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选修1-2演绎推理


第二章 推理与证明
2.1 合情推理与演绎推理
2.1.2 演绎推理 〖课前准备〗 【课型】新授课 【课时】1 教时 【课标要求】 1.知识与能力 掌握演绎推理的基本方法,并能运用它们进行一些简单推理.了解合情推理与演绎推理之间的联系 和差异. 2.过程与方法 结合已学过的数学实例和生活中的实例,体会演绎推理的重要性,认识到演绎推理在数学思考中的 重要作用,培养和提高学生的演绎推理或逻辑证明的能力. 3.情感态度与价值观 通过演绎推理与三段论法则的学习,促使学生崇尚理智、逻辑、科学,提倡求实精神,批判精神.严 谨的逻辑思维训练、缜密的思考与推算过程,可促使学生的道德准则合乎理性,形成诚实、顽强、 谨慎、勇敢和一丝不苟等个性品质. 【重点.难点】 重点:演绎推理的含义与三段论推理及合情推理和演绎推理的区别与联系. 难点:三段论式推理的格式 【教学用具】多媒体. 〖教学过程〗 一、情景引入: 现在冰雪覆盖的南极大陆,地质学家说它们曾在赤道附近,是从热带飘移到现在的位置的,为 什么呢?原来在它的地底下,有着丰富的煤矿,煤矿中的树叶表明它们是阔叶树.从繁茂的阔叶树 可以推知当时有温暖湿润的气候,所以南极大陆曾经在温湿的热带. 被人们称为世界屋脊的西藏高原上,一座座高山高入云天,巍然屹立.西藏高原南端的喜马拉 雅山横空出世,雄视世界.珠穆郎玛峰是世界第一高峰,谁能想到,喜马拉雅山所在的地方,曾经 是一片汪洋,高耸的山峰的前身,竟然是深不可测的大海.地质学家是怎么得出这个结论的呢? 科学家们在喜马拉雅山区考察时,曾经发现高山的地层中有许多鱼类、贝类的化石,还发现了 鱼龙的化石.地质学家们推断说,鱼类贝类生活在海洋里,在喜马拉雅山上发现它们的化石,说明 喜马拉雅山曾经是海洋.

科学家们研究喜马拉雅变迁所使用的方法,就是一种名叫演绎推理的方法. 二、新课讲授 【概念】演绎推理:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论的推理方法. 【解释】与合情推理一样,演绎推理也是学生在学习和生活中经常使用的一种推理形式.特别地, 数学证明主要通过演绎推理来进行. 【思考】演绎推理的一般模式是什么? 【引导】喜马拉雅山所在的地方,曾经是一片汪洋推理过程: 鱼类、贝类、鱼龙,都是海洋生物,它们世世代代生活在海洋里??大前提; 在喜马拉雅山上发现它们的化石??小前提; 喜马拉雅山曾经是海洋??结论. 【总结】三段论是演绎推理的一般模式,包括: (1)大前提??已知的一般原理;

(2)小前提??所研究的特殊情况; (3)结论??根据一般原理,对特殊情况做出的判断. 【练习】把下列推理写成三段论的形式. ⑴ 所有的金属都能够导电,铀是金属,所以铀能够导电; ⑵ 太阳系的行星都以椭圆形轨道绕太阳运行,天王星是太阳系的行星,因此天王星以椭圆形轨道绕 太阳运行; ⑶ 在一个标准大气压下,水的沸点是 100°C,所以在一个标准大气压下把水加热到 100°C 时,水 会沸腾; ⑷ 三角函数都是周期函数, tan? 是三角函数,因此 tan? 是周期函数; ⑸ 两条直线平行, 同旁内角互补. 如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角, 那么∠A+∠B=180°. 【回答】如:⑴ 所有的金属都能导电 —— 大前提 铀是金属 —— 小前提 铀能够导电 —— 结论 其它略. 【思考】你能再举出一些用三段论推理的例子吗? 【讨论】略. 【引出例题】数学的证明主要是通过演绎推理来进行的,下面咱们来看例子. 【例6】如图2.1-4 所示,在锐角三角形 ABC 中,AD⊥BC,BE⊥AC,D,E 为垂足,求证:AB 的中 点 M 到 D,E 的距离相等.
C E D

A M

B

图 2.1-4

【证明】(1)因为有一个内角为直角的三角形是直角三角形,???大前提 在△ABD 中,AD⊥BC,∠ADB=90?,??????????????小前提 所以△ABD 是直角三角形. ??????????????????结论 同理,△AEB 也是直角三角形 (2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,?????大前提 而 M 是 Rt△ABD 斜边 AB 的中点,DM 是斜边上的中线,??????小前提 所以 DM=

1 AB ,??????????????????????结论 2 1 同理,EM= AB . 所以,DM=EM. 2

【评注】 “三段论”可以表示为: 大前题:M 是 P. 小前提:S 是 M. 结论:S 是 P. 我们还可以用集合知识说明三段论:若集合 M 的所有元素都具有性质 P,S 是 M 的一个子集,那么 S 中 所有元素也都具有性质 P. 【想一想】我们平常数学证明中是不是“三段论”模式叙述的? 【回答】应用三段论解决问题时,首先应该明确什么是大前提和小前提.但为了叙述简洁,如果大 前提是显然的,则可以省略. 【例 7】证明函数 f(x)=-x +2x 在(-∞,1)内是增函数.
2

【分析】证明本例所依据的大前提是:在某个区间(a, b)内,如果 f ( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x)
'

在这个区间内单调递增.小前提是 f ( x) ? ? x ? 2 x 的导数在区间 (??,1) 内满足 f ( x) ? 0 ,这是证 明本例的关键.
2 '

【证明】 f ( x) ? ?2 x ? 2 .
'

当 x ? (??,1) 时,有 1 ? x ? 0 , 所以 f ( x) ? ?2 x ? 2 ? 2(1 ? x) ? 0 .
'

于是,根据 “三段论”得, f ( x) ? ? x ? 2 x 在 (??,1) 内是增函数.
2

【思考】演绎推理中,结论一定正确吗? 【讨论】略. 【回答】演绎推理是由一般到特殊的推理,这也就决定了演绎推理的结论不会超出前提所界定的范 围,所以其前提和结论之间的联系时必然的.因此,演绎推理只要前提和推理形式正确,结论就必 然正确.但如果大前提或推理形式错误,结论就不一定了. 【思考】因为所有边长都相等的凸多边形是正多边形,??????大前提 而菱形是所有边长都相等的凸多边形,?????????????小前提 所以菱形是正多边形.????????????????????结论 (1)上面的推理形式正确吗? (2)推理的结论正确吗?为什么? 【回答】上述推理的形式正确,但大前提是错误的(因为所以边长都相等,内角也都相等的凸多边 形才是正多边形),所以所得的结论是错误的. 【思考】合情推理与演绎推理的主要区别是什么? 【讨论】略. 【回答】归纳和类比是常用的合情推理.从推理形式上看,归纳是由部分到整体 、个别到一般的推 理,类比是由特殊到特殊的推理;而演绎推理是由一般到特殊的推理.从推理所得的结论来看,合 情推理的结论不一定正确,有待进一步证明;演绎推理在大前提、小前提和推理 形式都正确的前提 下,得到的结论一定正确. 人们在认识世界的过程中,需要通过观察、实验等获取经验;也需要辨别它们的真伪,或将积 累的知识加工、整理,使之条理化、系统化.合情推理和演绎推理分别在这两个环节中扮演着重要 角色. 就数学而言,演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程,但数学结论、证明思 路等的发现,主要靠合情推理.因此,我们不仅要学会证明,也要学会猜想. 〖课时小结〗 【课后小结】 ⑴演绎推理的定义. ⑵演绎推理的一般模式. ⑶合情推理与演绎推理的区别与联系. 【板书设计】 略 【课后作业】 课本 P35 习题 2.1 A 组第7题.


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