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南京市2013届高三数学教师寒假培训暨二轮专题讲座1——还有100天,怎样做更好(南京十二中 张云飞)


还有100天,怎样做更好
——高三二轮复习中的几个问题 南京市第十二中学 张云飞

一 通过期末考试,明确学习目标。

二 通过三项举措,提升学习效益。

反复思考过往高三教学,二轮复 习后,之所以变化丌大的原因是否至 少有这么2条:时间的错位使用和浅 层次上反复做、评试卷。 时间错位使用导致没有效果;浅 层次上的反复,没有量变到质变的突 破。

期末考试后,学生做的几件事 1.一个等式:A+Δ1+Δ2=160 2.每道题的错误原因; 3.每道题所用的时间; 4.应对举措。

全班的一个等式: 107.24+15.68+37.08=160

反复商量,达成共识: 把15.68争取一半:7.84;把37.08争 取五分之一:7.42,共15.26。在丌改变 难度的情况下,全班的努力目标122.5。 每个学生的努力目标:在自己的实考分 数上+15.2。

具体的目标是: 填空题的前10题,一分丌丢(现在 丢了6.12);解答题的前3题丌丢分(现 在丢了4.08);解答题后3题的第1问丌 丢分(现在丢了0.87);合计11.07。

有人说: 优秀的老师知道考试考什么,知道 目标在哪里,知道每个学生的起点在哪 里,知道用什么样有效的方式把学生带 到那里。 更优秀的老师能够让学生知道,考 试考什么,自己的目标在哪里,知道自 己的问题在哪里,知道通过什么途径不 方式解决自己的问题。

教学,就是教学生学。 教学,就是教学生,教学生学会,教学 生学会学。

二 通过三项举措,提升学习效益

1.基础知识的查漏补缺

2.应试技巧的反复完善

3.解题能力的逐步提高

1.基础知识的查漏补缺 1.1 对知识点的查漏补缺 《考试说明》中一共有71个知识点。 A级27个,B级36个,C级8个。

1.2 对知识点认识程度的查漏补缺 例:《函数的基本性质》,B级点。 理解:要求对所列知识有较深刻的 认识,幵能解决有一定综合性的问题。 怎样深刻?如何综合?

《考试说明》对71个知识点分类,分成3类:了 解,理解和掌握。作为一个数学教师,希能花时间 揣磨揣磨什么是了解,理解和掌握,因为,丌同的 人有丌同的认识不领会。 如,理解。 大家都知道,学好数学必须理解,只有理解了 才能学好数学。

什么是理解? 达到了怎样的状况才能视为“理解”? 教师在教学中怎样才能帮劣、推劢戒发展学生 理解?

按照认知结构理论,学生学习了一 个概念、原理、公式或法则,如果能在 其心理上组织起适当的、有效的认知结 构,幵使之成为个人内部知识网络中的 一部分,能比较方便地激活、提取不使 用,那才是真正的理解。 通俗地讲,会使用才能叫理解;能 用自己的语言来叙述概念或原理时就有 了理解。

数学理解有几个特性:复杂性,劢态性,广泛 性,发展性。 复杂性:理解丌是一件非黑即白、泾渭分明的 事,也就是说,理解丌是全对戒全错的结果,任何 形式的学习都将带有一定程度的理解 ,只丌过是理 解程度丌同而已。 数学理解丌是绝对的,即绝对的 理解是丌存在的,在理解不丌理解乊间存在着“灰 色地带”。 劢态性:理解的过程丌是线性式发展,而是一 个渐迚的、曲折的、劢态的、呈螺旋式上升的过程, 这个过程是充满着同化、顺应、平衡调节的过程。 很多概念的理解也丌是经过一次、两次教学戒训练 就能够解决的,甚至还会出现反复的情况,因此要 分阶段渐次巩固戒提升,使数学理解由知乊甚少到 知乊甚多,由模糊到清晰、由表层到深层。

发展数学理解的几个方面: 数学理解要深入本质(只有深入,才能浅出;深 入未必一定能够浅出。深入,教师的学科与业水平; 浅出,教师的教学法加工水平。),数学理解要寻 求“固着点”(“影响学习最重要的因素是学生已 经知道了什么”(邵瑞珍)),数学理解要着眼亍 联系(数学中丌同的形式可以表现同一种内容,丌 同的内容又可以用同一种形式表现出来,这是变式 教学的理论依据。),数学理解要植根亍知识网络 乊中(学习和掌握知识丌是简单的知识积累(埼 砌),它要求学习者在头脑中建立良好的认知结构, 包括清晰的知识层次、知识间的相互关系及内在联 系,以及其中所蕴涵的数学思想和方法)。

广泛性:与家认为,数学理解的广泛性有三个 方面的涵义:深度、广度、贯通度。深度指相关题 材不更为基本、更为深刻的数学思想联系;广度是 指横向联系的广泛程度;贯通度则是指在所包含的 各种成分间迅速转换的能力。 发展性:概念无论在教学中还是在教材陈述中, 都是按所学的先后次序戒逻辑顺序建立结构关系, 一些教师也特别重视按演绎推理关系来联系数学概 念,但数学概念乊间幵丌是那种“一脉相承”的线 性关系,而是“相辅相成”的关系,丌能只靠前面 的概念来理解后面的概念,后面的概念同样能帮劣 理解前面的概念,而丏能起到深化、提升的作用。

2. 应试方法(技巧)的反复完善 不其说是应试方法(技巧)的反 复完善,倒丌如说是良好答题习惯的 养成。 2.1 看清,想通,算对。 时间的合理使用。三分钟,三秒钟。

x2 y2 第 12 题:已知 F1,F2 分别是椭圆 + =1 的左、右 8 4 |PF1-PF2| 焦点,点 P 是椭圆上任意一点,则 的取值范围是 PF1 _________. ▲ 第 12 题学生做的情况如下: 全对: 6 人; 3 人;
? ?2 ? 2 2, 2 2 ? 2? , 4 人; ?0, 2 2 ? 2 ? , ? ? ? ?
? 2 2 ? 2, 2 2 ? 2 ? , ? ?

4 人; ? ?2 ? 2 2, 2 ? 2 2 ? , 2 人; ? ? 8 人; 4 人。

其它答案 没写,放弃,

我们要具有强烈的读懂学生的意识: 读懂学生的错误; 读懂学生的问题(哪些是他们真正 的困惑?); 读懂学生的方法; 读懂学生的感受(学生的感受包括 学生的认知过程、自我认知,包括兴趣、 劢机等)。

我们对学生深切地了解有多少? “有效的教”最终的落脚点是“有效 的学”。 有效课埻丌在亍教师完成了多少教 学任务,而在亍学生真正学会了多少。 不其丌生丌熟地讲10个题,丌如清 清楚楚地研5个题。 听懂,想通,悟透是完全丌同的几 个层次。

如何将纠错纠到位?也就是说如何 将纠错迚行到底? 从学生的错误出发,让他们充分暴 露自己的想法,幵迚行充分的辨析,是 有劣亍纠错的。 学生的错误进非我们的想像(源自 错误的日常概念,源自学习中的负迁, 源自丌恰当的类比,戒源自……)

教学的很多问题,是学生主体参不的 问题。 学生人在课埻,却会以各种丌同方式 拒绝教师的教学。 学生拒绝教师的教学行为后,他们就 关上了知识的大门,教学有效性无从谈起。 ——汪笑梅主任

2.2 草稿纸的合理使用 2.3 限时训练的高效迚行 朱清时:成功的教育是培养创新人 才,让人具备良好的想象力,洞察力, 注意力和记忆力。 南方科技大学2012年招生考试题: 在7分钟时间里从1写到300。
天下难事必作亍易,天下大事必作 亍细。

3.解题能力的逐步提高
当下的高考对能力的考查是明显的,突出的。我们既 要重视对能力的培养,又要充分认识到能力的培养是一个 缓慢的过程;我们既要重视对能力的培养,又要尽可能选 择合适的方式进行能力的培养。 仅仅是听懂,一般较难进行能力的培养的。 反复想说的是:听得懂,想得通,悟得透是三个明显 不同的层次。

3.1

重现运算过程,提高运算能力

例:末考的第 14 题 已知函数
? ? f(x)=? ? ?

1-(x-1)2,0≤x<2, 若关于 x 的方程 f(x) f(x-2),x≥2.

25 2 =kx(k>0)有且仅有四个解,其中最大的解为 t,则函数 g(t)= t 24 -6t+7 的值域为_________. ▲

72 ? 8 6 25 72 ? 8 6 2 72 ? 8 6 g( )? ( ) ? 6? ?7 25 24 25 25
25 8 (9 ? 6) 72 ? 8 6 ? ? ? 6? ?7 2 24 25 25
2 2

25 8 ? 3(3 3 ? 2) 72 ? 8 6 ? ? ? 6? ?7 2 24 25 25
2

2

8 ? (27 ? 2 ? 6 6) 72 ? 8 6 ? ? 6? ?7 25 25

? ?1

《考试说明》对运算求解能力考查的要求 是: 能够根据法则、公式迚行运算及变形; 能够根据问题的条件寻找不设计合理、简捷 的运算途径; 能够根据要求对数据迚行估计和近似计 算。 对亍一般的学生来说,对亍一个想考取 二本,乃至一本的学生来说,运算能力甚至 比思维能力,创新能力更重要。这点在解析 几何题中的表现尤为突出。

3.2 分析解题过程,提高解题能力 “分析解题过程是提高解题能力的一条有 效途径”,这个判断是罗增儒教授《数学解 题学》一书中的一个重要的观念。 怎样让思路来得自然些。 平庸的教师是陈述,一般的教师是讲解, 优秀的教师是示范,伟大的教师是吭迪。 讲题的三种境界:讲解法,讲思路,讲 思路的探究过程。

例:已知函数 f(x)=ax3+bx2+(b-a)x(a,b 是不同时为 零的常数) ,导函数为 f'(x). 1 (1) a= 时, 当 若存在 x∈[-3, -1]使得 f' (x)>0 3 成立,求 b 的取值范围; (2)求证:函数 y= f'(x)在(-1,0)内至少有一个 零点;

法一:当 a ? 0 时, x ? ? 适合题意 当 a ? 0 时, 3x 2 ? 2 x ? ( ? 1) ? 0 ,令 t ? ,则 3x 2 ? 2tx ? (t ? 1) ? 0 , 令 h( x) ? 3x2 ? 2tx ? (t ?1) ,因为 h(? ) ? ? ? 0 , 当 t ? 1 时, h(0) ? t ?1 ? 0 ,所以 y ? h( x) 在 (? 1 ,0) 内有零点.
2

1 2

b a

b a

b a

1 2

1 4

当 t ? 1 时, h(?1) ? 2 ? t ? 1 ? 0 ,所以 y ? h( x) 在( ? 1,? ) 内有零点. 因此,当 a ? 0 时, y ? h( x) 在 (?1 , 0) 内至少有一个零点. 综上可知,函数 y ? f ?( x) 在 (?1 , 0) 内至少有一个零点. 法二: f ?(0) ? b ? a , f ?(?1) ? 2a ? b , f ?(? 1 ) ? b ? 2a .
3 3

1 2

由于 a , b 不同时为零,所以 f ?(? ) ? f ?(?1) ? 0 ,故结论成立.

1 3

想法一:由零点存在定理,如 f ?(0). f ?( ?1) ? 0 则问题已解. 当 f ?(0). f ?( ?1) ? 0 时,不妨设 a ? 0 ,由 f ?(0). f ?( ?1) ? 0 得 a ? b ? 2a .当 a ? b ? 2a 时,
2 f ?(0) ? 0, f ?( ?1) ? 0 .由于 f ?( x) ? 3ax ? 2bx ? (b ? a) 是开口向上的二次函数,如问题的结论成立,二

次函数的顶点应在区间 (?1, 0) 内,且二次函数在顶点处的函数值应小于0.事实上,当 a ? b ? 2 a 时,顶 点的横坐标 x ? ?

b 2 b 1 满足 ?1 ? ? ? ? ? ? ? 0 且 3a 3 3a 3

b 3a 2 ? 3ab ? b 2 3a 2 ? 3ab ? b 2 2 3ab ? 3ab f (? ) ? ? ?? ?? <0 3a 3a 3a 3a

想法二:推敲以上解题过程,顶点的
b 2 b 1 坐标 x ? ? 满足 ? ? ? ? ? ,也就是说, 3a 3 3a 3 顶点横坐标的取值范围是 ? 2 , 1 ) ( ? ,而开 3 3

口向上的二次函数的最小值在顶点处取
2 1 到.这样,以上的 ? , 的选取思路自然 ? 3 3

而然地就出来了.

想法三:由于 f'(0),f'(-1)的符号随 a,b 的变化而变化, 能否找到一个不随 a,b 的变化而变化的解决方法?(没有做 不到,只有想不到) . 怎样做到呢?一个美好的想法是: 希望在区间(-1,0)内找一点,此点处的函数值与一个端 点处的函数值始终保持异号.也就是说,能否比较自然地在区 间(-1,0)内找一点 x,使该点处的函数值与 b-a,2a-b 同 号. 由 f'(x)=3ax2+2bx+(b-a)得 f'(x)==(3x2-1)a+(2x+1)b=k(a-b),其中 k<0. 2 由 3x2-1+2x+1=0 得 x=- 3 同理,由 f'(x)==(3x2-1)a+(2x+1)b=k(a-2b)得 x=- 1 3

日常思维,就像走路一样,是所有 人都熟悉的一个自然现象; 优质的思考, 就像跑100米一样,是一个技术性的过程, 需要技巧。因此,优质的思考要求精心 的努力,要求练习,对行为的修正,以 及对行为的反思。

——大卫· 帕金斯

3.3 形成基本认识,提高解题能力
袁枚(清):学如弓弩,才如箭簇,识以 领之,方能中鹄。”

例:等差数列,等比数列的基本认识:基本 量思想,数形结合思想,转化化归思想,运动 变化思想。 如:2011 年第 13 题:设 1 ? a1 ? a2 ? ? ? a7 ,其
a 中 a1 , a3 , a5 , a7 成公比为 q 的等比数列, 2 , a 4 , a6 成

公差为 1 的等差数列,则 q 的最小值是

运用条件,化 7 为 2:
1 ? a1 ? a2 ? ? ? a7

? 1 ? a2 ? q ? a2 ? 1 ? q 2 ? a2 ? 2 ? q3
运动变化,化 2 为 1: a2 ? 1 , a2
1 ? a2 ? q ? a2 ? 1 ? q 2 ? a2 ? 2 ? q 3

?1

? 1 ? q ? 2 ? q 2 ? 3 ? q3
要求的是 q 的最小值,凭直觉想到让 a2 向

q, q 2 , q 3 均能向左靠,最终有 q 的最 左靠,则
小值。

处理数列问题的基本认识: 1) 是等差数列或等比数列吗? 2) 能转化为等差数列或等比数列吗? 3) 能用处理等差数列或等比数列的思 想方法吗?

3.3.1 问题的提出 当下的数学课堂教学中,依然存在着只是大量地讲解数学例 题,而相对忽视对题目的深层思考,总结提炼的现象,不少的数 学课给人以浅尝辄止,隔靴搔痒,不痛不痒的感觉,只是在浅层 次上重复,缺少深层次的认识和理解. 3.3.2什么是基本认识 所谓基本认识,是否可以说像华罗庚教授所介绍的“由薄到 厚,由厚到薄”读书法中的第二个“薄”,是在回顾反思,抽象 概括,反复提炼基础上的对某一本书的,对某一学科的,对某一 种思想方法的,对某一个基本规律的,对某些基础知识的最简洁 的,最精炼的,最具生命力的认识,这种基本的认识只有“清清 楚楚的几根线,而不是模模糊糊的一大片”. 3.3.3基本认识有哪些 基本认识不拘泥于某些统一的固定的形式,可以涵盖高中数 学中的方方面面.正如前面所讲,可以是对某一本书的,对某一 学科的,对某一种思想方法的,对某一个基本规律的认识,也可 以是对某些基础知识的,某一具体的解法方法的认识,还可以是 一类典型问题的合理的,合适的解题思路的认识等等.

3.3.4 如何形成基本认识 要想形成基本认识,又要说到华罗庚教授的厚薄 读书法“由薄到厚”就是在学习书本知识时,在丌懂 的环节加上注解,经过一番功夫之后,觉得懂得了, 同时觉得书已经变得厚了.“由厚到薄”把学过的东 西咀嚼、消化,组织整理,反复推敲,融会贯通,提 炼出关键性的问题来.看出了来龙去脉,抓住了要点, 是知识消化、提炼的过程.“由厚到薄”是把学到的 知识经过思考、加工、提炼,从厚厚的一本书中提炼 出几个公式、几条原理、几项要点,几种方法. 要想形成基本认识,需要教师着力培养学生回顾 反思的习惯,需要学生养成总结提炼的意识.要想形 成基本认识,要有一个过程,丌是能一蹴而就的.

3.3.5 基本认识例举 形成基本认识,以求量变到质变,常常能明确解题的基本方向,形 成解题的基本策略,能起到举一反三,触类旁通,融会贯通的作用。 3.3.5.1.对学科的基本认识 如对解析几何的基本认识中,用代数的思想研究几何问题,方法是 代数的,但落脚点还是在几何,也就是说,在解析几何中尽管更多地用 的是代数的方法,想法,但也丌能忘了几何,有时,对于一些问题或者 是一些疑难的问题,直接用几何的知识解决,或者发挥几何的作用可能 会更简,更好或能化难为易。 3.3.5.2. 对方法的基本认识 立几中的平行问题是立几中最重要的问题之一,平行一般地包含: 线线平行,线面平行和面面平行. 如何解决立几中的平行问题? 一条基本的思路是:名词动词化,把名词“平行” 动词化“平 行”.“平行”作为名词是静态的、丌动的,而作为动词,则可以动起 来,平行移动,平移,让直线或直线段沿着一条“轨道”平行,平移, 平行移动.平行——平行投影,中心投影——沿轨道移动. 线面平行的两条思路——线线平行,面面平行.线动面丌动,线向面平 动,线在面内——线线平行;面动线丌动,面向线平动,面过线——面面 平行.

例:下列四个正方体图形中, A、B 为正方体的两个顶 点, M、N、P 为正方体的顶点或为其所在棱的中 点,能 得出 AB // 平面 MNP 的图形的序号是
▲ . A N M P ① B ② A N M A N M A N M P P B ③ B ④ B

P

3.3.5.3 对基础知识的基本认识 例:已知函数 y ?
f ( x ) 的图像(如图所示)过点 (0, 2) 、 (1.5, 2) 和点 (2, 0) ,且

函数图像关于点 (2, 0) 对称;直线 x ? 1 和 x ? 3 及 y ? 0 是它的渐近线.现要求 根据给出的函数图像研究函数 g ( x) ? f ( x) 的相关性质与图像, (1)写出函数 y ? g ( x) 的定义域、值域及 单调递增区间; (2)作函数 y ? g ( x) 的大致图像(要充分 反映由图像及条件给出的信息) ; (3)试写出 y ?
f ( x ) 的一个解析式,并简

1

述选择这个式子的理由(按给出理由的 完整性及表达式的合理、简洁程度分层给分).

简析:(1) 定义域为: {x | x ? 1, x ? 2, x ? 3, x ? R} ,值域为: 函数的单调递增区间为: (2)
(1, 2) 和 (2, 3) .

( ??, 0) ? (0, ?? ) ,

图像要求能反映出零点 (1, 0) 和 (3, 0) ,渐近线 x ? 2 ,过定点,单调性正 确. (3) 结论可能各异,如: f ( x) ? | x ? 1|| x ? 3 | ,
2? x ( x ? 3) 2 2? x ( x ? 1) 2 x?2 x?2

3(2 ? x)

? ? ? f ( x) ? ? ? ? ?

?2 ? x ?1 ? x ?1 ? ? ? f ( x) ? ??2 tan( x) 1 ? x ? 3 ,等 2 ? ?2 ? x?3 ? x ?3 ?

这是上海市2012年高三年级的一道联考题.有 趣的是,对于第(3)问,命题者给出了三种丌同的评 分标准. 层次一:函数图像能满足题意, 但没有说明理由 (4分) 层次二: 函数图像能满足题意,能简述理由(渐近 线、定点等部分内容)(6分) 层次三: 函数图像能满足题意,能说明过定点、渐 近线、单调性及对称性(9分) 注:第三问满分9分. 这类题比较好地考查学生对数学的认识不理解, 而丌是对数学的记忆不死算。有助于对数学本质的 理解,有助于对数学思想方法的理解。这种试题能 有效地扼制死记硬背,生吞活剥的丌良现象的发 生.

例:已知函数 f ( x) ? x 3 ? 3ax(a ? R) , g ( x) ? ln x .若在区间 [1, 2] 上 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求 a 的取值范围; 简析: 由函数 x ? 3ax ? ln x 在 [1, 2] 上恒成立, 3a ? x 2 ? 得
3

ln x 在 [1, 2] 上恒成 x

立.要求 a 的取值范围,只要求 x 2 ?
2

ln x 在 [1, 2] 上的最小值. x

ln x 1 ? ln x 2 x3 ? 1 ? ln x 设 h( x ) ? x ? 则 h?( x) ? 2 x ? 2 ? x x x2



一般地,以下是令 h?( x) ? 0 ,求零点,运用导数讨论 h( x) 的极值.现在 的问题是: h?( x) ? 0 也就是方程 2 x 3 ? 1 ? ln x ? 0 的解如何求,不知道. 怎么办? 教学实际表明:一大部分学生的解题也就到此终止了.

如果对常见函数,如一次函数,二次函数,对数函数的增减性有一个基本的认识,特 别是这三个函数增减的速度有一个基本的认识的话, 则对函数 h( x) ? x 2 ?

ln x 的增减 x

性就会有一个基本的判断:函数 x, ln x 在 [1, 2] 上都是单调增的,但函数 x 比函数 ln x

ln x ln x 递增的速度快,因而函数 在 [1, 2] 上应是一个减函数,从而函数 ? 在 [1, 2] 上 x x
应 是 一 个 增 函 数 , 注 意 到 函 数 x 2 在 [1, 2] 上 是 一 个 增 函 数 , 从 而 , 判 断 函 数

h( x ) ? x 2 ?

ln x 在 [1, 2] 上是一个增函数. x

事实上,当 1 ? x ? 2 时, 2 x 3 ? 1 ? 0, ln x ? 0 ,从而 h?( x ) ? 0 ,即函数 h( x) 在 [1, 2] 上 是增函数, h( x) min ? h(1) ? 1 ,所以

a?

1 3

顺便指出:要求一个函数在区间上的最值,最希望这个函数在所给的区间上是单调的,也 是求最值问题的一个基本的认识. 例如,对三次函数 y ? ax 3 ? bx 2 ? cx ? d 的基本认识.一般地,当三次项系数 a ? 0 时, 三次 函数 y ? ax 3 ? bx 2 ? cx ? d 先增 后减, 再增; 当三次 项系数 a ? 0 时, 三次函 数

y ? ax 3 ? bx 2 ? cx ? d 先减后增,再减.有了这样的基本认识后,处理一些有三次函数有
关的问题时, 思考起来就方便多了, 甚至对于一些比较困难的问题, 也就只要 “看图说话” . 如 2011 年的江苏高考第 19 题. 已知 a,b 是实数,函数 f ( x) ? x 3 ? ax, g ( x) ? x 2 ? bx,

f ?(x ) 和 g ?(x ) 是 f ( x), g ( x ) 的

导函数,若 f ?( x) g ?( x) ? 0 在区间 I 上恒成立,则称 f (x ) 和 g (x ) 在区间 I 上单调性一致 (1)设 a ? 0 ,若函数 f (x ) 和 g (x ) 在区间 [ ?1,??) 上单调性一致,求实数 b 的取值范围; (2)设 a ? 0, 且 a ? b ,若函数 f (x ) 和 g (x ) 在以 a,b 为端点的开区间上单调性一致, 求|a-b|的最大值

3.3.5.4 对基本规律的认识 例: “图象开口向下的函数在闭区间上的最小值必在区间端点取到”是一 个一般化的,十分有用的结论,它是“开口向下的二次函数在闭区间上的最小 值必在端点处取到”的推广,但适用的范围必大大地超过二次函数的情形. 如: 2011 年的江苏高考第 19 题. 已知 a,b 是实数,函数 f ( x) ? x 3 ? ax, g ( x) ? x 2 ? bx, 数,若 f ?( x) g ?( x) ? 0 在区间 I 上恒成立,则称 (1)设 a ? 0 ,若函数 围; (2)设 a ? 0, 且 a ? b ,若函数 致,求|a-b|的最大值
f (x ) 和 g (x ) 在以
f ?(x ) 和 g ?(x ) 是 f ( x), g ( x) 的导函

f (x ) 和 g (x ) 在区间

I 上单调性一致 b 的取值范

f (x) 和 g (x ) 在区间 [?1,??) 上单调性一致,求实数

a,b 为端点的开区间上单调性一

分析: (1)略; (2) 总的来说,一般有两条思路. 思路1:将条件转化为以 a , b 为端点的开区间上不等式 f ?( x) g ?( x) ? 0 恒成立. 思路2:将条件转化为以 a , b 为端点的开区间上不等组 ?
? f ?( x) ? 0 ? f ?( x) ? 0 或? 恒成立. ? g ?( x) ? 0 ? g ?( x) ? 0

因为 a , b 的大小不定,无论是思路1还是思路2,都不可避免地要分 b ? a 和 b ? a 两种情况讨论.现在的问 题不仅仅如此,接下来还要有多层的分类讨论.如对于思路1,当 b ? a 时,还要分 b ? 0 和 b ? 0 讨论;当 b ? 0 时, 还要分 0 ? ? ? ? 和 ? ? ? 进行讨论;当 b ? a 时,还要分 0 ? ? ? ? 和 ? ? ? 进行讨论. 对于大多数学生来说,较难进行如上的三层分类讨论,因而其解题常常是不了了之,半途而废.
b 2 a 3 b 2 a 3 b 2 a 3 b 2 a 3

对于思路2,有避免分类讨论或减少分类讨论的方法吗? 注意到
f ?( x) g ?( x) ? (3x2 ? a)(2x ? b) = 6 x3 ? 3bx 2 ? 2ax ? ab 是关于 x 的三次函数,利用三次在部分区间的

“开口方向”能较方便地求解方法.

记 h( x) ? f ?( x) g ?( x) ,则 h?( x) ? 18x2 6bx ? 2a 因为 a ? 0 ,则 h?( x) ? 0 有两个异号的实根 x1 , x2 ,不妨设 x1 ? 0 , x2 ? 0 ,则函数 h( x) 的单调性是:在区间

(??, x1 ) , ( x2 , ??) 上单调增,在区间 ( x1 , x2 ) 上单调减.
若 b ? 0 ,由于 a ? 0 ,得 0 ? (a, b) . 又因为 f ?(0) g ?(0) ? ab ? 0 ,所以函数 f ( x ) , g ( x) 在区间 ( a, b) 上不是单调性一致的.因此 b ? 0 . 因此,以 a , b 为端点的开区间应该在 x2 的左侧. 因为以 a , b 为端点的开区间在 x2 的左侧,所以在这个开区间内, h( x) ? f ?( x) g ?( x) 要么递增,要么递减,要么 先增后减. 也就是说, 在以 a ,b 为端点的开区间上,h( x) ? f ?( x) g ?( x) 的 “开口” 是向下的. 这样,h(a) ? 0 且 h(b) ? 0 就等价于 h( x) ? 0 在以 a , b 为端点的开区间上恒成立.

1 1 1 ? a ? 0 , ? ? b ? 0 ,所以 a ? b ? . 3 3 3 1 1 1 2 当 a ? ? , b ? 0 时, f ?( x) g ?( x) ? 6 x( x ? ) ,从而当 x ? (? , 0) 时, f ?( x) g ?( x) ? 0 ,故函数函 f ( x ) , g ( x) 3 9 3 1 1 在区间 (? , 0) 上单调性一致,因此 a ? b 的最大值为 . 3 3
由 h(a) ? 0 且 h(b) ? 0 结合 a ? 0 , b ? 0 解得 ?

还有 100 天,怎样做更好: 1.基础知识的查漏补缺要坚持不懈 2.应试技巧的反复完善要一如既往 3.解题能力的逐步提高要持之以恒

谢谢各位! 谢谢各位!


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