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《两条直线的平行与垂直》(第1课时)+课件+3 (1)


思考1:两条直线的位置关系有哪几 种? 思考2:我们用斜率刻画了直线的倾 斜程度,那么,能否用斜率刻画两条 直线的位置关系?

猜想:如果两条直线(斜率存在)平行, 那么它们的斜率是否相等?

结论:
如果L1与L2不重合,那么
注意:
1.两条直线平行的条件是在斜率存在且不重合 的情况下得到的,所以“斜率存在”和“不重 合”缺一不可。 2.如果L1与L2的斜率都不存在呢?

l1 // l2 ? k1 ? k2 (k1 , k2均存在)

例1:求证:如果两条直线L1:A1X+B1Y+C1=0和 L2:A2X+B2Y+C2=0平行,那么A1B2-A2B1=0.

例2:求过点A(2,-3),且与直线 2x+y-5=0平行的直线方程。

那么,如果两条直线(斜率存在)垂 直,两条直线的斜率有什么关系?

结论:

l1 ? l2 ? k1 ? k2 ? ?1(k1 , k2均存在)
思考:如果两条直线中有一条斜率不存在, 那么这两条直线什么时候互相垂直?

例3:求证:如果两条直线L1:A1X+B1Y+C1=0和 L2:A2X+B2Y+C2=0垂直,那么A1A2+B1B2=0.

例4:当a为何值时,直线L1:(a+2)x+(1-a)y-1=0 与直线L2:(a-1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直?

1,-1

例5:求证:建立适当的直角坐标系,证明正方形 的对角线互相垂直。

例6:证明以A(3,6),B(-1,-3),C(8,-7),D(12,2) 为顶点的四边形是矩形。

判断两条直线的位置关系有以下结论:
L1:y=k1x+b1 L2:Y=K2x+b2 (K1,k2均存在) 平行 重合 K1=K2且b1≠b2 K1=K2且b1=b2 L1:A1X+B1Y+C1=0 L2:A2X+B2Y+C2=0

(A2,B2,C2≠0)
A1 B1 C1 ? ? A2 B2 C2 A1 B1 C1 ? ? A2 B2 C2 A1 B1 ? A2 B2

相交
垂直

K1≠K2
K1k2=-1

A1 A2 ? B1B2 ? 0

方程组: A1X+B1Y+C1=0

一组

无数解

无解

A2X+B2Y+C2=0 无数个 零个

的解
两条直线L1,L2的公共点 一个

直线L1,L2间的位置关系 相交

重合

平行

例7:分别判断下列直线是否相交,若相 交,求出它们的交点: (1)L1:2x-y=7; L2:3x+2y-7=0
(2)L1:2x-6y+4=0; L2:4x-12y+8=0 (3)L1:4x+2y+4=0; L2:y=-2x+3

1.共点直线系方程:经过两直线
的交点的直线方程为:

L1:A1X+B1Y+C1=0和L2:A2X+B2Y+C2=0 (A1X+B1Y+C1)+λ(A2X+B2Y+C2)=0 。

2.平行直线系方程:与直线Ax+By+C=0平行 的直线方程是:Ax+By+C1=0(C1≠C). 3.垂直直线系方程:与直线Ax+By+C=0垂直 的直线方程是:Bx-Ay+C1=0.

例8:求过两直线x-2y+4=0和x+y2=0的交点,且满足下列条件的直线 方程:

(1)过点(2,-1);
(2)和直线3x-4y+5=0垂直。 (1)3x+2y-4=0 (2)4x+3y-6=0

例9:证明:无论m取何值,直线L :

(m-1)x+(2m-1)y=m-5恒过一个定点, 并求出该定点的坐标。

(9,-4)

例10:教材例3


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