kl800.com省心范文网

信号与系统第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析


第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统 的s域分析
4.1 引言 4.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域 4.3 拉氏变换的基本性质

4.4 拉普拉斯逆变换
4.5 用拉普拉斯变换分析法分析电路、S

域模型
4.6 系统函数(网络函数)H(s)

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

4.7 由系统函数零、极点分布决定时域特性

4.8 由系统函数零、极点分布决定频域特性
4.9 二阶谐振系统的s平面分析 4.10 全通函数与最小相移函数的零、极点分布 4.11 线性系统的稳定性 4.12 双边拉氏变换 4.13 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

这一章开始讨论连续时间系统的复频域分析,即用拉 普拉氏变换这个工具来完成。

从频域分析系统有其不足之处:
(1)有些重要信号不存在傅里叶变换,即不满足绝对可积 (2)对于给定初始状态的系统难于利用频域分析(不能求 全响应) (3)反傅里叶变换不好求

基于以上几点引入了拉普拉氏变换,把频域变成复频域

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

4.1 引言
19世纪末,英国工程师赫维赛德(O.Heaviside)
发明了“运算法”(算子法)解决电工程计

算中遇到的一些基本问题。

法国数学家拉普拉斯(P.S.Laplace)为赫维赛德 找到了可靠的数学依据。

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

4.2
(一)

F (? ) ? ? f (t )e? j?t dt
??

?

1 f (t ) ? 2?

?

?

??

F ( j? )e j?t dt

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

对于因果信号有
F (? ) ? ? f (t )e? j?t dt
0 ?

1 f (t ) ? 2?

?

?

??

F ( j? )e dt

j? t

狄利克雷条件

??

? ?

? ? 0

f (t ) dt ? ?
f (t ) ? 0

lim
t ??

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

f1(t)=f(t)e-σt
e-σt 为收敛(衰减)因子,且 f1(t) 满足绝对

可积条件。 则

F1 (? ) ? ? f (t )e ??t e ? j?t dt

?

? ? f (t )e?(? ? j? )t dt
0

0 ?

?

?

? F (? ? j?)

令σ+jω=s, 上式可表示为

F (s) ? ? f (t )e dt
? st 0

?

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

F1(ω)的傅氏反变换为

f1 (t ) ? f (t )e

??t

1 ? 2?

?

?

??

F1 (? )e j?t d?

1 ? (? ? j? ) t f (t ) ? F ( ? ) e d? 1 ? 2? ?? 1 ? (? ? j? ) t ? F (? ? j? )e d? ? 2? ?? s ? ? ? j? ds ? jd?

1 ? ? j? st f (t ) ? F ( s)e ds ? 2?j ? ? j?

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

拉普拉斯变换式(或拉普拉斯变换对)
F ( s) ? ? f (t )e dt
? st

? 0 ? ? 1 ? ? j? st f (t ) ? F ( s ) e ds? ? 2?j ? ? j? ?
?

拉氏变换L [f(t)] 拉氏逆变换 L
-1

[F(s)]

f(t)为原函数 F(s)为象函数

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

j?

0

?

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

注意:

傅氏变换将f(t)变换为F(ω),或作相反变换。
时域中的变量t和频域中的变量ω都是实数。

拉氏变换是将f(t)变换为F(s),或作相反变换。 这时t是实数s却是复数。

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

s称为“复频率”。
傅里叶变换建立了时域和频域间的联系。

拉氏变换则建立了时域与复频域(s域)间的
联系。

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

F (s) ? ? f (t )e dt
? st 0

?

单边拉普拉斯变换
? st

F (s) ? ? f (t )e dt
??

?

双边拉普拉斯变换

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

(二) 从算子符号法的概念说明拉氏变换的定义

f ?t ? ? F ?s ?
d f ?t ? ? sF ?s ? dt

F ?s ? ? ? f ?t ?h?t , s ?dt
0

?

sF ?s ? ? ? f ' ?t ?h?t , s ?dt
0

?

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

h?t , s ? ? e
? 0

? st

F ?s ? ? ? f ?t ?e dt
? st

?

?

0

f ' ?t ?e dt ? f ?t ?e
? st

? st ? 0

? ? ? sf ?t ?e ? st dt
0 ? ? st 0

?

?

?

? ? f ?0? ? s ? f ?t ?e dt ? ? f ?0? ? sF ?s ?

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

(三)拉氏变换的收敛
收敛域是使 f(t)e-σt满足绝对可积的 σ取值范围,

或是使 f(t) 的单边拉氏变换存在的 σ取值范围。

lim f ?t ?e
t ??

??t

?0

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

σ=σ0做收敛坐标,是实轴上的一个点。 穿过σ0并与虚轴jω平行的直线叫做收敛轴。

收敛轴的右边为收敛区, 收敛区不包括收敛轴。
??t ? ? lim f t e ? 0 的函数为指数阶函数。 满足 t ??

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析



收 敛 轴 收敛区 σ 收 敛 坐 标

σ0
O

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

1、有始有终的信号:

收敛坐标落于-∞,全部s平面都属于收敛区。
2、等幅度信号

收敛坐标落于原点, s 右半平面属于收敛区。
3、随时间成正比的信号

收敛坐标落于原点, s 右半平面属于收敛区。

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

4、按指数规律增长eat的函数 收敛坐标落于σ 0=a, σ >a属于收敛区。 5、比指数函数增长得更快的函数 不能找到收敛坐标,不能进行拉氏变换。

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

(四) 一些 (1)
L ?u?t ??

? ? e ? st ds ? ? 0

?

e

? st ?

1 ? s 0 s

(2)
L e u?t ? ? ?0
? at

?

?

?

e 1 ? e e ds? ? s?a 0 s?a
? at ? st

? ? s ? a ?t ?

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

(3) tn (n是正整数)
L t

? ? ??
n

?

0

t n e ? st ds

1 ? n ? st ? ? ? t de s 0 1 n ? st ? 1 ? ? st n ?? t e ? ? e dt 0 s s 0 n ? n ?1 ? st ? ? t e dt s 0

n ? L t n ?1 s

? ?

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

1 L ?t ? ? L ?1? s

1 ? 2 s 2 ? 3 s

L t

??
2

2 ? L ?t ? s

L t

??
n

n! n n n ?1 n ?1 n?2 ? ? L t ? ? L t n ?1 s s s s

? ?

? ?

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

F ?s ? ? ? f ?t ?e?st dt
0?

?

? 1 ? ? j? ? st f ?t ? ? ? F ?s ?e ds?u?t ? ? ? 2?j ? ? j? ?

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

(4)
? st L ?? ?t ?? ? ?0 ? ?t ?e ds ? 1
?

?

? st ? st L ?? ?t ? t0 ?? ? ?0 ? ?t ? t0 ?e ds ? e 0
?

?

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

表4-1 常用函数单边拉氏变换
序号 1 2 3 4 5 6 7

f ?t ?

t ?0

F ?s ? ? L
1

?1

? f ?t ??

? ?t ?
u?t ?

e?at u?t ? t nu?t ? n为正整数
sin??t ?u?t ? cos??t ?u?t ?

1 s 1 s?a n! s n ?1

? s2 ? ? 2

s s2 ? ? 2

e

? at

sin??t ?u?t ?

?s ? a ?2 ? ? 2

?

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析 序号 8

f ?t ?

t ?0

F ?s ? ? L

?1

? f ?t ??

e

? at

cos??t ?u?t ?
? at

s?a ?s ? a ?2 ? ? 2 1 ?s ? a ?2 n! ?s ? a ?n?1 2?s
2

9
10 11 12 13 14

te u?t ?
t ne? at u?t ? n为正整数

t sin??t ?u?t ? t cos??t ?u?t ? sinh?at?u?t ? cosh?at?u?t ?

?s

??

2 2

?

?s

s2 ? ? 2
2

?? a s2 ? a2 s s2 ? a2

2 2

?

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

4.3 拉氏变换的基本性质
(一) 线性(叠加) 若 L ? f1 ?t ?? ? F1 ?s ? L ? f 2 ?t ?? ? F2 ?s ? K1、K2为常数

L ?K1 f1 ?t ? ? K2 f 2 ?t ?? ? K1F1 ?s ? ? K 2 F2 ?s ?

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

例4-1 求 f ?t ? ? sin??t ? 的拉氏变换F(s)。
1 j?t ? j?t ? e ? e ? ? ? ? f t ? sin ? t 解: 2j L e j?t ? L e ? j?t

?

?

? ?

?

?

1 s ? j? 1 ? s ? j?

? 1 ? 1 1 ? ? ? L ?sin ??t ?? ? ? ? 2 2 ? ? s ? ? 2 j ? s ? j? s ? j? ?

同理

s L ?cos ?t ? ? 2 s ??2

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

(二 )




L ? f ?t ?? ? F ?s ?
? df (t ) ? L? ? sF ( s) ? f (0? ) ? ? dt ?

? d 2 f (t ) ? ? df (t ) ? L ? ? f ' ?0? ? ? ? s ?L ? 2 ? ? dt ? ? dt ? ? s 2 F ?s ? ? sf ?0? ? ? f ' ?0? ? ? d n f (t ) ? n n ?1 n?2 n ?1 L ? ? s F ( s ) ? s f ( 0 ) ? s f ' ( 0 ) ? ? ? f (0 ? ) ? ? ? n ? dt ?
? s F ( s) ? ? s n ?r ?1 f ( r ) (0 ? )
n r ?0 n ?1

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

为什么与0-时刻有关系? 当f(t)在t=0时刻不连续时,其导数在0时刻有冲 激信号存在,为了在拉氏变换中反映0时刻前后 的变化,所以下限从0-开始。

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

1

1 s
1

1

sF (s) ? f (0? ) ? 1

1 s 1 s

sF (s) ? f (0? ) ? 0
0 2

sF (s) ? f (0? ) ? 2

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

例:求该系统的全响应,已知微分方程式

y // (t ) ? 5 y / (t ) ? 6 y (t ) ? 2 f (t ) y (0 ? ), y (0 ? ) 一般方法是求该方程的 齐次解和特解,并求出 y (0 ? )的值 用拉氏变换很简单 s 2Y ( s ) ? sy (0 ? ) ? y / (0 ? ) ? 5?sY ( s ) ? y (0 ? )? ? 6Y ( s ) ? 2 F ( s )
2 /

?s

? 5s ? 6 Y ( s ) ? [(s ? 5) y (0 ? ) ? y / (0 ? )] ? 2 F ( s )

?

2 F ( s ) ? ( s ? 5) y (0 ? ) ? y / (0 ? ) Y ( s) ? s 2 ? 5s ? 6

?

?

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

例4-2 已知流经电感的电流iL(t)的拉氏变换为IL(s), 求电感的电压vL(t)的拉氏变换。

解:

di L (t ) vL ?t ? ? L dt

VL ?s ? ? L ?vL ?t ??
? diL (t ) ? ? L ?L ? dt ? ?
? sLI L ?s ? ? LiL ?0? ?

若 iL ?0? ? ? 0

VL ?s ? ? sLI L ?s ?

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

(三) 时域积分 若 L ? f ?t ?? ? F ?s ? 则

f ? ? L ? f (? )d? ? ? ? ? ?? ?
t

??1?

(0 ? ) F ( s ) ? s s

式中

f

??1?

(0) ? ? f ?? ?d?
0? ??

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

证:??? f (? )d? ? ??? f (? )d? ? ?0 _ f (? )d?

t

0_

t

其中

L ?? ? ? ??
0?

( ?1) f (0 ? ) ( ?1) ? f ?? ?d? ? L f (0? ) ? ? ? s

?

?

t ? t ? ? ? L ? f ?? ?d? ? ? ? f ?? ?d? ? e ? st dt ? ? ? ? 0_ ? 0 ? ? 0_ ?

??

e ? st ? f ?? ?d?
t 0_

?

s
0?

1 ? ? st ? t ? ? e d ? f ?? ?d? ? ? ? ? 0_ ? s 0

F ?s ? ? s

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

例4-3 已知流经电容的电流iC(t)的拉氏变换为IC(s), 求电容的电压vC(t)的拉氏变换。 解: vC ?t ? ? 1
C?
t ??

iC (? )d?

?1 t ? VC ?s ? ? L ?vC ?t ?? ? L ? ? iC (? )d? ? ? C ?? ? ? ?1? ? I C ?s ? iC 0? ? ? ? Cs Cs I C ?s ? vC ?0 ? ? ? ? Cs s ? ? I s C 若 vC ?0? ? ? 0 VC ?s ? ? sC

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

例4-4 如图所示电路在t=0时开关闭合,求输出信 S R 号vC(t)。 解: (1) 列写微分方程
dvC ?t ? RC ? vC ?t ? ? Eu ?t ? dt
+ +

E
-

i (t )

C

vC (t )
-

(2) 将上式取拉氏变换
E RCsVC ?s ? ? VC ?s ? ? s

E VC ?s ? ? s?RCs ? 1?
1 ? t? ? RC vC ?t ? ? E ?1 ? e ?u ?t ? ? ?

(3) 求VC(s)的逆变换
? ? ?1 1 ? VC ?s ? ? E ? ? ? 1 ?s s ? ? RC ? ?

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

(四)延 时(时域平移) 若 则

L ? f ?t ? t0 ?u?t ? t0 ?? ? e?st 0 F ?s?

L ? f ?t ?? ? F ?s ?

证:
?

?

?

0

f ?t ? t0 ?u?t ? t0 ?e dt ? ? f ?t ? t0 ?e?st dt
? st t0

?


0 0

? ? t ? t0
? st 0

? f ?t ? t ?u?t ? t ?e

dt ? ? f ?? ?e
0

?

? s ?t0 ?? ?

d?

?e

? st 0

F ?s ?

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

1 例:t ? 2 求t ? 1 的拉氏变换 s 1 解:错误做法:用时移 特性得到t ? 1 ? e ? 2 s 1 1 正确的做法:只能用线 性性质:t ? 1 ? 2 ? s s ?s 1 因为(t ? 1)u (t ? 1) ? e ? 2 才是正确的 s
?s

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

例4-5 求如图所示矩形脉冲的拉氏变换。 解:

f ?t ?

f ?t ? ? Eu?t ? ? Eu?t ? t0 ?

E

E L ?Eu ?t ?? ? s L ?Eu ?t ? t0 ?? ? e
? st 0

O
E

t0
Eu?t ?

t

E s

O

E F ?s ? ? L ? f ?t ?? ? 1 ? e ? st 0 s

?

?

Eu?t ? t0 ? t0

t

E

O

t

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

(五) s域平移 若 L ? f (t )? ? F ( s)

则 L f (t )e? at ? F ?s ? a ?
证: L f (t )e

?

?

?

? at

?? ?

?

0

f ?t ?e e dt ? F ?s ? a ?
? at ? st

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

例4-6 求 e?at sin??t ? 和 e?at cos??t ? 的拉氏变换。

解: 已知

? L ?sin ??t ?? ? 2 2 s ??
L e

由s域平移定理

?

? at

sin ??t ? ?

?

?s ? a ?2 ? ? 2

?

同理

s L ?cos ??t ?? ? 2 s ??2

由s域平移定理

L e

?

? at

s?a cos??t ? ? ?s ? a ?2 ? ? 2

?

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

(六) 尺度变换 若 L ? f (t )? ? F ( s)

1 ?s? 则 L ? f (at)? ? F ? ? a ?a?
证: L [ f (at)] ?

?a ? 0?
? st

?

?

0

f (at)e dt
s

x ? at

? x 1 ? 1 ?s? a ? ? f ( x)e dx ? F ? ? a ?? a ?a?

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

例4-7 求L ? f ?t ?? ? F ?s ? ,若 a ? 0, b ? 0 ,求

L ? f ?at ? b?u?at ? b??

解:

L ? f ?t ? b?u?t ? b?? ? e?bs F ?s ?
1 ?s? L ? f ?at ? b?u?at ? b?? ? e F ? ? a ?a? 1 ?s? L ? f ?at?u?at?? ? F ? ? a ?a? s ? ? ? b ?? ? ? b ?? ? 1 ? s ? ? b L ? f ?a? t ? ??u ?a? t ? ?? ? ? F ? ?e a ? ? ? a ?? ? ? a ?? ? a ? a ?
?b s a



第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

例:如图信号的单边拉氏变换

f1(t) 1 1

f1 (t ) ? u (t ) ? u (t ? 1) 1 1 ?s F ( s) ? ? e s s f 2 (t ) ? u (t ? 1) ? u (t ? 1) 不能用平移的特性 1 1 ?s F2 ( s) ? ? e s s
-1

f2(t) 1 1

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

例:

f(t) 1
0
T 2 0

f(t) 1 0 T/2 1 0

f(t)

T/2

T/2

F ( s ) ? ? sin ?0t ? e ? st dt 用定义式求很麻烦,因 此可用性质 把f (t )分解为两个函数相加的 结果 T ? T ? f (t ) ? f1 (t ) ? f 2 (t ) ? sin ?0t ? sin ??0 (t ? )?u (t ? ) 2 ? 2 ? T T ? s ? s? ? ?0 ?0 ?0 2 2 ?1 ? e ? F ( s) ? 2 ? 2 ?e ? 2 2 2 2 ? ? s ? ?0 s ? ?0 s ? ?0 ? ?

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

(七) 初值 若函数f(t)及其导数 f’(t)可以进行拉氏变换, f(t) 的变换式为F(s),则
lim f (t ) ? f (0 ? ) ? lim sF ( s)
s ??

t ?0 ?

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

证:

df ?t ? ? st sF ?s ? ? f ?0 ? ? ? ? e dt 0 ? dt
?

? ? e df ?t ? ? ? f ' ?t ?e ? st dt
0? ? st 0? 0?

?

? f ?t ?e

? st 0 ? 0?

? 1 0? ? st ? ? f ?t ?e dt ? ? f ?(t )e ? st dt 0? s 0? ?

? f ?0 ? ? ? f ?0 ? ? ? ?

0?

f ?(t )e ? st dt

sF ( s) ? f (0? ) ? ?
s ??

?

0?

f ?(t )e?st dt
? st ? f (t )e dt ? f (0? )

lim sF (s) ? f (0? ) ? lim ?

?

s ?? 0?

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

(八) 终值

若f(t)及其导数 f’(t)可以进行拉氏变换, f(t)的变
换式为F(s),而且 lim f ?t ? 存在,则
t ??

f ( ?) ? lim f (t ) ? lim sF ( s )
t ?? s ?0

终值适用的条件:仅当 sF(s)在s平面的虚轴上及其 右边都为解析时(原点除外),终值定理才可应用。

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

证:

sF ( s) ? f (0? ) ? ?

?

0?

f ?(t )e?st dt

令s→0, 两边取极限得
lim sF ( s ) ? f (0 ? ) ? lim ?
s ?0 ? 0? ? s ?0 0 ? ? st ? f (t )e dt

? f (0 ? ) ? ? f ' (t ) lim e ? st dt
s ?0

?

?

? f (0 ? ) ? f (t ) 0

?
?

? f (0 ? ) ? f (? ) ? f (0 ? ) ? f (? )

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

当信号 f ( t ) 的终值存在时,才能利用它求得 终值,否则将得到错误的结果。而要使 f ( t ) 的终 值存在,则要求 F ( s ) 的极点在左半 s 平面,如果

F ( s ) 在 jw 上有极点的话,也只能是在原点上的
一阶极点,其原因在于,只有满足这种极点分布

的信号才有终值存在。

终值和初值定理常用于由 F ( s) 直接求f(0-)和f(∞)

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

(九) 卷积 若 L ? f1 ?t ?? ? F1 ?s ? L ? f 2 ?t ?? ? F2 ?s ? 则 L ? f1 ?t ?* f 2 ?t ?? ? F1 ?s ?F2 ?s ? 证:
L ? f1 ?t ? ? f 2 ?t ?? ? ? ??
? 0 ?

? ? f (? )u (? ) f (t ? ? )u (t ? ? )d? ? e ? st dt 2 ? ? ? ??? 1 ?
? ? f1 (? ) ? f 2 (t ? ? )u (t ? ? )e ? st dt? d? ? ? ?0 ?

0 ?

? ? f1 (? ) F2 ?s ?e ? s? d? ? F1 ?s ?F2 ?s ?
0

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

1 ?F1 ?s ?* F2 ?s ?? L ? f1 (t ) f 2 (t )? ? 2?j 1 ? ? j? ? F1 ? p ?F2 ?s ? p ?dp ? 2?j ? ? j?

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

表4-2 拉氏变换性质(定理)

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

4.4
拉普拉斯反(逆)变换是将象函数 F(s)变换为原函数f(t)的运算。
1 ? ? j? st ? ? f (t ) ? L ?F ?s ?? ? F s e ds ? 2?j ? ? j?
?1

用定义式做比较困难,通常的方法有: (1)查表。直接利用逆变换表 (2)部分分式展开(重点) (3)留数法

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

(一)部分分式分解
F(s)为s的有理函数时, 一般形式可表示为

A(s) am s m ? am?1s m?1 ? ? ? a1s ? a0 F ( s) ? ? B( s ) bn s n ? bn?1s n?1 ? ? ? b1s ? b0

式中, ai、 bi为实常数, n、 m为正整数。

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

B(s)=bn(s-p1)(s-p2)…(s-pn)

式中, p1, p2, …, pn是B(s)=0方程式的根, 也称F(s)
的极点。

A(s)=am(s-z1)(s-z2)…(s-zm) 式中, z1, z2, …, zm是A(s)=0方程式的根, 也称F(s) 的零点。

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

1. m<n, F(s)均为单极点

A( s) F ( s) ? ( s ? p1 )(s ? p2 ) ?( s ? pn )
n Kn Ki K1 K2 F ( s) ? ? ??? ?? s ? p1 s ? p2 s ? pn i ?1 s ? pi

f (t ) ? K1e p1t ? K 2e p2t ? ? ? K n e pnt ? ? Ki e pit
i ?1

n

t ?0

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

? K1 Kn ? K2 ( s ? p1 ) F ( s) ? ( s ? p1 )? ? s ? p ? s ? p ??? s ? p ? ? 1 2 n ? ?
Kn K2 ? K1 ? ( s ? p1 ) ? ? ? ( s ? p1 ) s ? p2 s ? pn
A?s ? ? ( s ? p1 ) B?s ?

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

K1 ? ( s ? p1 ) F ?s ? s ? p

1

同样, F(s)两边同乘(s-p2), 然后令s=p2可得
K 2 ? ( s ? p2 ) F ?s ? s ? p

2

以此类推, 任一极点pi对应的系数为
K i ? ( s ? pi ) F ?s ? s ? p
i

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

例4-8 求下列函数的逆变换

10?s ? 2??s ? 5? F ( s) ? s?s ? 1??s ? 3?
解:将F(s)写成部分分式展开形式

10?s ? 2??s ? 5? K 2 ? ?s ? 1?F (s) s ??1 ? ? ?20 s?s ? 3? s ? ?1

K3 K1 K 2 F ( s) ? ? ? s s ?1 s ? 3 10?s ? 2??s ? 5? 100 K1 ? sF (s) s?0 ? ? ?s ? 1??s ? 3? s?0 3

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

10?s ? 2??s ? 5? 10 K3 ? ?s ? 3?F (s) s ??3 ? ?? s?s ? 1? 3 s ? ?3
100 10 20 3 3 ? ? F s ? ? ? s s ?1 s ? 3
100 10 ?3t ?t ?t ? 0? f ?t ? ? ? 20e ? e 3 3 10 ?3t ? ? 100 ?t f ?t ? ? ? ? 20e ? e ? u ?t ? 3 ? 3 ?



第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

100 3

100 10 ?3t ?t f ?t ? ? ? 20 e ? e 3 3
10 ?3t ? e 3

? 20e ? t

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

2. m≥n, F(s)均为单极点

D?s ? F ?s ? ? C ?s ? ? B?s ?
1 ? ? (t ) ? ? s ? ? ?(t ) ? ? 2 s ? ? ??(t ) ? ? ? ?

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

例4-9 求下列函数的逆变换

s 3 ? 5s 2 ? 9s ? 7 F ( s) ? ?s ? 1??s ? 2?
解:用分子分母(长除法)得到

s?3 F (s) ? s ? 2 ? ? s ? 2 ? F1 ( s) ?s ? 1??s ? 2?
K1 K2 ? s?2? ? s ?1 s ? 2

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

s ?3 K1 ? ?s ? 1?F1 (s) s ??1 ? ?2 s ? 2 s ??1 K 2 ? ?s ? 2?F1 ( s) s ??2 s?3 ? ? ?1 s ? 1 s ??2

2 1 F ?s ? ? s ? 2 ? ? s ?1 s ? 2

f ?t ? ? ? ' ?t ? ? 2? ?t ? ? 2e ? e
?t



?t ? 0? f ?t ? ? ? ' ?t ? ? 2? ?t ? ? ?2e?t ? e?2t ?u?t ?
?2t

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

2e?t
2e ? e
?t ?2t

?e

?2 t

f ?t ? ? ? ' ?t ? ? 2? ?t ? ? 2e ? e
?t

?2t

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

例4-10 求下列函数的逆变换

s ?3 F ( s) ? 2 s ? 2s ? 5 ?s ? 2?
2

?

?

解:部分分式展开

s ?3 F ( s) ? ?s ? 1 ? 2 j ??s ? 1 ? 2 j ??s ? 2?
2

K3 K1 K2 ? ? ? s ?1? 2 j s ?1? 2 j s ? 2

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

? ?1 ? 2 j ? ? 3 ? 1 ? j 2 ? K1 ? ?s ? 1 ? 2 j ?F ?s ? s ? ?1? 2 j? 5 4 j ?? 1 ? 2 j ? 2?
2

K 2 ? ?s ? 1 ? 2 j ?F ?s ? s ? ?1? 2 j

?1? j2 ? 5

K3 ? ?s ? 2?F ?s? s??2

7 ? 5

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

? 1 ? j 2 ??1? 2 j ?t ? 1 ? j 2 ??1? 2 j ?t 7 ? 2t f ?t ? ? e ? e ? e 5 5 5 ? 1 ? j 2 ?t 2 jt ? 1 ? j 2 ?t ? 2 jt 7 ? 2t ? e e ? e e ? e 5 5 5

? ? 1 ? j 2 2 jt ? 1 ? j 2 ?2 jt ? 7 ?2t ?e ? e ? e ?? e 5 ? 5 ? 5
?t

2 ? 1 ? 7 ? 2t ? 2e ? ? cos 2t ? sin 2t ? ? e 5 ? 5 ? 5
?t

?t ? 0?

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

2 ?t ? e cos 2t 5

4 ? e ?t sin 2t 5

7 ? 2t e 5

2 ? 1 ? 7 ? 2t f ?t ? ? 2e ? ? cos 2t ? sin 2t ? ? e 5 ? 5 ? 5
?t

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

K1 K2 F ( s) ? ? ?? s ? ? ? j? s ? ? ? j?

p1 ? ?? ? j? , p2 ? ?? ? j? K1 ? A ? jB

K2 ? A ? jB ? K
f (t ) ? 2e
??t

* 1

?A cos?t ? B sin ?t ? ? ?

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

例4-11 求下列函数的逆变换

s ?? F ( s) ? 2 ?s ? ? ? ? ? 2
解:

s ?? ? ? ?? F ( s) ? 2 ?s ? ? ? ? ? 2

? ?? s ?? ? ? ? 2 2 2 ? ?s ? ? ? ? ? 2 ?s ? ? ? ? ? ? ? ? ??t ??t f ?t ? ? e cos ?t ? e sin ?t

?

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

例4-10方法二:

K3 K1s ? K 2 F ( s) ? 2 ? s ? 2s ? 5 s ? 2

7 K1 s ? K 2 5 ? ? 2 2 ?s ? 1? ? 2 s ? 2
7 2 2 K1s ? ?2 K1 ? K 2 ?s ? 2 K 2 ? s ? 2s ? 5 ? s ? 3 5
2

?

?

2 K1 ? ? 5

K1 ? ?2

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

2 7 ? s?2 5 5 F ?s ? ? ? 2 ?s ? 1? ? 2 2 s ? 2 2 4 7 ?s ? 1? ?2 5 5 ?? 5 2 ? ? 2 2 ?s ? 1? ? 2 ?s ? 1? ? 2 2 s ? 2

4 ? 2 ? 7 ? 2t f ?t ? ? e ? ? cos 2t ? sin 2t ? ? e 5 ? 5 ? 5 2 ? 7 ? 2t ?t ? 1 ? ?2e ? cos 2t ? sin 2t ? ? e 5 ?5 ? 5
?t

?t ? 0?

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

3. m<n, F(s)


A( s) A( s) F ( s) ? ? B( s) ( s ? p1 ) k D(s)
K11 K12 K1k E ( s) F (s) ? ? k ? k ?1 ? ? ? ( s ? p1 ) ( s ? p1 ) s ? p1 D( s)

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

K1k K11 K12 E ( s) F ( s) ? ? ??? ? k k ?1 ( s ? p1 ) ( s ? p1 ) s ? p1 D( s)
L [tne-at]=

n! n ?1 ?s ? a ?
L
-1

K11 K11 ?k ? 1?! ? k k ? ? k ? 1 ! ?s ? p1 ? ?s ? p1 ?

K11 k ?1 p1t t e ?k ? 1?!

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

F1 ?s ? ? ?s ? p1 ? F ( s)
k

? K11 ? K12 ?s ? p1 ? ? ? ? K1k ?s ? p1 ?
K11 ? F1 ?s ? s ? p
1

k ?1

E ( s) k ?s ? p1 ? ? D( s )

d 2 F1 ?s ? ? K12 ? 2 K13 ?s ? p1 ? ? 3K14 ?s ? p1 ? ? ? ds

d K12 ? F1 ?s ? s ? p 1 ds

1 d2 K13 ? F ?s ? s ? p 2 1 1 2 ds

1 d i ?1 K1i ? F ?s ? s ? p i ?1 1 1 ?i ? 1?! ds

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

例4-12 求下列函数的逆变换

s?2 F ( s) ? 3 s?s ? 1?
解:部分分式展开

K 23 K1 K 21 K 22 F ( s) ? ? ? ? 3 2 s ?s ? 1? ?s ? 1? ?s ? 1?1
K1 ? ?2

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

s?2 2 F1 ( s ) ? ?s ? 1? F ?s ? ? ? 1? s s
3

K21 ? F ?s? s??1 ? 3
d 2 K 22 ? F ?s ? s ??1 ? 2 ds s
2

?2
s ? ?1

1 d 2 K 23 ? F ?s ? s ??1 ? ? 3 2 2 ds s

?2
s ? ?1

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

2 3 2 2 F ( s) ? ? ? ? ? 3 2 s ?s ? 1? ?s ? 1? s ? 1
3 2 ?t f (t ) ? ? 2 ? t e ? 2te ?t ? 2e?t 2


?t ? 0?

?? 3 2 ? ? ?t f (t ) ? ?? t ? 2t ? 2 ?e ? 2?u?t ? ? ?? 2 ?

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

?3 2 ? ?t ? t ? 2t ? 2 ?e ?2 ?

?? 3 2 ? ? ?t f (t ) ? ?? t ? 2t ? 2 ?e ? 2?u?t ? ? ?? 2 ?

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

(二)用留数定理求逆变换

1 ? ? j? 1 st st ? ? f (t ) ? F s e ds ? F ?s ?e ds ? ? 2?j ? ? j? 2?j c
j?

0

?1

?

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

f ?t ? ? L?1?F ?s ?? ? ? F ?s ?est的留数 ? ? ri
极点 极点

?

?

s=pi为一阶极点

ri ? ?s ? pi ?F ?s ?e
s=pi为k阶极点

?

st

?

s ? pi

1 ? d k ?1 k st ? ri ? ? k ?1 ?s ? pi ? F ?s ?e ? ?k ? 1?! ? ds ?

s ? pi

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

例4-12 求下列函数的逆变换

s?2 F ( s) ? 3 s?s ? 1?
解: s=0为一阶极点

r ? ?sF ?s ?e ?
st 1

s ?0

? ?2

s=-1为3阶极点

1 ? d2 3 st ? r2 ? ? 2 ?s ? 1? F ?s ?e ? 2! ? ds ?

s ? ?1

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

1 ? 4 st 4 st 2 ? 2 ? st ? r2 ? ?? 3 e ? 2 te ? t ?1 ? ?e ? 2? s s ? s? ? 3 2 ? ?t ? ? ? 2 ? 2t ? t ?e 2 ? ?

s ? ?1

3 2 ? ?t ? f ?t ? ? r1 ? r2 ? ?2 ? ? 2 ? 2t ? t ?e 2 ? ?

?t ? 0?

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

4.5 用拉普拉斯变换分析电路、s域元 件模型
(一 )
d2 d d2 d r (t ) ? a1 r (t ) ? a2 r (t ) ? b0 2 e(t ) ? b1 e(t ) ? b2e(t ) 2 dt dt dt dt

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

? b0 s 2 E ?s ? ? b1sE ?s ? ? b2 E ?s ?

s 2 R( s) ? sr ?0? ? ? r ' ?0? ? ? a1 ?sR?s ? ? r ?0? ?? ? a2 R?s ?

b0 s 2 ? b1s ? b2 sr ?0? ? ? r ' ?0? ? ? ar?0? ? R( s ) ? 2 E ?s ? ? s ? a1s ? a2 s 2 ? a1s ? a2

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

1. 零状态响应
零状态响应是仅由激励引起的响应。

r ?0? ? ? 0

r ' ?0? ? ? 0

b0 s 2 ? b1s ? b2 Rzs (s) ? 2 E ( s) s ? a1s ? a2
得零状态响应为

rzs (t ) ? L

?1

?Rzs (s)?

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

2. 零输入响应 零输入响应是仅由系统初始储能引起的响应。

e(t ) ? 0

sr ?0? ? ? r ' ?0? ? ? a1r ?0? ? Rzi ( s) ? s 2 ? a1s ? a2

rzi (t ) ? L

?1

?Rzi (s)?

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

3.
r ?t ? ? rzi ?t ? ? rzs ?t ?
2 ? b s ? b1s ? b2 sr (0 ? ) ? r ' (0 ? ) ? a1r (0 ? ) ? ?1 0 ?L ? 2 E ( s) ? ? 2 s ? a1s ? a2 ? s ? a1s ? a2 ?

Rzs (s)

Rzi (s)

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

(二) 利用拉氏变换分析电路 例 4-13 如图所示电路,当t<0时,开关位于“1” 端,电路的状态已经稳定, t=0 时开关从“ 1” 端打到“2”端,分别求vC(t)与vR(t)波形。
2 1 -

+
+

vR ( t ) R C
+ -

+

E
-

+

E
-

v1 ( t )

vC ( t )

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

解:首先求vC(t) (1) 列写微分方程
dvC ?t ? RC ? vC ?t ? ? e?t ? dt

e?t ? ? Eu?t ?

vC ?0? ? ? vC ?0? ? ? ?E

(2) 取拉氏变换
E RC ?sVC ?s ? ? vC ?0 ? ?? ? VC ?s ? ? s

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

? 1 ? E ? ? E ? s ? ? ? RCE ?1 ? 2 RC ? ? E? ? ? ? ? VC ?s ? ? s 1 ? s s? 1 ? RCs ? 1 ? ? s? s ? ? ? ? RC ? ? RC ? ?
t ? ? ? RC ?u ?t ? vC ?t ? ? E ? 1 ? 2 e ? ? ? ?

求vR(t)
vR ?t ? ? Eu?t ? ? vC ?t ? ? 2Ee
? t RC

u?t ?

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

1 vR ?t ?dt ? vR ?t ? ? v1 ?t ? ? RC d vR ?t ? d vR ?t ? ? ? v1 ?t ? dt RC dt

vR ?0? ? ? 0

vR ?0? ? ? 2E

d v1 ?0 ? ? ? 2 E? ?t ? dt

VR ?s ? ? ? sVR s ? ? 2E RC

2E VR ?s ? ? 1 s? RC

vR ?t ? ? 2Ee

?

t RC

u(t )

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

(三 ) s

? ?? R (t ) ? R ? iR (t ) ? diL (t ) ? ?? L (t ) ? L ? dt ? 1 t ? ?C (t ) ? ? iC (? )d? ? C ?? ?

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

分别对上式进行拉氏变换,

VR ?s ? ? R ? I R ?s ?

VL ?s ? ? sL ? I L ?s ? ? LiL ?0 ? ? 1 1 VC ?s ? ? I C ?s ? ? vC ?0 ? ? sC s
不考虑起始条件

VR ?s ? ? R ? I R ?s ?

VL ?s ? ? sL ? I L ?s ? 1 VC ?s ? ? I C ?s ? sC

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

VR ?s ? ? R ? I R ?s ?

VL ?s ? ? Ls ? I L ?s ? ? LiL ?0? ?

1 1 VC ?s ? ? I C ?s ? ? vC ?0 ? ? Cs s

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

若对电流求解,

1 I R ?s ? ? VR ?s ? R 1 1 I L ?s ? ? VL ?s ? ? iL ?0 ? ? sL s I C ?s ? ? sCVC ?s ? ? CvC ?0 ? ?

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

1 I R ?s ? ? VR ?s ? R

1 1 I L ?s ? ? VL ?s ? ? iL ?0 ? ? sL s

I C ?s ? ? sCVC ?s ? ? CvC ?0? ?

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

例 4-15 如图所示电路,当t<0时,开关位于“1” 端,电路的状态已经稳定, t=0 时开关从“ 1” 端打到“2”端,分别求vC(t)。
2 + 1 + +

v (t) + R R v1 ( t )
-

E
-

E

C

+

v (t) - C

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

解:画出s域网络模型
1 E VC ?s ? ? I ?s ? ? sC s
E E s
+

R
1 C sC E ? s

+

E E 2 2 s ? R I ?s ? ? 1 1 R? s? sC RC E 2 E E 2E RC VC ?s ? ? ? ? ? 1 ? s 1 ? s s? s ? s? ? RC ? RC ?

I( s)

+ -

v (t) V C C ( s)
-

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

例 4-15 如图所示电路,当t<0时,开关位于“1” 端,电路的状态已经稳定, t=0 时开关从“ 1” 端打到“2”端,求iL(t) 。
R1
+ 1 2

R2
-

E1 i L( t )

L

R0

E2

+

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

解:

E iL ?0? ? ? ? 1 R1 E1 ? sR1
+ -

R1
R0 L sL

R2

E1 E2 ? 1 sR1 sR2 I L 0 ?s ? ? ? 1 1 1 sL ? ? R0 R2 sL

E1 t) Ii (s) L( L0

E2 R2 E2 s +

E2 sR2

1 ? E1 E2 ? E1 E2 ? ? ? ? ? ? ? ? s ? R1 R2 ?1 R1 R2 ? E1 E2 ?? 1 1 ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? sL R0 ? R2 1 ? ? s s ? ? 1 ? R1 R2 ?? s s ? ? ?1 R0 R2 ?? ?

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

E1 I L ?s ? ? I L 0 ?s ? ? sR1
? ? ? E1 E2 ?? 1 1 ? E1 ?? ? ? ?R ?R ? ?? s ? 1 2 ?? ? 1 s ? ? sR1 ?? ?

? E2 ? E1 E2 ? ??t ? ? iL ?t ? ? ? ? ? ? e ?u ?t ? ? ? ? R2 ? R1 R2 ? ?

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

例 电路如图, 已知e(t)=10 V;
vC(0-)=5 V, iL(0-)=4 A, 求i1(t)。
- + e(t) - 0 .2 ? 0 .5 H iL (0-)
C (0)



i1 (t)

1?

1F

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

1 /s

- 5 /s

1? 0 .5s



+ E(s) - I1 0 .2 ? I2 -

LiL (0-)=2 +

解:

1? 5 15 ? ? 0.2 ? ? I1 ?s ? ? 0.2 I 2 ?s ? ? E ?s ? ? ? s? s s ?

? 0.2I1 ?s ? ? ?0.5s ? 1.2?I 2 ?s ? ? 2

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

15 ? 0.2 s 2 0.5s ? 1.2 79s ? 180 K1 K2 I1 ( s ) ? ? 2 ? ? 1 s ? 7 s ? 12 s ? 3 s ? 4 0.2 ? ? 0.2 s ? 0.2 0.5s ? 1.2
79 s ? 180 K1 ? |s ? ?3 ? ?57 s?4 79 s ? 180 K2 ? |s ? ?4 ? 136 s?3

i1 (t ) ? ? 57e?3t ? 136e?4t u?t ?

?

?

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

分别计算零状态、 零输入响应。

(1) 零状态响应

E ?s ? 50 s ? 120 30 80 I1zs ?s ? ? ? ?? ? 1 0.2 ? ?1 ? 0.5s ? s 2 ? 7 s ? 12 s?3 s?4 ? s 0.2 ? ?1 ? 0.5s ?

i1zs ?t ? ? ? 30e

?

?3t

? 80e

?4t

?u?t ?

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

(2) 零输入响应
5 ?1 ? ? ? 0.2 ? I1zi ?s ? ? 0.2 I 2 zi ?s ? ? s ?s ?

? 0.2I1zi ?s ? ? ?0.5s ? 1.2?I 2 zi ?s ? ? 2
5 ? 0. 2 s 2 0 . 5 s ? 1 .2 1 ? 0 .2 ? 0 .2 s ? 0 . 2 0 . 5 s ? 1 .2

I1zi ?s ? ?

29 s ? 60 27 56 ? 2 ?? ? s ? 7 s ? 12 s?3 s?4

i1zs ?t ? ? ? 27e?3t ? 56e?4t u?t ?

?

?

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

4.6 系统函数(网络函数)H(s)

V ?s ? ? Z ?s ?I ?s ? I ?s ? ? Y ?s ?V ?s ?
Rzs ( s ) H ( s) ? E ( s)

系统函数

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

例4-17 如图所示在t=0时开关S闭合,接入信号源 e(t)=sin(2t),电感起始电流等于零,求电流i(t)。 解:
L

1 I ?s ? ? ? E ?s ? sL ? R

? e?t ?
R ? t L

?

i ?t ?
S

R

L

?1

? 1 ? 1 ? e ? ? ? sL ? R ? L

u?t ?

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

i?t ? ? L

?1

? 1 ? * e?t ? ? ? ? Ls ? R ?
u ?t ?* e?t ?

1 ? e L

R ? t L

R ? t ? ? Vm L i?t ? ? 2 2 ?Le ? ?L cos??t ? ? R sin ??t ??u ?t ? 2 ? ? L ?R ? ?

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

e?t ? ? sin ?2t ? 2 2 E ?s ? ? 2 ? 2 2 s ?2 s ?4 2 2 2 2 ? s? 2 5 I ?s ? ? s ? 4 ? 5 ? 5 s ?1 s ?1 s2 ? 4

1H

? e?t ?

?

i ?t ?
S

1?

s
2? s 2 ??4

2 2 s 1 2 5 ? ? 2 ? 2 s ?1 5 s ? 4 5 s ? 4 1 ?t i ?t ? ? ?2e ? 2 cos 2t ? sin 2t ?u ?t ? 5

I ?s ?

1?

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

r ?t ? ? e?t ?* h?t ? R?s ? ? E?s ?H ?s ?
R ?s ? H ?s ? ? E ?s ?

H ?s ? ? L ?h?t ??

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

策动点函数:激励与响应是同一端口
I i ?s ?
Vi ?s ?

1) 策动点阻抗函数 2) 策动点导纳函数

转移函数(传输函数):激励与响应不在同一端口
I i ?s ?
Vi ?s ?

I j ?s ? V j ?s ?

1) 转移阻抗函数 2) 转移导纳函数 3) 转移电压比函数 4) 转移电流比函数

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

(1) 由微分方程求系统函数 n阶系统微分方程的一般形式为
dn d n ?1 d r ?t ? ? C1 n ?1 r ?t ? ? ? ? Cn ?1 r ?t ? ? Cn r ?t ? n dt dt dt dm d m ?1 d ? E0 m e?t ? ? E1 m ?1 e?t ? ? ? ? Em ?1 e?t ? ? Em e?t ? dt dt dt

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

零状态下拉氏变换
? E0 s m E ?s ? ? E1s m?1 E ?s ? ? ? ? Em?1sE ?s ? ? Em E ?s ? s n Rzs ?s ? ? C1s n ?1 Rzs ?s ? ? ? ? Cn ?1sRzs ?s ? ? Cn Rzs ?s ? ? C1s n?1 ? ? ? Cn ?1s ? Cn Rzs ?s ?

?s

n

? E0 s m ? E1s m?1 ? ? ? Em?1s ? Em E ?s ?

?

?

?

系统函数为
Rzs ?s ? E0 s m ? E1s m?1 ? ? ? Em?1s ? Em ? H ?s ? ? s n ? C1s n?1 ? ? ? Cn?1s ? Cn E ?s ?

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

(2) 举例说明用s域等效模型, 可以得到网络的系统 函数。如图所示电路系统, 输入为v1(t),输出 为v2(t),试求系统函数H(s)。

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

解:画零状态s域模型图
4 // 1 V2 ( s) H (s) ? ? s V1 ( s) 2 ? 4 // 1 s

4 ?1 4 4 s // 1 ? ? 4 s ?1 s ? 4 s

4 2 s ? 4 H ( s) ? ? 4 s?6 2? s?4

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

4.7 由系统函数零、极点分布决定时域特性
(一) H(s)零、极点分布与h(t)波形特性的对应
极点: H(s)分母多项式之根。 零点: H(s)分子多项式之根。
lim H ?s ? ? ?

s ? p1

??s ? p1 ?H ?s??s? p 为有限值
1

s=p1处为一阶极点。
s ? p1

lim H ?s ? ? ?

??s ? p ?
1

K

H ?s ? s ? p1直到K=n时才为有限值

?

s=p1处为n阶极点。

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

1 H ?s ? 的极点即 零点。 H ?s ? 1 H ?s ? 的零点即 极点。 H ?s ?

s ?s ?1? ? 1 H ?s ? ? 2 2 ?s ? 1? s ? 4
2

?

?

?

?

?s ? ?1 (二阶) ? 极点: ?s ? ? j 2 (一阶) ?s ? ? j 2 (一阶) ?

s??s ? 1 ? j1??s ? 1 ? j1?? ? ?s ? 1?2 ?s ? 2 j ??s ? 2 j ?

?s ? 0 ?s ? 1 ? ? 零点:? ?s ? 1 ? ? ?s ? ?

(一阶)

j (一阶) j (一阶)
(一阶)

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

一阶极点 二阶极点 一阶零点

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

H ?s ?
1 s

s平面上的零极点

t平面上的波形

h?t ?

?

u?t ?

1 s?a

?a

?

e?at u?t ?

1 s?a

a

?

eat u?t ?

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

H ?s ?
1 s2 ? ? 2

s平面上的零极点

t平面上的波形

h?t ?

j?

? j?
j?

?

sin ??t ?u?t ?

?s ? a ?2 ? ? 2
1

1

?a
j?

? j?

?

e?at sin??t ?u?t ?

?s ? a ?2 ? ? 2

? j?

a ?

eat sin??t ?u?t ?

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

例 已知某系统的系统函数

5s 2 ? 18s ? 25 H ( s) ? 3 2 s ? 6s ? 11s ? 12
求出系统的零、 极点并绘出零、 极点图。

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

解: MATLAB a=[1 6 11 12];%

b=[5 18 25];%
r1=roots(a) %

r2=roots(b)

%

pzmap(b, a) %系统的零、

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

r1 = -4.0000 -1.0000 + 1.4142i -1.0000 - 1.4142i

r2 =

-1.8000 + 1.3266i -1.8000 - 1.3266i

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

H(s)与h(t)是一对拉氏变换对, 所以只要知道 H(s)
在s平面上的零、 极点分布情况, 就可以知道系

统冲激响应h(t)的变化规律。 假设式中所有极
点均为单极点且 m<n,
H (s) ? K

? (s ? z )
j

m

? (s ? p )
i i ?1

j ?1 n

Ki ?? i ?1 s ? pi

n

pi=σi+jωi
n

h(t ) ? ? Ki e u (t ) ? ? hi (t )
pi t i ?1 i ?1

n

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

(1) 若极点位于s平面坐标原点,Hi(s)=1/s,冲激响应就 为阶跃函数,h(t)=u(t)。
(2) 若极点位于s平面实轴上,则冲激响应具有指数函数 形式。 1 H i ?s ? ? hi ?t ? ? e?at u?t ? s?a (3) 虚轴上的共轭极点给出等幅振荡。

L

?1

? ? ? ? sin ??t ? 2 2? ? ?s ?? ?

p1 ? ? j?, p2 ? ? j?

(4) 落于s左半平面内的共轭极点对应于衰减振荡,落于s 右半平面内的共轭极点对应于增幅振荡。

L

?1

? ? ?at ? ? e sin ??t ? ? 2 2? ? ?s ? a ? ? ? ?

p1 ? a ? j?, p2 ? a ? j?

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

高阶极点: (1)位于s平面坐标原点的二阶或三阶极点分别给 出时间函数为t或t2/2 (2)实轴上的二阶极点给出与指数函数的乘积。
L
?1

? 1 ? ? at ? te ? 2? ? ?s ? a ? ?

(3)对于虚轴上的二阶共轭极点情况。
L
?1

? 2?s ? 2 2 s ? ? ? ?

?

?

? ? t sin ??t ? 2? ? ?

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

H ?s ?
1 s2

s平面上的零极点

t平面上的波形

h?t ?

?

tu?t ?

1 ?s ? a ?2

?a
j?

?

te? at u?t ?

?s

2?s
2

??2

?

2

? j?

?

t sin??t ?u?t ?

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

若H(s)极点落于左半面,则h(t)波形为衰减形式; 若H(s)极点落于右半面,则h(t)波形为增长形式; 落于虚轴上的一阶极点对应的h(t)成等幅振荡或阶跃; 虚轴上的二阶极点将使h(t)呈增长形式。

按照h(t)呈现衰减或增长的两种情况将系统划分为稳定 系统与非稳定系统两大类型。 系统稳定性可以根据H(s)极点出现于左半或右半平面判 断。

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

(二) H(s)、 E(s) 极点分布与自由响应、强迫响应
特征的对应

R?s ? ? H ?s ?E?s ?

r ?t ? ? L
u

?1

?R?s ??
l

H ?s ? ?

? ?s ? z ?
m j

? ?s ? p ?
i i ?1

j ?1 n

E ?s ? ?

? ?s ? z ? ? ?s ? p ?
k k ?1 l ?1 v

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析
? Ki Kk R( s ) ? ? ?? i ?1 s ? pi k ?1 s ? pk
n

r (t ) ? ? K i e pit ? ? K k e pk t
i ?1 k ?1

n

?

自由响应

强迫响应

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

d d d C0 n r ?t ? ? C1 n ?1 r ?t ? ? ? ? Cn ?1 r ?t ? ? Cn r ?t ? dt dt dt dm d m ?1 d ? E0 m e?t ? ? E1 m ?1 e?t ? ? ? ? Em ?1 e?t ? ? Em e?t ? dt dt dt

n

n ?1

C0 s n R?s ? ? C1s n ?1 R?s ? ? ? ? Cn ?1sR?s ? ? Cn R?s ?

? E0 s m E ?s ? ? E1s m?1 E ?s ? ? ? ? Em?1sE ?s ? ? Em E ?s ?
R?s ? E0 s m ? E1s m?1 ? ? ? Em?1s ? Em H ?s ? ? ? E ?s ? C0 s n ? C1s n?1 ? ? ? Cn?1s ? Cn

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

d d d C0 n r ?t ? ? C1 n ?1 r ?t ? ? ? ? Cn ?1 r ?t ? ? Cn r ?t ? dt dt dt dm d m ?1 d ? E0 m e?t ? ? E1 m ?1 e?t ? ? ? ? Em ?1 e?t ? ? Em e?t ? dt dt dt

n

n ?1

C0? n ? C1? n?1 ? ?? Cn?1? ? Cn ? 0
E0 s ? E1s ? ? ? Em?1s ? Em H ?s ? ? n n ?1 C0 s ? C1s ? ? ? Cn?1s ? Cn
m m ?1

系统函数的极点——固有频率

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

例4-19 电路如图所示,输入信号

R ? 2?

v1 ?t ? ? 10cos?4t ?u?t ?

?
v1 ?t ?
?

求输出电压v2(t),并指出v2(t)中的 自由响应和强迫响应 1 解: 1 1 V2 ?s ? sC ? ? ? H ?s ? ? RCs ? 1 s ? 1 V1 ?s ? R ? 1 sC 10 s V1 ? s ? ? L ? ?10 cos ? 4t ? ? ? ? 2 s ? 42

1 C? F 2

? v2 ?t ?
?

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

1 10 s V2 ?s ? ? H ?s ?V1 ?s ? ? s ? 1 s 2 ? 42

10 10 160 ? s? K1 As ? B 17 ? 17 17 ? ? 2 ? s ? 1 s ? 42 s ?1 s 2 ? 42
10 ?t 10 40 v2 ?t ? ? ? e ? cos ?4t ? ? sin ?4t ? 17 17 17
强迫响应
t?0

自由响应

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

全响应

零输入响应

零状态响应

自然响应

强迫响应

瞬态响应

稳态响应

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

4.8 由系统函数零、极点分布决定频域特性
频响特性:是指系统在正弦信号激励之下稳态响应
随信号频率的变化情况。

e?t ? ? Em sin??0t ?

Em?0 R?s ? ? 2 ? H ?s ? 2 s ? ?0 K ? j?0 K j?0 Kn K1 K2 ? ? ? ? ??? s ? j?0 s ? j?0 s ? p1 s ? p2 s ? pn

Em?0 E ?s ? ? 2 2 s ? ?0

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

K ? j?0 ? ?s ? j?0 ?R ?s ? s ? ? j?

0

Em?0 H ?? j?0 ? Em?0 ? ? H ?s ? ? 2 j?0 s ? j? 0 s ? ? j?
0

Em H 0e ? j?0 ? ?2j
K j?0 ? ?s ? j?0 ?R ?s ? s ? j?
0

H ?? j?0 ? ? H0e? j?0
H ? j?0 ? ? H0e j?0

Em?0 H ? j?0 ? Em H 0e j?0 ? ? 2 j?0 2j

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

K ? j? 0 s ? j? 0

?

K j? 0 s ? j? 0

? j? 0 j? 0 ? ? Em H 0 e e ? ? ? ? ? ? 2 j ? s ? j? 0 s ? j? 0 ? ?

K j?0 ? ? K ? j?0 L ? ? ? ? s ? j?0 s ? j?0 ? Em H 0 ? ? e ? j?0 e ? j?0t ? e j?0 e j?0t 2j
?1

?

?

? Em H 0 sin??0t ? ?0 ?

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

r ?t ? ? L

?1

?R?s ??

? Em H0 sin??0t ? ?0 ? ? K1e p1t ? K2e p2t ? ?? Kne pnt
rss ?t ? ? Em H 0 sin??0t ? ?0 ?
H ?s ? s ? j? ? H ? j?0 ? ? H 0 e j?0
0

H ?s ? s ? j? ? H ? j? ? ? H ? j? ? e j? ? j? ?

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

低通滤波器

高通滤波器

带通滤波器

带阻滤波器

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

系统函数H(s)

H ?s ? ?

K ? ?s ? z j ?
m

? ?s ? p ?
i i ?1 m

j ?1 n

频率特性

H ? j? ? ?

K ? ? j? ? z j ?

? ? j? ? p ?
i i ?1

j ?1 n

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

M1

j?

p1

?1

N1 z1

j? ? z1 ? N1e j?1

?1

j? ? p1 ? M1e j?1

O

?

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

N1e N 2e ? N me H ? j? ? ? K j? n j?1 j?1 M1e M 2e ? M ne

j? 1

j? 2

j? m

N1 N 2 ? N m j ??? 1 ?? 2 ???? m ????1 ?? 2 ???? n ?? ?K e M 1M 2 ? M n

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

例4-20 研究图中所示RC高通滤波网络的频响特性


1 (t )

C R


2 (t )





第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

解:

V2 ( s) H ( s) ? ? V1 ( s)

R 1 R? sC

?

s 1 s? RC

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

N1 H ( j? ) ? M1
当ω=0时,N1=0,所以,

? ?? ? ? ? 1 ?? ? ? ?1 ?? ?
N1 H ( j 0) ? ?0 M1
?

? ?0? ? 90 ? 0 ? 90

?

1 1 2 N1 ? 当? ? 时, M1 ? RC RC RC

1 ? 1 ? H? j ?? 2 ? RC ?

? 1 ? ? ? ? ?? ? 90 ? 45 ? 45 ? ? RC ?

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

当ω增大时, 导致N1, M1增大, 且趋于|H(jω)|;

当ω→∞时, N1≈M1→∞, →|H(jω)|≈1。
相频特性:φ(ω)=ψ1-θ1 ≈0

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

例4-21 研究图中所示RC低通滤波网络的频响特性

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

解:

1 V2 ( s) H ( s) ? ? ? RC 1 1 V1 ( s) R? s? sC RC

1 sC

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

1 1 H ( j? ) ? RC M1
当ω=0时,

? ?? ? ? ??1 ?? ?
1 1 H ( j 0) ? ?1 RC M 1 ? ?0? ? 0

1 2 当? ? 时, M 1 ? RC RC

1 ? 1 ? H? j ?? 2 ? RC ?
? 1 ? ? ? ?? ? 0 ? 45 ? ? 45 ? ? RC ?

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

当ω增大时, 导致N1, M1增大, 且趋于|H(jω)|;

当ω→∞时, M1→∞, →|H(jω)|≈0。
相频特性:φ(ω)=-θ1 ≈90°

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

4.9 二阶谐振系统的s平面分析

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

4.10 全通函数与最小相移函数的零、极点分布
1. 当系统幅频特性在整个频域内是常数时, 其幅度 特性可无失真传输, 这样的系统称为全通系统。 全通 系统的特点是系统函数 H(s)的零、 极点对jω轴成镜像 对称。

H ( j? ) ? H 0

? ?
j ?1 j ?1 m

m

Nj ? H0 Mj

式中, H0为常数。

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

全通系统零、 极点分布示意图

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

2.
实际应用中, 会遇到在幅频特性相同情况下, 希 望得到系统的相移(时延)最小, 这样的系统称为最 小相移系统。 本书不加证明给出最小相移系统的条件 为: 全部零、 极点在s平面的左半平面(零点可在jω轴 上), 不满足这一条件的为非最小相移系统。

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

j?

j?

0

?

0

?

(a)

(b)

最小相移系统与非最小相移系统零、 极点分布示意

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

4.11 LTI
稳定性是系统本身的性质之一,与激励信号无关。
稳定系统也是一般系统设计的目标之一。 稳定系统定义: 有界输入产生有界输出(简称 BIBO)的系统。 LTI系统 BIBO稳定的充分必要条件:单位冲激响应 绝对可积。

?

?

??

h(t ) dt ? M

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

因果系统可划分为稳定系统、不稳定系统、临 界稳定(边界稳定)系统三种情况: (1) 稳定系统:如果H(s)全部极点落于s左半平 (不包括虚轴),则可以满足 ,系统是 lim h (t ) ? 0 t ?? 稳定的。 (2) 不稳定系统:如果H(s)的极点落于s右半平面, 或在虚轴上具有二阶以上的极点,则在足够长 时间以后,h(t)仍继续增长,系统是稳定的。 (3) 临界稳定系统:如果H(s)的极点落于s平面虚 轴上,且只有一阶,则在足够长时间以后,h(t) 趋于一个非零的数值或形成一个等幅振荡。系 统是临界稳定的。

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

例4-24 已知两因果系统的系统函数

激励信号分别为 e1 ?t ? ? u?t ? e2 ?t ? ? sin??0t ?u?t ? 求两种情况的响应r1(t)和r2(t)。 解: R ?s ? ? H ?s ?E ?s ? ? 1 1 1 1 2

1 H 1 ?s ? ? s

s H 2 ?s ? ? 2 2 s ? ?0

s

r1 ?t ? ? tu?t ?

R2 ?s ? ? H 2 ?s ?E2 ?s ? ?

?s

?0 s
2

??

2 2 0

?

1 r2 ?t ? ? t sin ??0t ?u ?t ? 2

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

这两种情况都属不稳定系统。 极点是虚轴上的一阶极点。

h1 ?t ? ? u?t ?

h2 ?t ? ? cos??0t ?u?t ?

系统为临界稳定类型。

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

例4-26 如图所示线性反馈系统, 讨论当K从0增 长时,系统稳定性变化。

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

解:

V2 ?s ? ? ?V1 ?s ? ? KV2 ?s ??G?s ? 1 V2 ? s ? G ?s? s ? 1?? s ? 2 ? ? ? ? K V1 ? s ? 1 ? KG ? s ? 1 ? ? s ? 1?? s ? 2 ? 1 ? ?s ? 1??s ? 2? ? K
1 ? 2 s ?s?2? K 1 ? ?s ? p1 ??s ? p2 ?

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

p1 ? 1 9 ?K ??? ? p2 ? 2 4
K ?0
K ?2

p1 ? ?2 p1 ? ?1

p2 ? 1 p2 ? 0

9 K? 4 9 K? 4

1 p1 ? p2 ? ? 2

有共轭复根,实部小于0,在左半平面

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析
K ?0

K ?2

j?

K?

9 4

K?

9 4

2

?1 ?

1O 2

1

?

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

4.12 双边拉氏变换

F ?s ? ? ? f ?t ?e dt
? st ??

?

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

4.13 拉普拉斯变换与傅里叶变换的 关系
(一) 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系 双边拉普拉斯变换 单边拉普拉斯变换

F ?s ? ? ? f ?t ?e dt
? st ?? ?

?

F ?s ? ? ? f ?t ?e dt
? st 0

傅里叶变换变换

F ?? ? ? ? f ?t ?e
??

?

? j?t

dt

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

t?0 f ?t ? ? 0

双边拉氏变换
?? ? t ? ?
s ? ? ? j?

? ?0

单边拉氏变换
s ? ? ? j? 0?t??

傅氏变换
?? ? t ? ?
L ? f ?t ?? ? F f ?t ?u?t ?e?t
s ? j?

?s ? ? ? j? ?

?

?

图 4-60 拉氏变换与傅氏变换的关系

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

(二) 傅氏变换与单边拉氏变换的关系
1. 当σ0>0时收敛区不包含虚轴jω, 函数的傅氏变 换不存在; 2. 当σ0<0时, 收敛区包含虚轴jω, 函数的傅氏变 换存在;

F ?? ? ? F ?s ? s ? j?

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

3. 当σ0=0时, 收敛区虽不包含虚轴jω, 但函数 的傅氏变换存在, 不过有冲激项。

F ?? ? ? F ?s ? s ? j? ? ? K n?? ?? ? ?n ?
n ?1

N

?n 为虚轴上的极点
Kn为部分分式分解法的系数

K n ? ?s ? j?n ?F ?s ? s ? j?

n

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

例4-29 求单边正弦信号的傅氏变换与拉氏变换。 解:
f ?t ? ? sin??0t ?u?t ?

拉氏变换:
傅氏变换:

?0 F ?s ? ? L ? f ?t ?? ? 2 2 s ? ?0
K1 K2 F ?s ? ? ? s ? j?0 s ? j?0
0

K1 ? ?s ? j?0 ?F ?s ? s ? j?

?0 ? s ? j? 0

s ? j?0

j ?? 2 j ? 2

K 2 ? ?s ? j?0 ?F ?s ? s ? j?

0

?0 ? s ? j? 0

s ? ? j? 0

第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

F ?? ? ? F ? s ? s ? j? ? K1?? ?? ? ?0 ? ? K 2?? ?? ? ?0 ?

?0 j j ? 2 ? ?? ?? ? ?0 ? ? ?? ?? ? ?0 ? 2 ?0 ? ? 2 2

?0 ? ? 2 ?j ? ? ?? ? ?0 ? ? ? ?? ? ?0 ?? 2 ? ? ?0 ? ? 2


赞助商链接

连续时间信号与系统的S域分析

连续时间信号与系统的S域分析 - 报告四: 一、设计题目 ?2t 1 求信号 f (t ) ? e ? (t ) 的拉普拉斯变换. 2求 F (s) ? 4s ? 5 s ? 5s ? 6...

第5章-连续系统的S域分析(解析)

第5章-连续系统的S域分析(解析) - 1. 拉普拉斯变换概念 因果信号拉普拉斯变换的收敛域为复平面的 (左、右)半平面。 信号 f (t ) ? (e4t ? e5t )? ...