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3.4 定积分的概念与微积分基本定理


1 [2013高考数学第一轮复习]

第三篇 导数及其应用

【 2013 年高考会这样考】 1.考查定积分的概念 ,定积分的几何意义 ,微积分基本定理 . 2.利用定积分求曲边形面积、变力做功、变速运动的质点的 运动路程. 【复习指导】 定积分的考查频率不是很高 ,本讲复习主要掌握定积分 的概念和几何意义 , 使用微积分基本定理计算定积分 ,使用 定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物理问题等.

2 [2013高考数学第一轮复习]

第三篇 导数及其应用

一.定积分的概念:
积分上限

y
n

[a, b] 积分区间
b

?

a

b?a f ? x ?dx ? lim? f ?? i ? n? ? n i ?1
被函 积数 被积 式 积分 变 量

y=f ( x )

积分下限

二.定积分的几何意义: b
a

定积分 ? f ( x )dx 是介于 x 轴、

O

a

函 数 f ( x) 的 图 象 及 两 条 直 线 x ? a , x ? b 之间的各部分曲边梯形 面积的代数和.(在 x 轴上方的面积 取正号, 在 x 轴下方的面积取负号)

xi ?i xi+1 ?x

?

b

?

b

a

f ( x )dx ? S1 ? S 2 ? S 3

3 [2013高考数学第一轮复习]

第三篇 导数及其应用

三.定积分的计算:
1.微积分基本定理: 2.基本初等函数的原函数公式 被积 n sin x c x 函数f(x) 一个原 cx 函数F(x) 3. 定积分的基本性质 b b
a b a

?

b

a

? f ( x )dx ? F ( x ) b a ? F (b) ? F (a ), 其中F ( x ) ? f ( x )

cos x

a

x

e

x 1

x 1 a n ?1 x ? cos x sin x n ?1 ln a

x
x

( x ? 0)

e

ln x

?

(k为常数) ? kf ( x)dx? k ? f ( x)dx ? [ f ( x) ? g( x)]dx ? ? f ( x)dx ? ? g( x)dx
b b

a b

a

f ( x )dx ?? f ( x )dx ? ? f ( x )dx
a c

c

a

b

a

考向一 定积分的计算 【例 1】计算下列积分 ? 2 0 1 x 2 2 x 2 (1)? (2 x ? )dx (2)? sin dx (3)? (sin ? e 2 x )dx 1 ?? ; ; 0 x 2 2 ;

4 [2013高考数学第一轮复习]

第三篇 导数及其应用

? x ? 2 xdx ; (5)? ( x cos x ? 5sin x ? 2)dx . ?1 2 1 2 3 16 2 14 2 2 解 (1)? (2 x ? )dx ? ( x ? ln x ) |1 ? ? ln 2 ? ? ? ln 2; 1 x 3 3 3 3 ? ? ? ? 1 1 1 1 2 2 x 2 2 2 (2)? sin dx ? ? ( ? cos x )dx ? ? dx ? ? cos xdx 0 0 2 0 2 2 2 2 0
2 0

(4)?

1

1

1 1 ? ?2 ? x ? sin x ? ; 2 0 2 4 0

? 2

? 2

x 2x x 1 2x 0 1 ?2? 3 (3)? (sin ? e )dx ? ( ?2cos ? e ) |?? ? ? e ? ; ?? 2 2 2 2 2
0

考向一 定积分的计算 【例 1】计算下列积分 ? 2 0 1 x 2 2 x 2 (1)? (2 x ? )dx (2)? sin dx (3)? (sin ? e 2 x )dx 1 ?? ; ; 0 x 2 2 ;

5 [2013高考数学第一轮复习]

第三篇 导数及其应用

(4)?


1

0

? x ? 2 xdx ; (5)? ( x cos x ? 5sin x ? 2)dx .
2 ?1

1

考向一 定积分的计算 【例 1】计算下列积分 ? 2 0 1 x 2 2 x 2 (1)? (2 x ? )dx (2)? sin dx (3)? (sin ? e 2 x )dx 1 ?? ; ; 0 x 2 2 ;

6 [2013高考数学第一轮复习]

第三篇 导数及其应用

(4)?

1

0

? x ? 2 xdx ; (5)? ( x cos x ? 5sin x ? 2)dx .
2 ?1

1

解 (5)由 y= xcos x- 5sin x 为奇函数
1 1 1

?-1(xcos x-5sin x+2)dx=0+?-1 2dx=2x|-1=4. (1)利用微积分基本定理求定积分, 其关键是求出 被积函数的原函数,求一个函数的原函数与求一个函数的 导数是互逆运算,因此应注意掌握一些常见函数的导数. (2)根据积分的几何意义可利用面积求积分. a (3)若 y=f(x)为奇函数,则?-a f(x)dx=0.

7 [2013高考数学第一轮复习]
2 1

第三篇 导数及其应用

2.已知f ( x ) ? ax ? bx ? c , 且f (-1) ? 2, f ?(0) ? 0,

?

0

今天自学: f ( x )dx ? ?2, 求a , b, c的值 1.《讲义》P43-45 (1)基础梳理 3. (2)双基自测 2-5 (3)例2,例3,训练3 (4)难点突破8 2.《限时》P253 10

8 [2013高考数学第一轮复习]

【热身练习】 1.已知函数

? ?x- 1 ? 2<x≤ 4?, 4 画出 f(x)的图象,并求?0 f(x)dx.
1.解 函数 f(x)的图象如图所示.

第三篇 导数及其应用 ? π? ? 0≤ x≤ ?, ?sin x? 2? ? ? ? π f(x)=? ? ? <x≤ 2?, 1 ? ?2 ?

? ? f ( x )dx ? ? sin xdx ? ?? 1dx ? ? ( x ? 1)dx
0 2 0 2 2

4

?

2

4

? ? 1 π π 2 4 ? ( ? cos x ) 02 ? x ? ? ( x ? x ) |2=1+?2- ?+(4-0)=7- . 2? 2 ? 2 2
2

?

9 [2013高考数学第一轮复习]

第三篇 导数及其应用

[定积分的简单应用]
1.求曲边梯形的面积 定积分的概念是从曲边梯形面积引入的, 但是定积分并 不一定就是曲边梯形的面积.这要结合具体图形来定: 设阴影部分面积为 S. b (1)S=?af(x)dx; (2)S=-?b af(x)dx;
b (3)S=?c f ( x )d x - ? a c f(x)dx; b b (4)S=?af(x)dx-?ag(x)dx b =?a [f(x)-g(x)]dx.

10 [2013高考数学第一轮复习]

第三篇 导数及其应用

【例2】

考向二 利用定积分求面积 求下图中阴影部分的面积.
2 4 8



? ?y= x- 4, 解方程组? 2 ? ?y = 2x,
8 2

? ?x= 2 得? ? ?y=- 2

? ?x= 8 ,或? ? ?y= 4

解法一:
? ? ? (- 2x)dx+2= 2 S 阴影=? 2 x d x 8 ? ?

解法二:
2 0

?0

?0

?2 3? ? ? ? ?8 x ?3 2? ?0+ ? ??

2

?2 3? ? ? ? ?2 x ?3 2? ?0- 6=18. ? ??

S阴影 ? ? [ 2 x ? (? 2 x )]dx ? ? [ 2 x ? ( x ? 4)]dx
2

8

2 ? 2 2? x 3

3 2

2 2 1 2 ?( x ? x ? 4 x) 0 3 2
2

3 2

8 2

? 18

11 [2013高考数学第一轮复习]

第三篇 导数及其应用

【例2】

考向二 利用定积分求面积 求下图中阴影部分的面积.

解法三: 选y作积分变量,将曲线方程写
y 为x ? 及x ? y ? 4 (如右图) 则 2 4 y2 y2 y3 S阴影 ? [( y ? 4) ? ]dy ? ( +4 y ? ) ?2 2 2 6
2

x ? y?4
y2 x? 2

?

4 ?2

? 18

求由两条曲线围成的图形的面积的解题步骤 (1)画出图形,确定图形的范围,通过解方程组求出交点的横坐 标.定出积分的上、下限;(2)确定被积函数,特别要注意分清被 积函数的上、下位置; (3)写出平面图形面积的定积分的表达式; (4)运用微积分基本定理计算定积分,求出平面图形的面积.

12 [2013高考数学第一轮复习]

第三篇 导数及其应用
2

【限时训练】P253
10.如图所示,直线 y=kx 分抛物线 y=x-x 与 x 轴所围图形为面积相等的两部分,求 k 的值. 解 抛物线 y=x-x2 与 x 轴两交点的横坐标为 x1=0,x2=1,
2 ? (x- x )dx= 所以抛物线与 x 轴所围图形的面积 S=? ? 1
?0

?x2 1 ? ? 1 1 ? - x3 ? ?0 = . ? 2 3 ?? 6

?y= x- x2, ? 又由? ? ?y= kx,

可得,抛物线 y=x-x2 与 y=kx 两交点的

横坐标为 x3=0,x4=1-k,
? ?? S 1 - k 1 1- k 2 ? 3 2 3? ?1- k 1 所以, =∫0 (x-x -kx)dx=? = (1 - k ) . x - x 0 ? ? 2 6 2 3 ?? ? 3 3 1 1 4 3 1 又知 S= ,所以(1-k) = ,于是 k=1- =1- . 6 2 2 2

13 [2013高考数学第一轮复习]

第三篇 导数及其应用

[定积分的简单应用]
2.匀变速运动的路程公式
作变速直线运动的物体所经过的路程 s,等于其速度函数 v=v(t) (v(t)≥0)在时间区间[a,b]上的定积分,即 s=?b av(t)dt.

3.变力作功公式
一物体在变力 F(x)(单位:N)的作用下做直线运动,如果物 体沿着与 F 相同的方向从 x=a 移动到 x=b (a<b)(单位:m), 则力 F 所作的功为 W=?b aF(x)dx.

14 [2013高考数学第一轮复习]

第三篇 导数及其应用

考向三 定积分的应用 【例 3】一质点在直线上从时刻 t= 0(s)开始以速度 v= t2- 4t+3(m/s) 运动.求: (1)在 t=4 s 的位置; (2)在 t=4 s 内运动的路程. 解(1)在时刻 t=4 时该点的位置为 (t - 4t+3)dt=
0
?4 ? ? ?

2

?1 3 ?? 4 2 4 ? t - 2t + 3t? ?0 = (m) ?3 ?? 3

4 即在 t=4 s 时刻该质点距出发点 m. 3 (2)因为 v(t)= t2- 4t+3=(t-1)(t-3),所以在区间 [0,1]及[3,4]上的 v(t)≥0, 在区间[1,3]上, v(t)≤0,所以 t=4 s 时的路程为 1 2 ?3 2 ?4 2 ? (t - 4t+ 3)dt+ |? (t - 4t+ 3)dt|+? (t - 4t+ 3)dt S=? ? ? ?
?0 ?1 ?3

=

?1 ?? ?1 ?? ?1 ?? 4 4 4 3 2 3 2 3 2 1 3 4 ? t - 2t + 3t? ?0+ | ? t - 2t + 3t? ?1|+ ? t - 2t + 3t? ?3 = + + =4 3 3 3 ? ?? ? ?? ? ?? 3 3 3

(m),

探究提高因为位置决定于位移,所以它是 v(t)在 [0,4]上的定积分,而路 程是位移的绝对值之和,因此需判断在[0,4]上哪些时间段的位移为负.

即质点在 4s 内运动的路程为 4 m.

15 [2013高考数学第一轮复习]

第三篇 导数及其应用

【训练 3】 已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路 线(假定为直线)行驶, 甲车、 乙车的速度曲线分别为 v 甲和 v 乙(如 图所示).那么对于图中给定的 t0 和 t1,下列判断中一定正确的 是( ). A.在 t1 时刻,甲车在乙车前面 B.t1 时刻后,甲车在乙车后面 C.在 t0 时刻,两车的位置相同 D.t0 时刻后,乙车在甲车前面 解析 可观察出曲线 v 甲,直线 t=t1 与 t 轴围成的面积大于曲 线 v 乙,直线 t=t1 与 t 轴围成的面积,故选 A.

16 [2013高考数学第一轮复习]

第三篇 导数及其应用

巩固练习:
(0 ≤ x ≤ 2) ?10 1.一物体在力 F ( x ) ? ? ( 单位:N) ? 3 x ? 4 ( x ? 2)

的作用下,沿着与力 F 相同的方向,从 x=0 处运动 到 x=4 处(单位: m),则力 F( x)所作的功为 ( B ) J. (A)44 (B)46 (C)48 (D)50

析:W ? ? F ( x )dx ? ? 10dx ? ? (3 x ? 4)dx 0 0 2 3 2 2 4 ? 10 x |0 ? ( x ? 4 x ) |2 ? 46( J ) 2

4

2

4

17 [2013高考数学第一轮复习]

难点突破8——积分的综合应用

第三篇 导数及其应用

一、积分的几何意义

定积分的考查在试卷中不是必然出现的,一般以选择题或 填空题的形式出现,试题难度不大,在近两年的高考中,考查 的一般是定积分的计算和定积分在求曲边图形面积中的应用 等,如 2011 年福建卷,陕西卷考查的是定积分的计算,新课标 全国卷、湖南卷、山东卷考查的是定积分求曲边形的面积.
r 2 2

【示例】? 已知 r>0,则?- r r -x dx=________. 二、积分与概率 【示例】? (2010· 陕西)从如图所示的长方形 区域内任取一个点 M(x,y),则点 M 取自阴 影部分的概率为__________.

18 [2013高考数学第一轮复习]
一、积分的几何意义 【示例】?已知 r>0,则
2 2 ?r dx= _____. -r r -x

第三篇 导数及其应用

19 [2013高考数学第一轮复习] 二、积分与概率
【示例】?(2010· 陕西) 从如图所示的长方形 区域内任取一个点 M(x, y),则点 M 取 自阴影部分的概率 为 __________.

第三篇 导数及其应用

20 [2013高考数学第一轮复习]

第三篇 导数及其应用

1 【训练 2】求曲线 y= x,y=2-x,y=- x 所围成图形的面积. 3 ?y= x, ? 解 由? 得交点 A(1,1); ? ?y= 2- x, ?y=2-x ? 由? 1 得交点 B(3,-1). y=- x ? 3 ? ? ? 1 ? 1 ? ?1 ?3 ? x+ x ? dx+? ?2- x+ x? dx 故所求面积 S=? ? ? 3 3 ? ? ? ? ? ? 0 1 =
?2 3 1 ? ? ? 1 2? ?3 2 1 ? x + x ? ?0+ ?2x- x ? ?1 3 ?? ?3 2 6 ? ? ?

2 1 4 13 = + + = . 3 6 3 6

21 [2013高考数学第一轮复习]

第三篇 导数及其应用

例4 欲用一条与x轴垂直的直线,将抛物线y=x2-x+1和 y=-2x2+5x+1所围成的图形的面积平分,试求此直线的方程
2 ? y ? x ?x ?1 ? 解析 解方程组? 得两交点横坐标分别为0,2 2 ? ? y ? ?2 x ? 5 x ? 1 2 2

在区间(0,2)内曲线y=-2x +5x+1在y=x -x+1的上方, 它们所围成的图形的面积为 2 S ? ? [(?2 x 2 ? 5 x ? 1) ? ( x 2 ? x ? 1)]dx
2 ? ? (?3 x 2 ? 6 x )dx ? (? x 3 ? 3 x 2 ) 0 ?4 0 2 0

设直线x=k将二抛物线所围成的图形的面积平分,于是

(k ? k ) ? 2(k ? 1) ? 0,(k ? 1)k ? 2(k ? 1)(k ? 1) ? 0, 2 (k ? 1)(k ? 2k ? 2) ? 0, 此方程在(0,2)内只有一解k ? 1, 所以所求直线的方程为x ? 1.
3 2 2 2

?

k

0

(-3 x 2 ? 6 x)dx ? 2,即k 3 ? 3k 2 ? 2 ? 0,

22 [2013高考数学第一轮复习]

第三篇 导数及其应用

例5

9 3 所围成的图形面积为 a ,求直线l的方程. 2 分析 求出交点横坐标,确定积分区间,注意分类讨论. 解析 设过原点的直线y=kx,直线与抛物线C相交点的横坐标分
别为0,k+2a.
①当k + 2a>0时, s ? ?
k ?2a 0

若过原点的直线l与抛物线C:y=x2-2ax(a>0)

(kx ? x32 ? 2ax)dx

3 1 2 1 3 ( kx ? 2 a ) 9 3 k ?2k ? ( kx ? x ? ax2 ) 0 ? u 2 3 6 2

解得k = a,此 时此 时 l的方程为y=ax.? ②当k + 2a<0时,s ? ?
0

( k ? 2a ) 3 9 3 ?? ? a . 6 2 解得k=-5a,此 时l的方程为y = -5ax.

R?2a

(kx ? x 2 ? 2ax)dx

23 [2013高考数学第一轮复习]

第三篇 导数及其应用

变式 已知顶点在原点,焦点在y轴正半轴上的抛 物线经过点P(2,y0),若直线OP与抛物线围成 部分的面积为2,求抛物线的方程.
y0 2 解析设抛物线方程为x =2py则直线OP的斜率为k=

1 直线OP方程为y = x. p

1 ? . 2 p

故直线OP与抛物线围成的面积为 2 2 x x 1 2 1 3 2 4 4 ?0 ( p ? 2 p )dx ? ( 2 p x ? 6 p x ) 0 ? 2 p ? 3 p .

2 4 1 由条件得 ? ? 2,? p ? . p 3p 3 2 因此, 所求的抛物线方程是 x ? y . 3
2


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