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吉林省延边二中2014-2015学年高二数学下学期期末考试试题 理


延边第二中学 2014—2015 学年度第二学期期末考试 高 二 数 学 (理)试 卷
(时间 120 分,满分 140 分) 一、选择题(共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分,每题只有一个选项正确) 1.设集合 M ? {x | x 2 ? x} , N ? {x | lg x ? 0} ,则 M ? N ? ( A. [0,1] B. (0,1] C. [0,1) ) D. (??,1]

3 2.设 i 是虚数单位,则复数 i ?

2 =( i

) D.3i ) D.5

A. -i B. -3i C.i 3.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是( A. 2 ? 5 B. 4 ? 5

C. 2 ? 2 5

1 2 正(主)视图 1 1 侧(左)视图

俯视图

4.执行如图的程序框图,若输出的结果是 8,则判断框内 m 的取值范围是( ) A.(42,56) B.(42,56] C.(56,72]
2 2

D.(56,72)

5.已知直线 l:x+ay-1=0(a ? R)是圆 C: x ? y ? 4x ? 2 y ? 1 ? 0 的对称轴.过点 A(-4,a)作圆 C 的一条切线,切点为 B,则|AB|=( A.2 B. 4 2 C.6 ) D. 2 10

1

27 x x x 27 1 4 x x 4 ? 2, x ? 2 ? ? ? 2 ? 3 , x ? 3 ? ? ? ? 3 ? 4 x x 3 3 3 x x 2 2 x a 成立,观察上面各式,按此规律若 x ? 4 ? 5 ,则正数 a ? ( ) x
6. 已知 x ? (0, ??) 有下列各式: x ? A. 4
4

B.5

C.

4

D. 5

5

7.在如图所示的正方形中随机投掷 10000 个点,则落入阴影部分(曲线 C 为正态分布 N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( A.2386 B.2718 C.3413 ) D.4772

(附:若随机变量 X 服从正态分布 N(μ ,σ ?),则 P(μ -σ <X≤μ +σ )=0.6826, P(μ -2σ <X≤μ +2σ )=0.9544)

8. 等差数列 ?an ?中 a1 , a4025 是函数 f ( x) ? A. 2 B. 3

1 3 x ? 4 x 2 ? 6 x ? 1 极值点,则 log2 a2013 ? ( ) 3
D. 5

C. 4

9. 在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 C. 现作一矩形,邻边长分别等于线段 AC,CB 的 2 长,则该矩形面积大于 20cm 的概率为( ) A.

1 6

B .

1 3

C .

4 5

D .

2 3

10. 已知 f(x)= ( A.1 )

1 x ? 1 ? ? 2 ? ? 2013 ? +log2 ,则 f ? +f ? +?+f ? ? ? ? 的值为 2013 1? x ? 2014 ? ? 2014 ? ? 2014 ?
B.2 C.2 013 D.2 014

2

11. 若 x ? A ,且

1 1 1 1 ? ? A ,称 A 是“伙伴关系集合”,在集 M ? ? ?? 1,0, , , ,1,2,3,4? 的 x 4 3 2 ? ?


所有非空子集中任选一个集合,则该集合是“伙伴关系集合”的概率为( A.

1 17

B.

1 51

C.

15 511

D.

31 511

12.若定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足 f ? 0? ? ?1 ,其导函数 f ? ? x ? 满足

f ? ? x ? ? k ? 1 ,则下列结论中一定错误的是(
A. f ?

) D. f ?

?1? 1 ?? ?k? k

B. f ?

1 ?1? C. ?? ? k ? k ?1

1 ? 1 ? f? ?? ? k ?1 ? k ?1

k ? 1 ? ?? ? k ?1 ? k ?1

二、填空题(包括 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,请将答案写在答题纸上)
a ?a 13.若 a ? log4 3 ,则 2 ? 2 ?



? x ? y ? ?1 ? 14.若变量 x, y 满足约束条件 ? 2 x ? y ? 1 ,则 z ? 3x ? y 的最小值为________ ? y ?1 ?
15.设 a ? _______
3 16. 设 x ? ax ? b ? 0 ,其中 a , b 均为实数, 下列条件中,使 得该三次方程仅有一个实根 的是 (写出所有正确条件的编号)

?

?

0

(sin x ? cos x)dx ,则二项式 (a x ?

1 6 ) 展开式中含 x 2 项的系数是 x

① a ? ?3, b ? ?3 ;② a ? ?3, b ? 2 ;③ a ? ?3, b ? 2 ; ④ a ? 0, b ? 2 ⑤ a ? 1, b ? 2 .

三、解答题(包括 6 个题,共 68 分,请写必要的解答过程) 17. (本题满分 8 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 A=

? , 4

b2 ? a 2 =

1 2 c . 2

(1)求 tanC 的值; (2)若△ABC 的面积为 3,求 b 的值。
3

18.(本题满分 8 分)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为 ? , ? 只与道路畅通状 况有关,对其容量为 100 的样本进行统计,结果如下: 25 30 35 40 频数(次) 20 30 40 10 (I)求 ? 的分布列与数学期望 ?? ; (II)刘教授驾车从老校区出发,前往新校区做一个 50 分钟的讲座,结束后立即返回老 校区,求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过 120 分钟的概率. 19. (本小题满分 8 分)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额商品后即可抽奖, 每次抽奖都从装有 4 个红球、6 个白球的甲箱和装有 5 个红球、5 个白球的乙箱中,各随 机摸出 1 个球,在摸出的 2 个球中,若都是红球,则获一等奖;若只有 1 个红球,则获 二 等奖;若没有红球,则 不获奖. (1)求顾客抽奖 1 次能获奖的概率; (2)若某顾客有 3 次抽奖机会,记该顾客在 3 次抽奖中获一等奖的次数为 X,求 X 的分 布列和数学期望. 20.(本题满分 10 分)已知等差数列 {a n } 中,公差 d ? 0 ,其前 n 项 和为 S n ,且满足:

? (分钟)

a 2 ? a3 ? 45 , a1 ? a 4 ? 14 .
(Ⅰ)求数列 {a n } 的通项公式; (Ⅱ)令 bn ?

bn 2S n , f ( n) ? ( n ? N * ),求 f (n) 的最大值. (n ? 25) ? bn ?1 2n ? 1
1 3 x ? mx 2 ? 3m 2 x ? 1 (m ? 0) . 3

? 21.(本题满分 10 分)已知函数 f ( x)

(1)若 m ? 1 ,求曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程; (2)若函数 f ( x) 在区间 (2m ? 1, m ? 1) 上单调递增,求实数 m 的取值范围.

22.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ln x ?

( x ? 1) 2 . 2
4

(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的单调递增 区间; (Ⅱ)证明:当 x ? 1 时, f ? x ? ? x ?1; (Ⅲ)确定实数 k 的所有可能取值,使得存在 x0 ? 1 ,当 x ? (1, x0 ) 时,恒有

f ? x ? ? k ? x ?1? .

2 23.(附加题)(本小题满分 20 分)设函数 f ? x ? ? ln ? x ? 1? ? a x ? x ,其中 a ? R .

?

?

(Ⅰ)讨论函数 f ? x ? 极值点的个数,并说明理由; (Ⅱ)若 ?x ? 0, f ? x ? ? 0 成立,求 a 的取值范围.

延边第二中学 2014—2015 学年度第二学期期末考试 高 二 数 学 (理)试 卷答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
5

A C C 12.【答案】C

B

C

A

c

A

D

A

D

C

13. 【答案】

4 3. 3

14. -7

15. -192

16.①③④⑤

17.【答案】(1) 2 ;(2) b ? 3 .

6

18. 【答案】(I)分布列见解析, 32 ;(I I) 0.91 . 试题解析:(I)由统计结果可得 T 的频率分步为 25 30 35 频率 0.2 0.3 0.4 以频率估计概率得 T 的分布列为

? (分钟)

40 0.1

? ?
从而

25 0.2

30 0.3

35 0.4

40 0.1

ET ? 25 ? 0.2 ? 30 ? 0.3 ? 35 ? 0.4 ? 40 ? 0.1 ? 32 (分钟)

(II)设 T1 , T2 分别表示往、返所需时间, T1 , T2 的取值相互独立,且与 T 的分布列相同.设 事件 A 表示“刘教授共用时间不超过 120 分钟”,由于讲座时间为 50 分钟,所以事件 A 对应于“刘教授在途中的时间不超过 70 分钟”. 解法一: P(A) ? P(T1 ? T2 ? 70) ? P(T1 ? 25, T2 ? 45) ? P(T1 ? 30, T2 ? 40)

? P(T1 ? 35, T2 ? 35) ? P(T1 ? 40, T2 ? 30) ? 1? 0.2 ? 1? 0.3 ? 0.9 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.1 ? 0.91 .
解法二:

P(A) = P(T1 +T2 > 70) = P(T1 = 35, T2 = 40) + P(T1 = 40, T2 = 35) +P(T1 = 40, T2 = 40)
? 0.4 ? 0.1 ? 0.1? 0.4 ? 0.1? 0.1 ? 0.09
故 P(A) = 1 - P(A) = 0.91 .

7

19. 【答案】(1)

7 ;(2)详见解析. 10

试题解析:(1)记事件 A1 ={从甲箱中摸出的 1 个球是红球}, A2 ={从乙箱中摸出的 1 个球是红球}

B1 = {顾客抽奖 1 次获一等奖} B2 ={顾客 抽奖 1 次获二等奖},C={顾客抽奖 1 次能
获奖}.由题意, A1 与 A2 相互独立, A1 A2 与 A1 A2 互斥, B1 与 B2 互斥,且 B1 = A1 A2 ,

B2 = A1 A2 + A1 A2 ,C= B1 + B2 . 2 1 1 4 2 5 1 P( A1 )= = ,P( A2 )= = ,所以 P( B1 )=P( A1 A2 )=P( A1 )P( A2 )= ? = , 5 2 5 10 5 10 2
P( B2 )=P( A1 A2 + A1 A2 )=P( A1 A2 )+P( A1 A2 )=P( A1 )(1- P( A2 ))+(1- P

2 1 2 1 1 ? (1- )+(1- ) ? = ,故所求概率为 P(C)= P( B1 + B2 )=P 5 2 5 2 2 1 1 7 ( B1 )+ P( B2 )= + = .; 5 2 10
( A1 ))P( A2 ) = (2)顾客抽奖 3 次独立重复试验,由(I )知,顾客抽奖 1 次获一等奖的概率为 以 X~B (3,

1 ,所 5

1 64 48 0 1 0 4 3 1 1 1 4 2 ).于是 P(X=0)= C3 ( ) ( ) = ,P(X=1)= C3 ( ) ( ) = , 5 5 5 5 5 125 125 12 1 2 1 2 4 1 3 1 3 4 0 P(X=2)= C3 ( ) ( ) = ,P(X=3)= C3 ( ) ( ) = ,故 X 的分布列为 5 5 125 5 5 125
X P 0 1 2 3

64 125

48 125

12 125
1 3 = . 5 5

1 125

X 的数学期望为 E(X)=3 ?

20. ∵数列 {a n } 是等差数列,∴ a2 ? a3 ? a1 ? a4 ? 14 ,又 a2 a3 ? 45 ,∴ ?

?a2 ? 5 或 ? a3 ? 9

?a2 ? 9 ,∵公差 d ? 0 ,∴ ? ? a3 ? 5 an ? a1 ? (n ?1)d ? 4n ? 3 .

?a2 ? 5 ,∴ d ? a3 ? a2 ? 4 , a1 ? a2 ? d ? 1 ,∴ ? ? a3 ? 9

8

(2)∵ S n ? na1 ? ∴ f (n) ?

1 n (n ? 1)d ? n ? 2n (n ? 1) ? 2n 2 ? n ,∴ bn ? 2n , 2

2n n 1 1 ? 2 ? ? . (n ? 25)2(n ? 1) n ? 26n ? 25 n ? 25 ? 26 36 n
25 1 ,即 n ? 5 时, f ( n) 取得最大值 . n 36

当且仅当 n ?

21. 【答案】(1) 15x ? 3 y ? 25 ? 0 (2) m 1 ? m ? 2

?

?

? 解:(1)当 m ? 1 时, f ( x)

1 3 8 5 x ? x 2 ? 3x ? 1 , f (2) ? ? 4 ? 6 ?1 ? . 3 3 3 5 ? 5( x ? 2) 即 3

? 4 ? 4 ? 3 ? 5 .所以所求切线方程为 y ? f ' ( x) ? x 2 ? 2x ? 3 , f ' (2) 15x ? 3 y ? 25 ? 0 .
? 0 ,得 x ? ?3m或x ? m . (2) f ' ( x) ? x ? 2mx ? 3m . 令 f ' ( x)
2 2

由于 m ? 0 , f ?( x) , f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ' ( x)

(??,?3m)
+ 单调增

? 3m
0 极大值

(?3m, m)
— 单调减

m
0 极小值

(m,??)
+ 单调增

f ( x)

所以函数 f ( x) 的单调递增区间是 (??, ?3m) 和 (m, ??) . 要使 f ( x) 在区间 (2m ? 1, m ? 1) 上单调递增,应有 m ? 1 ≤ ? 3m 或 解得 m ≤ ?

2m ? 1 ≥ m ,

1 或 m ≥1 . 4



m ? 0 且 m ? 1 ? 2m ? 1 ,

所以 1 ≤ m ? 2 .

即实数 m 的取值范围 m 1 ? m ? 2 .

?

?

22.【答案】(Ⅰ) ? 0, ?

? 1? 5 ? ? ;(Ⅱ)详见解析;(Ⅲ) ? ??,1? . 2 ? ? ?

9

试题解析:(I) f ? ? x ? ?

1 ? x2 ? x ? 1 , x ? ? 0, ??? .由 f ? ? x ? ? 0 得 ? x ?1 ? x x

?x ? 0 1? 5 解得 0 ? x ? . ? 2 2 ?? x ? x ? 1 ? 0
故 f ? x ? 的单调递增区间是 ? 0,

? 1? 5 ? ?. ? 2 ? ? ?

(II)令 F ? x ? ? f ? x ? ? ? x ?1? , x ? ? 0, ??? .则有 F? ? x ? ?

1 ? x2 . x

当 x ? ?1, ?? ? 时, F? ? x ? ? 0 ,所以 F ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递减, 故当 x ? 1 时, F ? x ? ? F ?1? ? 0 ,即当 x ? 1 时, f ? x ? ? x ?1. (III)由(II)知,当 k ? 1 时,不存在 x0 ? 1 满足题意. 当 k ? 1 时,对于 x ? 1 ,有 f ? x ? ? x ?1 ? k ? x ?1? ,则 f ? x ? ? k ? x ?1? ,从而不存在

x0 ? 1 满 足题意.
当 k ? 1 时,令 G ? x ? ? f ? x ? ? k ? x ?1? , x ? ? 0, ??? ,则有

G? ? x ? ?
得 x1 ?

? x 2 ? ?1 ? k ? x ? 1 1 2 .由 G? ? x ? ? 0 得, ? x ? ?1 ? k ? x ? 1 ? 0 .解 ? x ?1? k ? x x

1? k ?

?1 ? k ?
2

2

?4

? 0 , x2 ?

1? k ?

?1 ? k ?
2

2

?4

? 1.

当 x ? ?1, x2 ? 时, G? ? x ? ? 0 ,故 G ? x ? 在 ?1, x2 ? 内单调递增. 从而当 x ? ?1, x2 ? 时, G ? x ? ? G ?1? ? 0 ,即 f ? x ? ? k ? x ?1? , 综上, k 的取值范围是 ? ??,1? .

10

23. 【答案】(I):当 a ? 0 时,函数 f ? x ? 在 ? ?1, ?? ? 上有唯一极值点; 当0 ? a ?

8 时,函数 f ? x ? 在 ? ?1, ?? ? 上无极值点; 9

当a ?

8 时,函数 f ? x ? 在 ? ?1, ?? ? 上有两个极值点; 9

(II) a 的取值范围是 ?0,1? .

2 (2)当 a ? 0 时, ? ? a ? 8a ?1 ? a ? ? a ?9a ? 8?

①当 0 ? a ?

8 时, ? ? 0 , g ? x ? ? 0 9

所以, f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 在 ? ?1, ?? ? 上单调递增无极值; ②当 a ?

8 2 时, ? ? 0 ,设方程 2ax ? ax ? 1 ? a ? 0 的两根为 x1 , x2 ( x1 ? x2 ), 9

因为 x1 ? x2 ? ?

1 1 1 1 ,所以, x1 ? ? , x2 ? ? ,由 g ? ?1? ? 1 ? 0 可得: ?1 ? x1 ? ? , 2 4 4 4
11

所以,当 x ? ? ?1, x1 ? 时, g ? x ? ? 0, f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递增; 当 x ? ? x1 , x2 ? 时, g ? x ? ? 0, f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递减; 当 x ? ? x2 , ??? 时, g ? x ? ? 0, f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递增; 因此函数 f ? x ? 有两个极值点. (3)当 a ? 0 时, ? ? 0 ,由 g ? ?1? ? 1 ? 0 可得: x1 ? ?1, 当 x ? ? ?1, x2 ? 时, g ? x ? ? 0, f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递增; 当 x ? ? x2 , ??? 时, g ? x ? ? 0, f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递减; 因此函数 f ? x ? 有一个极值点. 综上:当 a ? 0 时,函数 f ? x ? 在 ? ?1, ?? ? 上有唯一极值点; 当0 ? a ?

8 时,函数 f ? x ? 在 ? ?1, ?? ? 上无极值点; 9

当a ?

8 时,函数 f ? x ? 在 ? ?1, ?? ? 上有两个极值点; 9

(II)由(I)知, (1)当 0 ? a ?

8 时,函数 f ? x ? 在 ? 0, ??? 上单调递增, 9

因为 f ? 0? ? 0 ,所以, x ? ? 0, ??? 时 , f ? x ? ? 0 ,符合题意;

(2)当

8 ? a ? 1 时,由 g ? 0? ? 0 ,得 x2 ? 0 ,所以,函数 f ? x ? 在 ? 0, ??? 上单调递 9

增,又 f ? 0? ? 0 ,所以, x ? ? 0, ??? 时, f ? x ? ? 0 ,符合题意 ;
12

(3)当 a ? 1 时,由 g ? 0? ? 0 ,可得 x2 ? 0 所以 x ? ? 0, x2 ? 时,函数 f ? x ? 单调递减;又 f ? 0? ? 0 ,所以,当 x ? ? 0, x2 ? 时,

f ? x ? ? 0 不符合题意;
(4)当 a ? 0 时,设 h ? x ? ? x ? ln ? x ? 1? ,因为 x ? ? 0, ??? 时,

h? ? x ? ? 1 ?

1 x ? ?0 x ?1 x ?1

当 x ? 1?

1 2 时, ax ? ?1 ? a ? x ? 0 ,此时, f ? x ? ? 0, 不合题意. a

综上所述, a 的取值范围是 ?0,1?

13


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