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华中师大一附中高三2010年五月适应性考试数学试题(理工类)


华中师大一附中高三 2010 年五月适应性考试数学试题(理工类)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是满足题 目要求的。 1.若集合 M ? { y | y ? 2x , x ? R} , P ? { y | y ? A. { y | y ? 1} 2.在复平面内,复数 z ? ? A. 第一象限 B. { y | y ? 1}

x ?1, x ? 1}, 则 M ? P ?
C. { y | y ? 0} D. { y | y ? 0}

2i 在复平面内所对应的点在 3?i
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3.设 (5x ? x )n 的展开式的各项系数之和为 M,二项式系数之和为 N,若 M ? N ? 240 ,则展开式中 x3 的系数为 A.-150

B.150

C.-500
2

D.500

4.设{ an }为公比大于 1 的等比数列,若 a2008 和 a2007 是方程 4 x ? 8 x ? 3 ? 0 的两根,则 a2009 ? a2010 = A. 16 B. 18 C. 24 D. 27

5. F1 , F2 是双曲线的两个焦点,Q 是双曲线上任一点,从焦点 F1 引 ?FQF2 的平分线的垂线,垂足为 P, 1 则点 P 的轨迹为 A.直线
3

B.圆
2

C.椭圆

D.双曲线

6.对于函数 f ( x) ? x ? ax ? x ? 1 的极值情况,3 位同学有下列看法: 甲:该函数必有 2 个极值;乙:该函数的极大值必大于 1;丙:该函数的极小值必小于 1; 这三种看法中,正确的的个数是 A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 7.将函数 y ? f (x) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,同时将纵坐标缩小到原来的 函数 y ? cos( x ?

?
6

1 倍,得到 2

) 的图象.另一方面函数 f (x) 的图象也可以由函数 y ? 2 cos2 x ? 1 的图象按向量 c 平

移得到,则 c 可以是 A. (

?

12

, ?1)

B. (

?
12

,1)

C. (
2

?
6

, ?1)

D. (

?
6

,1)

8.如果关于 x 的一元二次方程 x ? 2(a ? 3) x ? b ? 9 ? 0 中, a 、 b 分别是两次投掷骰子所得的点数,
2

则该二次方程有两个正根的概率 P ? A.

1 18

B.

1 9

C.

1 6

D.

13 18

9.若 a , b , c ? 0 且 a(a ? b ? c) ? bc ? 4 ? 2 3 ,则 2a ? b ? c 的最小值为 A. 3 ? 1 B. 3 ? 1 C. 2 3 ? 2 D. 2 3 ? 2

10. 在四棱锥 S ? ABCD 中, 底面 ABCD 是边长为 a 的正方形, 顶点 S 在底面内的射影 O 在正方形 ABCD 的内部(不在边上) ,且 SO ? ? a , ? 为常数,设侧面 SAB, SBC , SCD, SDA 与底面 ABCD 所成的二面角
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依次为 ?1 , ? 2 , ?3 , ? 4 ,则下列各式为常数的是 ①cot ?1 ? cot ? 2 ③cot ? 2 ? cot ?3 A.① ② ②cot ?1 ? cot ?3 ④cot ? 2 ? cot ? 4 B.② ④ C.② ③ D.③ ④

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,一题两空 的题,其答案按先后次序填写. 11 . 设 函 数 y ? f ( x) 存 在 反 函 数 y ? f ?1 ( x) , 且 函 数 y ? 2 x ? f ( x) 的 图 象 过 点 (2,3) , 则 函 数

y ? f ?1 ( x) ? 2 x 的图象一定过点



b ?a ,x?0 ? ? 2 12.已知函数 f ( x) ? ? x x ? x 在 R 上连续,则 a ? b ? ? x ? 1, x?0 ?
13.已知 a 、 b 、 c 、 d ? R ,且满足下列两个条件:
?



① a 、 b 分别为回归直线方程 ? ? bx ? a 的常数项和一次项系数,其中 x 与 y 之间有如下对应数据: y

x
y


3 2.5

4 3 .

5 4

6 4.5

1 1 1 ? ? ;则 ac ? bd 的最小值是 c d 20


14. A、 B、 C 是球面上三点,且 AB ? 2cm , BC ? 4cm , ?ABC ? 60? ,若球心 O 到截面 ABC 的距离为

2 2cm ,则该球的表面积为

? ? x ? y ? 3 ? 0? ? ? ? 15.设 M ? ?( x, y ) | ? y ? 4 ? , Q 是 x 轴上一个动点,定点 R(2,3) ,当点 P 在 M 所表示的平面区 ? ? ? ?x ? 1 ? ?
域内运动时,设 | PQ | ? | QR | 的最小值构成的集合为 S ,则 S 中最大的数是 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. (本小题满分 10 分) (注意:在试题卷上作答无效) ......... 如图,已知 O 为 ?ABC 的外心, a, b, c分别是 角 A、B、C 的对边, ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? 且满足 CO ? AB ? BO ? CA . (Ⅰ)证明: 2a ? b ? c ; tan A tan A (Ⅱ)求 的值. ? tan B tan C
2 2 2

C

O

A 17. (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效) .........
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B

某种项目的射击比赛,开始时选手在距离目标 100m 处射击,若命中则记 3 分,且停止射击.若第一 次射击未命中,可以进行第二次射击,但需在距离目标 150m 处,这时命中目标记 2 分,且停止射击.若 第二次仍未命中,还可以进行第三次射击,此时需在距离目标 200m 处,若第三次命中则记 1 分,并停止 射击. 若三次都未命中则记 0 分, 并停止射击. 已知选手甲的命中率与目标的距离的平方成反比, 他在 100m 处击中目标的概率为

1 ,且各次射击都相互独立. 2 (Ⅰ)求选手甲在三次射击中命中目标的概率; (Ⅱ)设选手甲在比赛中的得分为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望.

18. (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效) ......... 如图,在多面体 ABCD ? A1B1C1D1 中,上、下两个底面 ABCD 和 A1 B1C1 D1 互相平行,且都是正方形,

DD1 ? 底面 ABCD , AB ? 2 A1B1 ? 2DD 1? 2a .
(Ⅰ)求异面直线 AB1 与 DD1 所成的角的余弦值; ( Ⅱ ) 试在 平 面 ADD1 A1 内 确 定一 个 点 F , 使 得 FB1 ? 平 面

D1
A1

C1

B1

D

C

BCC1 B1 ;
(Ⅲ)在(Ⅱ)条件下,求二面角 F ? CC1 ? B 的余弦值.

A

B

19. (本小题满分 13 分) (注意:在试题卷上作答无效) ......... 以 F1 (0, ?1), F2 (0,1) 为焦点的椭圆 C 过点 P ( (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

2 ,1). 2

1 ,0)的动直线 l 交椭圆 C 于 A 、 B 两点,试问:在坐标平面上是否存在一个定点 T , 3 使得无论 l 如何转动,以 A B 为直径的圆恒过点 T ? 若存在,求出点 T 的坐标;若不存在,请说明理由.
(Ⅱ)过点 S ( ? 20. (本小题满分 14 分) (注意:在试题卷上作答无效) ......... 对于函数 f ( x) ,若存在 x0 ? R, 使得 f ( x0 ) ? x0 . 则称 x0 为函数 f (x) 的一个不动点.比如函数

h( x) ? ln(1 ? x) 有唯一不动点 x ? 0. 现已知函数 f ( x) ?
(Ⅰ)试求 b 与 c 的关系式;

x2 ? a 有且仅有两个不动点 0 和 2. bx ? c

(Ⅱ) c ? 2 , 若 各项不为 0 的数列 ?an ? 满足 4S n ? f ( 通项公式; (Ⅲ)设 bn ? ?

1 ) ? 1, 其中 S n 为 ?an ? 的前 n 项和, 试求 ?an ? 的 an

1 , Tn为数列?bn ? 的前n项和. 记 A ? T2009 , B ? ln 2010, C ? T2010 ? 1, 试比较 A,B,C 的大 an
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小,并说明理由.

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21.(本小题满分 14 分) (注意:在试题卷上作答无效) ......... 已知定义在实数集上的函数 f n ( x) ? xn , n ? N ? ,其导函数记为 f n?( x) ,且满足:

f 2 (?2 ) ? f2 (?1 ) ? (?2 ? ?1 ) f2?[?1 ?

1

(Ⅰ)试求 ? 的值; (Ⅱ)设函数 f 2 n ?1 ( x) 与 f n (1 ? x) 的乘积为函数 F ( x) ,求 F ( x) 的极大值与极小值; (Ⅲ)试讨论关于 x 的方程

?

(?2 ? ?1 )] (?1 ? ?2 ) , ? , ?1 , ? 2 为常数.

f n?(1 ? x) ?n ?1 在区间 (0,1) 上的实数根的个数. ? n ?1 f n??1 (1 ? x) ? ? 1

华中师大一附中高三 2010 年五月适应性考试数学试题 理工类参考答案
一、选择题: 1. C ;2. C ;3. B ;4. B ;5. B ;6. D ;7. B ;8. A ;9. D ;10. B 二、填空题: 11. (1,0) ;12. 2 ;13. 7(3 ? 2 2) ;14. 48? cm2 ;15. 58 。 三、解答题: 16. (本小题满分 10 分) 解: (Ⅰ)取 AB、AC 的中点 E、F,则 ??? ??? ? ? ??? ??? ??? ??? ??? 1 ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 CO ? AB ? (CE ? EO) ? AB ? CE ? AB ? CB ? CA ? CB ? CA ? ? a 2 ? b2 ? ………3 分 2 2 C 1 2 2 同理 BO ? CA ? c ? a ;

?

??

?

2 2 2 2 所以 2a ? b ? c 。………5 分

?

?

(Ⅱ) tan A tan A ? cos B cos C ? sin A ? ?? ? ?? tan B tan C ? sin B sin C ? cos A
? sin ? B ? C ? ? sin A sin B ? sin C ? cos A ?

F O

……10 分 a2 ?2 b2 ? c 2 ? a 2 bc ? A 2bc E

B

17. (本小题满分 12 分) 解: 记选手甲第一、 三次射击命中目标分别为事件 A 、 、 , 二、 则 B C 三次均为击中目标为事件 D , P( A) ? 设选手甲在 x m 处击中目标的概率为 P ( x) ,则 P( x) ? ∴ k ? 5000 , P( x) ?

1 . 2

1 k k 1 .由 x ? 100 m 时 P( A) ? ,得 ? , 2 x2 1002 2

2 1 5000 .∴ P( B) ? , P(C ) ? , 9 8 x2

1 7 7 49 .…………4 分 P( D) ? P( A) P( B) P(C ) ? ? ? ? 2 9 8 144
(Ⅰ)由于各次射击都是相互独立的,所以选手甲在三次射击中击中目标的概率为

P ? P( A) ? P( A ? B) ? P( A ? B ? C ) ?

95 .…………7 分 144

(Ⅱ)由题设知, ? 的可取值为 0,1, 2,3 .

P(? ? 3) ?

1 1 2 1 1 7 1 7 49 , P(? ? 2) ? ? ? , P(? ? 1) ? ? ? ? , P(? ? 0) ? . 2 2 9 9 2 9 8 144 144
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∴ ? 的分布列为

?
P
数学期望为 E? ?

0

1

2

3

49 144
85 .…………12 分 48

7 144

1 9

1 2

18. (本小题满分 12 分) 解 法 1 : Ⅰ ) 过 A AA1 // DD1 , 且 AA1 ? DD1 , 则 ?B1 A P为 异 面 直 线 AB1 与 DD1 所 成 的 ( 角. cos ?B1 AP ?

1 3 ? .……3 分 3 3

(Ⅱ) F 为 AD 的中点。 ∵ F 为 AD 的中点,∴ BC ? 平面 FB1 A1 ,从而 BC ? FB1 。……5 分 ∵ FB12 ? GB12 ? 2a2 ? 2a2 ? 4a2 ? FG 2 ,……6 分 ∴ FB1 ? 平面 BCC1 B1 .………7 分 (Ⅲ)由 B1C1 ? 平面 CDD1C1 ,得 B1C1 ? CC1 .

D1

C1

A1

B1

P

D F
G

C

A

B

又由(2) FB1 ? 平面 BCC1 B1 ,∴由三垂线定理得, FC1 ? CC1 ,∴ ?FC1B1 是二面角 F ? CC1 ? B 的 平面角.…………10 分 ∵ FC12 ? FB12 ? B1C12 ? 3a ,∴ cos ?FC1 B1 ?

B1C1 1 3 ? ? .即二面角 F ? CC1 ? B 的余弦值为 FB1 3 3

3 .…………12 分 3
解法 2:以 D 为坐标原点, DA, DC , DD1 所在直线分别为 x, y, z 轴建立直角坐标系.…2 分 (Ⅰ)∵ AB1 ? (?a, a, a) , DD1 ? (0,0, a) ,∴ cos ? AB1 , DD1 ??

???? ?

???? ?

???? ???? ? ?

3 .……3 分 3

(Ⅱ)设 F ( x,0, z ) ,∵ BB1 ? (?a, ?a, a) , BC ? (?2a,0,0) , FB1 ? (a ? x, a, a ? z) .…… ……6 分

????

??? ?

????

???? ???? ? FB1 ? BB1 ? 0, x ? a, ? 由 FB1 ? 平面 BCC1 B1 得, ????? ??? ∴ ∴ F (a,0,0) ,即 F 为 DA 的中点. z ? 0. ? FB1 ? BC ? 0.

?

…………7 分 (Ⅲ)由(2)知, FB1 为平面 BCC1 B1 的一个法向量.
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????

设 n ? ( x1 , y1 , z1 ) 为平面 FCC1 的一个法向量,则 CC1 ? (0, ?a, a) , FC ? (?a,2a,0) .

?

???? ?

??? ?

? ???? ? ? ?n ? CC1 ? 0, ??ay1 ? az1 ? 0, ? ?? 由 ? ? ??? 令 y1 ? 1, ? x1 ? 2, z1 ? 1.∴ n ? (2,1,1) .……10 分 ??ax1 ? 2ay1 ? 0. ?n ? FC ? 0.
∴ cos ? FB1 , n ??

???? ?

3 3 ,即二面角 F ? CC1 ? B 的余弦值为 .…………12 分 3 3

19. (本小题满分 13 分) 解法一: (Ⅰ)设椭圆方程为
2

y 2 x2 ? ? 1 (a ? b ? 0) ,由已知 c ? 1 。 a 2 b2
2

? ? ? ? 又 2a ? ? 2 ? ? 22 ? ? 2 ? ? 02 ? 2 2 . ? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ?

y2 所以 a ? 2, b ? a ? c ? 1 ,椭圆 C 的方程是 x + =1.…………4 分 2
2 2 2
2

(Ⅱ)若直线 l 与 x 轴重合,则以 AB 为直径的圆是 x +y =1, …………5 分 若直线 l 垂直于 x 轴,则以 AB 为直径的圆是(x+

2

2

1 2 2 16 ) +y = .…………6 分 3 9

? x 2 ? y 2 ? 1, ? x ? 1, ? 由? 即两圆相切于点(1,0).…………7 分 1 2 16 解得 ? y ? 0. (x ? ) ? y2 ? , ? ? 3 9 ?
因此所求的点 T 如果存在,只能是(1,0). 事实上,点 T(1,0)就是所求的点.证明如下: 当直线 l 垂直于 x 轴时,以 AB 为直径的圆过点 T(1,0). 若直线 l 不垂直于 x 轴,可设直线 l:y=k(x+

1 ). 3

1 ? ? y ? k ( x ? 3 ), 1 2 ? 2 2 2 2 由? 即(k +2)x + k x+ k -2=0.………………9 分 2 3 9 ? x 2 ? y ? 1. ? ? 2
2 ? ? k2 ? 3 , ? x1 ? x2 ? 2 ? k ?2 记点 A(x1,y1),B(x2,y2),则 ? ………………10 分 1 2 ? k ?2 ?xx ? 9 . ? 1 2 k2 ? 2 ? ??? ??? 又因为 TA =(x1-1, y1), TB =(x2-1, y2),
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??? ??? 1 1 TA · TB =(x1-1)(x2-1)+y1y2=(x1-1)(x2-1)+k2(x1+ )(x2+ ) 3 3 1 2 1 2 2 =(k +1)x1x2+( k -1)(x1+x2)+ k +1 3 9 1 2 2 k ?2 1 ? k2 1 2 2 k 2 +1=0, =(k +1) 9 2 +( k -1) 23 + 3 9 k ?2 k ?2
所以 TA⊥TB,即以 AB 为直径的圆恒过点 T(1,0). 所以在坐标平面上存在一个定点 T(1,0)满足条件.…………13 分 解法二:(Ⅰ)由已知 c ? 1 ,设椭圆 C 的方程是

y2 x2 ? 2 ? 1 (a ? 1) . a2 a ?1

1 1 因为点 P 在椭圆 C 上,所以 2 ? 22 ? 1 ,解得 a 2 ? 2 , a a ?1
y2 ? 1.………………4 分 所以椭圆 C 的方程是: x ? 2
2

(Ⅱ)假设存在定点 T(u,v)满足条件.

2 2 1 2 k x+ k -2=0.………………6 分 3 9 2 ? ? k2 ? 3 , ? x1 ? x2 ? 2 k ? 2 …………7 分 记点 A(x1,y1),B(x2,y2),则 ? ? 1 2 ? k ?2 ?xx ? 9 . ? 1 2 k2 ? 2 ? ??? ??? 1 1 又因为 TA =(x1-u, y1-v), TB =(x2-u, y2-v),及 y1=k(x1+ ),y2=k(x2+ ). 3 3 ??? ??? 所以 TA · TB =(x1-u)(x2-u)+(y1-v)(y2-v)
同解法一得(k +2)x +
2 2

1 2 1 2 k -u-kv)(x1+x2)+ k2- k v+u2+v2 3 9 3 1 2 2 k ?2 1 ? k2 1 2 2 2 k 2 - k v + u2+v2, =(k +1) 9 2 +( k -u-kv)· 23 + 3 3 k ?2 k ?2 9
=(k +1)x1x2+(
2

=

(3u 2 ? 2u ? 3v2 ? 5)k 2 ? 4vk ? 6u 2 ? 6v 2 ? 6 .…………10 分 3(k 2 ? 2)
???

当且仅当 TA · TB =0恒成立时,以 AB 为直径的圆恒过点 T.

???

? 3u 2 ? 2u ? 3v 2 ? 5 ? 0, ??? ??? ? TA · =0恒成立等价于 ? ?4v ? 0, TB 解得 u=1,v=0.此时,以 AB 为直径的圆恒过定点 ?6u 2 ? 6v 2 ? 6 ? 0. ?
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T(1,0).……………………13 分 当直线 l 垂直于 x 轴时,以 AB 为直径的圆 ( x ? ) ? y ?
2 2

1 3

16 亦过点 T(1,0). 9

所以在坐标平面上存在一个定点 T(1,O)满足条件.…………13 分 解法三:(Ⅰ)同解法一或解法二.………………4 分 (Ⅱ)设坐标平面上存在一个定点 T 满足条件, 根据直线过 x 轴上的定点 S 及椭圆的对称性, 所求的点 T 如果存在,只能在 x 轴上,设 T(t,O).……5 分

2 ? ? k2 ? 3 , ? x1 ? x2 ? 2 ? k ?2 同解法一得 ? ………………7 分 1 2 ? k ?2 ?xx ? 9 . ? 1 2 k2 ? 2 ? ??? ??? 又因为 TA =(x1-t, y1), TB =(x2-t, y2),所以
??? ??? 1 1 TA · TB =(x1-t)(x2-t)+y1y2=(x1-t)(x2-t)+k2(x1+ )(x2+ ) 3 3 1 2 1 2 2 2 =(k +1)x1x2+( k -t)(x1+x2)+ k +t 3 9 1 2 2 k ?2 1 ? k2 1 2 2 2 2 =(k +1) 9 2 +( k -t) 23 + k +t 3 k ?2 k ?2 9
=

(3t 2 ? 2t ? 5)k 2 ? 6t 2 ? 6 .…………………………10 分 3(k 2 ? 2)

当且仅当 TA · TB =O 恒成立时,以 AB 为直径的圆恒过点 T.

???

???

??? ??? ? 3t 2 ? 2t ? 5 ? 0, TA · TB =O 恒成立等价于 ? 2 解得 t=1. ?6t ? 6 ? 0.
所以当 t=1 时,以 AB 为直径的圆恒过点 T.……………………12 分 当直线 l 垂直于 x 轴时,以 AB 为直径的圆 ( x ? ) ? y ?
2 2

1 3

16 亦过点 T(1,O). 9

所以在坐标平面上存在一个定点 T(1,O)满足条件.………………13 分

20. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)由 x ?

x2 ? a 得, (b ? 1) x2 ? cx ? a ? 0 。由题设知 x ? 0, x ? 2 为该方程的两个根。 bx ? c

? a ? 0,0 ? 2 ?

c ,即:b ? c ? 2且c ? 0.???? (2分) 2 b ?1

(Ⅱ)若 c=2,则 b=2.? f ( x) ?

x2 1 .又由4S n ? f ( ) ? 1得: 2x ? 2 an

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? 1 ? ? ? ?a ? 2 2 4S n ? ? n ? ? 1 ? 2 S n ? a n ? a n , …①,又由 2S n?1 ? an?1 ? an?1 ………② 1 2( ) ? 2 an
2 2 ②式-①式可得: 2an?1 ? an?1 ? an?1 ? an ? an ? (an?1 ? an ) ? (an ? an?1 ? 1) ? 0

2

? an?1 ? an ? 0或an ? an?1 ? 1???? 4分) (
2 当 n =1 时,有 2a1 ? a1 ? a1 得a1 ? (舍)或 1 ? ?1. 0 a

当an ? an?1 ? 0时,a2 ? 1.但a2 ? 1不在函数f ( x) ?

x2 ? 的定义域内, an ? an?1 ? 0 …………6 分 2x ? 2

故 an?1 ? an ? ?1,即?an ? 为等差数列,a n ? ?n.????(7分) ? (Ⅲ)? bn ? ?

1 1 1 1 1 ? ,? Tn ? 1 ? ? ? ? ? , an n 2 3 n
1 1 1 ? ln ?1 ? ? ? .???? (8分) ? n? n n ?1 ? ?

以下首先证明不等式

1 1 事实上要证 ln ?1 ? ? ? , 可构造函数? ( x) ? ln(1 ? x) ? x( x ? 0), ? n? n ? ?
则 ? ( x) ?
'

1 ? 1 ? 0对一切 x ? 0恒成立, ? ( x)在(0,?? )上单调递减 . ? 1? x

1 1 1 ?? ( x) ? ? (0) ? 0,即 : ln(1 ? x) ? x ? 0, 也即: ? x) ? x, 我们取x ? ,? ln ?1 ? ? ? .? 9分) 一 方 面 我 ln(1 另 ? n? n ( n ? ?
们又设函数 g ( x) ?

x ? ln(1 ? x)( x ? 0) ,则 1? x

g ?( x) ?

(1 ? x) ? x 1 1 1 ?x ? ? ? ? ? 0。 2 2 1 ? x (1 ? x) 1 ? x (1 ? x) 2 (1 ? x)

x 故 g ( x) 在 (0,??) 上单调递减,? g ( x) ? g (0) ? 0,即 ? ln(1 ? x)( x ? 0). 1? x
1 1 1 1 ? 1? ( 我们取 x ? ,? n ? ln ?1 ? ? ? ? n ? n ? 1 ? ln ?1 ? n ? .??? 12分) n 1 ? ? ? ? 1? n
综上:

1 1 1 1 n ?1 1 1 1 ? ln ?1 ? ? ? ,即 ? ln ? , 也即: ? ln( n ? 1) ? ln n ? , ? n? n n ?1 n ?1 n n n ?1 n ? ?

分别令 n =1,2,3,…,2009 得:

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1 1 ? ln 2 ? ln1 ? , 2 1 1 1 ? ln 3 ? ln 2 ? , 3 2 1 1 ? ln 4 ? ln 3 ? , 4 3 ?? 1 1 ? ln 2010 ? ln 2009 ? ,???? 13分) ( 2010 2009
( . 将这 2009 个式子累加得: T2010 ? 1 ? ln 2010 ? T2009 ,即C ? B ? A??? 14分)
21.(本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ) f 2 ( x) ? x2 ,则 f 2 ?( x) ? 2 x ,??22 ? ?12 ? 2(?2 ? ?1 )[?1 ?

1

?

(?2 ? ?1 )] ,又 ?1 ? ?2 ,

2 …………2 分 ??2 ? ?1 ? ?1 ? ( ?2 ? ?) ? ? ? . 2 2 1

?

(Ⅱ)令 y ? F ( x) ? f 2n?1 ( x) ? f n (1 ? x) ? (1 ? x)n ? x2n?1 ,则

y? ? ?n(1 ? x)n?1 ? x2n?1 ? (2n ? 1) x2n?2 ? (1 ? x)n ? x2n?2 ? (1 ? x)n?1[(2n ? 1) ? (3n ? 1) x] ,…3 分 2n ? 1 令 y ? ? 0 ,得 x1 ? 0, x 2 ? , x3 ? 1 ,且 x1 ? x2 ? x3 , 3n ? 1 当 n 为正偶数时,随 x 的变化, y? 与 y 的变化如下:

x
y?

(??,0)

0

(0,

?

0

2n ? 1 ) 3n ? 1 ?

2n ? 1 3n ? 1
0 极大值

(

2n ? 1 ,1) 3n ? 1 ?

1
0

(1, ??)

?

y
所以当 x ?

极小值

(2n ? 1) 2 n ?1 ? n n 2n ? 1 时, y 极大= ;当 x ? 1 时, y 极小=0.…………7 分 (3n ? 1)3n ?1 3n ? 1

当 n 为正奇数时,随 x 的变化, y? 与 y 的变化如下:

x
y?

(??,0)

0

(0,

?

0

2n ? 1 ) 3n ? 1 ?

2n ? 1 3n ? 1
0 极大值

(

2n ? 1 ,1) 3n ? 1 ?

1
0

(1, ??)

?

y
所以当 x ?

(2n ? 1) 2 n ?1 ? n n 2n ? 1 时, y 极大= ;无极小值.…………10 分 (3n ? 1)3n ?1 3n ? 1 f n?(1 ? x) 2n ? 1 n(1 ? x)n ?1 2n ? 1 ? n ?1 ? n ?1 ( x ? ?1) , ,即 f n??1 (1 ? x) 2 ? 1 (n ? 1)(1 ? x)n 2 ? 1

(Ⅲ)由(Ⅰ)知, 所以方程为

n 1 2n ? 1 ? ? n ?1 ( x ? ?1) ,…………11 分 (n ? 1) 1 ? x 2 ? 1

?x ?

n(2n ?1 ? 1) ? (n ? 1)(2n ? 1) 1 ? (n ? 1)2n ? ? 0 ,…………12 分 (n ? 1)(2n ? 1) (n ? 1)(2n ? 1) n ? 2 ? 2n ?1 ,而对于 n ? N ? ,有 2n ?1 ? n ? 2 (利用二项式定理可证) , (n ? 1)(2n ? 1)
第 11 页 共 12 页

又 x ?1 ?

? x ? 1 。…………13 分

综上,对于任意给定的正整数 n ,方程只有唯一实根,且总在区间 (0,1) 内,所以原方程在区间 (0,1) 上 有唯一实根.…………14 分

第 12 页 共 12 页


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