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《高考备考学案》广东高考数学理一轮复习配套能力提升作业7.42数列的概念与简单表示法(含答案解析)

第七章 数列 第 42 课 数列的概念与简单表示法 1 n? 1. (2012 上海高考)设 a n ? sin , S n ? a1 ? a2 ? ? ? an ,在 S1 , S2 , ???, S100 中,正 n 25 数的个数是( A.25 【答案】D ) B.50 C.75 D.100 【解析】当 1 ? n ? 24 时, an >0, 当 26 ? n ? 49 时, an <0, 但其绝对值要小于 1 ? n ? 24 时相应的值, 当 51 ? n ? 74 时, an >0, 当 76 ? n ? 99 时, an <0, 但其绝对值要小于 51 ? n ? 74 时相应的值, ∴当 1 ? n ? 100 时,均有 Sn ? 0 . 2.已知数列{an}的通项公式是 an ? ( ) A. an ? an ?1 【答案】A 【解析】 an ? an ?1 ? B. a n ? a n ?1 an ,其中 a 为正实数,那么 an 与 a n ?1 的大小关系是 an ? 1 C. a n ? a n ?1 D.与 a 的取值有关 an a(n ? 1) ? an ? 1 a(n ? 1) ? 1 ?a ? . (an ? 1)(an ? a ? 1) ∵ a ? 0 ,∴ an ? an ?1 . 1 , 各项均为正数的数列 {an } 满足 a1 ? 1 , an?2 ? f (an ) , 1? x 3. (2012 上海高考) 已知 f ( x ) ? 若 a2010 ? a2012 ,则 a20 ? a11 ? ______. 【答案】 3 ? 13 5 26 1 2 8 , a 5 ? ,…, a11 ? , 2 3 13 【解析】由题意得, a 3 ? ∵ an? 2 ? f (an ) ,∴ a2012 ? 1 1 ,∵ a2010 ? a2012 ,∴ a2010 ? , 1 ? a2010 1 ? a2010 ∴ a2010 ? a2010 ?1 ? 0 ,∵ an. ? 0 ,∴ a 2010 ? 2 ?1? 5 , 2 易得 a2010 ? a2008 ? ??? ? a22 ? a20 , ∴ a20. ? a11 ? ?1 ? 5 8 3 ? 13 5 . ? ? 2 13 26 Sn )(n ? N* ) N ? ) 均在函数 y ? 3x ? 2 的图象上 . n 4.设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , S n ? 点 (n? 则数列 {an } 的通项公式 an ? 【答案】 6n ? 5 . 【解析】∵ n ? 3n ? 2 ,∴ Sn ? 3n2 ? 2n . S n 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 1 , 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 6n ? 5 . ∵ 1 ? 6 ? 1 ? 5 ,∴ an ? 6n ? 5 . 5.已知二次函数 f ( x) ? x2 ? ax ? a( x ? R) 同时满足:①不等式 f ( x) ? 0 的解集有且只有 一个元素; ②在定义域内存在 0 ? x1 ? x2 ,使得不等式 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,设数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? f (n) . (1)求函数 f ( x ) 的表达式; (2)求数列 {an } 的通项公式. 【解析】 (1)∵不等式 f ( x) ? 0 的解集有且只有一个元素, 2 ∴ ? ? a ? 4a ? 0 ,解得 a ? 0 或 a ? 4 . 当 a ? 0 时, 函数 f ( x) ? x2 在 (0, ??) 递增,不满足条件② 当 a ? 4 时, 函数 f ( x) ? x2 ? 4x ? 4 在 (0, 2) 上递减,满足条件② 综上得 a ? 4 ,即 f ( x) ? x2 ? 4x ? 4 . (2)由(1)知 Sn ? n2 ? 4n ? 4 ? (n ? 2)2 ,当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 1 , 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? (n ? 2)2 ? (n ? 3)2 ? 2n ? 5 , ∴ an ? ? ?1,??????????n ? 1 . ?2n ? 5,??n ? 2 6.已知函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? a( x ? R) ,在定义域内有且只有一个零点,存在 0 ? x1 ? x2 , 使得不等式 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立. 若 n ? N * , f ( n) 是数列 {an } 的前 n 项和. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设各项均不为零的数列 {cn } 中,所有满足 ck ? ck ?1 ? 0 的正整数 k 的个数称为这个 数列 {cn } 的变号数,令 cn ? 1 ? 4 ( n 为正整数) ,求数列 {cn } 的变号数. an 【解析】 (1)∵函数 f ( x ) 在定义域内有且只有一个零点, ∴ ? ? a 2 ? 4a ? 0 ,得 a ? 0 或 a ? 4 . 当 a ? 0 时,函数 f ( x) ? x 2 在 (0,?? ) 上递增, 故不存在 0 ? x1 ? x2 ,使得不等式 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立. 综上,得 a ? 4, f ( x) ? x 2 ? 4 x ? 4 . ∴ Sn ? n2 ? 4n ? 4 . ∴ an ? Sn ? Sn ?1 ? ? n ?1 ?1, ?2n ? 5, n ? 2 . n ?1 ??3, ? (2)由题设 cn ? ? , 4 1? , n?2 ? ? 2n ? 5 ∵ n ? 3 时, cn ?1 ? cn ? 4 4 8 ? ? ? 0, 2n ? 5 2n ? 3 (2n ? 5)(2n ?

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