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江苏省常州市2017届高三上学期期末考试数学试题 Word版Word版含答案.doc


江苏省常州市教育学会学生学业水平监测 高三数学Ⅰ试题
2017.1 一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1. 已知集合 U ? ?1,2,3,4,5?, A ? ?3,4?, B ? ?1,4,5? ,则 A ? ?CU B? ? 2. 已知 x ? 0 ,若 ? x ? i ? 是纯虚数(其中 i 为虚数单位) ,则
2

.

x?

.

3.某单位有老人 20 人,中年人 120 人,青年人 100 人,现采用分 层抽样的方法从所有人中抽取一个容量为 n 的样本,已知青年人 抽取的人数为 10 人,则 n ? 4.双曲线 . .

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点与左准线之间的距离是 4 12
.

5.函数 y ? 1 ? x ? lg ? x ? 2 ? 的定义域为

6. 执 行 右 图 所 示 的 程 序 框 图 , 若 输 入 a ? 27 , 则 输 出 的 值

b?

.

7.满足等式 cos 2 x ? 1 ? 3cos x x ? ? 0, ? ? 的 x 值为

?

?

.

8.设 Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 a3 ? 4, S9 ? S6 ? 27 ,则

S10 ?

.

9.男队有号码 1,2,3 的三名乒乓球运动员,女队有号码为 1,2,3,4 的四名乒乓球运动员,现 两队各出一名运动员比赛一场,则出场的两名运动员号码不同的概率为 .

10.以一个圆柱的下底面为底面,并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥,若所得的圆锥底面 半径等于圆锥的高,则圆锥的侧面积与圆柱的侧面积之比为为
?

.

11.在 ?ABC 中, 若 OC ? mOA ? nOB ? m, n ? R ? , 则 m? n ?C ? 45 , O 是 ?ABC 的外心, 的取值范围为
2

??? ?

??? ?

??? ?

.

12.已知抛物线 x ? 2 py ? p ? 0? 的焦点 F 是椭圆

y 2 x2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的一个焦点,若 a 2 b2

则该椭圆的离心率为 P, Q 是椭圆与抛物线的公共点,且直线 PQ 经过焦点 F,
2 2 2

.

13. 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 a ? 3b ? 3c ? 2 3bc sin A ,则

C

.

ex a 14. 若 函 数 f ? x ? ? ? ? a ? R ? 在 区 间 ?1, 2 ? 上单调递增,则实数 a 的取值范围 2 ex
是 .

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.

,c o s B? . 15. (本题满分 14 分) 在 ?ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , 若 a ?c ? 8
(1)若 BA ? BC ? 4 ,求 b 的值; (2)若 sin A ?

1 4

??? ? ??? ?

6 ,求 sin C 的值. 4

16.(本题满分 14 分)在 ABC ? A1B1C1 中,所有棱长均相等,且 ?ABB1 ? 60? , D 为 AC 的 中点,求证: (1) B1C // 平面 A 1BD ; (2) AB ? B1C .

2 17. (本题满分 14 分) 已知圆 C : ? x ? t ? ? y ? 20 ? t ? 0 ? 2

与 椭 圆 E:

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的 一 个 公 共 点 为 a 2 b2

B ? 0, ?2? , F ? c,0? 为椭圆 E 的右焦点,直线 BF 与圆 C 相切于点 B .
(1)求 t 的值及椭圆 E 的方程; (2)过点 F 任作与坐标轴都不垂直的直线 l 与椭圆交于 M , N 两点,在 x 轴上是否存在一 定点 P ,使 PF 恰为 ?MPN 的平分线?

18.(本题满分 16 分) 某辆汽车以 x 千米 / 小时的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全要求

1? 4500 ? 60 ? x ? 120 )时,每小时的油耗(所需要的汽油量)为 ? x ? k ? ? 升,其中 k 为常 5? x ?
数,且 60 ? k ? 120 . (1)若汽车以 120 千米/小时的速度行驶时,每小时的油耗为 11.5 升,欲使每小时的油耗不 超过 9 升,求 x 的取值范围; (2)求该汽车行驶 100 千米的油耗的最小值.

19.(本题满分 16 分) 已知函数 f ? x ? ?

1 2 ax ln x ? bx ? 1. 2

(1)若曲线 y ? f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线方程为 x ? 2 y ? 1 ? 0 ,求 f ? x ? 的单调区间; (2)若 a ? 2 ,且关于 x 的方程 f ? x ? 在 ? 范围;

?

?

?1 ? , e 上恰有两个不等的实根,求实数 b 的取值 2 ?e ? ?

1 ,当 x ? 1 时,关于 x 的不等式 f ? x ? ? t ? x ? 1? 恒成立,求实数 t 的取 (3)若 a ? 2, b ? ?
2

值范围(其中 e 是自然对数的底数, e ? 2,71828? ).

? 20.(本题满分 16 分)已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 10, an ? 10 ? an ?1 ? an ? 10 n ? N .

?

?



1





?an ?













Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an





Sn ? 1 0 ? ? S 1n

? Sn ? 1 ? 0? ? n,求公差 ? N d 的取值集合;

(2)若 a1 , a2 ,?, ak 成的比数列,公比 q 是大于 1 的整数,

且 a1 ? a2 ? ? ? ak ? 2017 ,求正整数 k 的最小值; (3)若 a1 , a2 ,?, ak 成等差数列,且 a1 , a2 ,?, ak ? 100 ,求正整数 k 的最小值及 k 取最小值时公差 d 的值.

江苏省常州教育学会学生学业水平监测 高三数学Ⅱ试题(附加题) 21【选做题】在 A,B,C,D 四个小题中只能选择两题,每小题 10 分,共计 20 分. A. 选修 4—1:几何证明选讲

如图,过圆 O 外一点 P 作圆 O 的切线 PA,切点为 A,连接 OP 与圆 O 交于点 C,过点 C 作 圆 O 作 AP 的垂线, 垂足为 D,若 PA ? 2 5, PC : PO ? 1: 3, 求 CD 的长.

B.选修 4—2:矩阵与变换 已知绝阵 A ? ?

?2 1? ? x? ? 4? ?1 ,列向量 X ? ? ? , B ? ? ? ,若 AX ? B ,直接写出 A ,并求出 X . ? 3 2 y 7 ? ? ? ? ? ?

C.选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系 . 已知圆

? ? 4sin ? ? ?

? ?

??

? ?? 且 ?0 ? ? 0, ? ) 所截得的弦长为 2 3 , ? 被射线 ? ? ?0( ? ? 0,?0 为常数, 6? ? 2?

求 ?0 的值.

D.选修 4-5:不等式选讲 已知 x ? 0, y ? 0 ,且 2 x ? y ? 6 ,求 4 x 2 ? y 2 的最小值.

22.(本小题 10 分) 如图,以正四棱锥 V ? ABCD 的底面中心 O 为坐标原点建立空间直角坐标系 O ? xyz ,其 中 Ox // BC, Oy // AB, E 为 VC 中 点 , 正 四 棱 锥 的 底 面 边 长 为 2 a , 高 为 h , 且 有

??? ? ???? 15 cos BE , DE ? ? . 49 h (1)求 的值; a
(2)求二面角 B ? VC ? D 的余弦值.

23.(本小题满分 10 分) 对一个量用两种方法分别算一次,由结果相同构造等式,这种方法称为“算两次”的思想方 法.利用这种方法,结合二项式定理,可以得到很多有趣的组合恒等式. 例如:考察恒等式 ?1 ? x ?
2n

n ? ?1 ? x ? ?1 ? x ? ? n ? N ? ? ,左边 x n 的系数为 C2 n ,而右边
n n

?1 ? x ? ?1 ? x ?
n

n

0 1 n n 0 1 n n ? ? Cn ? Cn x ? ? ? Cn x ?? Cn ? Cn x ? ? ? Cn x ? , xn 的 系 数 为

0 n 1 n ?1 n 0 0 Cn Cn ? Cn Cn ? ? ? Cn Cn ? ? Cn ? ? ?Cn1 ? ? ? ? ?Cnn ? , 因 此 可 得 到 组 合 恒 等 式 2 2 2 n 0 1 n C2 n ? ? Cn ? ? ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? . 2 2 2

( 1 ) 根 据 恒 等 式

?1 ? x ?

m?n

? ?1 ? x ? ?1 ? x ? ? m, n ? N ? ? 两 边 x k ( 其 中
m n

k ? N , k ? m, k ? n )的系数相同,直接写出一个恒等式;

(2)利用算两次的思想方法或其他方法证明: 超过

?C
k ?0

?n? ? ? ?2?

2k n

?n? k n ? 2n?2 k ? C2 k ? Cn ,其中 ? ? 是指不 ?2?

n 的最大整数. 2


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