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【优化方案】2016高中数学 第三章 三角恒等变形章末优化总结 新人教A版必修4


章末优化总结

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)

三角函数式的求值 三角函数求值主要有三种类型,即 (1)“给角求值”,一般给出的角都是非特殊角,观察发现题中的角与特殊角都有着一 定的关系,如和或差为特殊角,必要时运用诱导公式. (2)“给值求值”,即给出某些角的三角函数式的值,求另外一些三角函数的值,这类 求值问题关键在于结合条件和结论中的角,合理拆、配角.要注意角的范围. (3)“给值求角”,本质上还是“给值求值”,只不过往往求出的是特殊角的值,在求 出角之前还需结合函数的单调性确定角,必要时还要讨论角的范围. π 3π 12 3 (1)已知 <β <α < , cos(α -β )= , sin(α +β )=- , 求 cos α , sin α 2 4 13 5 的值. 11 (2)已知 tan α =4 3,cos(α +β )=- ,0°<α <90°,0°<β <90°,求 β . 14 π 3π [解] (1)因为 <β <α < , 2 4 π 3π 所以 0<α -β < ,π <α +β < , 4 2 所以 sin(α -β )= 1-cos (α -β )=
2

2 5 ?12? 1-? ? = , ?13? 13

1

cos(α +β )=- 1-sin (α +β )=-

2

2 ? 3? 1-?- ? ? 5?

4 =- . 5 所以 cos 2α =cos[(α -β )+(α +β )] =cos(α -β )cos(α +β )-sin(α -β )sin(α +β ) 12 ? 4? 5 ? 3? 33 = ×?- ?- ×?- ?=- . 13 ? 5? 13 ? 5? 65 33 1- 65 16 1 + cos 2 α 2 所以 cos α = = = . 2 2 65 π 3π 4 65 7 65 又因为 <α < ,所以 cos α =- ,sin α = . 2 4 65 65 (2)因为 0°<α <90°, sin α 2 2 且 tan α = =4 3,sin α +cos α =1, cos α 1 4 3 所以 cos α = ,sin α = . 7 7 11 因为 cos(α +β )=- ,0°<α +β <180°, 14 2 ? 11? 5 3. 1-?- ? = 14 ? 14? 所以 cos β =cos[(α +β )-α ] =cos(α +β )cos α +sin (α +β )sin α ? 11? 1 5 3×4 3=1. =?- ?× + 7 2 ? 14? 7 14 又 0°<β <90°,所以 β =60°. 所以 sin(α +β )=

三角函数式的化简 三角函数式的化简,主要有以下几类:①对和式,基本思路是降幂、消项和逆用公式; ②对分式, 基本思路是分子与分母的约分和逆用公式, 最终变成整式或数值; ③对二次根式, 则需要运用倍角公式的变形形式.在具体过程中体现的则是化归的思想,是一个“化异为 同”的过程,通常考虑三个方面 (1)化简的要求 三角函数种数尽量少;项数尽量少;次数尽量低;尽量使分母不含三角函数式;尽量使 被开方数不含三角函数式;能求出值的应尽量求出值. (2)化简的方法 ①直接应用公式,包括公式的正用、逆用和变形用; ②常用切化弦,异名化同名、异角化同角等. (3)化简的技巧 ①注意特殊角与特殊值的互化;②注意角的变换技巧;③注意“1”的代换. 化简下列各式: 1+3tan θ 3+5tan θ (1) - ; 2cos 2θ +sin 2θ -1 cos 2θ -4sin 2θ -4 2sin (2) 50°+cos 10°(1+ 3tan 10° 10°) 1+cos .

2

1+3tan θ [解] (1)原式= 2 2 cos θ -3sin θ +2sin θ cos θ 3+5tan θ + 2 2 3cos θ +5sin θ +8sin θ cos θ cos θ +3sin θ cos θ = (cos θ +3sin θ )(cos θ -sin θ ) 3cos θ +5sin θ cos θ + (3cos θ +5sin θ )(cos θ +sin θ ) 1 1 = + 2 2 cos θ -sin θ cos θ cos θ +sin θ ·cos θ cos θ +sin θ cos θ -sin θ = + 2 2 2 2 cos θ (cos θ -sin θ ) cos θ (cos θ -sin θ ) 2cos θ 2 = = . cos θ ·cos 2θ cos 2θ 2sin (2)原式= 2sin = 2sin = = = 2cos 50°+cos 10°?1+ 2cos 5° 10°?
2

? ?

3sin 10°? ? cos 10° ?

50°+cos

?cos 10°+ 3sin 10°? ? cos 10° ? ?
5° 3 sin 2 10°?

2cos

?1 50°+2? cos ?2

10°+

? ?

2cos 5° 40°+2sin 40° 2cos 5° 85° =2. 5°

2 2sin (40°+45°) 2sin = cos 2cos 5°

三角恒等式的证明 证明三角恒等式是三角恒等变形的重要应用, 主要有两种类型: 不附加条件的恒等式的 证明和条件恒等式的证明. (1)不附加条件的恒等式的证明 三角恒等式的证明就是通过三角恒等变形, 消除三角恒等式两端的差异, 这是三角变形 的重要应用之一.证明的一般思路是由繁到简,如果两边都较繁,则采用左右互推的思路, 找一个桥梁过渡. (2)条件恒等式的证明 这类问题的解题思路是恰当地、 适时地使用条件或仔细探求所附条件与需证明的等式之 间的内在联系,常用方法是代入法和消元法. 1 2(3+cos 4x) 2 (1)求证:tan x+ . 2 = tan x 1-cos 4x (2)已知锐角 α ,β 满足 tan(α -β )=sin 2β ,求证:2tan 2β =tan α +tan β . 2 2 4 4 sin x cos x sin x+cos x [证明] (1)法一:左边= 2 + 2 = 2 2 cos x sin x sin xcos x

3

1 2 1- sin 2x 2 (sin x+cos x) -2sin xcos x = = 1 1 2 2 sin 2x sin 2x 4 4 1 2 1- sin 2x 2 2 2 8-4sin 2x 4+4cos 2x = = = 1 1-cos 4x 1-cos 4x (1-cos 4x) 8 4+2(1+cos 4x) 2(3+cos 4x) = = =右边. 1-cos 4x 1-cos 4x 所以原式得证. 2 2(2+1+cos 4x) 2(2+2cos 2x) 法二:右边= = = 2 2 2 2sin 2x 8sin xcos x 2 2 2 2 2 2 2 2(1+cos 2x) (sin x+cos x) +(cos x-sin x) = 2 2 2 2 4sin xcos x 2sin xcos x 4 4 2(sin x+cos x) 1 2 = =tan x+ 2 2 2 =左边. 2sin xcos x tan x 原式得证. (2)因为 tan(α -β )=sin 2β , tan α -tan β tan(α -β )= , 1+tan α tan β 2tan β sin 2β = , 2 1+tan β tan α -tan β 2tan β 所以 = . 2 1+tan α tan β 1+tan β 3 3tan β +tan β 去分母整理得 tan α = , 2 1-tan β 3 3 3tan β +tan β +tan β -tan β 所以 tan α +tan β = =2tan 2β . 2 1-tan β
2 2 2 2 2

三角恒等变形与三角函数的性质 利用三角公式和基本的三角恒等变形的思想方法, 可以化简三角函数的解析式, 进而才 能顺利地探求三角函数的有关性质.反过来,利用三角函数性质,可确定解析式,进而可求 出有关三角函数值,因而三角恒等变形与三角函数的性质是高考命题的热点. 解决三角恒等变形与三角函数的综合问题关键在于熟练地运用基本的三角恒等变形思 想方法,对其解析式变形、化简,尽量使其化为只有一个角为自变量的三角函数. 解 决与图像和性质有关的问题,在进行恒等变形时,要注意三角恒等思想. 已知向量 a=(2sin x,cos x),b=( 3cos x,2cos x),定义函数 f(x)=a·b -1. (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)求函数 f(x)的递减区间; ? 7π 5π ? (3)画出函数 y=f(x),x∈?- , ?的图像,由图像研究并写出 f(x)的对称轴和对 ? 12 12 ? 称中心. 2 [解] f(x)=2 3sin xcos x+2cos x-1 = 3sin 2x+cos 2x

4

π? ? =2sin?2x+ ?. 6? ? 2π (1)T= =π . 2 π π 3π π 2π (2)2kπ + ≤2x+ ≤2kπ + ?kπ + ≤x≤kπ + (k∈Z), 2 6 2 6 3 π 2 π ? ? 所以函数 f(x)的递减区间为?kπ + ,kπ + ?(k∈Z). 6 3 ? ? (3)列表: 7π π π π 5π x - - - 12 3 12 6 12 π π π -π 0 π 2x+ - 6 2 2 y 0 -2 0 2 0 描点,连线,如图所示:

? π ? 从图像可以看出,此函数有一个对称中心?- ,0?,无对称轴. ? 12 ? ?5π ,3π ?时, ? f(sin 2α )-f(-sin 2α )可化简为( 2 ? ? 4

1. 已知 f(x)= 1-x, 当 α ∈?

)

A.2sin α B.-2cos α C.-2sin α D.2cos α 解 析 : 选 D.f(sin 2 α ) - f( - sin 2 α ) = 1-sin 2α - 1+sin 2α = 2 2 (sin α -cos α ) - (sin α +cos α ) =|sin α -cos α |-|sin α +cos α |, ?5π 3π ? 由 α ∈? , ?, 2 ? ? 4 所以 sin α <cos α <0, f(sin 2α )-f(-sin 2α )=2cos α . 2 2.函数 f(x)=sin xcos x+ 3cos x 的图像的一个对称中心是( ) 2 π 5 π ? ,0? ? ? A.? B.? ,0? ? ? 3 ? ? 6 ? 3? ?π ? 2π ? C.?- ,0? D.? , ? ? 3 ? 3 2 ? ? π? 1 3 3 3 ? 2 解析: 选 D.f(x)=sin xcos x+ 3cos x= sin 2x+ cos 2x+ =sin?2x+ ?+ , 3? 2 2 2 2 ? π kπ π π 3 令 2x+ =kπ ,k∈Z,所以 x= - ,k∈Z,当 k=1 时,x= ,此时 f(x)= ,所 3 2 6 3 2 3? ?π 以函数 f(x)的一个对称中心是? , ?. ?3 2 ? sin 9°+cos 15°sin 6° 3. =________. cos 9°-sin 15°sin 6°

5

sin(15°-6°)+cos 15°sin 6° 解析:原式= cos(15°-6°)-sin 15°sin 6° sin 15°cos 6°-cos 15°sin 6°+cos 15°sin 6° = cos 15°cos 6°+sin 15°sin 6°-sin 15°sin 6° sin 15°cos 6° = =tan 15°=tan(45°-30°) cos 15°cos 6° tan 45°-tan 30° = =2- 3. 1+tan 45°tan 30° 答案:2- 3 4. 函数 f(x)= asin[(1-a)x]+cos[(1-a)x]的最大值为 2, 则 f(x)的最小正周期为 ________. 解析:f(x)= asin[(1-a)x]+cos[(1-a)x] = 1+asin[(1-a)x+φ ], 所以 f(x)max= 1+a,即 1+a=2,a=3. 2π 所以 f(x)的最小正周期 T= =π . |1-a| 答案:π π? 1 ? π ? ? ? ? 5.已知 0<α < ,β 为 f(x)=cos?2x+ ?的最小正周期,a=?tan?α + β ?,-1?, 8? 4 ? 4 ? ? ? ? 2 2cos α +sin 2(α +β ) b=(cos α ,2),且 a·b=m,求 的值. cos α -sin α π? ? 解 : 因 为 β 为 f(x) = cos ?2x+ ? 的 最 小 正 周 期 , 所 以 β = π , 因 为 a = 8? ? ?tan?α +1β ?,-1?,b=(cos α ,2),所以 a·b=?tan?α +1β ?,-1?·(cos α ,2) ? ? ? ? ? ? ? ? 4 ? 4 ? ? ? ? ? ? ? 1 1 π ? ? ? ? =tan?α + β ?·cos α -2=m,所以 tan?α + π ?cos α =m+2.因为 0<α < , 4 4 4 ? ? ? ? 2 2cos α +sin 2(α +β ) 所以 cos α -sin α 2 2 2cos α +sin(2α +2π ) 2cos α +sin 2α = = cos α -sin α cos α -sin α 2cos α (cos α +sin α ) 1+tan α = =2cos α · cos α -sin α 1-tan α π ? ? =2cos α tan?α + ?=2m+4. 4? ?

,

[学生用书单独成册])

(时间:100 分钟,满分:120 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) π ?? π π? ? π 1.?cos -sin ??cos +sin ?等于( ) 12?? 12 12? ? 12 A.- 3 2 1 B.- 2

6

C.

1 2

D.

3 2

π ?? π π? π ? π ? π? 2π 2π 解析:选 D.?cos -sin ??cos +sin ?=cos -sin =cos?2× ?=cos = 12?? 12 12? 12 12 6 ? 12 ? 12? 3 . 2 2. 函数 f(x)=(1+ 3tan x)cos x 的最小正周期为( ) 3π A.2π B. 2 π C.π D. 2 sin x ? ?cos x=cos x+ 3sin x=2sin?x+π ?,所以 T=2 解析:选 A.f(x)=?1+ 3 ? cos x? 6? ? ? ? ? π. 3.若向量 a=(2cos α ,-1),b=( 2,tan α ),且 a∥b,则 sin α =( 2 2 A. B.- 2 2 π π C. D.- 4 4 )

解析:选 B.因为向量 a=(2cos α ,-1),b=( 2,tan α ),且 a∥b, sin α 2 所以 2cos α ·tan α =- 2,即 2cos α · =- 2,解得 sin α =- . cos α 2 ? π π? 4.当 x∈?- , ?时,函数 f(x)=sin x+ 3cos x 的( ) ? 2 2? A.最大值为 1,最小值为-1 1 B.最大值为 1,最小值为- 2 C.最大值为 2,最小值为-2 D.最大值为 2,最小值为-1 3 ?1 ? ? π? 解析:选 D.f(x)=2? sin x+ cos x?=2sin?x+ ?. 3? ? 2 ?2 ? π π π π 5π 1 ? π? 因为 - ≤ x ≤ , 所以- ≤ x + ≤ ,所以 - ≤ sin ?x+ ? ≤ 1 ,所以- 3? 2 2 6 3 6 2 ? 1≤f(x)≤2. 5.sin 163°sin 223°+sin 253°sin 313°等于( ) 1 1 A.- B. 2 2 3 3 D. 2 2 解析:选 B.sin 163°sin 223°+sin 253°sin 313°=sin(180°-17°)sin(180° +43°)+sin(270°-17°)sin(270°+43°) 1 =sin 17°(-sin 43°)+(-cos 17°)·(-cos 43°)=cos 60°= . 2 1+sin 4α -cos 4α 6.化简 的结果是( ) 1+sin 4α +cos 4α 1 A. B.tan 2α tan 2α C.-

7

C. 解

1 tan α 析 : 选 B.

D.tan α = 2sin 2α cos 2α +2sin 2α 2 2sin 2α cos 2α +2cos 2α
2

1+sin 4α -cos 4α 1+sin 4α +cos 4α 2sin 2α (cos 2α +sin 2α ) =tan 2α . 2cos 2α (sin 2α +cos 2α )



7.设 a=sin 17°cos 45°+cos 17°sin 45°, b=2cos 13°-1,c=

2

3 ,则有( 2

)

A.c<a<b B.b<c<a C.a<b<c D.b<a<c 解析:选 A.a=sin 17°cos 45°+cos 17°sin 45°=sin(17°+45°)=sin 62°, 3 b=2cos213°-1=cos 26°=sin 64°,c= =sin 60°,在区间(0°,90°)上, 2 函数 y=sin x 是增函数,所以 sin 60°<sin 62°<sin 64°,即 c<a<b. 8.已知 tan 2θ =-2 2,π <2θ <2π ,则 tan θ 的值为( ) 2 A. 2 B.- 2 C.2 D. 2或- 2 2

3π 3π 解析:选 B.因为 tan 2θ =-2 2且π <2θ <2π ,所以 <2θ <2π ,得 <θ <π . 2 4 2tan θ 2 由 tan 2θ =-2 2得 =-2 2, 整理得 2tan θ -tan θ - 2=0, 解得 tan 2 1-tan θ θ = 2(舍去)或 tan θ =- 2 . 2

(

π? 1 β ? π π 3 ? ?π β ? ? 9.若 0<α < ,- <β <0,cos?α + ?= ,cos? - ?= ,则 cos?α + ?等于 4 4 2 2? 2 2 3 3 ? ? ? ? ? ) 3 3 A. B.- 3 3 6 9 π π π 3π 解析:选 C.因为 0<α < ,所以 <α + < , 2 4 4 4 C. D.- π? π? 2 2 ? 2? 得 sin?α + ?= 1-cos ?α + ?= ; 4? 4? 3 ? ? π π π β π 因为- <β <0,所以 < - < , 2 4 4 2 2 β ? 6 ?π -β ?= 2?π 1-cos ? - ?= . ? ?4 2? ?4 2? 3 β ? π ? ?π β ?? ? ?? 则 cos?α + ?=cos??α + ?-? - ?? 2 4 ? ? 4 2 ?? ? ? ?? π ? ?π β ? π ? ?π β ? 1 3 2 2 6 5 3 ? ? =cos?α + ?cos? - ?+sin?α + ?sin? - ?= × + × = . 4? ?4 2? 4? ?4 2? 3 3 3 3 9 ? ? 得 sin? 5 3 9

10.设△ABC 的三个内角为 A,B,C,向量 m=( 3sin A,sin B),n=(cos B, 3cos A),若 m·n=1+cos(A+B),则 C 的值为( )

8

π 6 2π C. 3 A.

π B. 3 5π D. 6

解析:选 C.由 m=( 3sin A,sin B),n=(cos B, 3cos A), 得 m·n= 3sin Acos B+sin B· 3cos A= 3sin(A+B)= 3sin(π -C)= 3sin C, 而 cos(A+B)=cos(π -C)=-cos C, 则由 m·n=1+cos(A+B)得 3sin C=1-cos C, 3 1 1 ? π? 1 即 sin C+ cos C= ? sin?C+ ?= , 6? 2 2 2 2 ? π π 7π π 5π 2π 而 C 为△ABC 的一个内角,所以 <C+ < ,得 C+ = ,解得 C= . 6 6 6 6 6 3 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中横线上) 3tan 15°+1 11. 的值是________. 3-tan 15° tan 15°+tan 30° = 1 -tan 30°tan 15° 3 1- tan 15° 3 =tan(15°+30°)=tan 45°=1. 答案:1 1 π 3π 12.已知 sin θ +cos θ = ,且 <θ < ,则 cos 2θ 的值是________. 5 2 4 1 ? ?sin θ +cos θ = , 5 消去 cos θ 得 sin2θ -1sin θ -12=0,因为π <θ 解析:由? 5 25 2 ? ?sin2θ +cos2θ =1, 解析: 3π ,所以 sin θ >0, 4 4 7 2 所以 sin θ = ,所以 cos 2θ =1-2sin θ =- . 5 25 7 答案:- 25 ?π ? 13.已知 α 为锐角,且 2tan(π -α )-3cos? +β ?+5=0,tan(π +α )+6sin(π ?2 ? +β )=1,则 sin α =____________. 解 析 : 根 据 诱 导 公 式 , 将 已 知 条 件 的 两 个 式 子 化 简 , 联 立 得 tan α =3, ? ? ? ?-2tan α +3sin β +5=0, 2 2 ? 解得? 1 由 tan α =3 和 sin α + cos α =1 得 ?tan α -6sin β =1, sin β = , ? ? 3 ? < 3tan 15°+1 = 3-tan 15° tan 15°+ 3 3

? sin α sin α = , ? ? 10 ? =3, 3 10 结合 α 为锐角解得? ,所以 sin α = . ?cos α 10 2 2 10 ? cos α + sin α = 1 , ? ? ?cos α =
3 10 10 3 10 答案: 10 14.已知角 α ,β 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴的正半轴重合,α ,β ∈(0,π ), 5 3 角 β 的终边与单位圆交点的横坐标是- ,角 α +β 的终边与单位圆交点的纵坐标是 , 13 5
9

则 cos α =________. 5 3 解析:由题意,知 cos β =- ,sin(α +β )= , 13 5 12 4 又因为 α ,β ∈(0,π ),所以 sin β = ,cos(α +β )=- . 13 5 所以 cos α = cos[(α + β ) - β ] = cos(α + β )cos β + sin(α + β )·sin β = 4 ?- ?×?- 5 ?+12×3=20+36=56. ? 5? ? 13? 13 5 65 65 65 ? ? ? ? 56 答案: 65 6 3 2α +β ,cos α +cos β = ,则 cos =________. 3 3 2 2 1 2 2 解析: (sin α -sin β ) = ,(cos α +cos β ) = ,两式展开相加得 3 3 1 2-2sin α sin β +2cos α cos β =1? 1+cos(α +β )= 2 1 1 2α +β ? cos(α +β )=- ? cos = . 2 2 4 1 答案: 4 三、解答题(本大题共 5 小题,共 55 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分 10 分)已知 f(α )= 2 sin (π -α )·cos(2π -α )·tan(-π +α ) . sin(-π +α )·tan(-α +3π ) (1)化简 f(α ); 1 π π (2)若 f(α )= ,且 <α < ,求 cos α -sin α 的值; 8 4 2 31π (3)若 α =- ,求 f(α )的值. 3 2 sin α ·cos α ·tan α 解:(1)f(α )= =sin α ·cos α . (-sin α )(-tan α ) 1 2 2 (2)由 f(α )=sin α cos α = .可知(cos α -sin α ) =cos α -2sin α cos α + 8 2 sin α 1 3 =1-2sin α cos α =1-2× = . 8 4 π π 又因为 <α < ,所以 cos α <sin α ,即 cos α -sin α <0. 4 2 15.已知 sin α -sin β = 所以 cos α -sin α =- 3 . 2

31π 5π (3)因为 α =- =-6×2π + , 3 3 ? 31π ?=cos?-31π ?·sin?-31π ? 所以 f?- ? ? 3 ? 3 ? 3 ? ? ? ? ? ? ? 5π ? 5π ? ? ? =cos?-6×2π + ?·sin?-6×2π + ? 3 ? 3 ? ? ? π? π? 5π 5π ? ? =cos ·sin =cos?2π - ?·sin?2π - ? 3 3? 3 3 ? ? ?

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π? 1 ? π ? 3 3? =cos ·?-sin ?= ·?- ?=- . 3? 2 ? 2 ? 3 ? 4 17. (本小题满分 10 分)在平面直角坐标系 xOy 中, 以 Ox 轴的非负半轴为始边作两个锐 2 2 5 角α , β , 它们的终边分别与单位圆相交于 A, B 两点, 已知 A, B 的横坐标分别为 , . 10 5 (1)求 tan(α +β )的值; (2)求 α +2β 的值. 2 2 5 解:由条件知 cos α = ,cos β = ,且 α ,β 为锐角, 10 5 7 2 5 1 所以 sin α = ,sin β = ,因此 tan α =7,tan β = . 10 5 2 tan α +tan β (1)tan(α +β )= =-3. 1-tan α tan β 2tan β 4 tan α +tan 2β (2)tan 2β = = ,所以 tan(α +2β )= =-1, 2 1-tan β 3 1-tan α tan 2β 3π 3π 因为 α ,β 为锐角,所以 0<α +2β < ,所以 α +2β = . 2 4 18.(本小题满分 10 分)已知向量 a=(sin θ ,-2)与 b=(1,cos θ )互相垂直,其中 ? π? θ ∈?0, ?. 2? ? (1)求 sin θ 和 cos θ 的值; π (2)若 5cos(θ -φ )=3 5cos φ ,0<φ < ,求 cos φ 的值. 2 解:(1)因为 a⊥b,所以 a·b=sin θ -2cos θ =0, 2 2 即 sin θ =2cos θ .又因为 sin θ +cos θ =1, 1 4 2 2 2 2 所以 4cos θ +cos θ =1,即 cos θ = ,所以 sin θ = . 5 5 2 5 5 ? π? 又 θ ∈?0, ?,所以 sin θ = ,cos θ = . 2 5 5 ? ? (2)因为 5cos(θ -φ )=5(cos θ cos φ +sin θ sin φ ) = 5cos φ +2 5sin φ =3 5cos φ ,所以 cos φ =sin φ . 1 2 2 2 2 所以 cos φ =sin φ =1-cos φ ,即 cos φ = . 2 π 2 又因为 0<φ < ,所以 cos φ = . 2 2 19.(本小题满分 12 分)已知向量 m=(-1,cos ω x+ 3sin ω x)(其中 ω >0),n= 3 (f(x),cos ω x),m⊥n,且函数 f(x)的图像任意两相邻对称轴间距为 π . 2 (1)求 ω 的值; (2)探讨函数 f(x)在(-π ,π )上的单调性. 解: (1) 由题意, 得 m·n = 0 ,所 以 f(x) = cos ω x · (cos ω x + 3 sin ω x) = π? 1 cos 2ω x+1 3sin 2ω x ? + =sin?2ω x+ ?+ . 6? 2 2 2 ? 1 根据题意知,函数 f(x)的最小正周期为 3π ,又 ω >0,所以 ω = . 3 2 π 1 ? ? (2)由(1)知 f(x)=sin? x+ ?+ , 6? 2 ?3

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π 2 π 5π 因为 x∈(-π ,π ),所以- < x+ < , 2 3 6 6 π 2 π π π 当- < x+ < ,即-π <x< 时,函数 f(x)是递增的; 2 3 6 2 2 π 2 π 5π π 当 ≤ x+ < ,即 ≤x<π 时,函数 f(x)是递减的. 2 3 6 6 2 π? ? ?π ? 综上可知,函数 f(x)在?-π , ?上是递增的,在? ,π ?上是递减的. 2? ? ?2 ? π ? ? 20.(本小题满分 13 分)已知函数 f(x)=sin xcos?x+ ? 3? ? + 3 . 4

? π π? (1)当 x∈?- , ?时,求函数 f(x)的值域; ? 3 6? π (2)将函数 y=f(x)的图像向右平移 个单位后,再将得到的图像上各点的横坐标变为 3 1 原来的 倍,纵坐标保持不变,得到函数 y=g(x)的图像,求函数 g(x)的表达式及对称轴方 2 程. 3 ? π? 解:(1)f(x)=sin xcos?x+ ?+ 3 4 ? ?
π π? 3 ? =sin x?cos xcos -sin xsin ?+ 3 3? 4 ? 1 3 3 1 3 1-cos 2x 3 2 = sin xcos x- sin x+ = sin 2x- × + 2 2 4 4 2 2 4 π? 1 3 1 ? = sin 2x+ cos 2x= sin?2x+ ?. 3? 4 4 2 ? π π π π 2π 由- ≤x≤ ,得- ≤2x+ ≤ , 3 6 3 3 3 π? π? 1 3 3 1 ? 3 1? ? ? 所以- ≤sin?2x+ ?≤1,- ≤ sin?2x+ ?≤ ,所以 f(x)∈?- , ?. 3 3 2 4 2 ? ? ? ? 2 ? 4 2? π 1 ? π ? (2)由(1)知 f(x)= sin?2x+ ?,将函数 y=f(x)的图像向右平移 个单位后,得到 y 3? 2 ? 3 1 ? ? π? π? = sin?2?x- ?+ ? 3? 3? 2 ? ? π? 1 ? 1 = sin?2x- ?的图像,再将得到的图像上各点的横坐标变为原来的 倍,纵坐标保持 3? 2 ? 2 π? π? 1 ? 1 ? π π 不变,得到函数 y= sin?4x- ?的图像,所以 g(x)= sin?4x- ?,当 4x- =kπ + 3 3 2 ? 2 ? 3 2 ? ? kπ 5 π kπ 5π (k∈Z)时,g(x)取最值,所以 x= + (k∈Z),所以函数的对称轴方程是 x= + 4 24 4 24 (k∈Z).

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