< .] 3 3 课堂活动区 例 1 解题导引 ①在判断含参数的方程所表示的曲线类型时,不能仅仅根据方程的 外表草率地作出判断; ②由于已知条件中,直线 PA、PB 的斜率存在,因此轨迹曲线应除去 A、B 两点; x2 y2 ③一般地,方程 + =1 所表示的曲线有以下几种情况: A B 1° A>B>0,表示焦点在 x 轴上的椭圆; 2° A=B>0,表示圆; 3° 0<A<B,表示焦点在 y 轴上的椭圆; 4° A>0>B,表示焦点在 x 轴上的双曲线; 5° A<0<B,表示焦点在 y 轴上的双曲线; 6° A,B<0,无轨迹. y y 解 设点 P(x,y),则 kAP= ,k = . x-a BP x+a y y 由题意得 · =k,即 kx2-y2=ka2. x-a x+a ∴点 P 的轨迹方程为 kx2-y2=ka2 (x≠± a).(*) (1)当 k=0 时,(*)式即 y=0,点 P 的轨迹是直线 AB(除去 A、B 两点). x2 y2 (2)当 k≠0 时,(*)式即 2- 2=1, a ka ①若 k>0,点 P 的轨迹是焦点在 x 轴上的双曲线(除去 A、B 两点). x2 y2 ②若 k<0,(*)式可化为 2+ =1. a ?-ka2? 1° 当-1<k<0 时,点 P 的轨迹是焦点在 x 轴上的椭圆(除去 A、B 两点); 2° 当 k=-1 时,(*)式即 x2+y2=a2,点 P 的轨迹是以原点为圆心,|a|为半径的圆(除 去 A、B 两点); 3° 当 k<-1 时,点 P 的轨迹是焦点在 y 轴上的椭圆(除去 A、B 两点). 变式迁移 1 y2=-8x → → → 解析 由题意:MN=(4,0),MP=(x+2,y),NP=(x-2,y), → → → → ∵|MN||MP|+MN· NP=0, 2 2 ∴ 4 +0 · ?x+2?2+y2+(x-2)· 4+y· 0=0, 移项两边平方,化简得 y2=-8x. 例 2 解题导引 (1)由于动点 M 到两定点 O1、O2 的距离的差为常数,故应考虑是否 符合双曲线的定义,是双曲线的一支还是两支,能否确定实轴长和虚轴长等,以便直接写出 其方程,而不需再将几何等式借助坐标转化; (2)求动点的轨迹或轨迹方程时需注意:“轨迹”和“轨迹方程”是两个不同的概念, 前者要指出曲线的形状、位臵、大小等特征,后者指方程(包括范围). 解 则-

如图所示, 以 O1O2 的中点 O 为原点, O1O2 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系. 由|O1O2| =4, 得 O1(-2,0)、O2(2,0). 设动圆 M 的半径为 r,则 由动圆 M 与圆 O1 内切,有|MO1|=r-1;
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由动圆 M 与圆 O2 外切,有|MO2|=r+2. ∴|MO2|-|MO1|=3<4. 3 ∴点 M 的轨迹是以 O1、O2 为焦点,实轴长为 3 的双曲线的左支.∴a= ,c=2,∴b2 2 2 2 7 =c -a = . 4 4x2 4y2 ∴点 M 的轨迹方程为 - =1 (x<0). 9 7 1 变式迁移 2 D [∵sin C-sin B= sin A,由正弦定理得到 2 1 1 |AB|-|AC|= |BC|= a(定值). 2 2 a ∴A 点轨迹是以 B,C 为焦点的双曲线右支,其中实半轴长为 ,焦距为|BC|=a. 4 x2 16y2 ?a?2-?a?2 = 3a,由双曲线标准方程得为162 ∴虚半轴长为 - 2 =1 (y≠0)的右 ?2? ?4? 4 a 3a 支.] 例 3 解题导引 相关点法也叫坐标转移(代入)法,是求轨迹方程常用的方法.其题目 特征是:点 A 的运动与点 B 的运动相关,且点 B 的运动有规律(有方程),只需将 A 的坐标 转移到 B 的坐标中,整理即可得点 A 的轨迹方程. 解 设动点 P 的坐标为(x,y),点 Q 的坐标为(x1,y1),则点 N 的坐标为(2x-x1,2y-y1). ∵N 在直线 x+y=2 上, ∴2x-x1+2y-y1=2.① 又∵PQ 垂直于直线 x+y=2, y-y1 ∴ =1,即 x-y+y1-x1=0.② x-x1

?x =2x+2y-1, 联立①②解得? 1 3 ?y =2x+2y-1.
1 1

3

1



又点 Q 在双曲线 x2-y2=1 上, 2 ∴x1 -y2 1=1.④ ③代入④,得动点 P 的轨迹方程是 2x2-2y2-2x+2y-1=0. 变式迁移 3 解 设 A(x0,0),B(0,y0),P(x,y), 2→ → → → AP= PB,又AP=(x-x0,y),PB=(-x,y0-y), 2 2 2 所以 x-x0=- x,y= (y0-y) 2 2 2 得 x0=?1+ ?x,y0=(1+ 2)y. 2? ? 2 2 因为|AB|=1+ 2,即 x0 +y2 0=(1+ 2) , 2 所以??1+ ?x?2+[(1+ 2)y]2=(1+ 2)2, 2? ? ?? x2 x2 化简得 +y2=1.∴点 P 的轨迹方程为 +y2=1. 2 2 课后练习区 1.B [

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x2 y2 如图所示,由题知|PF1|+|PF2|=2a(设椭圆方程为 2+ 2=1,其中 a>b>0). a b 连接 MO,由三角形的中位线可得 |F1M|+|MO|=a (a>|F1O|),则 M 的轨迹为以 F1、O 为焦点的椭圆.] 2.B [A、B 是两个定点,|CB|-|CA|=2<|AB|,所以点 C 轨迹为双曲线的一支.] 3.C [设 C(x,y),A(a,0),B(0,b),则 a2+b2=9,① → → 又AC=2CB,所以(x-a,y)=2(-x,b-y), a=3x, ? ? 即? 3 ② ?b=2y, ? y2 代入①式整理可得 x2+ =1.] 4 4.B [

设抛物线的焦点为 F,因为 A、B 在抛物线上, 所以由抛物线的定义知,A、B 到 F 的距离 AF、BF 分别等于 A、B 到准线 l 的距离 AM、 BN(如图所示), 于是|AF|+|BF|=|AM|+|BN|. 过 O 作 OR⊥l,由于 l 是圆 O 的一条切线,所以四边形 AMNB 是直角梯形,OR 是中位 线, 故有|AF|+|BF|=|AM|+|BN| =2|OR|=8>4=|AB|. 根据椭圆的定义知,焦点 F 的轨迹是一个椭圆.] 5.D [因为|F1F2|=2,|MF1|-|MF2|=2, 所以轨迹为一条射线.] 6.4π 解析 设 P(x,y),由题知有:(x+2)2+y2=4[(x-1)2+y2],整理得 x2-4x+y2=0,配 方得(x-2)2+y2=4,可知圆的面积为 4π. 7.(x-10)2+y2=36 (y≠0) 解析 方法一 直接法. x y? 设 A(x,y),y≠0,则 D? ?2,2?, 2 ?x-5?2+y =3. ∴|CD|= ?2 ? 4 化简得(x-10)2+y2=36, ∵A、B、C 三点构成三角形, ∴A 不能落在 x 轴上,即 y≠0. 方法二

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定义法.如图所示, 设 A(x,y),D 为 AB 的中点,过 A 作 AE∥CD 交 x 轴于 E, 则 E(10,0). ∵|CD|=3,∴|AE|=6, ∴A 到 E 的距离为常数 6. ∴A 的轨迹为以 E 为圆心,6 为半径的圆, 即(x-10)2+y2=36. 又 A、B、C 不共线,故 A 点纵坐标 y≠0. 故 A 点轨迹方程为(x-10)2+y2=36 (y≠0). 8.y2=8x y? → ? y ? → 解析 AB=? ?2,-2?,BC=?x,2?. → → → → ∵AB⊥BC,∴AB· BC=0, yy 得 2· x- · =0,得 y2=8x. 22 9.解 设 M(x,y),直线 AB 斜率存在时, 设直线 AB 的方程为 y=kx+b. x 由 OM⊥AB 得 k=- . y 设 A、B 两点坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2), 由 y2=4px 及 y=kx+b 消去 y, b2 得 k2x2+x(2kb-4p)+b2=0,所以 x1x2= 2 . k 消去 x,得 ky2-4py+4pb=0, 4pb 所以 y1y2= .(4 分) k 由 OA⊥OB,得 y1y2=-x1x2, 4pb b2 所以 =- 2 ,b=-4kp. k k 故 y=kx+b=k(x-4p).(8 分) x 用 k=- 代入, y 得 x2+y2-4px=0 (x≠0).(10 分) AB 斜率不存在时,经验证也符合上式. 故 M 的轨迹方程为 x2+y2-4px=0 (x≠0).(12 分)
?a-c=1, ?a=4, ? ? 10.解 (1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为 a、c, 由已知得? 解得? ?a+c=7, ? ? ?c=3, 2 2 2 又∵b =a -c ,∴b= 7, x2 y2 所以椭圆 C 的方程为 + =1.(4 分) 16 7 (2)设 M(x,y),其中 x∈[-4,4], 9x2+112 |OP|2 2 由已知 =λ2, 2=λ 及点 P 在椭圆 C 上可得 |OM| 16?x2+y2? 整理得(16λ2-9)x2+16λ2y2=112, 其中 x∈[-4,4].(5 分) 3 ①当 λ= 时,化简得 9y2=112, 4

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4 7 所以点 M 的轨迹方程为 y=± (-4≤x≤4). 3 轨迹是两条平行于 x 轴的线段.(7 分) 3 x2 y2 ②当 λ≠ 时,方程变形为 + =1, 4 112 112 2 2 16λ -9 16λ 其中 x∈[-4,4]. 3 当 0<λ< 时, 点 M 的轨迹为中心在原点、 实轴在 y 轴上的双曲线满足-4≤x≤4 的部分. 4 3 当 <λ<1 时,点 M 的轨迹为中心在原点、长轴在 x 轴上的椭圆满足-4≤x≤4 的部分; 4 当 λ≥1 时,点 M 的轨迹为中心在原点,长轴在 x 轴上的椭圆.(12 分) y2 x2 11.解 (1)椭圆的方程可写为 2+ 2=1,其中 a>b>0, a b a -b =3 2 ? ? ? ?a =4 y2 ? 由? 3 得 2 ,所以曲线 C 的方程为 x2+ =1(0<x<1,0<y<2).(3 分) 3 4 ?b =1 ? ? ?a=2 2x . 1-x2 设 P(x0,y0),因为 P 在 C 上,有 0<x0<1, 4x0 2 y0=2 1-x0 ,y′|x=x0=- , y0 4x0 得切线 AB 的方程为 y=- (x-x0)+y0. y0 (6 分) 1 4 设 A(x,0)和 B(0,y),由切线方程得 x= ,y= . x0 y0 → → → 由OM=OA+OB得点 M 的坐标为(x,y), 1 4 由 x0,y0 满足 C 的方程,得点 M 的轨迹方程为 2+ 2=1(x>1,y>2).(10 分) x y 4 4 → (2)|OM|2=x2+y2,y2= =4+ 2 , 1 x -1 1- 2 x 4 → 所以|OM|2=x2-1+ 2 +5≥4+5=9, x -1 4 当且仅当 x2-1= 2 ,即 x= 3时,上式取等号. x -1 → 故|OM|的最小值为 3.(14 分) y=2 1-x2(0<x<1),y′=-
2 2

第九章

章末检测

(

(时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.原点到直线 x+2y-5=0 的距离为( ) A.1 B. 3 C.2 D. 5 2.(2010· 安徽)过点(1,0)且与直线 x-2y-2=0 平行的直线方程是( ) A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 3.直线 x-2y-3=0 与圆 C:(x-2)2+(y+3)2=9 交于 E、F 两点,则△ECF 的面积为 )

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x2 4.(2011· 咸宁调研)已知抛物线 y2=4x 的准线与双曲线 2 -y2=1 (a>0)交于 A、B 两点, a 点 F 为抛物线的焦点,若△FAB 为直角三角形,则双曲线的离心率是( ) A. 3 B. 6 C.2 D.3 5.已知圆的方程为 x2+y2-6x-8y=0,设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD,则四边形 ABCD 的面积为( ) A.10 6 B.20 6 C.30 6 D.40 6 6.(2011· 福建)设圆锥曲线 Γ 的两个焦点分别为 F1,F2,若曲线 Γ 上存在点 P 满足 |PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,则曲线 Γ 的离心率等于( ) 1 3 2 A. 或 B. 或 2 2 2 3 1 2 3 C. 或 2 D. 或 2 3 2 5 x2 y2 7.两个正数 a、b 的等差中项是 ,一个等比中项是 6,且 a>b,则双曲线 2 - 2=1 的 2 a b 离心率 e 等于( ) 3 15 13 A. B. C. 13 D. 2 2 3 8.若过点 A(4,0)的直线 l 与曲线(x-2)2+y2=1 有公共点,则直线 l 的斜率的取值范围 为( ) A.[- 3, 3] B.(- 3, 3) 3 3 3 3 C.?- , ? D.?- , ? ? 3 3? ? 3 3? x2 y2 9.(2011· 商丘模拟)设双曲线 2 - 2=1 的一条渐近线与抛物线 y=x2+1 只有一个公共 a b 点,则双曲线的离心率为( ) 5 5 A. B.5 C. D. 5 4 2 10.“神舟七号”宇宙飞船的运行轨道是以地球中心,F 为左焦点的椭圆,测得近地点 A 距离地面 m km, 远地点 B 距离地面 n km, 地球的半径为 k km, 关于椭圆有以下三种说法: n-m ①焦距长为 n-m;②短轴长为 ?m+k??n+k?;③离心率 e= . m+n+2k 以上正确的说法有( ) A.①③ B.②③ C.①② D.①②③ x2 y2 → → 11.设 F1、F2 是双曲线 2 - 2=1 (a>0,b>0)的两个焦点,P 在双曲线上,若PF1· PF2=0, a b → → |PF1|· |PF2|=2ac (c 为半焦距),则双曲线的离心率为( ) 3-1 3+1 5+1 A. B. C.2 D. 2 2 2 x2 y2 12.(2010· 浙江)设 F1、F2 分别为双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点.若在双曲 a b 线右支上存在点 P,满足|PF2|=|F1F2|,且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长,则该双 曲线的渐近线方程为( ) A.3x± 4y=0 B.3x± 5y=0 C.4x± 3y=0 D.5x± 4y=0 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.(2011· 安庆模拟)若一个圆的圆心在抛物线 y2=4x 的焦点处,且此圆与直线 3x+4y +7=0 相切,则这个圆的方程为________________.
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3 A. 2

3 B. 4

C.2 5

3 5 D. 5

x2 y2 14. 过椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)的左顶点 A 作斜率为 1 的直线, 与椭圆的另一个交点为 M, a b 与 y 轴的交点为 B.若|AM|=|MB|,则该椭圆的离心率为________. x2 y2 1 15.(2011· 江西)若椭圆 2 + 2=1 的焦点在 x 轴上,过点(1, )作圆 x2+y2=1 的切线, a b 2 切点分别为 A,B,直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是________. x2 y2 16.若方程 + =1 所表示的曲线 C,给出下列四个命题: 4-t t-1 ①若 C 为椭圆,则 1<t<4; ②若 C 为双曲线,则 t>4 或 t<1; ③曲线 C 不可能是圆; 3 ④若 C 表示椭圆,且长轴在 x 轴上,则 1<t< . 2 其中正确的命题是________.(把所有正确命题的序号都填在横线上) 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.(10 分)

如图,直角三角形 ABC 的顶点坐标 A(-2,0),直角顶点 B(0,-2 2),顶点 C 在 x 轴 上,点 P 为线段 OA 的中点. (1)求 BC 边所在直线方程; (2)M 为直角三角形 ABC 外接圆的圆心,求圆 M 的方程; (3)若动圆 N 过点 P 且与圆 M 内切,求动圆 N 的圆心 N 的轨迹方程.

18.(12 分)已知抛物线 y2=-x 与直线 y=k(x+1)相交于 A、B 两点. (1)求证:OA⊥OB; (2)当△OAB 的面积等于 10时,求 k 的值.

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19.(12 分)(2011· 陕西)如图,设 P 是圆 x2+y2=25 上的动点,点 D 是 P 在 x 轴上的投 4 影,M 为 PD 上一点,且|MD|= |PD|. 5 (1)当 P 在圆上运动时,求点 M 的轨迹 C 的方程; 4 (2)求过点(3,0)且斜率为 的直线被 C 所截线段的长度. 5

20. (12 分)设直线 l: y=k(x+1) (k≠0)与椭圆 x2+3y2=a2 (a>0)相交于两个不同的点 A、 B,与 x 轴相交于点 C,记 O 为坐标原点. 3k2 (1)证明:a2> ; 1+3k2 → → (2)若AC=2CB,求△OAB 的面积取得最大值时的椭圆方程.

21.(12 分)(2011· 福建)已知直线 l:y=x+m,m∈R. (1)若以点 M(2,0)为圆心的圆与直线 l 相切于点 P,且点 P 在 y 轴上,求该圆的方程. (2)若直线 l 关于 x 轴对称的直线为 l′,问直线 l′与抛物线 C:x2=4y 是否相切?说明 理由.

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x2 y2 22.(12 分)(2011· 山东)已知动直线 l 与椭圆 C: + =1 交于 P(x1,y1),Q(x2,y2)两不 3 2 6 同点,且△OPQ 的面积 S△OPQ= ,其中 O 为坐标原点. 2 2 2 2 (1)证明:x1 +x2 2和 y1+y2均为定值. (2)设线段 PQ 的中点为 M,求|OM|· |PQ|的最大值. 6 (3)椭圆 C 上是否存在三点 D,E,G,使得 S△ODE=S△ODG=S△OEG= ?若存在,判断 2 △DEG 的形状;若不存在,请说明理由.

第九章

章末检测

1.D 2.A 3.C 4.B 5.B 6.A [由|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,可设|PF1|=4k,|F1F2|=3k,|PF2|=2k,若圆锥 c 1 曲线为椭圆,则 2a=6k,2c=3k,e= = . a 2 若圆锥曲线为双曲线, c 3 则 2a=4k-2k=2k,2c=3k,e= = .] a 2 7.D 8.C 9.D 10.A 11.D 12.C 6 13.(x-1)2+y2=4 14. 3 x2 y2 15. + =1 5 4 解析 由题意可得切点 A(1,0). 1 n- 2 m 3 4 切点 B(m,n)满足 m-1=- n , 解得 B( , ). 5 5

? ? ?m +n =1,
2 2

∴过切点 A,B 的直线方程为 2x+y-2=0. 令 y=0 得 x=1,即 c=1;
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令 x=0 得 y=2,即 b=2.

x2 y2 ∴a2=b2+c2=5,∴椭圆方程为 + =1. 5 4 16.② 17.解 (1)∵kAB=- 2,AB⊥BC,∴kCB= ∴lBC:y= 2 . 2

2 x-2 2. 2 故 BC 边所在的直线方程为 x- 2y-4=0.(3 分) (2)在上式中,令 y=0,得 C(4,0), ∴圆心 M(1,0).又∵|AM|=3, ∴外接圆的方程为(x-1)2+y2=9.(6 分) (3)∵圆 N 过点 P(-1,0), ∴PN 是该圆的半径.又∵动圆 N 与圆 M 内切, ∴|MN|=3-|PN|, 即|MN|+|PN|=3>2=|MP|.(8 分) ∴点 N 的轨迹是以 M、P 为焦点,长轴长为 3 的椭圆. 3 5 ∴a= ,c=1,b= a2-c2= . 2 4 2 2 x y ∴轨迹方程为 + =1.(10 分) 9 5 4 4 18.解 设 A(x1,y1)、B(x2,y2). ?y2=-x, ? (1)由? 得 ky2+y-k=0,(2 分) ?y=k?x+1?, ? 2 ∴y1y2=-1.又-x1=y2 1,-x2=y2, 2 ∴x1x2=(y1y2) =1,∴x1x2+y1y2=0.(4 分) → → ∴OA· OB=x1x2+y1y2=0, ∴OA⊥OB.(6 分) (2)

1 如图,由(1)知 y1+y2=- , k y1y2=-1, ∴|y1-y2|= ?y1+y2?2-4y1y2 1 = +4=2 10,(10 分) k2 1 1 ∴k2= ,∴k=± , 36 6 1 即所求 k 的值为± .(12 分) 6 19.解 (1)设 M 的坐标为(x,y),P 的坐标为(xP,yP),

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x =x, ? ? P 由已知得? 5 ? ?yP=4y, ∵P 在圆上, 5 x2 y2 ∴x2+( y)2=25,即轨迹 C 的方程为 + =1.(6 分) 4 25 16 4 4 (2)过点(3,0)且斜率为 的直线方程为 y= (x-3), 5 5 设直线与 C 的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2), 4 将直线方程 y= (x-3)代入 C 的方程,得 5 2 2 x ?x-3? + =1,即 x2-3x-8=0.(8 分) 25 25 3- 41 3+ 41 ∴x1= ,x2= .(10 分) 2 2 ∴ 线段 AB 的长度为 |AB|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2 = 41 .(12 分) 5 1 20.(1)证明 依题意,由 y=k(x+1),得 x= y-1. k 1 将 x= y-1 代入 x2+3y2=a2, k 1 2 ? 2 2 消去 x,得? ?k2+3?y -ky+1-a =0.①(2 分) 由直线 l 与椭圆相交于两个不同的点, 1 4 2 ? 得 Δ= 2-4? ?k2+3?(1-a )>0, k 1 3k2 2 ?2 2+3 a >3,即 a > 整理得? .(5 分) ?k ? 1+3k2 2k (2)解 设 A(x1,y1),B(x2,y2).由①得 y1+y2= , 1+3k2 -2k → → 由AC=2CB,C(-1,0),得 y1=-2y2,代入上式,得 y2= .(8 分) 1+3k2 1 于是,S△OAB= |OC|· |y1-y2| 2 3 3|k| 3|k| 3 = |y2|= ≤ = ,(10 分) 2 1+3k2 2 3|k| 2 3 其中,上式取等号的条件是 3k2=1,即 k=± , 3 -2k 3 由 y2= ,可得 y2=± , 3 1+3k2 3 3 3 3 将 k= ,y2=- 及 k=- ,y2= 这两组值分别代入①,均可解出 a2=5,所以, 3 3 3 3 △OAB 的面积取得最大值时的椭圆方程是 x2+3y2=5.(12 分) 21.解 方法一 (1)依题意,点 P 的坐标为(0,m). 0-m 因为 MP⊥l,所以 ×1=-1, 2-0 解得 m=2,即点 P 的坐标为(0,2).(3 分) 从而圆的半径 r=|MP|= ?2-0?2+?0-2?2=2 2, 故所求圆的方程为(x-2)2+y2=8.(6 分)
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16 ?1+ ??x1-x2?2= 25

41 ×41 = 25

(2)因为直线 l 的方程为 y=x+m, 所以直线 l′的方程为 y=-x-m. ? ?y=-x-m, 由? 2 得 x2+4x+4m=0. ?x =4y ? Δ=42-4×4m=16(1-m). 当 m=1 时,即 Δ=0 时,直线 l′与抛物线 C 相切; 当 m≠1 时,即 Δ≠0 时,直线 l′与抛物线 C 不相切.(10 分) 综上,当 m=1 时,直线 l′与抛物线 C 相切; 当 m≠1 时,直线 l′与抛物线 C 不相切.(12 分) 方法二 (1)设所求圆的半径为 r,则圆的方程可设为(x-2)2+y2=r2. 依题意,所求圆与直线 l:x-y+m=0 相切于点 P(0,m), 4+m2=r2, ? ? ?m=2, 则?|2-0+m| 解得? (4 分) =r, ?r=2 2. ? 2 ? 所以所求圆的方程为(x-2)2+y2=8.(6 分) (2)同方法一. 22.(1)证明 ①当直线 l 的斜率不存在时,P,Q 两点关于 x 轴对称, 所以 x2=x1,y2=-y1. 因为 P(x1,y1)在椭圆上, x2 y2 1 1 因此 + =1.① 3 2 6 6 又因为 S△OPQ= ,所以|x1|· |y1|= .② 2 2 6 由①②得|x1|= ,|y1|=1, 2 2 2 2 此时 x2 1+x2=3,y1+y2=2. ②当直线 l 的斜率存在时, 设直线 l 的方程为 y=kx+m, x2 y2 由题意知 m≠0,将其代入 + =1,得 3 2 (2+3k2)x2+6kmx+3(m2-2)=0, 其中 Δ=36k2m2-12(2+3k2)(m2-2)>0, 即 3k2+2>m2.(*) 3?m2-2? 6km 又 x1+x2=- ,x x = , 2+3k2 1 2 2+3k2 所以|PQ|= 1+k2· ?x1+x2?2-4x1x2 2 6 3k2+2-m2 = 1+k2· . 2+3k2 |m| 因为点 O 到直线 l 的距离为 d= , 1+k2 1 所以 S△OPQ= |PQ|· d 2 2 6 3k2+2-m2 |m| 1 = 1+k2· · 2 2+3k2 1+k2 6|m| 3k2+2-m2 6 .又 S△OPQ= , 2 2+3k2 整理得 3k2+2=2m2,且符合(*)式,(2 分) 2 2 此时 x2 1+x2=(x1+x2) -2x1x2 =

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3?m2-2? 6km 2 =(- =3, 2) -2× 2+3k 2+3k2 2 2 2 2 2 2 2 2 y2 1+y2= (3-x1)+ (3-x2)=4- (x1+x2)=2, 3 3 3 2 2 2 综上所述,x2 + x = 3 , y + y = 2 ,结论成立.(4 分) 1 2 1 2 (2)解 方法一 ①当直线 l 的斜率不存在时, 6 由(1)知|OM|=|x1|= ,|PQ|=2|y1|=2, 2 6 因此|OM|· |PQ|= ×2= 6. 2 ②当直线 l 的斜率存在时,由(1)知: x1+x2 x1+x2 3k y1+y2 3k2 =- , =k( )+m=- +m 2 2m 2 2 2m 2 2 -3k +2m 1 = = , 2m m x + x y1+y2 2 9k2 1 6m2-2 1 1 1 2 2 |OM|2=( ) +( ) = 2+ 2= = (3- 2). 2 2 4m m 4m2 2 m 24?3k2+2-m2? 2?2m2+1? 1 |PQ|2=(1+k2) = =2(2+ 2), 2 2 2 m m ?2+3k ? 1 1 1 所以|OM|2· |PQ|2= ×(3- 2)×2×(2+ 2) 2 m m 1 1 ?3- 2+2+ 2?2 25 1 1 m?= . =(3- 2)(2+ 2)≤? m m m 4 ? 2 ? 5 1 1 所以|OM|· |PQ|≤ ,当且仅当 3- 2=2+ 2, 2 m m 即 m=± 2时,等号成立. 5 综合①②得|OM|· |PQ|的最大值为 .(8 分) 2 2 方法二 因为 4|OM|2+|PQ|2=(x1+x2)2+(y1+y2)2+(x2-x1)2+(y2-y1)2=2[(x2 1 + x2 ) + 2 (y2 1+y2)]=10. 4|OM|2+|PQ|2 10 所以 2|OM|· |PQ|≤ = =5. 2 2 5 5 即|OM|· |PQ|≤ ,当且仅当 2|OM|=|PQ|= 5时等号成立.因此|OM|· |PQ|的最大值为 . 2 2 6 (3)解 椭圆 C 上不存在三点 D,E,G,使得 S△ODE=S△ODG=S△OEG= . 2 6 证明:假设存在 D(u,v),E(x1,y1),G(x2,y2)满足 S△ODE=S△ODG=S△OEG= , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 由(1)得 u2+x2 1=3,u +x2=3,x1+x2=3;v +y1=2,v +y2=2,y1+y2=2,(10 分) 3 2 2 2 2 解得 u2=x2 1=x2= ;v =y1=y2=1, 2 6 因此 u,x1,x2 只能从± 中选取,v,y1,y2 只能从± 1 中选取. 2 6 因此 D,E,G 只能在(± ,± 1)这四点中选取三个不同点, 2 而这三点的两两连线中必有一条过原点, 6 与 S△ODE=S△ODG=S△OEG= 矛盾, 2 所以椭圆 C 上不存在满足条件的三点 D,E,G. (12 分)

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