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《等比数列的前n项和》教学设计


项和》 《等比数列的前 n 项和》教学设计
一、教学内容分析
本节课选自《普通高中课程标准数学教科书·数学(5)》(人教版)第二章 第 5 节第一课时。从在教材中的地位与作用来:看《等比数列的前 n 项和》是数 列这一章中的一个重要内容, 它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用, 如储蓄、 分期付款的有关计算等等, 而且公式推导过程中所渗透的类比、 化归、 分类讨论、 整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。

二、学生学习情况分析
从学生的思维特点看, 很容易把本节内容与等差数列前 n 项和从公式的形成、 特点等方面进行类比,这是积极因素,应因势利导。不利因素是:本节公式的推 导与等差数列前 n 项和公式的推导有着本质的不同,这对学生的思维是一个突 破,另外,对于 q = 1 这一特殊情况,学生往往容易忽视,尤其是在后面使用的 过程中容易出错。教学对象是刚进入高中的学生,虽然具有一定的分析问题和解 决问题的能力,逻辑思维能力也初步形成,但由于年龄的原因,思维尽管活跃、 敏捷,却缺乏冷静、深刻,因此片面、不严谨。

三、设计思想
《新课程改革纲要》提出,要“改变课程实施过于强调接受学习、死记硬背、 机械训练的现状,倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手,培养学生搜集和处 理信息能力、 获取新知识的能力、 分析和解决问题的能力以及交流合作的能力” 。 对这一目标本人认为更加注重培养学生作为学习主体的能动性、 独立性、 创造性、 发展性。心理学家研究发现,9~22 岁的学生正处于创新思维的培养期,高中生 正好处于这一关键年龄段, 作为数学教师应因势力导, 培养学生的创新思维能力。 利用问题探究式的方法对新课加以巩固理解。在生生、师生交流的过程中,体现 对弱势学生更多的关心。

四、教学目标
理解并掌握等比数列前 n 项和公式的推导过程、公式的特点,在此基础上能 初步应用公式解决与之有关的问题。 通过对公式推导方法的探索与发现,向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类 讨论等数学思想,培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维 的能力。通过对公式推导方法的探索与发现,优化学生的思维品质,渗透事物之 间等价转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点。

五、教学重点、难点 教学重点、 教学重点是公式的推导、公式的特点和公式的运用。 教学难点是公式的推导方法和公式的灵活运用。公式推导
所使用的“错位相减法”是高中数学数列求和方法中最常用的方法之一,它蕴含 了重要的数学思想,所以既是重点也是难点。

教学准备:
包括资源的收集、课件的制作、活动的准备等 1.全日制普通高级中学教科书(必修)第一册(上) 2.普通高中课程标准教科书数学(必修)5 及配套光盘 3.两种教材的主要差异对比 4.课件《等比数列的前 n 项和》改编

六、教学过程设计: 教学过程设计:
学生是认知的主体,设计教学过程必须遵循学生的认知规律,尽可能地让学 生去经历知识的形成与发展过程, 结合本节课的特点, 我设计了如下的教学过程: 创设情境, (一)创设情境,提出问题 在古印度,有个名叫西萨的人,发明了国际象棋,当时的印度国王大为赞赏,对 他说:我可以满足你的任何要求。西萨说:请给我棋盘的 64 个方格上,第一格 放 1 粒小麦,第二格放 2 粒,第三格放 4 粒,往后每一格都是前一格的两倍,直 至第 64 格。国王令宫廷数学家计算,结果出来后,国王大吃一惊。为什么呢? 设计意图】 【设计意图】:设计这个情境目的是在引入课题的同时激发学生的兴趣,调动学 习的积极性。故事内容紧扣本节课的主题与重点。此时我问:同学们,你们知道 西萨要的是多少粒小麦吗?引导学生写出麦粒总数。带着这样的问题,学生会动 手算了起来,他们想到用计算器依次算出各项的值,然后再求和。这时我对他们 的这种思路给予肯定。 设计意图】 【设计意图】:在实际教学中,由于受课堂时间限制,教师舍不得花时间让学生 去做所谓的“无用功”,急急忙忙地抛出“错位相减法”,这样做有悖学生的认 知规律:求和就想到相加,这是合乎逻辑顺理成章的事,教师为什么不相加而马 上相减呢?在整个教学关键处学生难以转过弯来, 因而在教学中应舍得花时间营 造知识形成过程的氛围,突破学生学习的障碍。同时,形成繁难的情境激起了学 生的求知欲,迫使学生急于寻求解决问题的新方法,为后面的教学埋下伏笔。 师生互动, (二)师生互动,探究问题 在肯定他们的思路后,我接着问:是什么数列?有何征? 应归结为什么数学问 题呢? 学情预设】 【学情预设】:探讨 1:设 xxx xxxx,记为(1)式,注意观察每一项的特征, 有何联系?(学生会发现,后一项都是前一项的 2 倍) 探讨 2: 如果我们把每一项都乘以 2,就变成了它的后一项,(1)式两边同 乘以 2 则有 xxx xxxx,记为(2)式。比较(1)(2)两式,你有什么发现? 设计意图】 【设计意图】:留出时间让学生充分地比较,等比数列前 n 项和的公式推导关键 是变“加”为“减”,在教师看来这是“天经地义”的,但在学生看来却是“不 可思议”的,因此教学中应着力在这儿做文章,从而抓住培养学生的辩证思维能 力的良好契机。 经过比较、研究,学生发现:(1)、(2)两式有许多相同的项,把两式相减, 相同的项就消去了,得到: xxx xxxx 。老师指出:这就是错位相减法,并 要求学生纵观全过程,反思:为什么(1)式两边要同乘以 2 呢? 设计意图】 【设计意图】:经过繁难的计算之苦后,突然发现上述解法,不禁惊呼:真是太 简洁了!让学生在探索过程中,充分感受到成功的情感体验,从而增强学习数学 的兴趣和学好数学的信心。

(三)类比联想,解决问题 类比联想, 这时我再顺势引导学生将结论一般化,设等比数列首项为 a,公比为 q,如何求 前 n 项和?这里,让学生自主完成,并喊一名学生上黑板,然后对个别学生进行 指导。 设计意图】 【设计意图】:在教师的指导下,让学生从特殊到一般,从已知到未知,步步深 入,让学生自己探究公式,从而体验到学习的愉快和成就感。 学情预设】 : 我再问: 由得对不对?这里的能不能等于 1? 【学情预设】 在学生推导完成后, 等比数列中的公比能不能为 1?为 1 时是什么数列?此时?(这里引导学生对进 行分类讨论,得出公式,同时为后面的例题教学打下基础。) 再次追问:结合等比数列的通项公式 ,如何把用 a、q、表示出来?(引导学生 得出公式的另一形式) 设计意图】 : 一方面使学生加深对知识的认识, 完善知识结构, 【设计意图】 通过反问精讲, 另一方面使学生由简单地模仿和接受,变为对知识的主动认识,从而进一步提高 分析、类比和综合的能力。这一环节非常重要,尽管时间有时比较少,甚至仅仅 几句话,然而却有画龙点睛之妙用。 讨论交流, (四)讨论交流,延伸拓展 在此基础上, 我提出: 探究等比数列前 n 项和公式, 还有其它方法吗?我们知道, 那么我们能否利用这个关系而求出呢?根据等比数列的定义又有 ,能否联想到 等比定理从而求出呢? 设计意图】 【设计意图】:以疑导思,激发学生的探索欲望,营造一个让学生主动观察、思 考、讨论的氛围. 以上两种方法都可以化归到, 这其实就是关于的一个递推式, 递推数列有非 常重要的研究价值,是研究性学习和课外拓展的极佳资源,它源于课本,又高于 课本,对学生的思维发展有促进作用. 变式训练, (五)变式训练,深化认识 例 1:求等比数列前 8 项和; 变式 1、等比数列前多少项的和是; 变式 2、等比数列求第 5 项到第 10 项的和; 变式 3、等比数列求前 2n 项中所有偶数项的和。 首先,学生独立思考,自主解题,再请学生上台来幻灯演示他们的解答,其它同 学进行评价,然后师生共同进行总结。 设计意图】 【设计意图】:采用变式教学设计题组,深化学生对公式的认识和理解,通过直 接套用公式、变式运用公式、研究公式特点这三个层次的问题解决,促进学生新 的数学认知结构的形成。通过以上形式,让全体学生都参与教学,以此培养学生 的参与意识和竞争意识。 例题讲解, (六)例题讲解,形成技能 例 2:求和 设计意图】 【设计意图】:解题时,以学生分析为主,教师适时给予点拨,该题有意培养学 生对含有参数的问题进行分类讨论的数学思想。 总结归纳, (七)总结归纳,加深理解 以问题的形式出现,引导学生回顾公式、推导方法,鼓励学生积极回答,然后老 师再从知识点及数学思想方法两方面总结。 设计意图】 【设计意图】:以此培养学生的口头表达能力,归纳概括能力。 故事结束, (八)故事结束,首尾呼应

最后我们回到故事中的问题,我们可以计算出国王奖赏的小麦约为 1.84×1019 粒,大约 7000 亿吨,用这么多小麦能从地球到太阳铺设一条宽 10 米、厚 8 米的 大道,大约是全世界一年粮食产量的 459 倍,显然国王兑现不了他的承诺。 设计意图】 【设计意图】:把引入课题时的悬念给予释疑,有助于学生克服疲倦、继续积极 思维。 课后作业, (九)课后作业,分层练习 必做:P66 练习 1:(1)、(2);2 选作:思考题:(1)求和 (2)“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几 盏灯?”这首中国古诗的答案是多少? 设计意图】 【设计意图】:出选作题的目的是注意分层教学和因材施教,让学有余力的学生 有思考的空间。

七、教学反思: 教学反思:
对公式的教学, 要使学生掌握与理解公式的来龙去脉, 掌握公式的推导方法, 理解公式的成立条件,充分体现公式之间的联系。在教学中,我采用“问题―― 探究”的教学模式,把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律 四个阶段。


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