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山东省淄博市2013届高三高考模拟考试数学文


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淄博市 2012-2013 学年度高三年级模拟考试









本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分,共 4 页.满分 150 分.考试用时 120 分钟,考试结 束后,将试卷和答题卡一并上交. 注意事项: 1.答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科 类填写在答题卡和试卷规定的位置上. 2.第 I 卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试卷上. 3.第 II 卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内 相应的位置, 不能写在试卷上; 如需改动, 先划掉原来的答案, 然后再写上新的答案; 不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效. 4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式: 锥体的体积公式: V ?

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 3

如果事件 A,B 互斥,那么 P ? A ? B? ? P ? A? ? P ? B? ;如果事件 A,B 独立,那么

P ? AB? ? P ? A? ? P ? B? .

第 I 卷(共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. (1)在复平面内,复数 (A)第一象限

5i 的对应点位于 2?i
(B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限

(2)已知集合 A ? {x ? R | 0 ? x ? 1} , B ? {x ? R | (2 x ? 1)( x ? 1) ? 0} ,则 A ? B 等于 (A) (0, ) (C) (??, ?1) ? ( , ??)

1 2

(B) (??, ?1) ? (0, ??)

(3)设命题 p :函数 y ? sin 2 x 的最小正周期为

? ; 2 ? 命题 q :函数 y ? cos x 的图象关于直线 x ? 对称.则下列的判断正确的是 2
p 为真
(B) ? q 为假

1 2

(D) (?1,1)

(A)

(C)

p ? q 为假

(D) p ? q 为真

(4)已知 P 是圆 x 2 ? y 2 ? 1 上的动点,则 P 点到直线 l : x ? y ? 2 2 ? 0 的距离的最小 值为 (A) 1 (B) 2 (C) 2 (D) 2 2

(5)已知

2 2 ? ? 1( x ? 0, y ? 0) ,则 x ? y 的最小值为 x y
(B) 2 (C) 4 (D) 8

(A) 1

(6)某程序框图如图所示,该程序运行后, 输出的 x 值为 31,则 a 等于 (A) 0 (C)2 (B) 1 (D)3

(7)已知△ABC 的面积为 2 ,在△ABC 所在的平面内 有两点 P、Q , 满足 PA ? PC ? 0,QA ? 2BQ , ?APQ 则 的面积为 (A)

??? ??? ? ?

? ??? ?

??? ?

(第 6 题图)

1 2

(B)

2 3
x

(C)1

(D)2

(8)在同一个坐标系中画出函数 y ? a , y ? sin ax 的部分图象,其中 a ? 0且a ? 1 ,则下 列所给图象中可能正确的是 D

(9)一个直棱柱被一个平 面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 (A) 9 (B) 10 (C) 11

2

2

3

正视图

侧视图

23 (D) 2
( 10 ) 设 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 y ? f ( x) , 满 足 对 任 意 t ? R 都 有
1 1 (第 9 题图)

俯视图

1 3 f (t ) ? f (1 ? t ) ,且 x ? [0, ] 时, f ( x) ? ? x2 ,则 f (3) ? f ( ? ) 的值等于. 2 2
(A) ?

1 2

(B) ?

1 3

(C) ?

1 4

(D) ?

1 5

(11)数列 {an } 前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? 若 Sn ? a 恒成立,则实数 a 的最小值为 (A)

1 ,且对任意正整数 m, n ,都有 am?n ? am ? an , 5

1 4

(B)

3 4

(C)

4 3

(D)4

(12)在区间 ?1,5? 和 ?2,6? 内分别取一个数,记为 a 和 b , 则方程 ? ? 示离心率小于 5 的双曲线的概率为 (A)

x2 y 2 ? ? 1(a ? b) 表 a 2 b2

1 2

(B)

15 32

(C)

17 32

(D)

31 32

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. (13) 已知抛物线 x ? 4 y 上一点 P 到焦点 F 的距离是 5 ,则点 P 的横坐标是__ ?4 ___.
2

(14) 已知 0 ? ? ?

?
3

2 ,则 sin ? ? 3 cos? 的取值范围是 ? 3,? ? ?

(15)观察下列不等式:①

1 1 1 1 1 1 ? 1 ;② ? ? 2 ;③ ? ? ? 3 ;… 2 2 6 2 6 12

请写出第 n 个不等式为

1 1 1 1 ? ? ??? ? n. 2 6 12 n(n ? 1)

(16)现有下列结论: ①直线 a, b 为异面直线的充要条件是直线 a, b 不相交; ②函数 f ( x ) ? lg x ?

1 1 ( ,1) 的零点所在的区间是 ; 10 x

③从总体中抽取的样本 ( x1 , y2 ),( x2 , y2 ),?,( xn , yn ), 若记x ? 则回归直线 y ? bx ? a 必过点( x, y ) ; ④ 已知函数 f ( x) ? 2 ? 2
x ?x
?

1 n 1 n xi , y ? ? yi , ? n i ?1 n i ?1

,则 y ? f ? x ? 2? 的图象关于直线 x ? 2 对称.

其中正确的结论序号是

② ④

(注:把你认为正确结论的序号都填上).

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. (17) (本小题满分 12 分) 已知向量 m ? (sin ? A ? B ? ,sin(

?
2

? A)), n ? (1, B) , m ? n ? ? sin 2C , 2sin 且 其中 A、

B、C 分别为 ?ABC 的三边 a、b、c 所对的角. (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 sin A ? sin B ? 解: )m ? n ? sin (Ⅰ

3 sin C ,且 S?ABC ? 3 ,求边 c 的长. 2
……………………1 分

? A ? B? ? 2cos Asin B

? sin A cos B ? cos Asin B ? sin( A ? B) ……………………2 分
在 ?ABC 中, A ? B ? ? ? C , 0 ? C ? ? 所以 sin( A ? B) ? sin C 又 m ? n ? ? sin 2C 所以 sin C ? ? sin 2C = ? 2sin C cos C 所以 cos C ? ? 即C ?

2? . 3

1 ,……………………5 分 2
……………………6 分

(Ⅱ)因为 sin A ? sin B ? 2sin C 由正弦定理得 2c ? a ? b . …………………8 分 ………………10 分

S?ABC ?

1 3 ab sin C ? ab ? 3 ,得 ab ? 4 . 2 4

由余弦定理得 c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C

9 2 ? a 2 ? b 2 ? a b ? a ? ) b ? a b? ( 4
解得 c ?

2

c4?
……………………12 分

4 5 . 5

(18) (本小题满分 12 分)

在如图所示的几何体中, 四边形 ABCD 是菱形,

ADNM 是矩形, 平面 ADNM ⊥平面 ABCD ,
P 为 DN 的中点.
(Ⅰ)求证: BD ⊥ MC ; (Ⅱ) 线段 AB 上是否存在点 E , 使得, AP / / 平面 NEC ,若存在,说明在什么位置,并加以 证明;若不存在,说明理由. (Ⅰ)证明:连结 AC ,因为四边形 ABCD 是菱形 所以 AC ? BD .………………2 分 又 ADNM 是矩形,平面 ADNM ⊥平面 ABCD 所以 AM ⊥平面 ABCD 因为 BD ? 平面 ABCD 所以 AM ? BD 因为 AC ? AM ? A 所以 BD ? 平面 MAC .……………………4 分 又 MC ? 平面 MAC 所以 BD ? MC . ……………………6 分 A M A A E E E E M M

N N

P D C C B B

N N P S

D

C B

E

(Ⅱ)当 E 为 AB 的中点时,有 AP / / 平面 NEC .……7 分 取 NC 的中点 S ,连结 PS , SE .……………8 分 因为 PS / / DC / / AE , PS ? AE = 所以四边形 APSE 是平行四边形, 所以 AP / / SE . 又 SE ? 平面 NEC , ……………………10 分

1 DC , 2

AP ? 平面 NEC ,
所以 AP / / 平面 NEC .……………………12 分 (19) (本小题满分 12 分)

某校举行环保知识竞赛,为了了解本次 组号 竞赛成绩情况,从得分不低于 50 分的 试卷中随机抽取 100 名学生的成绩(得 分均为整数,满分 100 分) ,进行统计, 请根据频率分布表中所提供的数据,解 答下列问题: (Ⅰ)求 a、 b 的值; (Ⅱ) 若从成绩较好的第 3 、4 、5 组中按分层抽样的方法抽取 6 人参 加社区志愿者活动,并从中选出 2 人做负责人,求 2 人中至少有 1 人是第四组的概率. 解: (I) a ? 35, b ? 0.30 ……………………………………………………………12 分 (Ⅱ)因为第 3 、 4 、 5 组共有 60 名学生,所以利用分层抽样在 60 名学生中抽取 6 名 学生,每组分别为: 第4组 第5组 合计 第1组 第2组 第3组 分组 频数 频率

?50,60? ?60,70? ?70,80?
?80,90?
?90,100?

5

0.05 0.35 b
0.20 0.10

a
30
20 10

100

1.00

6 ? 30 ? 3 人, 60 6 ? 20 ? 2 人, 第 4 组: 60 6 ? 10 ? 1 人, 第 5 组: 60
第 3 组: 所以第 3 、 4 、 5 组分别抽取 3 人, 2 人, 1 人. …………6 分

设第 3 组的 3 位同学为 A 、 A2 、 A3 ,第 4 组的 2 位同学为 B1 、 B2 ,第 5 组的 1 位同学 1 为 C1 ,则从六位同学中抽两位同学有 15 种可能如下:

? A1, A2 ? , ? A1, A3 ? , ? A1, B1 ? , ? A1, B2 ? , ? A1, C1 ? , ? A2 , A3 ? , ? A2 , B1 ? , ? A2 , B2 ? , ? A2 , C1 ? , ? A3 , B1 ? , ? A3 , B2 ? , ? A3 , C1 ? , ? B1, B2 ? , ? B1, C1 ? , ? B2 , C1 ? , …………10 分
所以其中第 4 组的 2 位同学至少有一位同学入选的概率为 (20) (本小题满分 12 分) 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,点 (an , Sn ) 在直线 y ? (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式;

9 3 ? 15 5

…………12 分

3 x ? 1 上. 2

(Ⅱ)在 an 与 an ?1 之间插入 n 个数,使这 n ? 2 个数组成公差为 d n 的等差数列,求数 列?

?1? ? ? 的前 n 项和 Tn . ? dn ? ?
3 an ? 1 …………………………1 分 2

(20)解: (Ⅰ)由题设知, S n ? 得 Sn ?1 ?

3 an ?1 ? 1(n ? N* , n ? 2) )………………………………2 分 2 3 两式相减得: an ? (an ? an ?1 ) 2
即 an ? 3an?1 (n ? N* , n ? 2) ,…………………………4 分 又 S1 ?

3 a1 ? 1 2

得 a1 ? 2

所以数列 ?an ? 是首项为 2,公比为 3 的等比数列, 所以 an ? 2 ? 3n?1 . …………………………6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 an?1 ? 2 ? 3n , an ? 2 ? 3n?1 因为 an?1 ? an ? (n ? 1)d n 所以 d n ?

4 ? 3n ?1 n ?1

所以

1 n ?1 .……………………8 分 ? d n 4 ? 3n ?1 1 1 1 1 ? ? ?…? , d1 d 2 d 3 dn

令 Tn ? 则 Tn ?

n ?1 2 3 4 ? ? ? …? ① 0 1 2 4?3 4?3 4?3 4 ? 3n ?1 n n ?1 1 2 3 Tn ? ? ?…? ? ② 1 2 n ?1 3 4?3 4?3 4?3 4 ? 3n 2 2 1 1 1 n ?1 ? ? ?…? ? ①—②得 Tn ? …………………10 分 0 1 2 n ?1 3 4 ? 3 4 ?3 4 ?3 4?3 4 ? 3n 1 1 (1 ? n ?1 ) 1 1 n ? 1 5 2n ? 5 3 ……………………………………11 分 ? ? ?3 ? ? ? 1 2 4 4 ? 3n 8 8 ? 3n 1? 3 15 2n ? 5 ?Tn ? ? ……………………………………12 分 16 16 ? 3n ?1
(21) (本小题满分 13 分)

已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 10) 的右焦点 F 在圆 D : ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1 上,直线 2 a 3

l : x ? my ? 3( m ? 0)交椭圆于 M 、 N 两点.
(Ⅰ) 求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 若 OM ? ON ( O 为坐标原点),求 m 的值; (Ⅲ) 若点 P 的坐标是 (4, 0) ,试问 ?PMN 的面积是否存在最大值?若存在求出这个 最大值;若不存在,请说明理由. (21)解:(Ⅰ) 由题设知,圆 D : ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1的圆心坐标是 ( 2,0) ,半径是 1 , 故圆 D 与 x 轴交与两点 (3,0) , (1,0) . 所以,在椭圆中 c ? 3 或 c ? 1 ,又 b 2 ? 3 , 所以, a 2 ? 12 或 a 2 ? 4 (舍去,∵ a ? 10 ) ………3分 …………………………1分

于是,椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 12 3

………………………4 分

(Ⅱ) 设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ;

?x ? m y ? 3 ? 直线 l 与椭圆 C 方程联立 ? x 2 y 2 ?1 ? ? ?12 3
化简并整理得 (m ? 4) y ? 6my ? 3 ? 0
2 2

………………………5 分 ………………………6 分

? 6m ?3 , y1 ? y2 ? 2 2 m ?4 m ?4 24 ∴ x1 ? x2 ? m( y1 ? y2 ) ? 6 ? 2 m ?4
∴ y1 ? y2 ?

x1 ? x2 ? m2 y1 y2 ? 3m( y1 ? y2 ) ? 9 ?
∵ OM ? ON ,∴ OM ?ON ? 0 即 x1x2 ? y1 y2 ? 0 得

? 3m2 ? 18m2 36 ? 12m2 ? 2 ?9? ………7 分 m2 ? 4 m ? 4 m2 ? 4

36 ? 12m 2 ? 3 ?0 m2 ? 4

………………………8 分

∴m ?
2

11 11 ,m ? ? . 4 2

………………………9 分

(Ⅲ) 解法一: S ?PMN ?

1 1 FP ? y1 ? y2 ? ? 1 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 …………10 分 2 2

1 36m 2 12 m2 ? 1 ? ? ? ?2 3 2 2 ( m 2 ? 4) 2 ( m 2 ? 4) (m 2 ? 4)

…………11 分

=2 3

1 9 (m 2 ? 1) ? 2 ?6 m ?1

?2 3

1 ?1 12

当且仅当 m2 ? 1 ? 3 即 m ? ? 2 时等号成立 故 ?PMN 的面积存在最大值 1 . (或: S?PMN ? 2 3 ? ………………………13 分

?m

m2 +1
2

? 4?

2

=2 3 ? ?

?m

1
2

? 4?

2

?

1 …………11 分 m ?4
2

令t ?

1 ? 1? ? ? 0, ? , m ? 4 ? 4?
2

则 S?PMN ? 2 3 ? ?3t 2 ? t ? 2 3 ? ?3(t ? ) 2 ? 当且仅当 t ?

1 6

1 ?1 12

………………12 分

1 ? 1? ? ? 0, ? 时等号成立,此时 m 2 ? 2 6 ? 4?
………………………13 分

故 ?PMN 的面积存在最大值 1 . 解法二: MN ?
2

( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? (m2 ? 1) ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2

?

?

? 36m2 12 ? m2 ? 1 ? (m ? 1) ? 2 ? 2 ?4 3 2 2 m ? 4? m ?4 ? (m ? 4) ?
点 P 到直线 l 的距离是

………………………10 分

4?3 m2 ? 1

?

1 m2 ? 1

.

所以, S?PMN ?

4 3 1 m2 ? 1 m2 ? 1 ……………………11 分 ? 2 ?2 3 2 (m2 ? 4)2 m2 ? 1 m ? 4

? 2 3 ? 3(
令t ?

1 1 )2 ? 2 m ?4 m ?4
2

1 ? 1? ? ? 0, ? , m ? 4 ? 4?
2

1 1 2 3 S?PMN ? 2 3 ? 3t 2 ? t ? 2 3 ? 3(t ? )2 ? ? ? 1, 6 12 12

………………12 分

当且仅当 t ?

1 ? 1? ? ? 0, ? 时,此时 m 2 ? 2 6 ? 4?
………………………13

故 ?PMN 的面积存在最大值,其最大值为 1 . 分

(22) (本小题满分 13 分) 已知函数 g ( x) ? (2 ? a)ln x , h ? x ? =ln x ? ax2 ( a ? R ) .令 f ? x ? ? g ? x ? ? h? ? x ? . (Ⅰ)当 a ? 0 时,求 f ( x ) 的极值; (Ⅱ)当 a ? ?2 时,求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)当 ?3 ? a ? ?2 时,若对 ? 使得 f

?1,?2 ??1,3? ,

? ?1 ? ? f ? ?2 ? ? ? m ? ln 3? a ? 2 ln 3 恒成立,求 m 的取值范围.

解:(Ⅰ)依题意, h? ? x ? =

1 ? 2ax x 1 所以 f ? x ? ? ? 2 ? a ? ln x ? ? 2ax 其定义域为 (0, ??) . ……………1 分 x 1 2 1 2x ?1 当 a ? 0 时, f ( x) ? 2 ln x ? , f ?( x ) ? ? 2 ? . ……………2 分 x x x x2 1 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 2 1 1 当 0 ? x ? 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 时, f ?( x) ? 0 . 2 2

+ 所以 f ? x ? 的单调递减区间是 ? 0, ? ,单调递增区间是 ? ,? ? ;
所以 x ?

? 1? ? 2?

?1 ?2

? ?

1 时, f ? x ? 有极小值为 2

?1? f ? ? ? 2 ? 2 ln 2 ,无极大值 ……………4 分 ?2?

1 2ax 2 ? (2 ? a) x ? 1 a(2 x ? 1)( x ? a ) 2?a 1 ? 2 ? 2a ? (Ⅱ) f ?( x ) ? ? ? x ? 0? ……5 分 x x x2 x2 1 1 1 1 当 a ? ?2 时, ? ? , 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ? 或 x ? , a 2 a 2 1 1 令 f ?( x) ? 0 ,得 ? ? x ? ; a 2

? 所以,当 a ? ?2 时, f ? x ? 的单调递减区间是 ? 0,

? ?

1? ?1 ? + ? , ? ,? ? , a? ?2 ?

单调递增区间是 ? ? , ? ……………7 分 (Ⅲ)由(Ⅱ)可知,当 ?3 ? a ? ?2 时, f ( x) 在 ?1,3? 单调递减. 所以 f ( x)max ? f (1) ? 2a ? 1; f ( x) min ? f (3) ? (2 ? a) ln 3 ? 所以 f

? 1 1? ? a 2?

1 ? 6a . …………8 分 3

? ?1 ? ? f ? ?2 ? max ? f ?1? ? f ? 3? ? (1 ? 2a) ? ?(2 ? a) ln 3 ? ?
?

1 ? ? 6a ? 3 ?

?

2 ? 4a ? (a ? 2) ln 3. ………………9 分 3

因为对 ?

?1,?2 ??1,3? ,有 f ? ?1 ? ? f ? ?2 ? ? ? m ? ln 3? a ? 2 ln 3 成立,
2 ? 4a ? ( a ? 2) ln 3. , 3

所以 ? m ? ln 3? a ? 2 ln 3 ? 整理得 ma ?

2 ? 4a . ……………11 分 3 2 1 2 2 ? 4 , 又因为 ?3 ? a ? ?2 ,得 ? ? ?? , 又 a ? 0 所以 m ? 3a 3 3a 9 13 13 2 38 ? ? 4 ? ? ,所以 m ? ? 所以 ? . ……………13 分 3 3 3a 9


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