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中山一中2010-2011学年度第一学期第二次段考高二级 理科数学试题


中山一中 2010-2011 学年度第一学期第二次段考高二级 理科数学试题
小题, 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 选择题: 1.在 ?ABC 中,a=15,b=10,A=60°,则 cos B =( A.- ) C. -
2 2

2 2 3

B.

2 2 3

6 3

D.

6 3
)

2.已知抛物线 y 2 =2px(p>0)的准线与圆 ( x ? 3 ) + y =16 相切,则 p 的值为(

A.

1 2

B.1

C.2 )

D.4

3.已知 a,b 都是正实数,则 x+y>a+b 且 xy>ab 是 x>a 且 y>b 的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.不充分也不必要条件 4.已知双曲线

x2 y2 ? = 1(a > 0, b > 0) 的一条渐近线方程是 y= 3 x ,它的一个焦点在抛物线 a2 b2
)

y 2 = 24 x 的准线上,则双曲线的方程为( x2 y 2 A. ? =1 36 108
C.

B.

x2 y 2 ? =1 9 27 x2 y 2 ? =1 27 9
)

x2 y 2 ? =1 108 36

D.

5.正方体 ABCD - A1 B1C1 D1 中, BB1 与平面 ACD1 所成角的余弦值为(

A.

2 3

B.

3 3

C.

2 3

D.

6 3

6.某班设计了一个八边形的班徽(如图) ,它由腰长为 1, 顶角为 α 的四个等腰三角形,及其底边构成的正方形所组成, 该八边形的面积为( ) A. 2 sin α ? 2 cos α + 2 ; C. 3sin α ? 3 cos α + 1 ; B. sin α ? 3 cos α + 3 D. 2 sin α ? cos α + 1 )

7.设{an}是由正数组成的等比数列, Sn 为其前 n 项和。已知 a2a4=1, S3 = 7 ,则 S5 = ( A.

15 2

B.

31 4

C.

33 4

D.

17 2

-1-

8. “若 f(x)在区间 D 上是凸函数,则对于区间 D 内的任意 x1,x2……xn,有 x1+x2+……+xn 1 )”设 f(x)=sinx 在(0,π)上 。 n [f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]≤f( n 是凸函数,则在△ABC 中,sinA+sinB+sinC 的最大值是( A. ) D.

3 2

B.

1 2

C.

3 3 2

3 2

小题, 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 填空题: 9.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是_____;

r

r

10..若向量 a =(1,1,x), b =(1,2,1),

r r r r c =(1,1,1),满足条件 (c ? a) ? (2b) =-2,则 x =
2 2

. ;

11.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a ? b = 3bc , sin C = 2 3 sin B , 则 A= __________ 12.不等式 ax2+bx+1≥0 的解集是[-1,3],a+b=__________; 13.已知数列{an}满足条件 a1=0,an+1=an+2n(n∈N*) ,那么的值是 a2010=_______.; 14.设{an}是等比数列,公比 q =

2 ,Sn 为{an}的前 n 项和。记 Tn =


17 S n ? S 2 n , n ∈ N *. an +1

设 Tn0 为数列{ Tn }的最大项,则 n0 =

小题, 解答须写出文字说明, 明过程或演算步骤. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明,证明过程或演算步骤. 解答题: 15. (12 分) ?ABC 的面积是 30,内角 A, B, C 所对边长分别为 a, b, c , cos A = (Ⅰ)求 AB i AC ; (Ⅱ)若 c ? b = 1 ,求 a 的值。

12 。 13

16.(12 分)已知 {an } 为等差数列,且 a3 = ?6 , a6 = 0 。 (Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若等比数列 {bn } 满足 b1 = ?8 , b2 = a1 + a2 + a3 ,求 {bn } 的前 n 项和公式。

-2-

17(14 分)已知动圆 M 与 圆C1 : ( x + 4) + y = 4外切, C2 : ( x-4) + y = 100内切, 圆
2 2 2 2

求动圆圆心 M 的轨迹方程。

18. (14 分)已知三棱锥 P-ABC 中,PA⊥面 ABC,AB⊥AC,PA=AC=?AB,N 为 AB 上一点, AB=4AN,M,S 分别为 PB,BC 的中点. (Ⅰ)证明:CM⊥SN; (Ⅱ)求 SN 与平面 CMN 所成角的大小。

19. (14 分)某营养师要求为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含 12 个单位的碳 水化合物, 个单位的蛋白质和 6 个单位的维生素 C;一个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化合 6 物,6 个单位的蛋白质和 10 个单位的维生素 C.另外,该儿童这两餐需要的营状中至少含 64 个单位的碳水化合物和 42 个单位的蛋白质和 54 个单位的维生素 C. 如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是 2.5 元和 4 元,那么要满足上述的营养要求, 并且花费最少,应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?

20. (14 分) 设 C1 , C2 ,? , Cn ,? 是坐标平面上的一列圆,它们的圆心都在 x 轴的正半 . 轴上,且都与直线 y =

3 x 相切,对每一个正整数 n ,圆 3

Cn 都与圆 Cn +1 相互外切,以 rn 表示 Cn 的半径,已知 {rn }
为递增数列. (Ⅰ)证明: {rn } 为等比数列; (Ⅱ)设 r1 = 1 ,求数列 { } 的前 n 项和.

n rn

-3-

班 姓 登 分 统考号

级 名 号

中山一中 2010-2011 学年度第一学期第二次段考 高二级 理科数学答题卷
成绩 一、选择题答卡 1 2 题号 答案 二、填空题答案 9、 、 10、 、 11、 、 14、 、 3 4 5 6 7 8

密 封 线 内 不 要 答 题

12、 、 13、 、 解答题: 小题, 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 15. 本小题满分 12 分) (本小题满分 . (

16. 本小题满分 12 分) . (

-4-

17. 本小题满分 14 分) . (本小题满分 (

18. 本小题满分 14 分) . (本小题满分 (

-5-

19. 本小题满分 14 分) . (本小题满分 (

-6-

20. 本小题满分 14 分) . (本小题满分 ( 密 封 线 内 不 要 答 题

-7-

中山一中 2010-2011 学年第一学期第二次段考 高二级 理科数学答案
一、选择题 1 题号 答案 D 一、选择题答卡 2 3 C B 4 B 5 D 6 A 7 B 8 C

二、填空题答案 9、 、

3 5

10、 2 、

11、 30 、

0

12、 、 3 三、解答题

13、 4038090 、

14、 4 、

15. (12 分) ?ABC 的面积是 30,内角 A, B, C 所对边长分别为 a, b, c , cos A = (Ⅰ)求 AB i AC ;(Ⅱ)若 c ? b = 1 ,求 a 的值。 解:由 cos A = 又

12 。 13

12 2 5 12 ,得 sin A = 1 ? ( ) = . 13 13 13

…… 2 分

1 bc sin A = 30 ,∴ bc = 156 . 2 12 = 144 . 13
2

…… 2 分 …… 4 分

(Ⅰ) AB ? AC = bc cos A = 156 ×
2 2 2

(Ⅱ) a = b + c ? 2bc cos A = (c ? b) + 2bc (1 ? cos A) = 1 + 2 ?156 ? (1 ? ∴a = 5. …… 4 分

12 ) = 25 , 13

(Ⅰ)求 {an } 的通项公式; 16(12 分)已知 {an } 为等差数列,且 a3 = ?6 , a6 = 0 。 (Ⅱ)若等比数列 {bn } 满足 b1 = ?8 , b2 = a1 + a2 + a3 ,求 {bn } 的前 n 项和公式 解: (Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差 d 。 因为 a3 = ?6, a6 = 0 所以 ?

?a1 + 2d = ?6 ?a1 + 5d = 0

解得 a1 = ?10, d = 2 …… 3 分

…… 3 分

所以 an = ?10 + ( n ? 1) ? 2 = 2n ? 12 (Ⅱ)设等比数列 {bn } 的公比为 q 因为 b2 = a1 + a 2 + a3 = ?24, b2 = ?8 所以 ?8q = ?24 即 q =3

…… 3 分

-8-

所以 {bn } 的前 n 项和公式为 S n =
2

b1 (1 ? q n ) = 4(1 ? 3n ) 1? q
2 2 2

…… 3 分

17. (14 分)已知动圆 M 与 圆C1 : ( x + 4) + y = 4外切, C2 : ( x-4) + y = 100内切, 圆 求动圆圆心 M 的轨迹方程。 解:设动圆圆心 M 的半径为 R 则由已知 MC1 = R + 2,

MC2 = 10 ? R

…… 2 分 …… 2 分 …… 2 分

所以 MC1 + MC2 = ( R + 2) + (10 ? R ) = 12 又 C1 ( ?4, 0), C2 (4, 0), 所以 C1C2 =8 <12

根据椭圆定义知,点 M 的轨迹是以 C1 ( ?4, 0), C2 (4, 0)为焦点, 长轴为 12 的椭圆。… 2 分
2 2 2 因为 a = 6, c = 4, 所以b = a ? c = 20

…… 3 分 …… 3 分

x2 y2 所以点 M 的轨迹方程是 + =1 36 20

18(14 分)已知三棱锥 P-ABC 中,PA⊥ABC,AB⊥AC,PA=AC=?AB,N 为 AB 上一点, AB=4AN,M,S 分别为 PB,BC 的中点. (Ⅰ)证明:CM⊥SN; (Ⅱ)求 SN 与平面 CMN 所成角的大小. 证明:设 PA=1,以 A 为原点,射线 AB,AC,AP 分别为 x,y,z 轴正向建立空间直角坐标系如 图。 则 P(0,0,1) ,C(0,1,0) ,B(2,0,0) ,M(1,0, (Ⅰ) CM = (1, ?1, ), SN = ( ? 因为 CM ? SN = ? 所以 CM⊥SN (Ⅱ) NC = ( ?

1 1 1 ) ,N( ,0,0) ,S(1, ,0).…… 3 分 2 2 2

1 2

1 1 , ? , 0) , 2 2
…… 3 分 …… 1 分

1 1 + +0=0, 2 2

1 ,1, 0) , 2

设 a=(x,y,z)为平面 CMN 的一个法向量,

1 ? ? x ? y + 2 z = 0, ? 则? 令x = 2,得a=(2,1,-2). 1 ?? x + y = 0. ? 2 ? 1 2 = 2 因为 cos a, SN = 2 2 3× 2 ?1 ?

……4 分

…… 2 分

-9-

所以 SN 与平面 CMN 所成角为 45°。

…… 1 分

19. (14 分)某营养师要求为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含 12 个单位的碳 水化合物, 个单位的蛋白质和 6 个单位的维生素 C;一个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化合物, 6 6 个单位的蛋白质和 10 个单位的维生素 C.另外, 该儿童这两餐需要的营状中至少含 64 个单位 的碳水化合物和 42 个单位的蛋白质和 54 个单位的维生素 C. 如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是 2.5 元和 4 元,那么要满足上述的营养要求,并 且花费最少,应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐? 解:设为该儿童分别预订 x 个单位的午餐和 y 个单位的晚餐,设费用为 F,则 F = 2.5 x + 4 y , …… 2 分 由题意知:

12 x + 8 y ≥ 64 6 x + 6 y ≥ 42 6 x + 10 y ≥ 54 x > 0, y > 0
画出可行域: 变换目标函数: y = ? …… 4 分

5 F x+ 8 4
图…… 2 分

…… 6 分 20. (14 分)

- 10 -

3 3 1 x的 倾 斜 角 记 为 , 则 有 t a n θ = , s in θ = , 3 3 2 r 1 设 C n 的 圆 心 为 ( λ n , 0 ) , 则 由 题 意 得 知 n = , 得 λ n = 2 rn ; 同 理 λn 2 解 : ( 1) 将 直 线 y=

λ n + 1 = 2 rn + 1, 从 而 λ n + 1 = λ n + rn + rn + 1 = 2 rn + 1, 将 λ n = 2 rn 代 入 ,
解 得 rn + 1 = 3 rn 故 rn 为 公 比 q = 3的 等 比 数 列 。 n = n * 31 ? n , rn

( ∏ ) 由 于 rn = 1, q = 3, 故 rn = 3 n ? 1 , 从 而 记 Sn = n 1 2 + + ..... + ,则 有 r1 r2 rn

S n = 1 + 2 * 3 ? 1 + 3 * 3 ? 2 + ......n * 3 1 ? n Sn = 1 * 3 ? 1 + 2 * 3 ? 2 + ...... + ( n ? 1) * 31 ? n + n * 3 ? n 3 ① ? ② ,得 2Sn = 1 + 3 ? 1 + 3 ? 2 + ... + 31 ? n 3 1 ? 3?n 3 = ? n * 3?n = ? (n + 2 2 3 9 1 3 ∴ S n = ? ( n + ) * 31 ? n = 4 2 2 ? n * 3?n 3 ) * 3?n , 2 9 ? ( 2 n + 3) * 31 ? n 4

- 11 -


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