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椭圆应用参考试题(选修1-1)


椭圆应用参考试题(选修 1-1)
一.解答题(共 30 小题) 1.已知直线 x﹣2y+2=0 经过椭圆 的左顶点 A 和上顶点 D,椭圆 C 的右顶点为 B,点

S 是椭圆 C 上位于 x 轴上方的动点,直线 AB,BS 与直线 (1)求椭圆 C 的方程; (2)求线段 MN 的长度的最小值.

分别交于 M,N 两点.

2. 已知椭圆

(a>b>0) 的左、 右焦点分别为 F1、 2, 为上顶点, 1 交椭圆 E 于另一点 B, ABF2 F A AF 且△

的周长为 8,点 F2 到直线 AB 的距离为 2. (I)求椭圆 E 的标准方程; (II)求过 D(1,0)作椭圆 E 的两条互相垂直的弦,M、N 分别为两弦的中点,求证:直线 MN 经过定点,并求 出定点的坐标.

3.已知抛物线 C:x =2py(p 为正常数)的焦点为 F,过 F 做一直线 l 交 C 于 P,Q 两点,点 O 为坐标原点. (1)当 P,Q 两点关于 y 轴对称时,|PQ|=4,求抛物线的方程; (2)若△ POQ 的面积记为 S,求 的值.

2

4. 定义变换 T:

可把平面直角坐标系上的点 P (x, 变换到这一平面上的点 P′ , y) (x′

y′.特别地,若曲线 M 上一点 P 经变换公式 T 变换后得到的点 P'与点 P 重合,则称点 P 是曲线 M 在变换 T 下的 ) 不动点. (1)若椭圆 C 的中心为坐标原点,焦点在 x 轴上,且焦距为 ,长轴顶点和短轴顶点间的距离为 2.求该椭圆 C 的标准方程.并求出当 (2)当 时,其两个焦点 F1、F2 经变换公式 T 变换后得到的点 F1′ F2 的坐标; 和


时,求(1)中的椭圆 C 在变换 T 下的所有不动点的坐标;

(3)试探究:中心为坐标原点、对称轴为坐标轴的双曲线在变换 T: k∈Z)下的不动点的存在情况和个数.





5.经过点 M(﹣2,1)作直线 l 交椭圆

于 S、T 两点,且 M 是 ST 的中点,求直线 l 的方程.

6.如图,已知直线 l:x=my+1 过椭圆

的右焦点 F,抛物线:

的焦点为椭圆 C 的上顶点,

且直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点,点 A、F、B 在直线 g:x=4 上的射影依次为点 D、K、E. (Ⅰ )求椭圆 C 的方程; (Ⅱ )若直线 l 交 y 轴于点 M,且 出 λ1+λ2 的值,否则,说明理由; (Ⅲ )连接 AE、BD,试证明当 m 变化时,直线 AE 与 BD 相交于定点 . ,当 m 变化时,探求 λ1+λ2 的值是否为定值?若是,求

7.由椭圆

(a>b>0)的顶点 B(0,﹣b)引弦 BP,求 BP 长的最大值.

8.已知 F1(﹣2,0) 2(2,0)是椭圆 C 的两个焦点,过 F1 的直线与椭圆 C 的两个交点为 M,N,且|MN|的最 ,F 小值为 6. (I)求椭圆 C 的方程; (II)设 A,B 为椭圆 C 的长轴顶点.当|MN|取最小值时,求∠ AMB 的大小.

9.已知椭圆 (1)求 a,b 的值;

的右焦点为 F,右准线与 x 轴交于 E 点,若椭圆的离心率 e=

,且|EF|=1.

(2)若过 F 的直线交椭圆于 A,B 两点,且 的夹角.

与向量

共线(其中 O 为坐标原点) ,求



10.设 F1,F2 分别是椭圆 E:x + |AB|,|BF2|成等差数列.

2

=1(0<b<1)的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与 E 相交于 A、B 两点,且|AF2|,

(Ⅰ )求|AB|; (Ⅱ )若直线 l 的斜率为 1,求 b 的值.

11.已知中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆过 M(1,

) ,N(﹣



)两点.

(1)求椭圆的方程; (2)在椭圆上是否存在点 P(x,y)到定点 A(a,0) (其中 0<a<3)的距离的最小值为 1,若存在,求出 a 的值 及点 P 的坐标;若不存在,请给予证明.

12.已知椭圆 M:

的面积为 πab,M 包含于平面区域 Ω:

内,向平面区域

Ω 内随机投一点 Q,点 Q 落在椭圆内的概率为 (Ⅰ )试求椭圆 M 的方程;



(Ⅱ )若斜率为 的直线 l 与椭圆 M 交于 C、D 两点,点 直线 PD 的斜率为 k2,试问:k1+k2 是否为定值?请证明你的结论、

为椭圆 M 上一点,记直线 PC 的斜率为 k1,

13.设圆 M:x +y =8,将曲线上每一点的纵坐标压缩到原来的 ,对应的横坐标不变,得到曲线 C.经过点 M(2, 1) ,平行于 OM 的直线 l 在 y 轴上的截距为 m(m≠0) 交曲线 C 于 A、B 两个不同点. ,l (1)求曲线 C 的方程; (2)求 m 的取值范围; (3)求证直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形. 14.已知动点 M 到两个定点 F1(﹣3,0) 2(3,0)的距离之和为 10,A、B 是动点 M 轨迹 C 上的任意两点. ,F (1)求动点 M 的轨迹 C 的方程; (2)若原点 O 满足条件 ,点 P 是 C 上不与 A、B 重合的一点,如果 PA、PB 的斜率都存在,问 kPA?kPB

2

2

是否为定值?若是,求出其值;若不是,请说明理由. ,动点 P 满足|PF1|+|PF2|=4,记动点 P 的轨迹为 E.

15.已知

(1)求 E 的方程; (2)曲线 E 的一条切线为 l,过 F1,F2 作 l 的垂线,垂足分别为 M,N,求|F1M|?|F2N|的值; (3)曲线 E 的一条切线为 l,与 x 轴分别交于 A,B 两点,求|AB|的最小值,并求此时切线的斜率.

16.已知椭圆

+

=1(a>b>0)的上顶点为 A(0,3) ,左、右焦点分别为 B、C,离心率为 .

(1)试求椭圆的标准方程; (2)若直线 PC 的倾斜角为 α,直线 PB 的倾斜角为 β,当 β﹣α= 的圆 M 上;② PA=PB+PC. 时,求证:① P 一定在经过 A,B,C 三点 点

17.设椭圆 C: 之和为 4. (1)求椭圆 C 的方程;

的离心率为 e=

,点 A 是椭圆上的一点,且点 A 到椭圆 C 两焦点的距离

(2)椭圆 C 上一动点 P(x0, 0)关于直线 y=2x 的对称点为 ,y

,求 3x1﹣4y1 的取值范围.

18.已知椭圆 F2 在线段 PF1 的中垂线上. (1)求椭圆 C 的方程; (2)如果圆 E:

的离心率

,左、右焦点分别为 F1、F2,点

满足

被椭圆 C 所覆盖,求圆的半径 r 的最大值.

19.已知椭圆 C:

(a>b>0)的离心率

,且经过点 A(2,3) .

(1)求椭圆 C 的方程; 2 2 2 (2) 设直线 AO (O 是坐标原点) 与椭圆 C 相交于点 B, 试证明在椭圆 C 上存在不同于 A、 的点 P, AP =AB +BP B 使 (不需要求出点 P 的坐标) . 20.如图,已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,长轴长是短轴长的 2 倍且经过点 M(2,1) ,平行于 OM 的直 线 l 在 y 轴上的截距为 m(m≠0) ,直线 l 交椭圆于 A、B 两个不同点(A、B 与 M 不重合) . (Ⅰ )求椭圆的方程; (Ⅱ )当 MA⊥ 时,求 m 的值. MB

21.已知 F1(﹣c,0) 2(c,0)是椭圆 ,F

(a>b>0)的左、右焦点,过点 F1 作倾斜角为 60° 的直线 l

交椭圆于 A,B 两点,ABF2 的内切圆的半径为 (I)求椭圆的离心率; (II)若|AB|=8 ,求椭圆的标准方程.

c

22.在△ ABC 中,顶点 A,B,C 所对三边分别是 a,b,c.已知 B(﹣1,0) ,C(1,0) ,且 b,a,c 成等差数列. (I)求顶点 A 的轨迹方程; (II)设直线 l 过点 B 且与点 A 的轨迹相交于不同的两点 M、N 如果满足| + |=| ﹣ |,求 l 的方程.

23.在直角坐标系 xOy 中,点 M 到点 F1 线 l: 与轨迹 C 交于不同的两点 P 和 Q. (Ⅰ )求轨迹 C 的方程; (Ⅱ )是否存在常数 k,使

、F2

的距离之和是 4,点 M 的轨迹是 C,直

?若存在,求出 k 的值;若不存在,请说明理由.

24.已知椭圆

+

=1(0<b<2)的左焦点为 F,左、右顶点分别为 A、C,上顶点为 B,过 F、B、C 作圆 P.

(I)当 b= 时,求圆 P 的方程; (II)直线 AB 与圆 P 能否相切?证明你的结论. 25.已知 F1、F2 为椭圆的焦点,P 为椭圆上的任意一点,椭圆的离心率为 .以 P 为圆心 PF2 长为半径作圆 P,当 圆 P 与 x 轴相切时,截 y 轴所得弦长为 .

(1)求圆 P 方程和椭圆方程; (2)求证:无论点 P 在椭圆上如何运动,一定存在一个定圆与圆 P 相切,试求出这个定圆方程.

26.已知椭圆

上三点 A(x1,y1) ,B(4,y2) ,C(x3,y3)和焦点 F(4,0)的距离依次成等差数列.

① x1+x3; 求 ② 求证线段 AC 的垂直平分线过定点,并求出此定点的坐标. 27.已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,长轴长是短轴长的 2 倍,且经过点 M(2,1) ,平行于 OM 直线 ? 在 y 轴上的截距为 m(m<0) ,设直线 ? 交椭圆于两个不同点 A、B, (1)求椭圆方程; (2)求证:对任意的 m 的允许值,△ ABM 的内心 I 在定直线 x=2 上.

28. 已知椭圆

的左焦点与短轴的两个端点构成边长为 2 的等边三角形, M 1, 1) 设 (x y ,

N(x2,y2)(x1≠x2)是椭圆上不同的两点,且 x1x2+4y1y2=0. ,

(1)求椭圆 C 的方程. (2)求证:x1 +x2 =4. (3)在 x 轴上是否存在一点 P(t,0) ,使 ?若存在,求出 t 的取值范围,若不存在,说明理由.
2 2

29.已知 (1)求动点 M 的轨迹 C; (2)若点 P、Q 是曲线 C 上的任意两点,且

,为坐标原点,动点 M 满足



,求

的值.

30. 如图所示: 已知椭圆方程为 为直角三角形. (1)求椭圆离心率;

, B 是椭圆与斜轴的两个交点, 是椭圆的焦点, ABF A, F 且△

(2)若椭圆的短轴长为 2,过 F 的直线与椭圆相交的弦长为

,试求弦所在直线的方程.

椭圆应用参考试题(选修 1-1)
参考答案与试题解析
一.解答题(共 30 小题) 1.已知直线 x﹣2y+2=0 经过椭圆 的左顶点 A 和上顶点 D,椭圆 C 的右顶点为 B,点

S 是椭圆 C 上位于 x 轴上方的动点,直线 AB,BS 与直线 (1)求椭圆 C 的方程; (2)求线段 MN 的长度的最小值.

分别交于 M,N 两点.

考点: 椭圆的应用. 专题: 计算题. 分析: (1)由已知得,椭圆 C 的左顶点为 A(﹣2,0) ,上顶点为 D(0,1,由此能求出椭圆 C 的方程.
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(2)设直线 AS 的方程为 y=k(x+2) ,从而 所以 ,

.由题设条件可以求出



再由均值不等式进行求解. 解答: 解: (1)由已知得,椭圆 C 的左顶点为 A(﹣2,0) ,上顶点为 D(0,1) , ∴ a=2,b=1, 故椭圆 C 的方程为 . .

(2)直线 AS 的斜率 k 显然存在,且 k>0,故可设直线 AS 的方程为 y=k(x+2) ,从而



得(1+4k )x +16k x+16k ﹣4=0.

2

2

2

2

设 S(x1,y1) ,则



,从而





,又 B(2,0)





,∴



故 又 ,∴

, = .当且仅当 ,即 k= 时等号成立

∴ 时,线段 MN 的长度取最小值 . k=

点评: 本题考查椭圆与直线的位置关系,解题时要注意公式的灵活运用.

2. 已知椭圆

(a>b>0) 的左、 右焦点分别为 F1、 2, 为上顶点, 1 交椭圆 E 于另一点 B, ABF2 F A AF 且△

的周长为 8,点 F2 到直线 AB 的距离为 2. (I)求椭圆 E 的标准方程; (II)求过 D(1,0)作椭圆 E 的两条互相垂直的弦,M、N 分别为两弦的中点,求证:直线 MN 经过定点,并求 出定点的坐标.

考点: 椭圆的应用;椭圆的标准方程. 专题: 计算题;证明题. 分析: (I)AB+AF2+BF2=(AF1+AF2)+(BF1+BF2)=4a=8?a=2,再由点 F2 到直线 AB 的距离
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,可以求出椭圆 E 的标准方程:



(II) 由题设条件可知

, 由此可推导出直线 MN 过定

点 解答: 解: (I)AB+AF2+BF2=(AF1+AF2)+(BF1+BF2)=4a=8,∴ a=2 设 ,因为 A(0,b) , ,

∴ 直线 AB 的方程为 ∴ F2 到直线 AB 的距离 点





∴ 椭圆 E 的标准方程:



(II)设以 M 为中点的弦与椭圆交于(x1,y1)(x2,y2) , ,则



,同理









整理得



∴ 直线 MN 过定点



当直线 P1Q1 的斜率不存在或为零时,P1Q1、P2Q2 的中点为点 D 及原点 O,直线 MN 为 x 轴, 也过此定点, ∴ 直线 MN 过定点 .

点评: 本题主要考查直线、椭圆的基础知识,考查函数与方程思想、分别事整合思想及化归与转化思想. 3.已知抛物线 C:x =2py(p 为正常数)的焦点为 F,过 F 做一直线 l 交 C 于 P,Q 两点,点 O 为坐标原点. (1)当 P,Q 两点关于 y 轴对称时,|PQ|=4,求抛物线的方程; (2)若△ POQ 的面积记为 S,求 的值.
2

考点: 椭圆的应用. 专题: 计算题;综合题. 分析: (1)根据抛物线的定义可知 2p=|PQ|进而求得 p,则抛物线方程可得. (2)根据(1)中抛物线方程求得焦点坐标,设直线 l 的方程,代入抛物线方程消去 y,根据韦达定理求得 x1+x2 和 x1x2 的值,进而根据弦长公式求得|PQ|,根据点到直线的距离求得原点到直线 l 的距离,进而可求
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得三角形 POQ 的面积,最后代入

即可求得答案.

解答: 解(1)由已知|PQ|=4,根据抛物线的对称性可知所以 2p=|PQ|=4,所以抛物线方程 x2=4y (2)显然直线 l 斜率存在,
2 2 2


2

代入 C:x =2py 得 x ﹣2pkx﹣p =0,x1+x2=2pk,x1x2=﹣p , 求得弦长|PQ|=2p(1+k ) ,原点到直线 l 距离
2



,所以 点评: 本题主要考查了抛物线的应用. 考查了直线与抛物线的关系以及抛物线焦点弦的问题, 平面几何的知识. 综 合性较强.

4. 定义变换 T:

可把平面直角坐标系上的点 P (x, 变换到这一平面上的点 P′ , y) (x′

y′.特别地,若曲线 M 上一点 P 经变换公式 T 变换后得到的点 P'与点 P 重合,则称点 P 是曲线 M 在变换 T 下的 ) 不动点. (1)若椭圆 C 的中心为坐标原点,焦点在 x 轴上,且焦距为 ,长轴顶点和短轴顶点间的距离为 2.求该椭圆 C 的标准方程.并求出当 (2)当 时,其两个焦点 F1、F2 经变换公式 T 变换后得到的点 F1′ F2 的坐标; 和


时,求(1)中的椭圆 C 在变换 T 下的所有不动点的坐标;

(3)试探究:中心为坐标原点、对称轴为坐标轴的双曲线在变换 T: k∈Z)下的不动点的存在情况和个数.





考点: 椭圆的应用;椭圆的简单性质. 专题: 综合题;新定义;探究型;转化思想. 分析: ′ (1)设椭圆 C 的标准方程为 (a>b>0) ,求出 c,a,b 然后结合定义变换 T,求出点 F1′ F2 的 和
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坐标. (2) 坐标; (3)设 P(x,y)是双曲线在变换下的不动点,推出 ,设双曲线方程为 时,利用(1)中的椭圆 C 在变换 T 下,点 P(x,y)∈C,根据椭圆方程求出的不动点的

(mn<0) ,

代入,推出

讨论 mn<0,故当

时,方程

无解; 当 时,要使不动点存在,则需 ,

因为 mn<0,故当

时,双曲线在变换 T 下一定有 2 个不动点,否则不存在不动点.

进一步分类: (i)当 n<0,m>0 下一定有 2 个不动点; (ii)当 n>0,m<0 时,双曲线在变换 T 下一定有 2 个不动点. 解答: 解: (1)设椭圆 C 的标准方程为 (a>b>0) , 由椭圆定义知焦距 ,即 a ﹣b =2① . 2 2 2 2 又由条件得 a +b =4② ,故由① 可解得 a =3,b =1. 、② 即椭圆 C 的标准方程为 且椭圆 C 两个焦点的坐标分别为 . 和 .
2 2

对于变换 T:

,当

时,

可得

设 F1 (x1,y1)和 F2 (x2,y2)分别是由







的坐标由变换公式 T 变换得

到.于是,

,即 F1 的坐标为







即 F2 的坐标为





(2)设 P(x,y)是椭圆 C 在变换 T 下的不动点,则当

时,



?x=3y,由点 P(x,y)∈C,即 P(3y,y)∈C,

得:

,因而椭圆

的不动点共有两个,分别为 (3)设 P(x,y)是双曲线在变换 下的不动点,则由





? 因为 ,k∈Z,故 .

不妨设双曲线方程为

(mn<0) ,由

代入得

则有



因为 mn<0,故当 当

时,方程 时,要使不动点存在,则需

无解; ,

因为 mn<0,故当

时,双曲线在变换 T 下一定有 2 个不动点,否则不存在不动点.

进一步分类可知: (i)当 n<0,m>0 时,即双曲线的焦点在 轴上时, 此时双曲线在变换 下一定有 2 个不动点; (ii)当 n>0,m<0 时,即双曲线的焦点在 y 轴上时, . ;

此时双曲线在变换 T 下一定有 2 个不动点. 点评: 本题考查解椭圆的应用,椭圆的简单性质,考查分析问题解决问题的能力,转化思想,计算能力,分类讨论 思想,是难题,创新题.

5.经过点 M(﹣2,1)作直线 l 交椭圆

于 S、T 两点,且 M 是 ST 的中点,求直线 l 的方程.

考点: 椭圆的应用. 专题: 综合题. 分析: 设 S(x1,y1)T(x2,y2) ,由点 M(﹣2,1)是 ST 的中点,x1+x2=﹣4,y1+y2=2,然后用点差法求出直 线 l 的方程. 解答: 解:设 S(x1,y1)T(x2,y2) , ∵ M(﹣2,1)是 ST 的中点, 点
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∴1+x2=﹣4,y1+y2=2, x 2 2 把 S(x1,y1)T(x2,y2)代入 2x +3y =12,得 , ∴ 2(x1+x2) 1﹣x2)+3(y1+y2) 1﹣y2)=0, (x (y ∴ ﹣8(x1﹣x2)+6(y1﹣y2)=0, ∴ = ,

∴ 直线 l 的方程:



整理,得 4x﹣3y+11=0. 点评: 本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力,具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识,解 题时要注意合理地进行等价转化.

6.如图,已知直线 l:x=my+1 过椭圆

的右焦点 F,抛物线:

的焦点为椭圆 C 的上顶点,

且直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点,点 A、F、B 在直线 g:x=4 上的射影依次为点 D、K、E. (Ⅰ )求椭圆 C 的方程; (Ⅱ )若直线 l 交 y 轴于点 M,且 出 λ1+λ2 的值,否则,说明理由; (Ⅲ )连接 AE、BD,试证明当 m 变化时,直线 AE 与 BD 相交于定点 . ,当 m 变化时,探求 λ1+λ2 的值是否为定值?若是,求

考 椭圆的应用;椭圆的定义. 点: 专 计算题.

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题: 分 (Ⅰ )由题设条件能够求出 c=1,b= ,从而求出椭圆 C 的方程. 析: )设直线 l 交椭圆于 A(x1,y1) (Ⅱ ,B(x2,y2) ,联立方程组,由根与系数的关系推导 λ1+λ2 的值. (Ⅲ )由题设条件想办法证明点 于定点 . 在既直线 lAE 上,又在直线 lBD 上,∴ m 变化时,AE 与 BD 相交 当

解 解: )易知椭圆右焦点 F(1,0) c=1, (Ⅰ ,∴ 答: 抛物线 的焦点坐标 ,∴

∴ =3 b

2

∴ =b +c =4∴ a 椭圆 C 的方程

2

2

2

(Ⅱ )易知 m≠0,且 l 与 y 轴交于 设直线 l 交椭圆于 A(x1,y1) ,B(x2,y2) 由



∴=(6m) +36(3m +4)=144(m +1)>0 △ ∴ 又由

2

2

2



同理







所以,当 m 变化时,λ1+λ2 的值为定值



(Ⅲ )证明:由(Ⅱ )知 A(x1,y1) ,B(x2,y2) D(4,y1) ,∴ ,E(4,y2) 方法 1)∵



时,

=

=

∴ 点 同理可证,点

在直线 lAE 上, 也在直线 lBD 上;

∴ m 变化时,AE 与 BD 相交于定点 当 方法 2) ∵

= ∴EN=kAN∴ k A、N、E 三点共线, 同理可得 B、N、D 也三点共线; ∴ m 变化时,AE 与 BD 相交于定点 当 .

点 本题是椭圆的综合应用题,有一定的难度.解题时要认真审题,注意挖掘隐含条件,仔细作答. 评:

7.由椭圆

(a>b>0)的顶点 B(0,﹣b)引弦 BP,求 BP 长的最大值.

考点: 椭圆的应用. 专题: 计算题. 分析: 设椭圆

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(a>b>0)在 x 轴上的顶点分别为 E(﹣a,0) 、F(a,0) ,结合图形可知 BP 长的最大

值是 BE 和 BF 的长,用两点间距离公式能够推导出 BP 长的最大值. 解答: 解:设椭圆 (a>b>0) ,

在 x 轴上的顶点分别为 E(﹣a,0) 、F(a,0) ,

结合图形可知 BP 长的最大值是 BE 和 BF 的长,其最大值为|BE|= 答案: .



点评: 本题考查椭圆的性质,作出图形数形结合事半功倍. 8.已知 F1(﹣2,0) 2(2,0)是椭圆 C 的两个焦点,过 F1 的直线与椭圆 C 的两个交点为 M,N,且|MN|的最 ,F 小值为 6. (I)求椭圆 C 的方程; (II)设 A,B 为椭圆 C 的长轴顶点.当|MN|取最小值时,求∠ AMB 的大小. 考点: 椭圆的应用. 专题: 综合题. 分析: (Ⅰ )由题意, 设椭圆 C 的方程为
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+

=1 (a>b>0) ,其中 c=2,a ﹣b =4.设 M 1,y1) (x ,N(x2,y2) 若 .

2

2

直线 MN⊥ 轴,则 MN 的方程为 x=﹣2,由此能够求出椭圆 C 的方程. x (Ⅱ )由 A(﹣4,0) ,B(4,0) .当|MN|取得最小值时,MN⊥ 轴.根据椭圆的对称性,取 M(﹣2,3) x , ∠ AMB 即直线 AM 到直线 MB 的角.由此能够求出∠ AMB 的大小. 解答: 解: )由题意,设椭圆 C 的方程为 (Ⅰ 设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) . 若直线 MN⊥ 轴,则 MN 的方程为 x=﹣2,代入 x ∴ 1﹣y2|= |y ,即|AB|= . + =1, + =1,得 y =b (1﹣
2 2

+

=1(a>b>0) ,其中 c=2,a ﹣b =4.

2

2

)=



若直线 MN 不与 x 轴垂直,则设 MN 的方程为 y=k(x+2) ,代入 得 +
2 2 2 2 2 2

=1,
2 2 2

即 (a k +b )x +4a k x+a (4k ﹣b )=0. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 △ =(4a k ) ﹣4(a k +b )a (4k ﹣b ) 2 2 2 2 2 2 4 2 =4a b [(a ﹣4)k +b ]=4a b (1+k ) , ∴ 1﹣x2|= |x ∴ |MN|= = ? ,

=

?





综上,|MN|的最小值为 由题知
2 2 2



=6,即 b =3a.
2

代入 a ﹣b =4,得 a ﹣3a﹣4=0, 2 解得 a=﹣1(舍) ,或 a=4.∴ =12. b ∴ 椭圆 C 的方程为 + =1.

(Ⅱ )由(Ⅰ )知 A(﹣4,0) ,B(4,0) . 当|MN|取得最小值时,MN⊥ 轴. x 根据椭圆的对称性,不妨取 M(﹣2,3) , ∠ AMB 即直线 AM 到直线 MB 的角. ∵ 的斜率 k1= AM BM 的斜率 k2= ∴ AMB= tan∠ = , =﹣ , =﹣8.

∵AMB∈(0,π) ∠ , ∴AMB=π﹣arctan8. ∠ 点评: 本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力,具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识,解 题时要注意合理地进行等价转化.

9.已知椭圆 (1)求 a,b 的值;

的右焦点为 F,右准线与 x 轴交于 E 点,若椭圆的离心率 e=

,且|EF|=1.

(2)若过 F 的直线交椭圆于 A,B 两点,且 的夹角.

与向量

共线(其中 O 为坐标原点) ,求



考点: 椭圆的应用. 专题: 计算题. 分析: (1)由题意知
501974

,由此可求出 a,b 的值.

(2)设直线 AB:y=k(x﹣1) ,A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则
2

消去 y,得(1+2k )x ﹣4k x+2

2

2

2

(k ﹣1)=0,然后结合题意利用根与系数和关系进行求解. 解答: 解: (1)由题意知 ,c=1,从而 b=1.

(2)由(1)知 F(1,0) ,显然直线不垂直于 x 轴,可设直线 AB:y=k(x﹣1) ,
2 2 2 2

A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则

消去 y,得(1+2k )x ﹣4k x+2(k ﹣1)=0,



=



于是



依题意:

,故

,或 k=0(舍)



,故



所以



的夹角为 90°.

点评: 本题综合考查椭圆的性质及应用和直线与椭圆的位置关系,解题时要认真审题,仔细解答,避免出错.

10.设 F1,F2 分别是椭圆 E:x +

2

=1(0<b<1)的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与 E 相交于 A、B 两点,且|AF2|,

|AB|,|BF2|成等差数列. (Ⅰ )求|AB|; (Ⅱ )若直线 l 的斜率为 1,求 b 的值.

考点: 椭圆的应用. 专题: 综合题. 分析: (1)由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4,再由|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列,能够求出|AB|的值.
501974

(2)L 的方程式为 y=x+c,其中

,设 A(x1,y1) ,B(x1,y1) ,则 A,B 两点坐标满足方程组

,化简得(1+b )x +2cx+1﹣2b =0.然后结合题设条件和根与系数的关系能够求出 b 的大小.

2

2

2

解答: 解: (1)由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4 又 2|AB|=|AF2|+|BF2|,得 (2)L 的方程式为 y=x+c,其中

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 A,B 两点坐标满足方程组
2 2 2

. ,

化简得(1+b )x +2cx+1﹣2b =0. 则 因为直线 AB 的斜率为 1,所以 即 . .





解得



点评: 本题综合考查椭圆的性质及其运用和直线与椭圆的位置关系,解题时要注意公式的灵活运用.

11.已知中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆过 M(1,

) ,N(﹣



)两点.

(1)求椭圆的方程; (2)在椭圆上是否存在点 P(x,y)到定点 A(a,0) (其中 0<a<3)的距离的最小值为 1,若存在,求出 a 的值 及点 P 的坐标;若不存在,请给予证明. 考点: 椭圆的应用;椭圆的标准方程;椭圆的简单性质. 专题: 计算题. 分析:
2 2

501974

(1)设椭圆方程为 mx +ny =1(m>0,n>0,且 m≠n) ,由椭圆过 M,N 两点得

,求出 m,n

后就得到椭圆的方程. (2)设存在点 P(x,y)满足题设条件,由
2 2

+

=1,得 y =4(1﹣

2

) ,结合题设条件能够推导出|AP| =

2

(x﹣ a) +4﹣ a (|x|≤3) ,由此可以求出 a 的值及点 P 的坐标.
2 2 解答: 解: (1)设椭圆方程为 mx +ny =1(m>0,n>0,且 m≠n) ∵ 椭圆过 M,N 两点



?

,即椭圆方程为

+

=1.

(2)设存在点 P(x,y)满足题设条件,由
2 2 2 2

+

=1,得 y =4(1﹣
2 2

2



∴ |AP| =(x﹣a) +y =(x﹣a) +4(1﹣ 当|
2

)= (x﹣ a) +4﹣ a (|x|≤3) ,
2

|≤3 即 0<a≤ 时,|AP| 的最小值为 4﹣ a
2

∴ 4﹣ a =1?a=±

?(0, ]
2 2

∴ a>3 即 <a<3,此时当 x=3 时,|AP| 的最小值为(3﹣a)
2

∴ (3﹣a) =1,即 a=2,此时点 P 的坐标是(3,0) 故当 a=2 时,存在这样的点 P 满足条件,P 点的坐标是(3,0) . 点评: 本题综合考查椭圆的直线的位置关系,在解题时要注意培养计算能力和灵活运用公式的能力.

12.已知椭圆 M:

的面积为 πab,M 包含于平面区域 Ω:

内,向平面区域

Ω 内随机投一点 Q,点 Q 落在椭圆内的概率为 (Ⅰ )试求椭圆 M 的方程;



(Ⅱ )若斜率为 的直线 l 与椭圆 M 交于 C、D 两点,点 直线 PD 的斜率为 k2,试问:k1+k2 是否为定值?请证明你的结论、 考 椭圆的应用. 点: 专 计算题. 题: 分 (Ⅰ )平面区域 Ω: 析:
501974

为椭圆 M 上一点,记直线 PC 的斜率为 k1,

是一个矩形区域,如图所示. ,由此可导出椭圆 M 的方程. ,C(x1,y1) ,D(x2,y2)

依题意及几何概型,可得 (Ⅱ )设直线 l 的方程为:

联立直线 l'的方程与椭圆方程得:







然后结合题设条件,由根的判别式和根与系数的关系能够推导出 k1+k2 为定值 0.

解 解: )平面区域 Ω: (Ⅰ 答: 依题意及几何概型,可得 即 因为 所以, . , .

是一个矩形区域,如图所示. ,

所以,椭圆 M 的方程为 (Ⅱ )设直线 l 的方程为: 联立直线 l'的方程与椭圆方程得: ,C(x1,y1) ,D(x2,y2)

(1)代入(2)得: 化简得:x +bx+b ﹣3=0) 2 2 当△ >0 时,即,b ﹣4(b ﹣3)>0 也即,|b|<2 时,直线 l'与椭圆有两交点, 由韦达定理得: ,
2 2

所以,



则 k1+k2= =

所以,k1+k2 为定值.

点 本题综合考查椭圆的性质及应用和直线 与椭圆的位置关系,解题时要认真审题、仔细解答,避免出现不必要 评:的错误.
2 2

13.设圆 M:x +y =8,将曲线上每一点的纵坐标压缩到原来的 ,对应的横坐标不变,得到曲线 C.经过点 M(2, 1) ,平行于 OM 的直线 l 在 y 轴上的截距为 m(m≠0) 交曲线 C 于 A、B 两个不同点. ,l (1)求曲线 C 的方程; (2)求 m 的取值范围; (3)求证直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形. 考椭圆的应用;椭圆的标准方程. 点 : 专计算题. 题 : 2 2 2 2 分(1)在曲线 C 上任取一个动点 P(x,y) ,则点(x,2y)在圆 x +y =8 上.所以有 x +(2y) =8.整理后就得到 析曲线 C 的方程. : (2)由题设条件可知直线 l 的方程为 .联立方程组后根据直线 l 与椭圆交于 A、B 两个不同点可知△ >0,
501974

由此能够推导出 m 的取值范围. (3)设直线 MA、MB 的斜率分别为 k1,k2,只需证明 k1+k2=0 即可. 2 2 2 2 解解: (1)在曲线 C 上任取一个动点 P(x,y) ,则点(x,2y)在圆 x +y =8 上.所以有 x +(2y) =8.整理得曲 答 :线 C 的方程为 . 它表示一个焦点在 x 轴上的椭圆. (2)∵ 直线 l 平行于 OM,且在 y 轴上的截距为 m,又 ∴ 直线 l 的方程为 . ,




2 2

∵ 直线 l 与椭圆交于 A、B 两个不同点,∴=(2m) ﹣4(2m ﹣4)>0, △ 解得﹣2<m<2 且 m≠0.∴ 的取值范围是﹣2<m<0 或 0<m<2. m (3) 设直线 MA、 的斜率分别为 k1, 2, (x1, 1) B 2, 2) MB k A y , (x y , ﹣4=0 可得 x1+x2=﹣2m,x1x2=2m ﹣ 4. =
2



, x +2mx+2m 由

2

2

=

=

. k1+k2=0.故直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形. 点本题综合考查椭圆和直线的位置关系,难度较大,解题时要注意公式的灵活运用,仔细审题,避免不必要的错误. 评 : 14.已知动点 M 到两个定点 F1(﹣3,0) 2(3,0)的距离之和为 10,A、B 是动点 M 轨迹 C 上的任意两点. ,F (1)求动点 M 的轨迹 C 的方程; (2)若原点 O 满足条件 ,点 P 是 C 上不与 A、B 重合的一点,如果 PA、PB 的斜率都存在,问 kPA?kPB

是否为定值?若是,求出其值;若不是,请说明理由. 考点: 椭圆的应用;平面向量数量积的运算;轨迹方程. 专题: 计算题. 分析: (1)由题意可知点 M 的轨迹是以 F1、F2 为焦点的椭圆,其中
501974

,由此能够推

导出点 M 的轨迹方程. (2)设 A(x0,y0) ,B(﹣x0,﹣y0) .设 P(5cosθ,4sinθ) , ,



.A 在椭圆上,



,由此能够推导出 kPA?kPB 为定值﹣ 解答: 解: (1)设点 M 的坐标为(x,y) , ∵ 1|+|MF2|=10>|F1F2|=6, |MF



∴ M 的轨迹是以 F1、F2 为焦点的椭圆, 点 其中 ,

故点 M 的轨迹方程为



(2)设 A(x0,y0) ,当 必有点 A、B 关于原点 O 对称, ∴ B(﹣x0,﹣y0) . 设 P(5cosθ,4sinθ) , 则 ,

时,







∵ 在椭圆上,∴ A

,∴







∴PA?kPB 为定值﹣ k



点评: 本题综合考查椭圆的性质及其应用和直线与椭圆的位置关系,难度较大,解题时要认真审题,仔细解答, 避免出现不必要的错误. ,动点 P 满足|PF1|+|PF2|=4,记动点 P 的轨迹为 E.

15.已知

(1)求 E 的方程; (2)曲线 E 的一条切线为 l,过 F1,F2 作 l 的垂线,垂足分别为 M,N,求|F1M|?|F2N|的值; (3)曲线 E 的一条切线为 l,与 x 轴分别交于 A,B 两点,求|AB|的最小值,并求此时切线的斜率. 考点: 椭圆的应用. 专题: 计算题. 分析: (1)由题意可知 P 点轨迹是以 F1,F2 为焦点的椭圆, ,由此能求出 E 的方程. (2)当切线斜率不存在时,切线为 x=±2,此时|F1M|?|F2N|=1.当切线斜率存在时,设切线方程为 y=kx+b,
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则由题意可知,

,所以|F1M|?|F2N|=1.

(3)由(2)知,

,由此可求出

AB 的最小值为 3,此时斜率为 解答: 解: (1)∵



又∵ ∴ 点轨迹是以 F1,F2 为焦点的椭圆, P 故椭圆方程为 (2)① 当切线斜率不存在时,切线为 x=±2,此时|F1M|?|F2N|=1. ② 当切线斜率存在时,设切线方程为 y=kx+b,
2 2 2



(1+4k )x +8kbx+4b ﹣4=0

2

2

2

△ =(8kb) ﹣4(1+4k ) (4b ﹣4)=0, ∴ =4k , b
2 2





, 综上所述,|F1M|?|F2N|=1. (3)由(2)知, ,

当且仅当

,即

时取等号

故 AB 的最小值为 3,此时斜率为 点评: 本题综合考查直线和椭圆的位置关系,解题时要注意均值不等式的合理运用.

2

16.已知椭圆

+

=1(a>b>0)的上顶点为 A(0,3) ,左、右焦点分别为 B、C,离心率为 .

(1)试求椭圆的标准方程; (2)若直线 PC 的倾斜角为 α,直线 PB 的倾斜角为 β,当 β﹣α= 的圆 M 上;② PA=PB+PC. 考点: 椭圆的应用. 专题: 计算题. 分析: 2 2 2 (1)由 b=3, = ,b +c =a 能够推导出椭圆的标准方程.
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时,求证:① P 一定在经过 A,B,C 三点 点

(2)① 由题设条件知△ ABC 为等边三角形.由此能够推导出点 P 一定在经过 A,B,C 三点的圆 M 上. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ② =x +(y﹣3) =x +y ﹣6y+9,PB =(x﹣ ) +y =2y+6﹣2 x,PC =(x+ ) +y =2y+6+2 x, PA 由此能够推导出 PA=PB+PC. 解答: 解: (1)因为 b=3, = ,b +c =a ,
2 2 2

解得 a =12,b =9,c =3,所以椭圆的标准方程为

2

2

2

+

=1.

(2)① 因为 B(﹣ ,0) ,C( ,0) ,A(0,3) ,所以△ ABC 为等边三角形. 2 2 2 2 经过 A,B,C 三点的圆 M 的方程为 x +(y﹣1) =4,即 x +y ﹣2y=3. 设点 P(x,y) ,则 kPC=tanα= ,kPB=tanβ= .

因为 β﹣α=

,所以 tan(β﹣α)=﹣

.因为 tan(β﹣α)=

=



所以

=﹣

.化简得 x +y ﹣2y=3.

2

2

所以点 P 一定在经过 A,B,C 三点的圆 M 上. 2 2 2 2 2 2 2 2 ② =x +(y﹣3) =x +y ﹣6y+9,因为 x +y =3+2y,所以 PA =12﹣4y. PA 2 2 2 2 2 2 PB =(x﹣ ) +y =2y+6﹣2 x,PC =(x+ ) +y =2y+6+2 x, 2PB×PC=2 所以 2PB×PC=4
2

=4

,因为 3x =9﹣3y +6y,

2

2

,由于 y<0,所以 2PB×PC=﹣8y,
2 2 2

从而(PB+PC) =PB +2PB×PC+PC =4y+12﹣8y=12﹣4y=PA . 所以 PA=PB+PC. 点评: 本题考查椭圆知识的综合运用,解题要注意公式的灵活运用.

17.设椭圆 C: 之和为 4. (1)求椭圆 C 的方程;

的离心率为 e=

,点 A 是椭圆上的一点,且点 A 到椭圆 C 两焦点的距离

(2)椭圆 C 上一动点 P(x0, 0)关于直线 y=2x 的对称点为 ,y

,求 3x1﹣4y1 的取值范围.

考点: 椭圆的应用. 专题: 计算题. 分析: (1)依题意知,2a=4,e=
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由此可求出椭圆 C 的方程. ,由题设条件能推出 3x1﹣4y1=﹣5x0.再

(2)点 P(x0, 0)关于直线 y=2x 的对称点为 ,y

由点 P(x0, 0)在椭圆 C: ,y 解答: 解: (1)依题意知,2a=4,∴ a=2. ∵ ∴ , .

上,能够铁推出 3x1﹣4y1 的取值范围.

∴ 所求椭圆 C 的方程为



(2)∵ P(x0, 0)关于直线 y=2x 的对称点为 点 ,y





解得: ∴ 1﹣4y1=﹣5x0. 3x





∵ P(x0, 0)在椭圆 C: 点 ,y

上,

∴ ﹣2≤x0≤2,则﹣10≤﹣5x0≤10. ∴ 1﹣4y1 的取值范围为[﹣10, 3x ,10]. 点评: 本题考查椭圆的基本性质及其应用,解题时要注意公式的灵活运用.

18.已知椭圆 F2 在线段 PF1 的中垂线上. (1)求椭圆 C 的方程; (2)如果圆 E:

的离心率

,左、右焦点分别为 F1、F2,点

满足

被椭圆 C 所覆盖,求圆的半径 r 的最大值.

考点: 椭圆的应用. 专题: 综合题. 分析: (1)由椭圆 C 的离心率
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和点 F2 在线段 PF1 的中垂线上知|F1F2|=|PF2|,由此推出 ,从而可求出椭圆 C 的方程.

(2)设 P(x0,y0)是椭圆 C 上任意一点,则 半径 r 的最大值. 解答: 解: (1)椭圆 C 的离心率 其中 ∴ 1F2|=|PF2|,∴ |F 解得 c=1,a =2,b =1, ∴ 椭圆 C 的方程为 .
2 2



,由此可求出圆的

,得



,椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1(﹣c,0) 2(c,0) ,F ,又点 F2 在线段 PF1 的中垂线上, ,

(2)设 P(x0,y0)是椭圆 C 上任意一点, 则 , ,∵ ,

∴ 当 x0=1 时,|PE|min= ∴ 半径 r 的最大值为 . ,



) .

点评: 本题综合考查椭圆的性质和圆的知识,解题时要仔细审题,认真计算.

19.已知椭圆 C:

(a>b>0)的离心率

,且经过点 A(2,3) .

(1)求椭圆 C 的方程; 2 2 2 (2) 设直线 AO (O 是坐标原点) 与椭圆 C 相交于点 B, 试证明在椭圆 C 上存在不同于 A、 的点 P, AP =AB +BP B 使 (不需要求出点 P 的坐标) . 考点: 椭圆的应用. 专题: 计算题;证明题;转化思想. 分析: (1)由椭圆的性质,由离心率 e= 可得
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,又由点 A(2,3)在椭圆上,可得

,联立两

式,可得 a、b 的值,即可得答案; (2)首先将 AP =AB +BP 成立转化为 AB⊥ BP,由椭圆的性质,易得 B 的坐标,进而可得直线 BP 的方程, 2 与椭圆的方程联立转化为关于 y 的一元二次方程 43y +234y+315=0, ,分析可得其△ >0 恒成立,即可得 BP 与椭圆有 2 个交点,可得证明. 解答: 解: (1)依题意, 从而 , , ,
2 2 2

点 A(2,3)在椭圆上,所以 解得 a =16,b =12, 椭圆 C 的方程为
2 2 2 2 2



(2)若 AP =AB +BP 成立,则必有∠ ABP=90°,即 AB⊥ BP, 由椭圆的对称性知,B(﹣2,﹣3) , 由 AB⊥ BP, 知 , ,即 2x+3y+13=0,

所以直线 BP 的方程为





得 43y +234y+315=0, 2 △ =234 ﹣4×43×315>0, 所以直线 BP 与椭圆 C 有两个不同的交点, 2 2 2 即在椭圆 C 上存在不同于 A、B 的点 P,使 AP =AB +BP .

2

点评: 本题考查椭圆的性质及其性质的应用,本题中将“将 AP2=AB2+BP2 成立”转化为“AB⊥ BP”是解题的突破口. 20.如图,已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,长轴长是短轴长的 2 倍且经过点 M(2,1) ,平行于 OM 的直 线 l 在 y 轴上的截距为 m(m≠0) ,直线 l 交椭圆于 A、B 两个不同点(A、B 与 M 不重合) . (Ⅰ )求椭圆的方程; (Ⅱ )当 MA⊥ 时,求 m 的值. MB

考点: 椭圆的应用. 专题: 综合题. 分析: (Ⅰ )设椭圆方程为
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,根据长轴长是短轴长的 2 倍且经过点 M(2,1) ,建立方程

组,即可求得椭圆的方程; (Ⅱ )依题意 从而可求 m 的值. 解答: 解: )设椭圆方程为 (Ⅰ , ,设直线 l 的方程代入椭圆方程,整理并利用韦达定理,结合 MA⊥ MB,即 ,



,∴ =8,b =2 a

2

2

∴ 椭圆方程为 (Ⅱ )依题意

…(6 分) ,…(7 分) ,A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 ,

可设直线 l 的方程为:y=

∵ MA⊥ MB,∴



∴1x2﹣2(x1+x2)+y1y2﹣(y1+y2)+5=0 x ∴ x1x2+( 由 y= ) 1+x2)+m ﹣2m+5=0…① (x 代入椭圆方程,消 y 并整理化简得:x +2mx+2m ﹣4=0
2 2 2 2 2

∴=(2m) ﹣4(2m ﹣4)>0,解得:﹣2<m<2…(10 分) △

由韦达定理得:x1+x2=﹣2m,x1x2=2m ﹣4 代入① 得: (2m ﹣4)+( 解得 m=0 或 m=﹣ …(12 分) ∵ A,B 异于 M,∴ 点 m=﹣ …(13 分)

2

2

)×(﹣2m)+m ﹣2m+5=0…①

2

点评: 本题考查椭圆的性质及直线和圆锥曲线的位置关系,考查向量知识的运用,属于中等题.

21.已知 F1(﹣c,0) 2(c,0)是椭圆 ,F

(a>b>0)的左、右焦点,过点 F1 作倾斜角为 60° 的直线 l

交椭圆于 A,B 两点,ABF2 的内切圆的半径为 (I)求椭圆的离心率; (II)若|AB|=8 ,求椭圆的标准方程. 考点: 椭圆的应用. 专题: 综合题. 分析: (I)设直线 l 的方程为 y=
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c

代入椭圆

(a>b>0) ,利用

S△ABF2= 求出椭圆的离心率; (II)由知(I)知 ,c=b,

,还等于三角形的周长乘以三角形内切圆的半径,由此可

利用弦长公式|AB|,即可求出椭圆的标准方程.

解答: 解: (I)设直线 l 的方程为 y= 代入椭圆 (a>b>0) ,消去 y 可得: +3a )x +6a cx+3a c ﹣a b =0 (b
2 2 2 2 2 2 2 2

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则



∴ 1﹣x2|= |x

=



=

∵ △ABF2= S

∴ ∴ ∴

∴ 椭圆的离心率 (II)由知(I)知 ∴ |AB|= ∴ b=7,a= ∴ 椭圆的标准方程为

; ,c=b,∴ =8 ,



点评: 本题重点考查椭圆的标准方程,考查椭圆的性质,解题时,将直线方程代入椭圆方程,利用韦达定理是关 键. 22.在△ ABC 中,顶点 A,B,C 所对三边分别是 a,b,c.已知 B(﹣1,0) ,C(1,0) ,且 b,a,c 成等差数列. (I)求顶点 A 的轨迹方程; (II)设直线 l 过点 B 且与点 A 的轨迹相交于不同的两点 M、N 如果满足| + |=| ﹣ |,求 l 的方程.

考点: 椭圆的应用;等差数列的性质;轨迹方程. 专题: 综合题. 分析: (I)根据 B(﹣1,0) ,C(1,0) ,且 b,a,c 成等差数列,可得 b+c=4,即|AC|+|AB|=4,由椭圆定义知, 顶点 A 的轨迹是以 B、C 为焦点的椭圆(除去左右顶点) ,从而可得椭圆的方程;
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(II)由|

+

|=|



|,可得

?

=0,设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,可得 x1x2﹣(x1+x2)+1+y1y2=0,

分类讨论:① 直线 l 的斜率存在时,设直线方程为 y=k(x+1)代入椭圆方程,整理利用韦达定理,可求 k 的 值,从而可得直线的方程;② 当直线 l 的斜率不存在时,l 的方程为 x=﹣1,M(﹣1, ) ,N(﹣1,﹣ ) , ? 解答: ≠0,从而可得结论. 得 b+c=4,即|AC|+|AB|=4(定值) .

解: (I)由题知

由椭圆定义知,顶点 A 的轨迹是以 B、C 为焦点的椭圆(除去左右顶点) ,且其长半轴长为 2,半焦距为 1, 于是短半轴长为 . ∴ 顶点 A 的轨迹方程为 . …(4 分)

(II)∵ + | ∴ + | | =|
2

|=| ﹣


2

|, ? =0, =(x1﹣1,y1) , =(x2﹣1,y2) ,

| ,展开得

设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,于是

∴ 1﹣1,y1)?(x2﹣1,y2)=0,即(x1﹣1) 2﹣1)+y1y2=0, (x (x 整理得 x1x2﹣(x1+x2)+1+y1y2=0. (*)…(6 分) 2 2 2 2 ① 直线 l 的斜率存在时, 设直线方程为 y=k (x+1) 代入椭圆方程, 消去 y 整理得 (3+4k ) +8k x+4k ﹣12=0, x 则 x1+x2= ,x1x2= .
2

由(*)式得 x1x2﹣(x1+x2)+1+k (x1+1) 2+1)=0, (x 2 2 2 即(1+k )x1x2+(k ﹣1) 1+x2)+k +1=0, (x ∴ (1+k )×
2

+(k ﹣1)×

2

+k +1=0,

2

整理得

=0,解得 k=±



∴ 直线 l 的方程为 y=

x+

,或 y=﹣

x﹣

.…(10 分)

② 当直线 l 的斜率不存在时,l 的方程为 x=﹣1,M(﹣1, ) ,N(﹣1,﹣ ) , ∴ ? =(﹣2, )?(﹣2,﹣ )=4﹣3=1≠0,∴ 不满足题意. x+ ,或 y=﹣ x﹣ .…(12 分)

综上所述,直线 l 的方程为 y=

点评: 本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查向量知识的运用,考查分类讨论的数学思想, 属于中档题 23.在直角坐标系 xOy 中,点 M 到点 F1 线 l: 与轨迹 C 交于不同的两点 P 和 Q. (Ⅰ )求轨迹 C 的方程; (Ⅱ )是否存在常数 k,使 、F2 的距离之和是 4,点 M 的轨迹是 C,直

?若存在,求出 k 的值;若不存在,请说明理由.

考点: 椭圆的应用. 专题: 计算题. 分析: (Ⅰ )M 的轨迹 C 是长轴长为 4,焦点在 x 轴上焦距为
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的椭圆,由此可求出轨迹 C 的方程. .然后利用根与系数的关系

(Ⅱ )将 求出 k 的值. 解答: 解: )∵ M 到 (Ⅰ 点

,代入曲线 C 的方程,整理得



的距离之和是 4, 的椭圆,其方程为 .

∴ 的轨迹 C 是长轴长为 4,焦点在 x 轴上焦距为 M (Ⅱ )将 整理得 ,代入曲线 C 的方程, .①

设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,由方程① ,得



.②



.③



,则 x1x2+y1y2=0, .
2

将② 代入上式,解得 、③

又因 k 的取值应满足△ >0,即 4k ﹣1>0(*) , 将 代入(*)式知符合题意.

点评: 本题考查椭圆的轨迹方程和直线与椭圆的位置关系,解题时要认真审题,仔细作答.

24.已知椭圆

+

=1(0<b<2)的左焦点为 F,左、右顶点分别为 A、C,上顶点为 B,过 F、B、C 作圆 P.

(I)当 b= 时,求圆 P 的方程; (II)直线 AB 与圆 P 能否相切?证明你的结论. 考点: 椭圆的应用. 专题: 综合题. 分析: (Ⅰ )求出 FC、BC 的中垂线方程,联立两方程,解得 P 的坐标,根据 b= ,确定圆心坐标与半径,即可 得到圆 P 方程; )直线 AB 与圆 P 不能相切,用反证法,如果直线 AB 与圆 P 相切,求得 c=0 或 4,与 c∈ (Ⅱ (0,2)矛盾,故可得结论. 解答: 解: )设 F、B、C 的坐标分别为(﹣c,0)(0,b)(2,0) (Ⅰ , , ,则 FC、BC 的中垂线分别为
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联立两方程,解得 x= ∴ b=

,y=

,即 P( ) ,半径 PC= ) = …(6 分)
2





时,圆心坐标为( ,
2

∴ P 方程为(x﹣ ) +(y﹣ 圆

(Ⅱ )直线 AB 与圆 P 不能相切.…(7 分) 理由如下:因为 ,kPB=

如果直线 AB 与圆 P 相切,则

…(10 分)

解得 c=0 或 4, 2 2 又 c =4﹣b ∈(0,4) c∈(0,2) ,∴ , 而 0,4?(0,2) ,所以直线 AB 与圆 P 不能相切.…(13 分) 点评: 本题考查解析几何综合题,能够强化学生对圆、椭圆有关知识的理解,考查计算能力,训练学生对平面解 析几何相关知识的认识.中等题.

25.已知 F1、F2 为椭圆的焦点,P 为椭圆上的任意一点,椭圆的离心率为 .以 P 为圆心 PF2 长为半径作圆 P,当 圆 P 与 x 轴相切时,截 y 轴所得弦长为 .

(1)求圆 P 方程和椭圆方程; (2)求证:无论点 P 在椭圆上如何运动,一定存在一个定圆与圆 P 相切,试求出这个定圆方程.

考点: 椭圆的应用;圆的标准方程;椭圆的标准方程. 专题: 计算题;证明题. 分析: (1)根据离心率求得 a 和 c 的关系,进而求得 b 和 c 的关系,设出椭圆的标准方程,根据圆 P 与 x 轴相切 时,PF2⊥ 轴,求得 P 的坐标和圆的半径,进而根据弦长公式求得 c,则椭圆的方程可得. x (2)以 F1 为圆心,作圆 M,使得圆 P 内切于圆 M,公切点设为 Q,则可推断出点 F1、P、Q 在一直线上, 2 2 进而可知 F1Q=F1P+PQ=F1P+PF2,求得 a,进而可推断出存在圆 M: (x+2) +y =36 满足题设要求. 解答: 解: (1)∵ ,∴ a=3c,b= ,
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椭圆方程设为



当圆 P 与 x 轴相切时,PF2⊥ 轴,故求得 P(c, x 由 得 c=2,

) ,圆半径 r=



∴ 椭圆方程为 此时圆 P 方程为

, .

(2)以 F1 为圆心,作圆 M,使得圆 P 内切于圆 M,公切点设为 Q, 则点 F1、P、Q 在一直线上, 从而 F1Q=F1P+PQ=F1P+PF2=2a=12, 2 2 ∴ 存在圆 M: (x+2) +y =144 满足题设要求. 点评: 本题主要考查了椭圆的应用,椭圆与圆的位置关系等.考查了分析问题和解决问题的能力.

26.已知椭圆

上三点 A(x1,y1) ,B(4,y2) ,C(x3,y3)和焦点 F(4,0)的距离依次成等差数列.

① x1+x3; 求 ② 求证线段 AC 的垂直平分线过定点,并求出此定点的坐标. 考点: 椭圆的应用. 专题: 计算题;转化思想. 分析: ① 根据椭圆的性质,椭圆上的点到焦点的距离与其到对应准线的距离之比等于 e,将问题转化为 A、B、C 三 点右准线的距离成等差数列,表示出这三个距离,由等差关系转化成等式即可化简出结论. ② 由点差法得出直线 AC 的斜率与其中点坐标的关系,再由垂直得出其垂线的斜率,由点斜式得出中垂线方 程,发现其为一过定点的直线,得出此坐标即可. 解答: 解:① 根据椭圆的性质,椭圆上的点到焦点的距离与其到对应准线的距离之比等于 e,
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由 A、B、C 和焦点 F(4,0)的距离依次成等差数列,可得 A、B、C 三点右准线的距离成等差数列; 即| ﹣x1|+| ﹣x3|=2| ; ﹣4|;

又由﹣5≤x1、x3≤5<

化简可得 x1+x3=8 ② 设直线 AC 的斜率为 k,则 AC 中点的坐标为(4,t) ,将 A(x1,y1) ,C(x3,y3)代入椭圆的方程,

故有

两者作差得

=0,故得

,即 k=﹣

,故 t=﹣

又其垂直平分线的斜率为 (x﹣4+ )= (x﹣

, 故垂直平分线方程为 y﹣t= ) )

(x﹣4) y+ 即

=

(x﹣4) 故有 y=

即中垂线方程为 y= ∴ 过定点

(x﹣

点评: 本题考查椭圆的应用,考查了椭圆的第二定义以及直线与椭圆相交进常用的点差法用坐标表示直线的斜率, 中垂线方程的求法,及过定点的直线方程定点的求法,本题很抽象,综合性较强,涉及到了多个解题的技 巧,是椭圆中的一个难题. 27.已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,长轴长是短轴长的 2 倍,且经过点 M(2,1) ,平行于 OM 直线 ? 在 y 轴上的截距为 m(m<0) ,设直线 ? 交椭圆于两个不同点 A、B, (1)求椭圆方程; (2)求证:对任意的 m 的允许值,△ ABM 的内心 I 在定直线 x=2 上.

考椭圆的应用;椭圆的标准方程. 点 : 专综合题. 题 : 分(1)设出椭圆的标准方程,利用长轴长是短轴长的 2 倍,且经过点 M(2,1) ,建立方程组,从而可求椭圆的方 析程; :(2)证明△ ABM 的角平分线 MI 垂直 x 轴,从而内心 I 的横坐标等于点 M 的横坐标,则可得对任意的 m 的允许
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值,△ ABM 的内心 I 在定直线 x=2 上. 解 答(1)解:设椭圆方程为 : 则∵ 长轴长是短轴长的 2 倍,且经过点 M(2,1) ,



所以,椭圆方程为

(5 分) ,所以直线 ? 的方程为 ,

(2)证明:因为直线 ? 平行于 OM,且在 y 轴上的截距为 m,又





设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则

, 分) (8

设直线 MA、MB 的斜率分别为 k1、k2,则 故



=

=

=

(12 分) 故 k1+k2=0,所以,△ ABM 的角平分线 MI 垂直 x 轴,因此,内心 I 的横坐标等于点 M 的横坐标,则对任意的 m 的允许值,△ ABM 的内心 I 在定直线 x=2 上(13 分) 点本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,解题的关键是联立方程组,利用韦达定理,从而确定直 评线 MA、MB 的斜率的和为 0. :

28. 已知椭圆

的左焦点与短轴的两个端点构成边长为 2 的等边三角形, M 1, 1) 设 (x y ,

N(x2,y2)(x1≠x2)是椭圆上不同的两点,且 x1x2+4y1y2=0. , (1)求椭圆 C 的方程. 2 2 (2)求证:x1 +x2 =4. (3)在 x 轴上是否存在一点 P(t,0) ,使 ?若存在,求出 t 的取值范围,若不存在,说明理由.

考点: 椭圆的应用;椭圆的标准方程.

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专题: 计算题;综合题;转化思想. 分析: (1)根据题意,结合等边三角形的性质,可得 a=2,b=1,代入椭圆方程,可得答案; 2 2 2 2 2 2 2 2 (Ⅱ )由 x1x2+4y1y2=0,左右同时平方可得 x1 x2 =16y1 y2 ,结合椭圆的方程,可得 x1 x2 =16y1 y2 =16﹣4 2 2 2 2 (x1 +x2 )+x1 x2 ,计算可得答案; 2 2 (Ⅲ )首先假设存在点 P(t,0) ,根据题意,转化可得(x1﹣x2) 1+x2﹣2t)=y2 ﹣y1 ,结合椭圆的方程 (x 与根与系数的关系,化简可得 ,令其△ >0,可得 t 的取值范围,即可得答案.

解答: 解: )由题设左焦点与短轴的两个端点构成边长为 2 的等边三角形, (Ⅰ 可得 a=2,b=1, ∴ 椭圆 C 的方程为 (Ⅱ )由 x1x2+4y1y2=0,得 x1 x2 =16y1 y2 2 2 2 2 ∵1 +4y1 =4,x2 +4y2 =4 x 2 2 2 2 2 2 2 2 ∴1 x2 =16y1 y2 =16﹣4(x1 +x2 )+x1 x2 x 2 2 故 x1 +x2 =4 (Ⅲ )假设存在点 P(t,0) ,使得 则(x1﹣t) +y1 =(x2﹣t) +y2 2 2 ∴ 1﹣x2) 1+x2﹣2t)=y2 ﹣y1 (x (x 故 x1≠x2,∴
2 2 2 2 2 2 2 2







∴1,x2 是方程 x

的两个根



,得



故存在点 P(t,0) ,使得

,且 t 的取值范围为

点评: 本题考查椭圆的性质与其性质的应用,注意(Ⅲ )的处理存在性问题的一般方法,首先假设存在,进而根据 题意、结合有关性质,化简、转化、计算,最后得到结论. ,为坐标原点,动点 M 满足 .

29.已知 (1)求动点 M 的轨迹 C; (2)若点 P、Q 是曲线 C 上的任意两点,且

,求

的值.

考点: 椭圆的应用. 专题: 计算题.

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分析: (1)∵

>6,∴ 动点 M 的轨迹 C 是焦点在 x 轴,c=3,a=5 的椭圆.

(2)采用特殊值法,设 P(m,m) ,Q(﹣m,m) ,能够快速求解. 解答: 解: (1) , >6.

∴ 动点 M 的轨迹 C 是焦点在 x 轴,c=3,a=5 的椭圆, ∴ 动点 M 的轨迹 C 的轨迹方程是 . , ,

(2)由题意可知,取 Q(0,4) ,P(5,0) ,则



=

=



点评: 本题考查椭圆的性质及应用,解题时注意特殊值法的运用,能够简化运用.

30. 如图所示: 已知椭圆方程为 为直角三角形. (1)求椭圆离心率;

, B 是椭圆与斜轴的两个交点, 是椭圆的焦点, ABF A, F 且△

(2)若椭圆的短轴长为 2,过 F 的直线与椭圆相交的弦长为

,试求弦所在直线的方程.

考 椭圆的应用. 点: 专 综合题. 题: 2 2 2 分 (1)根据△ ABF 为直角三角形,可得 2|OF|=|AB|,从而可得 c=b,即 c =a ﹣c ,从而可得椭圆的离心率; 析: (2)求出椭圆方程,设过 F 的直线方程为 y=kx+1,代入椭圆方程,利用韦达定理,计算弦长,即可求得直线 的方程. 解 解: (1)由题意,∵ABF 为直角三角形,∴ △ 2|OF|=|AB|,则 答: A,B 是椭圆与短轴的两个交点,F 是椭圆的焦点, ∵ 2 2 2 ∴ c=b,∴ =a ﹣c , c 2 2 ∴ =2c , a
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∴ (2)由题意,F(0,1) ,b=1,c=1,∴ =2, a ∴ 椭圆方程为 设过 F 的直线方程为 y=kx+1,代入椭圆方程,消元可得(k +2)x +2kx﹣1=0
2 2 2

设交点坐标分别为(x1,y1)(x2,y2) , ,则 x1+x2= ∴ F 的直线与椭圆相交的弦长为 过 =

,x1x2=

=

=

∵ F 的直线与椭圆相交的弦长为 过



∴ ∴ k= ∴ 弦所在直线的方程为 点 本题考查椭圆的几何性质,考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查弦长的计算,联立方程, 评: 利用韦达定理解题是关键.


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