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2013高考试题分类汇编(文科):立体几何文


2013 年全国各地高考文科数学试题分类汇编 7:立体几何
一、选择题 1 .某几何体的三视图如题(8)所示,则该几何体的表面积为(

5 .一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是(



A.棱柱 ) B.棱台 C.圆柱 D.圆台

A. 180 B. 200 C. 220 D. 240

6 .已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是

2 .一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O ? xyz 中的坐标分别是 (1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0) ,画该四

A.108cm 3 B.100 cm 3 C.92cm 3 D.84cm

3

面体三视图中的正视图时,以 zOx 平面为投影面,则得到正视图可以为(



7 .如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, P 为对角线 BD1 的三等分点,则 P 到各顶点的距离的

不同取值有( A. B. 3 .某几何函数的三视图如图所示,则该几何的体积为( A. 16 ? 8? B. 8 ? 8? C. 16 ? 16? D. 8 ? 16? C. ) D.



D1

C1

A1
D P A
A.3 个

B1
?

C
B
B .4 个 C.5 个 D.6 个

4 . 已知正四棱锥 ABCD ? A 中,AA1 1B 1C1D 1

() ? 2 AB, 则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于

A.

2 3

B.

3 3

C.

2 3

D.

1 3

8 .某三棱锥的三视图如图 2 所示, 则该三棱锥的体积是(



14.一几何体的三视图如右所示,则该几何体的体积为(



2

1 正视图

1 侧视图

1 A. 6 1 B. 3 2 C. 3 D. 1

A.200+9π B.200+18π C.140+9π D.140+18π

俯视图 图 2

9 . 已知正方体的棱长为 1,其俯视图是一个面积为 1 的正方形,侧视图是一个面积为

2 的矩形,

则该正方体的正视图的面积等于( A.

) C.

3 2

B.1

2 ?1 2

D. 2

二、填空题 15. 已知正四棱锥 O-ABCD 的体积为

10.设 m.n 是两条不同的直线,α .β 是两个不同的平面,(

A.若 m∥α ,n∥α ,则 m∥n C.若 m∥n,m⊥α ,则 n⊥α
11 . 已 知 三 棱 柱

) B.若 m∥α ,m∥β ,则 α ∥β D.若 m∥α ,α ⊥β ,则 m⊥β

,底面边长为

,则以 O 为球心,OA 为半径的球的表面积为

A B? C

1

的 个 顶 点 都 在 球 O 的 球 面 上 , 若 A 1 B 1 C6 )

AB ? 3,AC ? 4 , AB ? AC , AA1 ? 12 ,则球 O 的半径为(
A.

3 17 2

B. 2 10

C.

13 2

D. 3 10 )

________. 16.我国古代数学名著《数 书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆 接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸. 若盆中积水深 九寸,则平地降雨量是__________寸. 21 世纪教育网 (注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸) 17.已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点, AH : HB ? 1: 2 , AB ? 平面 ? , H 为垂足, ? 截球 O 所 得截面的面积为 ? ,则球 O 的表面积为_______. 18.某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的体积为__________. 1 2 1 1 2
正(主)视图 侧(左)视图

12.设 l 为直线, ? , ? 是两个不同的平面,下列命题中正确的是(

A.若 l //? , l // ? ,则 ? // ? C.若 l ? ? , l // ? ,则 ? // ?

B.若 l ? ? , l ? ? ,则 ? // ? D.若 ? ? ? , l //? ,则 l ? ?

13.一个 四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)视图如右图所示该四棱锥侧面积和体

俯视图

积分别是行( A. 4 5,8 C. 4( 5 ? 1),

) B. 4 5,

8 3

8 3

D.8,8

19.某几何体的三视图如图所示, 则其表面积为________.

25. 如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 1, P 为 BC 的中点, Q 为线段 CC1 上的 动点,过点

A, P, Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S ,则下列命题正确的是__________(写出所有
正确命题的编号).

20 . 已 知 圆 O 和 圆 K 是 球 O 的 大 圆 和 小 圆 , 其 公 共 弦 长 等 于 球 O 的 半

3 ,且圆O与圆K 所在的平面所成角为60?, 则球 O 的表面积等于______. 2 21.已知圆柱 ? 的母线长为 l ,底面半径为 r , O 是上地面圆心, A 、 B 是下底面圆周上两个不同 π 1 的点, BC 是母线,如图.若直线 OA 与 BC 所 成角的大小为 ,则 ? ________. 6 r 9?
径, OK ?
22. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为

1 1 时 , S 为四边形;②当 CQ ? 时 , S 为 2 2 3 等 腰 梯 形 ;③ 当 CQ ? 时 , S 与 C1 D1 的 交 点 R 满 足 4 1 3 C1 R ? ;④当 ? CQ ? 1 时 , S 为六边形;⑤当 CQ ? 1 3 4
①当 0 ? CQ ? 时, S 的面积为
三、解答题 26.如图, AB是圆O的直径,PA垂直圆O所在的平面,C是圆O上的点.

6 . 2

2

, 则正方体的棱长为 ______.

23.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是____________.

(I)求证: BC ? 平面PAC; (II)设 Q为PA 的中点,G为?AOC的重心,求证:QG / /平面PBC.

24. 如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 α 上,且 AB//CD,则直线 EF 与正方体的六

个面所在的平面相交的平面个数为_____________.

27.如图,在在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥面 ABCD,AB=BC=2,AD=CD= 7,PA= 3,∠ABC=120°,G 为线

28 . 如图 , 四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形 , O 为底面中心 , A1O⊥平面 ABCD,

段 PC 上的点. (Ⅰ)证明:BD⊥面 PAC ; (Ⅱ)若 G 是 PC 的中点,求 DG 与 APC 所成的角的正切值; PG (Ⅲ)若 G 满足 PC⊥面 BGD,求 的值. GC

AB ? AA1 ? 2 .
D1 A1 B1 C1

D A O B

C

(Ⅰ) 证明: A1BD // 平面 CD1B1; (Ⅱ) 求三棱柱 ABD-A1B1D1 的体积.

29.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PD ? 面ABCD , AB / / DC , AB ? AD , BC

?5,

DC ? 3 , AD ? 4 , ?PAD ? 60? .
(1)当正视图方向与向量 AD 的方向相同时,画出四棱锥 P ? ABCD 的正视图.(要求标出尺 寸,并画出演算过程); (2)若 M 为 PA 的中点,求证: DM / / 面PBC ; (3)求三棱锥 D ? PBC 的体积.

uuu r

30. 如图 4,在边长为 1 的等边三角形 ABC 中, D, E 分别是 AB, AC 边上的点, AD ? AE , F 是

31.如图 2.在直菱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BAC=90°,AB=AC=

,AA1=3,D 是 BC 的中点,点 E 在菱 BB1

BC 的中 点 , AF 与 DE 交 于点 G , 将 ?ABF 沿 AF 折起 , 得到 如 图 5 所示的三 棱锥

A ? BCF ,其中 BC ?

2 . 2

上运动. (I) 证明:AD⊥C1E; (II)当异面直线 AC,C1E 所成的角为 60°时,求三棱锥 C1-A2B1E 的体积.

(1) 证明: DE //平面 BCF ; (2) 证明: CF ? 平面 ABF ; (3) 当 AD ?

2 时,求三棱锥 F ? DEG 的体积 VF ? DEG . 3
A

A

G

E

D

G

D

E
F

C

32.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, AB / / CD , AB ? AD , CD ? 2 AB ,平面 PAD ? 底面

ABCD , PA ? AD , E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点,求证:
(1) PA ? 底面 ABCD ;(2) BE / / 平面 PAD ;(3)平面 BEF ? 平面 PCD
图 5

B

F 图 4

C
B

33.如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, CA ? CB , AB ?

AA1 , ?BAA1 ? 60? .

?BAC ? 120? , D, D1 分别是线段 BC, B1C1 的中点, P 是线段 AD 上异于端点的点.
(Ⅰ)在平面 ABC 内,试作出过点 P 与平面 A 1 BC 平行的直线 l , 说明理由 ,并证明直线 l ? 平面 ADD1 A 1; (Ⅱ) 设 (Ⅰ) 中 的 直 线 l 交 AC 于 点 Q , 求 三 棱 锥 A1 ? QC1D 的 体 积 .( 锥 体 体 积 公 式: V ?

(Ⅰ)证明: AB ? A1C ; (Ⅱ) 若 AB ? CB ? 2 , A1C ?

6 ,求三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的体积.

C

C1 B1 A1

1 Sh ,其中 S 为底面面积, h 为高) 3

B A

34 . ( 2013

年 高 考 山 东 卷 ( 文 ) ) 如 图 , 四 棱 锥

P ? ABCD

中, AB ? AC , AB ? PA , AB∥CD, AB ? 2CD , E , F , G , M , N 分别为

PB, AB, BC , PD, PC 的中点
(Ⅰ)求证: CE∥平面PAD ;(Ⅱ)求证: 平面EFG ? 平面EMN

35.如图,在三棱柱 ABC ? A 1B 1C 中,侧棱

AA1 ? 底面 ABC , AB ? AC ? 2 AA1 ? 2 ,

36.如图,某地质队自水平地面 A,B,C 三处垂直向地下钻探,自 A 点向下钻到 A1 处发现矿藏,再继续下

钻到 A2 处后下面已无矿,从而得到在 A 处正下方的矿层厚度为 A1 A2 ? d1 .同样可得在 B,C 处正下 方的矿层厚度分别为 B1 B2 ? d 2 , C1C2 ? d3 ,且 d1 ? d 2 ? d3 . 过 AB , AC 的中点 M , N 且与直线
AA2 平行的平面截多面体 A1B1C1 ? A2 B2C2 所得的截面 DEFG 为该多面体的一个中截面,其面积

(1) 证明: BC1//平面 A1CD; (2) 设 AA1= AC=CB=2,AB=2 ,求三棱锥 C 一 A1DE 的体积.

记为 S中 . (Ⅰ)证明:中截面 DEFG 是梯形; (Ⅱ)在△ABC 中,记 BC ? a ,BC 边上的高为 h ,面积为 S . 在估测三角形 ABC 区域内正下方 的矿藏储量(即多面体 A1 B1C1 ? A2 B2C2 的体积 V )时,可用近似公式 V估 ? S中 ? h 来估算. 已知

1 V ? (d1 ? d2 ? d3 )S ,试判断 V估 与 V 的大小关系,并加以证明. 3

38 .如图,四棱锥 P ? ABCD 中,?ABC ? ? BAD ? 90 , BC ? 2
?

都是边 AD , ? PAB 与 ? PAD

长为 2 的等边三角形. (I)证明: PB ? CD; (II)求点 A到平面PCD的距离.

37.如图 ,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D,E 分别是 AB,BB1 的中点.

39 . 如 图 , 四 棱 锥

P ? ABCD 的 底 面 ABCD 是 边 长 为 2 的 菱 形 , ?BAD ? 60? . 已 知

PB ? PD ? 2, PA ? 6 .
(Ⅰ)证明: PC ? BD (Ⅱ)若 E 为 PA 的中点,求三菱锥 P ? BCE 的体积.

(Ⅰ) 证明 EF//平面 A1CD; (Ⅱ) 证明平面 A1CD⊥平面 A1ABB1; (Ⅲ) 求直线 BC 与平面 A1CD 所成角的正弦值.

40.如图,正三棱锥 O ? ABC 底面边长为 2 ,高为 1 ,求该三棱锥的体积及表面积.
O

42 . 如 题 (19) 图 , 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , PA ⊥ 底 面 A B C D,

PA ? 2 3 , BC ? CD ? 2 ,

?ACB ? ?ACD ?

?
3

.

(Ⅰ)求证: BD ⊥平面 PAC ; (Ⅱ)若侧棱 PC 上的点 F 满足 PF ? 7 FC ,求三棱锥 P ? BDF 的体积.
B A

C

第19题图

41. 如图, 三棱柱 ABC-A1B1C1 中, 侧棱 A1A⊥底面 ABC,且各棱长均相等. D, E, F 分别为棱 AB, BC,

A1C1 的中点.

43 . 如 图 , 直 四 棱 柱 ABCD – A1B1C1D1 中 ,AB//CD,AD⊥AB,AB=2,AD=

,AA1=3,E 为 CD 上 一

点,DE=1,EC=3 (1) 证明:BE⊥平面 BB1C1C; (2) 求点 B1 到平面 EA1C1 的距离


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