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高中数学基础知识完全总结(文科类)


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高中数学(文科)基础知识整合
第一部分 集合
1. 理解集合中元素的意义 是解决集合问题的关键: 元素是函数关系中自变量的取值?还是因变量的取值?还是曲 ..... 线上的点?? ; 2.数形结合 是解集合问题的常用方法:解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具,将抽象的代数 .... 问题具体化、形象化、直观化,然后利用数形结合的思想方法解决; ? 是任何集合的子集,是任何非空集合的真 子集。 3.(1)含 n 个元素的集合的子集数为 2n,真子集数为 2n-1;非空真子集的数为 2n-2; (2) A ? B ? A ? B ? A ? A ? B ? B; 注意:讨论的时候不要遗忘了 A ? ? 的情况; (3) CI ( A ? B) ? (CI A) ? (CI B);CI ( A ? B) ? (CI A) ? (CI B) 。

第二部分

函数与导数

1.映射:注意 ①第一个集合中的元素必须有象;②一对一,或多对一。 2.函数值域的求法:①分析法 ;②配方法 ;③判别式法 ;④利用函数单调性 ; ⑤换元法 ;⑥利用均值不等式
x

a?b ab ? ? 2

a2 ? b2 ; ⑦利用数形结合或几何意义(斜率、距离、绝对值的意 2

义等);⑧利用函数有界性( a 、 sin x 、 cos x 等);⑨导数法 3.复合函数的有关问题(1)复合函数定义域求法:① 若 f(x)的定义域为[a,b],则复合函数 f[g(x)]的定义域由 不等式 a≤g(x)≤b 解出② 若 f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域,相当于 x∈[a,b]时,求 g(x)的值域。 (2) 复合函数单调性的判定: ①首先将原函数 y ? f [ g ( x)] 分解为基本函数: 内函数 u ? g ( x) 与外函数 y ? f (u ) ; ②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性;③根据“同性则增,异性则减”来判断原函数在其定义域内的 单调性。 注意:外函数 y ? f (u ) 的定义域是内函数 u ? g ( x) 的值域。 4.分段函数:值域(最值)、单调性、图象等问题,先分段解决,再下结论。 5.函数的奇偶性⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件 ; .... ⑵ f ( x) 是奇函数 ? f (? x) ? ? f ( x) ? f (? x) ? f ( x) ? 0 ? f (? x) ? ?1 ;
f ( x)

⑶ f ( x) 是偶函数 ? f (? x) ? f ( x) ? f (? x) ? f ( x) ? 0 ? f (? x) ? 1 ;
f ( x)

⑷奇函数 f ( x) 在原点有定义,则 f (0) ? 0 ; ⑸在关于原点对称的单调区间内:奇函数有相同的单调性,偶函数有相反的单调性; (6)若所给函数的解析式较为复杂,应先等价变形,再判断其奇偶性; 6.函数的单调性 ⑴单调性的定义: f ( x) 在区间 M 上是增(减)函数 ? ?x1 , x2 ? M , 当 x1 ? x 2 时

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f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0(? 0) ? ( x1 ? x2 )[ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? 0(? 0) ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0(? 0) ; x1 ? x2

⑵单调性的判定定义法:注意:一般要将式子 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 化为几个因式作积或作商的形式,以利于判断符号;② 导数法(见导数部分);③复合函数法(见 2 (2));④图像法。 注:证明单调性主要用定义法和导数法。 7.函数的周期性 (1)周期性的定义:对定义域内的任意 x ,若有 f ( x ? T ) ? f ( x) (其中 T 为非零常数),则称函数 f ( x) 为周期 函数, T 为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明,遇到的周期都指最小 正周期。 (2)三角函数的周期 ① y ? sin x : T ? 2? ;② y ? cos x : T ? 2? ;③ y ? tan x : T ? ? ;④

y ? A sin(?x ? ? ), y ? A cos(?x ? ? ) : T ?

? 2? ;⑤ y ? tan?x : T ? ; |? | |? |

⑶函数周期的判定:①定义法(试值) ②图像法 ③公式法(利用(2)中结论) ⑷与周期有关的结论: ① f ( x ? a) ? f ( x ? a) 或 f ( x ? 2a) ? f ( x)(a ? 0) ? f ( x) 的周期为 2 a ; ② y ? f ( x) 的 图象关于点 (a,0), (b,0) 中心对称 ? f ( x) 周期 2 a ? b ; ③ y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? a, x ? b 轴对称 ? f ( x) 周期为 2 a ? b ; ④ y ? f ( x) 的图象关于点 ( a,0) 中心对称,直线 x ? b 轴对称 ? f ( x) 周期 4 a ? b ; 8.基本初等函数的图像与性质 ⑴幂函数: y ? x ? ( ? ? R) ;⑵指数函数: y ? a x (a ? 0, a ? 1) ; ⑶对数函数: y ? loga x(a ? 0, a ? 1) ;⑷正弦函数: y ? sin x ;
2 ⑸余弦函数: y ? cos x ;(6)正切函数: y ? tan x ;⑺一元二次函数: ax ? bx ? c ? 0 ;

⑻ 其 它 常 用 函 数 : ① 正 比 例 函 数 : y ? kx(k ? 0) ; ② 反 比 例 函 数 : y ?

k 1 ( k ? 0) ; 特 别 的 y ? , 函 数 x x

y ? x?

a (a ? 0) ; x
2 2

9.二次函数:⑴解析式:①一般式: f ( x) ? ax ? bx ? c ;②顶点式: f ( x) ? a( x ? h) ? k , ( h, k ) 为顶点;③零 点式: f ( x) ? a( x ? x1 )(x ? x2 ) 。 ⑵二次函数问题解决需考虑的因素:①开口方向;②对称轴;③端点值;④与坐标轴交点;⑤判别式;⑥两根符号。 ⑶二次函数问题解决方法:①数形结合;②分类讨论。 10.函数图象⑴图象作法 :①描点法(注意三角函数的五点作图)②图象变换法③导数法
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⑵图象变换: ① 平移变换:ⅰ y ? f ( x) ? y ? f ( x ? a) , ( a ? 0) ———左“+”右“-”; ⅱ y ? f ( x) ? y ? f ( x) ? k , (k ? 0) ———上“+”下“-”; ② 伸缩变换: ⅰ y ? f ( x) ? y ? f (?x) , ( ? ? 0) ———纵坐标不变,横坐标伸长为原来的

1

?

倍;

ⅱ y ? f ( x) ? y ? Af ( x) , ( A ? 0) ———横坐标不变,纵坐标伸长为原来的 A 倍;

?? y ? ? f (? x) ;ⅱ y ? f ( x) ??? y ? ? f ( x) ; ③ 对称变换:ⅰ y ? f ( x) ??
( 0, 0 )

y ?0

? y? f ⅲ y ? f ( x) ??? y ? f (? x) ; ⅳ y ? f ( x) ???
④ 翻转变换:

x ?0

y?x

?1

( x) ;

ⅰ y ? f ( x) ? y ? f (| x |) ———右不动,右向左翻( f ( x) 在 y 左侧图象去掉); ⅱ y ? f ( x) ? y ?| f ( x) | ———上不动,下向上翻(| f ( x) |在 x 下面无图象); 11.函数图象(曲线)对称性的证明 (1)证明函数 y ? f ( x) 图像的对称性,即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上; (2)证明函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 图象的对称性,即证明 y ? f ( x) 图象上任意点关于对称中心(对称轴)的 对称点在 y ? g ( x) 的图象上,反之亦然; 注:①曲线 C1:f(x,y)=0 关于点(a,b)的对称曲线 C2 方程为:f(2a-x,2b-y)=0; ②曲线 C1:f(x,y)=0 关于直线 x=a 的对称曲线 C2 方程为:f(2a-x, y)=0; ③曲线 C1:f(x,y)=0,关于 y=x+a(或 y=-x+a)的对称曲线 C2 的方程为 f(y-a,x+a)=0(或 f(-y+a,-x+a)=0);④

?? y=f(x)图像关于直线 x= f(a+x)=f(b-x) (x∈R) ?

a?b 对称; 2

?? y=f(x)图像关于直线 x=a 对称; 特别地:f(a+x)=f(a-x) (x∈R) ?
⑤函数 y=f(x-a)与 y=f(b-x)的图像关于直线 x=

a?b 对称; 2

12.函数零点的求法:⑴直接法(求 f ( x) ? 0 的根);⑵图象法;⑶二分法. 13.导数 ⑴导数定义:f(x)在点 x0 处的导数记作 y ?
x ? x0

? f ?( x0 ) ? lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ; ?x

' n ' n?1 ' ⑵常见函数的导数公式: ① C ? 0 ;② ( x ) ? nx ;③ (sin x) ? cos x ;

' x ' x x ' x ④ (cosx) ? ? sin x ;⑤ (a ) ? a ln a ;⑥ (e ) ? e ;⑦ (log a x) ?
'

1 ; x ln a

⑧ (ln x ) ?
'

1 u u ?v ? uv ? 。⑶导数的四则运算法则: (u ? v)? ? u ? ? v ?; (uv )? ? u ?v ? uv ?; ( )? ? ; x v v2
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⑸导数的应用:①利用导数求切线:注意:ⅰ所给点是切点吗?ⅱ所求的是“在”还是“过”该点的切线?②利 用导数判断函数单调性:ⅰ f ?( x) ? 0 ? f ( x) 是增函数; ⅱ f ?( x) ? 0 ? f ( x) 为减函数;ⅲ f ?( x) ? 0 ? f ( x) 为常数; ③利用导数求极值:ⅰ求导数 f ?( x) ;ⅱ求方程 f ?( x) ? 0 的根;ⅲ列表得极值。 ④利用导数最大值与最小值:ⅰ求的极值;ⅱ求区间端点值(如果有);ⅲ得最值。

三角函数、三角恒等变换与解三角形 ? 180 ? ? ? ) ? 57?18' 1.⑴角度制与弧度制的互化: ? 弧度 ? 180 , 1 ? 弧度, 1 弧度 ? ( 180 ? 1 2 1 ⑵弧长公式: l ? ?R ;扇形面积公式: S ? ?R ? Rl 。 2 2
2.三角函数定义:角 ? 中边上任意一点 P 为 ( x, y ) ,设 | OP |? r 则:

第三部分

sin ? ?

y x y , cos ? ? , tan ? ? r r x

3.三角函数符号规律:一全正,二正弦,三两切,四余弦; 4.诱导公式记忆规律:“函数名不(改)变,符号看象限”; 5.⑴ y ? A sin(?x ? ? ) 对称轴: x ?
k? ?

?
2

??

?

;对称中心: (
k? ?

k? ? ? ,0)( k ? Z ) ; ?
?? ,0)(k ? Z ) ;

?
2

⑵y?

A cos(?x ? ? ) 对称轴: x ? k? ? ? ;对称中心: (
?
2 2

?

6.同角三角函数的基本关系: sin x ? cos x ? 1;

sin x ? tan x ; cos x

7.两角和与差的正弦、余弦、正切公式:① sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ;

? ? ?) ? ② cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ; ③ tan(
8.二倍角公式:① sin 2? ? 2 sin ? cos ? ;

tan? ? tan ? 。 1 ? tan? tan ?
2 tan ? 。 1 ? tan 2 ?

2 2 2 2 ② cos2? ? cos ? ? sin ? ? 2 cos ? ? 1 ? 1 ? 2 sin ? ;③ tan 2? ?

1 ? cos 2? 1 ? cos 2? 1 ;cos 2 ? ? ; sin ? cos ? ? sin 2? . 2 2 2 a b c ? ? ? 2 R ( 2 R 是 ?ABC 外接圆直径) 9.正、余弦定理⑴正弦定理 sin A sin B sin C
*降幂公式: sin ? ?
2

注:① a : b : c ? sin A : sin B : sin C ;② a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C ;③

a b c a?b?c ? ? ? 。 sin A sin B sin C sin A ? sin B ? sin C
⑵余弦定理: a ? b ? c ? 2bc cos A 等三个;注: cos A ?
2 2 2

b2 ? c2 ? a2 等三个。 2bc

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10。几个公式:⑴三角形面积公式: S ?ABC ?

1 1 ah ? ab sin C ? 2 2

p( p ? a)( p ? b)( p ? c) , ( p ?

1 (a ? b ? c)) ; 2

⑵内切圆半径 r= 2 S ?ABC ;外接圆直径 2R=
a?b?c

a b c ? ? ; sin A sin B sin C

11.已知 a, b, A 时三角形解的个数的判定: C b h A a 其中 h=bsinA,⑴A 为锐角时:①a<h 时,无解; ②a=h 时,一解(直角);③h<a<b 时,两解(一锐 角,一钝角);④a ? b 时,一解(一锐角)。 ⑵A 为直角或钝角时:①a ? b 时,无解;②a>b 时, 一解(锐角)。

第四部分

立体几何

1.三视图与直观图:注:原图形与直观图面积之比为 2 2 : 1。 2.表(侧)面积与体积公式: ⑴柱体:①表面积:S=S 侧+2S 底;②侧面积:S 侧= 2?rh ;③体积:V=S 底 h ⑵锥体:①表面积:S=S 侧+S 底;②侧面积:S 侧= ?rl ;③体积:V=

1 S 底 h: 3 1 (S+ SS ' ? S ' )h;⑷球体: 3

⑶台体:①表面积:S=S 侧+S 上底 S 下底;②侧面积:S 侧= ? (r ? r ' )l ;③体积:V=
2 ①表面积:S= 4?R ;②体积:V= ?R

4 3

3



3.位置关系的证明(主要方法): ⑴直线与直线平行:①公理 4;②线面平行的性质定理;③面面平行的性质定理。 ⑵直线与平面平行:①线面平行的判定定理;②面面平行 ? 线面平行。 ⑶平面与平面平行:①面面平行的判定定理及推论;②垂直于同一直线的两平面平行。 ⑷直线与平面垂直:①直线与平面垂直的判定定理;②面面垂直的性质定理。 ⑸平面与平面垂直:①定义---两平面所成二面角为直角;②面面垂直的判定定理。 4.求角:(步骤-------Ⅰ。找或作角;Ⅱ。求角) ⑴异面直线所成角的求法:①平移法:平移直线,构造三角形; ②补形法:补成正方体、平行六面体、长方体等,发现两条异面直线间的关系。 ⑵直线与平面所成的角:①直接法(利用线面角定义);②先求斜线上的点到平面距离 h,与斜线段长度作比, 得 sin ? 。 ⑶二面角的求法:①定义法:在二面角的棱上取一点(特殊点),作出平面角,再求解; 6.结论:⑴从一点 O 出发的三条射线 OA、OB、OC,若∠AOB=∠AOC,则点 A 在平面∠BOC 上的射影在∠

? 2; ⑶正棱锥的各侧面与底面所成的角相等 BOC 的平分线上; ⑵立平斜公式(最小角定理公式):cos? ? cos?1 cos
记为 ? ,则 S 侧 cos ? =S 底; ⑷长方体的性质①长方体体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为 ? , ? , ? , 则:cos2 ? +cos2 ? +cos2 ? =1; sin2 ? +sin2 ? +sin2 ? =2 。

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②长方体体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为 ? , ? , ? , 则有 cos2 ? +cos2 ? +cos2 ? =2; sin2 ? +sin2 ? +sin2 ? =1 。 ⑸正四面体的性质:设棱长为 a ,则正四面体的: ① 高: h ?

1 6 2 6 a ;②对棱间距离: a ;③相邻两面所成角余弦值: ;④内切球半径: a ;外接球半径: 3 3 2 12

6 a; 4

第五部分

直线与圆
x y ? ? 1 ;⑷两点式: a b

1.直线方程⑴点斜式: y ? y? ? k ( x ? x? ) ;⑵斜截式: y ? kx ? b ;⑶截距式:

y ? y1 x ? x1 ? y 2 ? y1 x2 ? x1
向量( A, B )

;⑸一般式: Ax ? By ? C ? 0 ,(A,B 不全为 0)。(直线的方向向量:( B,? A) ,法

2.求解线性规划问题的步骤是: (1)列约束条件;(2)作可行域,写目标函数;(3)确定目标函数的最优解。 3.两条直线的位置关系: 直线方程 平行的充要条件 垂直的充要条件 备注

l1 : y ? k1 x ? b1 l 2 : y ? k 2 x ? b2
l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0

k1 ? k 2, b1 ? b2

k1 ? k 2 ? ?1
A1 A2 ? B1 B2 ? 0

l1 , l 2 有斜率
不可写成

A1 B2 ? A2 B1 , 且

4.几个公式 l 2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 B1C2 ? B2C1 (验证)

分式 x ? x 2 ? x3 y1 ? y 2 ? y 3 ⑴设 A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),⊿ABC 的重心 G:( 1 ); , 3 3 ⑵点 P(x0,y0)到直线 Ax+By+C=0 的距离: d ?
Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2



⑶两条平行线 Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2=0 的距离是 d ? C1 ? C 2 ; A2 ? B 2 5.圆的方程:⑴标准方程:① ( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2 2

;② x ? y ? r
2 2

2



⑵一般方程: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2 2

( D ? E ? 4F ? 0)
2 2

注:Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示圆 ? A=C≠0 且 B=0 且 D2+E2-4AF>0; 6.圆的方程的求法:⑴待定系数法;⑵几何法;⑶圆系法。 7.点、直线与圆的位置关系:(主要掌握几何法)
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⑴点与圆的位置关系:( d 表示点到圆心的距离) ① d ? R ? 点在圆上;② d ? R ? 点在圆内;③ d ? R ? 点在圆外。 ⑵直线与圆的位置关系:( d 表示圆心到直线的距离) ① d ? R ? 相切;② d ? R ? 相交;③ d ? R ? 相离。 ⑶圆与圆的位置关系:( d 表示圆心距, R, r 表示两圆半径,且 R ? r ) ① d ? R ? r ? 相离;② d ? R ? r ? 外切;③ R ? r ? d ? R ? r ? 相交; ④ d ? R ? r ? 内切;⑤ 0 ? d ? R ? r ? 内含。 8.与圆有关的结论: ⑴过圆 x2+y2=r2 上的点 M(x0,y0)的切线方程为:x0x+y0y=r2; 过圆(x-a)2+(y-b)2=r2 上的点 M(x0,y0)的切线方程为:(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2; ⑵以 A(x1,y2)、B(x2,y2)为直径的圆的方程:(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0。

第六部分

圆锥曲线

1.定义:⑴椭圆: | MF1 | ? | MF2 |? 2a, (2a ?| F1 F2 |) ; ⑵双曲线: || MF1 | ? | MF2 ||? 2a, (2a ?| F1 F2 |) ;⑶抛物线:略 2.结论 ⑴焦半径:①椭圆: PF 1 ? a ? ex0 , PF 2 ? a ? ex0 (e 为离心率); (左“+”右“-”);②抛物线:

PF ? x 0 ?

p 2

⑵弦长公式: AB ? 1 ? k 2 ? x2 ? x1 ? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ]

? 1?

1 1 ? y2 ? y1 ? (1 ? 2 ) ? [( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ] ; 2 k k

注:(Ⅰ)焦点弦长:①椭圆: | AB |? 2a ? e( x1 ? x2 ) ;②抛物线: AB =x1+x2+p= 短弦):①椭圆、双曲线: 2b ;②抛物线:2p。
a
2

2p ;(Ⅱ)通径(最 sin 2 ?

⑶过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为: mx2 ? ny2 ? 1 ( m, n 同时大于 0 时表示椭圆, mn ? 0 时表示双曲 线); ⑷椭圆中的结论:①内接矩形最大面积 :2ab; ②P,Q 为椭圆上任意两点,且 OP ? 0Q,则

1 1 1 1 ? ? 2 ? 2 ; 2 2 | OP | | OQ | a b

③椭圆焦点三角形:<Ⅰ>. S ?PF1F2 ? b tan
2

?
2

,( ? ? ?F1 PF2 );<Ⅱ>.点 M 是 ?PF 1 F2 内心, PM 交 F1 F2

于点 N ,则

| PM | a ? | MN | c



④当点 P 与椭圆短轴顶点重合时 ?F1 PF2 最大; ⑸双曲线中的结论: 2 2 2 2 ①双曲线 x ? y ? 1(a>0,b>0)的渐近线: x ? y ? 0 ; a2 b2 a2 b2
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②共渐进线 y ? ?

b x2 y2 x 的双曲线标准方程为 2 ? 2 ? ? (? 为参数, ? ≠0); a a b

③双曲线焦点三角形:<Ⅰ>. S ?PF1F2 ?

b2 tan

?
2

,( ? ? ?F1 PF2 );<Ⅱ>.P 是双曲线

x2 y2 - =1(a>0,b>0)的左 a2 b2

(右)支上一点,F1、F2 分别为左、右焦点,则△PF1F2 的内切圆的圆心横坐标为 ? a, (a) ; ④双曲线为等轴双曲线 ? e ? (6)抛物线中的结论:
2 ①抛物线 y2=2px(p>0)的焦点弦 AB 性质:<Ⅰ>. x1x2= p ;y1y2=-p2; 4

2 ? 渐近线为 y ? ? x ? 渐近线互相垂直;

<Ⅱ>.

1 1 2 ? ? ;<Ⅲ>.以 AB 为直径的圆与准线相切;<Ⅳ>.以 AF(或 BF)为直径的圆与 y 轴 | AF | | BF | p p2 。 2 sin ?

相切;<Ⅴ>. S ?AOB ?

②抛物线 y2=2px(p>0)内结直角三角形 OAB 的性质: <Ⅰ>. x1 x2 ? 4P 2 , y1 y 2 ? ?4P 2 ; <Ⅱ>. l AB 恒过定点 (2 p,0) ;

<Ⅲ>. A, B 中点轨迹方程: y 2 ? p( x ? 2 p) ;<Ⅳ>. OM ? AB ,则 M 轨迹方程为: ( x ? p) 2 ? y 2 ? p 2 ;< Ⅴ>. (S ?AOB ) min ? 4 p 2 。 ③抛物线 y2=2px(p>0),对称轴上一定点 A(a,0) ,则: <Ⅰ>.当 0 ? a ? p 时,顶点到点 A 距离最小,最小值为 a ;<Ⅱ>.当 a ? p 时,抛物线上有关于 x 轴对称的两 点到点 A 距离最小,最小值为 2ap ? p 2 。 3.直线与圆锥曲线问题解法: ⑴直接法(通法):联立直线与圆锥曲线方程,构造一元二次方程求解。 注意以下问题:①联立的关于“ x ”还是关于“ y ”的一元二次方程? ②直线斜率不存在时考虑了吗?③判别式验证了吗? ⑵设而不求(代点相减法):--------处理弦中点问题 步骤如下:①设点 A(x1,y1)、B(x2,y2);②作差得 k
AB

?

y1 ? y 2 ? ?? ;③解决问题。 x1 ? x 2

4.求轨迹的常用方法: (1)定义法:利用圆锥曲线的定义; (2)直接法(列等式);(3)代入法(相关点法或转移法);⑷待定系 数法;(5)参数法;(6)交轨法。

第七部分

平面向量

⑴设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则:① a∥b(b≠0) ? a= ? b ( ? ? R) ? x1y2-x2y1=0;

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② a⊥b(a、b≠0) ? a·b=0 ? x1x2+y1y2=0 . ⑵a·b=|a||b|cos<a,b>=x2+y1y2; 注:①|a|cos<a,b>叫做 a 在 b 方向上的投影;|b|cos<a,b>叫做 b 在 a 方向 上的投影;②a·b 的几何意义:a·b 等于|a|与|b|在 a 方向上的投影|b|cos<a,b>的乘积。⑶cos<a,b>=

a ?b ; | a || b |

⑷三点共线的充要条件 P,A,B 三点共线 ? OP ? xOA ? yOB(且x ? y ? 1) ;

第八部分
1.定义:

数列

⑴等差数列 {an} ? an ?1 ? an ? d (d为常数) ? 2an ? an?1 ? an?1 (n ? 2, n ? N*)

? an ? kn ? b ? sn ? An2 ? Bn ;
⑵等比数列 {an } ?

an ?1 2 ? q(q ? 0) ? an ? an -1 ? an ?1 (n ? 2, n ? N) an

? an ? cqn (c, q均为不为 0的常数) ? Sn ? k ? kqn (q ? 0, q ? 1, k ? 0) ;
2.等差、等比数列性质 等差数列 通项公式 等比数列

an ? a1 ? (n ? 1)d
n(a1 ? a n ) n(n ? 1) Sn ? ? na1 ? d 2 2

an ? a1q n?1
1.q ? 1时,S n ? na1 ; a1 (1 ? q n ) 2.q ? 1时,S n ? 1? q a ? an q ? 1 1? q
①an=amqn-m; ②m+n=p+q 时 aman=apaq ③ S k , S 2k ? S k , S3k ? S 2k ,? 成 GP ④ ak , ak ?m , ak ?2m ,?成 GP, q' ? q
m

前 n 项和

性质

①an=am+ (n-m)d, ②m+n=p+q 时 am+an=ap+aq ③ S k , S 2k ? S k , S3k ? S 2k ,? 成 AP ④ ak , ak ?m , ak ?2m ,?成 AP, d ' ? md

等差数列特有性质:①项数为 2n 时:S2n=n(an+an+1)=n(a1+a2n); S 偶 ? S奇 ? nd ;

S奇 S偶

?

an ;②项数为 2n-1 时: a n ?1

S2n-1=(2n-1) a中 ; S奇 - S偶 ? a中 ;

S奇 S偶

?

n ; n -1

③若 an ? m, am ? n, (m ? n),则am?n ? 0 ;若 S n ? m, S m ? n, 则S m?n ? ?(m ? n) ; 若 S n ? S m , (m ? n),则S m?n ? 0 。 3.数列通项的求法: S1 (n=1) Sn- Sn-1 (n≥2) 大学视频 院校库 选校网 www.xuanxiao.com 专业大全 历年分数线 上万张大学图片

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an= ⑴分析法;⑵定义法(利用 AP,GP 的定义);⑶公式法:累加法( an ?1 ? an ? cn ; ⑷叠乘法(

an?1 ? cn 型);⑸构造法( an?1 ? kan ? b 型);(6)迭代法; an
1 1 ? ? 4 );⑻作商法( a1a2 ?an ? cn 型);⑼待定系数法; an an?1

⑺间接法(例如: a n ?1 ? a n ? 4a n a n ?1 ? ⑽(理科)数学归纳法。 注:当遇到 an ?1 ? an?1 ? d或

an?1 ? q 时,要分奇数项偶数项讨论,结果是分段形式。 an?1

4.前 n 项和的求法:⑴拆、并、裂项法;⑵倒序相加法;⑶错位相减法。 5.等差数列前 n 项和最值的求法:
a n ? 0 ? ?a n ? 0 ? ⑴? ? 或? ? ? ? ? ?a n ?1 ? 0? ?a n ?1 ? 0 ?

;⑵利用二次函数的图象与性质。

第九部分
1.均值不等式: ab ?

不等式

a?b ? 2

a2 ? b2 2
a ? b 2 a2 ? b2 。 ) ? 2 2

注意:①一正二定三相等;②变形, ab ? (

2.绝对值不等式: || a | ? | b ||?| a ? b |?| a | ? | b | 3.不等式的性质: ⑴ a ? b ? b ? a ;⑵ a ? b, b ? c ? a ? c ;⑶ a ? b ? a ? c ? b ? c ; a ? b, c ? d

? a ? c ? b ? d ;⑷ a ? b, c ? 0 ? ac ? bd ; a ? b, c ? 0 ? ac ? bc ; a ? b ? 0,

c ? d ? 0 ? ac ? bd ;⑸ a ? b ? 0 ? a n ? b n ? 0(n ? N ? ) ;(6) a ? b ? 0 ?
n

a ? n b (n ? N ? ) 。
第十部分 复数

4.不等式等证明(主要)方法:⑴比较法:作差或作比;⑵综合法;⑶分析法。 1.概念: ⑴z=a+bi∈R ? b=0 (a,b∈R) ? z= z ? z2≥0; ⑵z=a+bi 是虚数 ? b≠0(a,b∈R); ⑶z=a+bi 是纯虚数 ? a=0 且 b≠0(a,b∈R) ? z+ z =0(z≠0) ? z2<0; ⑷a+bi=c+di ? a=c 且 c=d(a,b,c,d∈R); 2.复数的代数形式及其运算:设 z1= a + bi , z2 = c + di (a,b,c,d∈R),则: (1) z 1± z2 = (a + b) ± (c + d)i;⑵ z1.z2 = (a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+ (ad+bc)i;⑶z1÷z2 =

(a ? bi)(c ? di) ? (c ? di)(c ? di)

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ac ? bd bc ? ad (z ≠0) ; ? i 2 c2 ? d 2 c2 ? d 2

3.几个重要的结论:
2 2 2 2 2 2 2 (1) z1 ? z2 ? z1 ? z2 ? 2( z1 ? z2 ); (2) z ? z ? z ? z ;⑶ (1 ? i) ? ?2i ;⑷

1? i 1? i ? i; ? ?i; 1? i 1? i

第十一部分

概率

1.事件的关系: ⑴事件 B 包含事件 A:事件 A 发生,事件 B 一定发生,记作 A ? B ; ⑵事件 A 与事件 B 相等:若 A ? B, B ? A ,则事件 A 与 B 相等,记作 A=B; ⑶并(和)事件:某事件发生,当且仅当事件 A 发生或 B 发生,记作 A ? B (或 A ? B ); ⑷并(积)事件:某事件发生,当且仅当事件 A 发生且 B 发生,记作 A ? B (或 AB ) ; ⑸事件 A 与事件 B 互斥:若 A ? B 为不可能事件( A ? B ? ? ),则事件 A 与互斥; ﹙6﹚对立事件: A ? B 为不可能事件, A ? B 为必然事件,则 A 与 B 互为对立事件。 2.概率公式: ⑴互斥事件(有一个发生)概率公式:P(A+B)=P(A)+P(B); ⑵古典概型: P( A) ?

A包含的基本事件的个数 ; 基本事件的总数 构成事件A的区域长度(面积或体 积等) ; 试验的全部结果构成的 区域长度(面积或体积 等)

⑶几何概型: P( A) ?

第十二部分

统计与统计案例

1.抽样方法 ⑴简单随机抽样:一般地,设一个总体的个数为 N,通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量为 n 的样本,且每个个 体被抽到的机会相等,就称这种抽样为简单随机抽样。 注:①每个个体被抽到的概率为

n ; N

②常用的简单随机抽样方法有:抽签法;随机数法。 ⑵系统抽样:当总体个数较多时,可将总体均衡的分成几个部分,然后按照预先制定的 规则,从每一个部分抽取一个个体,得到所需样本,这种抽样方法叫系统抽样。 注:步骤:①编号;②分段;③在第一段采用简单随机抽样方法确定其时个体编号 l ; ④按预先制定的规则抽取样本。 ⑶分层抽样:当已知总体有差异比较明显的几部分组成时,为使样本更充分的反映总体的情况,将总体分成几部分, 然后按照各部分占总体的比例进行抽样,这种抽样叫分层抽样。 注:每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数 ? 2.总体特征数的估计: ⑴样本平均数 x ? 1 ( x1 ? x 2 ? ? ? ? ? x n ) ? 1 ? x i ;
n n
i ?1
n ⑵样本方差 S 2 ? 1 [( x1 ? x ) 2 ? ( x2 ? x ) 2 ? ? ? ? ? ( xn ? x ) 2 ] ? 1 ? ( xi ? x )2 ; n n i ?1

n N

n

n ⑶样本标准差 S ? 1 [(x1 ? x )2 ? ( x2 ? x )2 ? ? ? ? ? ( xn ? x )2 ] = 1 ( x ? x )2 ; ? i

n

n

i ?1

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3.相关系数(判定两个变量线性相关性): r ?

? (x
i ?1 n i ?1

n

i

? x)( y i ? y )
n

? ( xi ? x ) 2 ? ( y i ? y ) 2
i ?1

注:⑴ r >0 时,变量 x , y 正相关; r <0 时,变量 x , y 负相关; ⑵① | r | 越接近于 1,两个变量的线性相关性越强;② | r | 接近于 0 时,两个变量之间几乎不存在线性相关关系。 4.回归分析中回归效果的判定: ⑴总偏差平方和: ⑶残差平方和: ⑷回归平方和: ? ( yi ? y) 2 ⑵残差:ei ? yi ? yi ; ? ( yi ? yi) 2 ; ? ( yi ? y) 2
i ?1 i ?1 i ?1 n
? ?

n

?

n



? ( yi ? yi) 2 ;⑸相关指数 R 2 ? 1 ?
i ?1
2

n

?

?(y ?(y
i ?1 i ?1 n

n

i

? yi ) 2


?

i

? yi )

2

注:① R 得知越大,说明残差平方和越小,则模型拟合效果越好;② R 越接近于 1,则回归效果越好。 5.独立性检验(分类变量关系): 随机变量 K 越大,说明两个分类变量,关系越强,反之,越弱。
2

2

第十三部分

算法初步

1.程序框图: ⑴图形符号: ① 终端框(起止况);② ③ 处理框(执行框);④ ⑵程序框图分类: ①顺序结构:
输入 n

输入、输出框;⑥

连接点。

判断框;⑤

流程线 ;

②条件结构: r=0? 是
n 不是质素

③循环结构: 否
n 是质数 求 n 除以 i 的余数

i=i+1

i=2 i ? n 或 r=0?否 是 注:循环结构分为:Ⅰ.当型(while 型)——先判断条件,再执行循环体; Ⅱ.直到型(until 型)——先执行一次循环体,再判断条件。 2.基本算法语句: ⑴输入语句: INPUT “提示内容”;变量 ;输出语句:PRINT “提示内容”;表达式 赋值语句: 变量=表达式 ⑵条件语句:① ② IF 条件 THEN IF 条件 THEN
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语句体 END IF

语句体 1 ELSE 语句体 2 END IF

⑶循环语句:①当型: ②直到型: WHILE 条件 DO 循环体 循环体 WEND LOOP UNTIL 条件 3.算法案例: ⑴辗转相除法与更相减损法-----求两个正整数的最大公约数; ⑵秦九韶算法------求多项式的值; ⑶进位制----------各进制数之间的互化。

第十四部分
1. 四种命题:

常用逻辑用语与推理证明

⑴原命题:若 p 则 q; ⑵逆命题:若 q 则 p; ⑶否命题:若 ? p 则 ? q;⑷逆否命题:若 ? q 则 ? p 注:原命题与逆否命题等价;逆命题与否命题等价。 2.充要条件的判断: (1)定义法----正、反方向推理; (2)利用集合间的包含关系:例如:若 A ? B ,则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条件;若 A=B,则 A 是 B 的充要条件; 3.逻辑连接词: ⑴且(and) :命题形式 p ? q; ⑵或(or):命题形式 p ? q; ⑶非(not):命题形式 ? p .

p 真 真 假 假

q 真 假 真 假

p?q 真 假 假 假

p?q 真 真 真 假

?p
假 假 真 真

4.全称量词与存在量词 ⑴全称量词-------“所有的”、“任意一个”等,用 ? 表示; 全称命题 p: ?x ? M , p( x) ; 全称命题 p 的否定 ? p: ?x ? M , ?p( x) 。 ⑵存在量词--------“存在一个”、“至少有一个”等,用 ? 表示; 特称命题 p: ?x ? M , p( x) ; 特称命题 p 的否定 ? p: ?x ? M , ?p( x) ;

第十五部分

推理与证明

1.推理: ⑴合情推理:归纳推理和类比推理都是根据已有事实,经过观察、分析、比较、联想,在进行归纳、类比,然后提出 猜想的推理,我们把它们称为合情推理。 ①归纳推理:由某类食物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者有个别事 实概括出一般结论的推理,称为归纳推理,简称归纳。 注:归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理。 ②类比推理:由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理,称为类 比推理,简称类比。
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注:类比推理是特殊到特殊的推理。 ⑵演绎推理:从一般的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,这种推理叫演绎推理。 注:演绎推理是由一般到特殊的推理。 “三段论”是演绎推理的一般模式,包括:⑴大前提---------已知的一般结论;⑵小前提---------所研究的特殊情况;⑶ 结 论---------根据一般原理,对特殊情况得出的判断。 二.证明⒈直接证明 ⑴综合法 一般地,利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立, 这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法或由因导果法。 ⑵分析法 一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立 的条件(已知条件、定义、定理、公理等),这种证明的方法叫分析法。分析法又叫逆推证法或执果索因法。 2.间接证明------反证法 一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这种证明 方法叫反证法。

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