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用向量法证明立体几何中的两个定理


· 2011 12

新教育
在高中阶段 , 我们学习了平面 向量与空间向量的基本知识 , 而向 量本身既可以进行代数运算又含 有几何特征 , 这是很典型的知识 , 促使其在代数或几何方面都可以 得 到 很 好 的 应 用 ,因 此 ,在 解 题 方 面运用向量知识及本身含有的运 算去解决问题的方法 , 我们称为向 量法 。 即向量法既能解决代数问题 也能解决几何问题 。 立体几何是我们高中学习的 一个难点 , 关键在于其抽象性及理 解定理的基础上灵活运用 , 抽象性 在此就不多言了 , 我们来谈一下定 理的问题。 在高中人教 A 版的第 二章 《 点 、 直线 、 平面之间的位置关 系 》中 ,对 于 直 线 与 平 面 平 行 的 判 定 ,平 面 与 平 面 平 行 的 判 定 ,直 线 与平面垂直的判定等定理都没有 给出证明 , 课本中只是探究说明 , 让学生体会而得到 。 如果能给出证 明 , 就能够很好地体现定理的严密 性 , 在此可以用向量法来证明 。 下面我们就用向量法证明这 些定理 , 先介绍一些向量知识及相 关定理 。 定理 2: 轮换混合积的三个因子 , 并不改变它的值 ,

中 学 理 科

46

用 向 量 法 证 明 立 体 几 何 中 的 两 个 定 理

軋 )= 对 调 任 何 两 个 因 子 要 改 变 混 合 积 的 符 号 , 即 (軑 α ,軑 β ,γ 軋 ,軑 軋 ,軑 軋 )=-(γ 軋 ,軑 軋 ,軑 (γ α,軑 β)=(軑 β,γ α)=-(軑 β,軑 α,γ β,軑 α)=-(軑 α,γ β)。
下面我们用以上的向量知识证明立体几何的两个 定理 。 直线与平面平行的判定定理 平面外一条直线与 此平面内的一条直线平行 , 则该直线与此平面平行 。 已知 : 如图 2 ,a埭α ,b奂α , 且 a荠b , 证明 :a荠α 。 分析 : 在平面 α 内 找 到 一 直 线 c, 证

定义 1. 两 个 向 量 軑 α与軑 β 的 长 度 与他们之间的夹角的

軑 余弦的乘积称为 軑 · α与軑 β 的数量积 。 记为 軑 α β=|軑 α||軑 β|cosθ 。 軑 特别地 , 若非零向量 軑 · α与軑 β 垂直 , 即 軑 α⊥軑 β,则軑 α β=0
定义 2. 空间任意两个向量 軑 α与軑 β 的向量积是一个向 量 , 记为 軑 α ×軑 β ( 或 [軑 α ,軑 β] )。 它的模为 |軑 α ×軑 β|=|軑 α||軑 β|sinθ ,



海 南 华 侨 中 学 王 亚 顺

軆 ,軋 軆 )=0 即可 。 明 (a b× c
证 明 : 如 图 3, 在 平面 α 内的直线 b 上取一点 o , 过 o 点作一直线 c 与直

軆 、b 軋、c 軆。 线 b 交于 o 点 ; 设直线 a 、b 、c 上分别有非零向量 a 軆 与軋 ∵ a荠b ∴ a b 共线 軆 ×軋 即a b =軋 0。

軆 ,b 軋×c 軆 )=(c 軆 ,a 軆 ×b 軋)=0,即 a 軆 与b 軋×c 軆 垂直 。 根据定理 2,有 (a ∴ 直线 a 与平面 α 的垂线垂直 , 又直线 a 在平面 α
外 , ∴ a荠α 。 平面与平面平行的判定定理 一个平面内的两条 相交直线与另一平面平行 , 则这两个平面平行 。 已知 : 如图 4 ,a奂β,b奂β,a∩b=P,a荠α,b荠α, 证明 :α荠β 。 分 析 :证 明 平 面

β 内任一条直线都
和平面 α 平行即可 。 证明 : 如图 5 , 设 直线 m 为平面 β 内 任一条直线 , 在平面 α 内取两条相交直线 c 与 d , 又设直

軆 、軋 軆 、軋 軖 。 由于 a 軆 、軋 线 a 、b 、c 、d 、m 上分别有非零向量 a b、c d 、m b
是平面内两条不共线的向量 , 则由平面向量基本定理可

軑 与β 軑 之间的夹角 , 它的方 其中 θ 为向量 α
向与 軑 α和軑 β 都垂直 , 并且按 向 量 軑 α 、軑 β 、軑 α×

軖 =λ a 軆 +μ軋 知 ,m b。 ∵ a荠α ,b荠α 軆 ,c 軆 ×d 軋 )= (b 軋 ,c 軆 ×d 軋 )=0 ∴ (a

軑 这个顺序构成右手坐标系 。 如图 1 。 β
图1

軖 ,c 軆 ×軋 軆 +μ軋 軆 ×軋 軆 ,c 軆 ×軋 軆 ×軋 ∴ (m d)=(λa b,c d)=λ(a d)+μ(軋 b,c d)=0
即直线 m 与平面 α 平行 , 又直线 m 为平面 β 内任 一条直线 。

定理 1 : 两个向量 軑 α与軑 β 共线的充分

軑 ×β 軑=0 軋。 必要条件是 α 軋 , 如果先做前两 定义 3. 给定空间的三个向量 軑 α 、軑 β 、γ
个向量 軑 α与軑 β 的向量积 軑 α ×軑 β , 再做所得向量与第三个向量

∴ α荠β 。

证毕

用向 量 法 证 明 立 体 几 何 中 的 直 线 与 平 面 平 行 的 判 定 、平 面 与 平 面 平 行 的 判 定 等 定 理 ,解 题 思 路 清 晰 、过 程简洁 。 对立体几何的常见问题都可以起到化繁为简 , 化难为易的效果, 体现了向量法解决几何问题的优越 性。

軋 的数量积 , 最后得到的这个数叫做三个向量的混合积 。 γ 軋 ) 或者 (軑 軋 )。 记作 (軑 α ×軑 β ,γ α ,軑 β ,γ


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