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导与练重点班2017届高三数学一轮复习第7节圆锥曲线的综合问题第一课时直线与圆锥曲线的位置关系课时训练理


第7节 第一课时

圆锥曲线的综合问题 直线与圆锥曲线的位置关系

【选题明细表】 知识点、方法 直线与圆锥曲线位置关系 弦长问题 中点弦问题 题号 1,2,7,10,13,14,15 4,5,6,9,12 3,8,11

基础对点练(时间:30 分钟) 1.直线 y=x+3 与双曲线-=1 的交点个数是( A ) (A)1 (B)2 (C)1 或 2 (D)0 解析:因为直线 y=x+3 与双曲线的渐近线 y=x 平行,所以它与双曲线只有 1 个交点. 2.已知椭圆 C 的方程为 + =1(m>0),如果直线 y= x 与椭圆的一个交点 M 在 x 轴上的射影 恰好是椭圆的右焦点 F,则 m 的值为( B ) (A)2 (B)2 (C)8 (D)2

解析:根据已知条件得 c=

,则点(

,

)在椭圆 +

=1(m>0)上,

所以

+

=1,可得 m=2

.

3.已知双曲线 C:-=1(a>0,b>0),方向向量为 d=(1,1)的直线与 C 交于两点 A,B,若线段 AB 的 中点为(4,1),则双曲线 C 的渐近线方程是( B ) (A)2x±y=0 (B)x±2y=0 (C) x±y=0 (D)x± y=0

解析:设方向向量为 d=(1,1)的直线方程为 y=x+m, 由 消去 y 得(b -a )x -2a mx-a m -a b =0,
2 2 2 2 2 2 2 2

设 A(x1,y1),B(x2,y2), 因为线段 AB 的中点为(4,1). 所以 x1+x2= =8,

y1+y2=8+2m=2,则 m=-3,

1

所以

=8,

所以 a=2b,所以双曲线的渐近线方程为 y=±x. 2 4.(2016 丽水模拟)斜率为 1 的直线 l 与椭圆+y =1 相交于 A,B 两点,则|AB|的最大值为 ( C ) (A)2 (B) (C) (D)
2 2 2

解析:设直线 l 的方程为 y=x+t,代入+y =1,消去 y 得 x +2tx+t -1=0, 2 2 2 由题意知Δ =(2t) -5(t -1)>0 即 t <5, |AB|= ≤ .

5.已知抛物线 y =8x 的焦点为 F,直线 y=k(x-2)与此抛物线相交于 P,Q 两点,则 ( A ) (A) (B)1 (C)2 (D)4 2 解析:抛物线 y =8x 的焦点坐标为 F(2,0), 准线方程为 x=-2,则直线 y=k(x-2)过点 F,联立 k x -(4k +8)x+4k =0,设 P(x1,y1),Q(x2,y2), 则 x1+x2=4+,x1x2=4, 所以 + = +
2 2 2 2

2

+

等于



=

=

=.
2

6.(2016 杭州模拟)F 为椭圆+y =1 的右焦点,第一象限内的点 M 在椭圆上,若 MF⊥x 轴,直线 2 2 MN 与圆 x +y =1 相切于第四象限内的点 N,则|NF|等于( A ) (A) (B) (C)
2

(D)

解析:因为 F 为椭圆+y =1 的右焦点, 所以 F 点的坐标为(2,0), 因为 MF⊥x 轴,M 在椭圆上且在第一象限, 所以 M 点的坐标为(2, ),
2

设直线 MN 的斜率为 k(k>0), 则直线 MN 的方程为 y- =k(x-2),

即 kx-y-2k+ =0, 因为直线 MN 与圆 x +y =1 相切, 所以原点到直线 MN 的距离等于半径 1, 即 =1 解得 k= 或 k=(舍去),
2 2

所以直线 MN 的方程为
2 2

x-y-

=0,

联立圆的方程 x +y =1 可得 N 点坐标为(,- ),

所以|NF|=

=

.

7.(2015 滨州模拟)已知抛物线 y =8x 的焦点 F 到双曲线 C:-=1(a>0,b>0)渐近线的距离为
2

2

,

点 P 是抛物线 y =8x 上的一动点,P 到双曲线 C 的上焦点 F1(0,c)的距离与到直线 x=-2 的距离 之和的最小值为 3,则该双曲线的方程为 . 2 解析:由题意得,抛物线 y =8x 的焦点 F(2,0),双曲线 C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线的方程为 ax-by=0, 所以 = ,所以 a=2b.

因为 P 到双曲线 C 的上焦点 F1(0,c)的距离与到直线 x=-2 的距离之和的最小值为 3, 所以|FF1|=3,所以 c +4=9,所以 c=
2 2 2 2

,

因为 c =a +b ,a=2b,所以 a=2,b=1. 2 所以双曲线的方程为-x =1. 2 答案:-x =1 8.(2014 高考江西卷)过点 M(1,1)作斜率为-的直线与椭圆 C:+=1(a>b>0)相交于 A,B 两点,若 M 是线段 AB 的中点,则椭圆 C 的离心率等于 . 解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2), 分别代入椭圆方程相减得

3

+

=0,

根据题意有 x1+x2=2?1=2,y1+y2=2?1=2, 且 =-,

所以+?(-)=0, 2 2 得 a =2b , 2 2 2 所以 a =2(a -c ), 整理得 a =2c 得= ,
2 2

所以 e= .

答案: 9.设抛物线 x =8y 的焦点为 F,准线为 l,P 为抛物线上一点,PA⊥l,A 为垂足,若直线 AF 的倾 斜角等于 60°,则|PF|等于 . 解析:在△APF 中,|PA|=|PF|,|AF|sin 60°=4, 所以|AF|= ,又∠PAF=∠PFA=30°,过点 P 作 PB⊥AF 于点 B,则|PF|= =.
2

答案: 10.(2016 山西模拟)已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,焦距为 2,离心率为. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l 经过点 M(0,1),且与椭圆 C 交于 A,B 两点,若 解:(1)设椭圆方程为+=1(a>b>0), 因为 c=1,=,所以 a=2,b= , =2 ,求直线 l 的方程.

所以椭圆 C 的方程为+=1. (2)由题意得直线 l 的斜率存在, 设直线 l 的方程为 y=kx+1, 联立方程 得(3+4k )x +8kx-8=0,且Δ >0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 由 =2 ,得 x1=-2x2,
4
2 2



所以

消去 x2 得(
2

)=

2

,

解得 k =,k=±, 所以直线 l 的方程为 y=±x+1, 即 x-2y+2=0 或 x+2y-2=0. 11.(2016 广东肇庆二模)已知双曲线 C 的两个焦点坐标分别为 F1(-2,0),F2(2,0),双曲线 C 上一点 P 到 F1,F2 距离差的绝对值等于 2. (1)求双曲线 C 的标准方程; (2)经过点 M(2,1)作直线 l 交双曲线 C 的右支于 A,B 两点,且 M 为 AB 的中点,求直线 l 的方 程; (3)已知定点 G(1,2),点 D 是双曲线 C 右支上的动点,求|DF1|+|DG|的最小值. 解:(1)依题意,得双曲线 C 的实半轴长 a=1, 半焦距 c=2, 所以其虚半轴长 b= = .

又其焦点在 x 轴上, 2 所以双曲线 C 的标准方程为 x -=1. (2)设 A,B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 则 两式相减,

得 3(x1-x2)(x1+x2)-(y1-y2)(y1+y2)=0. 因为 M(2,1)为 AB 的中点,所以

所以 12(x1-x2)-2(y1-y2)=0,即 kAB=

=6.

故 AB 所在直线 l 的方程为 y-1=6(x-2), 即 6x-y-11=0. (3)由已知,得|DF1|-|DF2|=2, 即|DF1|=|DF2|+2, 所以|DF1|+|DG|=|DF2|+|DG|+2≥|GF2|+2, 当且仅当 G,D,F2 三点共线时取等号. 因为|GF2|= = ,

所以|DF2|+|DG|+2≥|GF2|+2= 故|DF1|+|DG|的最小值为 +2.

+2.

5

能力提升练(时间:15 分钟) 2 12.(2016 大连双基测试)过抛物线 y =2px(p>0)焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 B,C 两点,l 与 抛物线准线交于点 A,且|AF|=6, =2 ,则|BC|等于( A )

(A) (B)6

(C)

(D)8

解析:不妨设直线 l 的倾斜角为θ ,其中 0<θ <,点 B(x1,y1),C(x2,y2),则点 B 在 x 轴的上方. 过点 B 作该抛物线的准线的垂线,垂足为 B1,于是有|BF|=|BB1|=3, = ,由此得 p=2,抛物

线方程是 y =4x,焦点 F(1,0),cos θ =

2

===,sin θ =

=

,

tan θ =

=2

,直线 l:y=2

(x-1).


2

消去 y,

得 2x -5x+2=0,x1+x2=, |BC|=x1+x2+p=+2=. 2 13.在抛物线 y=x 上关于直线 y=x+3 对称的两点 M,N 的坐标分别为 . 2 解析:设直线 MN 的方程为 y=-x+b,代入 y=x 中, 2 整理得 x +x-b=0,令Δ =1+4b>0,所以 b>-. 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 x1+x2=-1, =+b=+b,

由(-,+b)在直线 y=x+3 上, 即+b=-+3,解得 b=2, 联立 解得

答案:(-2,4),(1,1) 14.(2015 沈阳模拟)已知点 A(,0),点 B( ,0),且动点 P 满足|PA|-|PB|=2,则动点 P 的 . ,则 b= =1,所以 P 点的轨

轨迹与直线 y=k(x-2)有两个交点的充要条件为 k∈ 解析:由已知得动点 P 的轨迹为一双曲线的右支且 2a=2,c=
2 2

迹方程为 x -y =1(x>0),其一条渐近线方程为 y=x.若 P 点的轨迹与直线 y=k(x-2)有两个交

6

点, 则需 k∈(-∞,-1)∪(1,+∞). 答案:(-∞,-1)∪(1,+∞) 2 15.已知椭圆 C:+y =1(a>0)的焦点在 x 轴上,右顶点与上顶点分别为 A,B.顶点在原点,分别以 A,B 为焦点的抛物线 C1,C2 交于点 P(不同于 O 点),且以 BP 为直径的圆经过点 A. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若与 OP 垂直的动直线 l 交椭圆 C 于 M,N 不同两点,求△OMN 面积的最大值和此时直线 l 的方程. 解:(1)由已知得 A(a,0),B(0,1), 2 2 所以以 A 为焦点的抛物线 C1 的方程为 y =4ax,以 B 为焦点的抛物线 C2 的方程为 x =4y. 由 得 P(4 ,4 ),

又以 BP 为直径的圆经过点 A, 所以 ⊥ , ? =0,

(4 -a,4 )?(-a,1)=0,

即 -4 +4=0,得 =2,a =8, 故椭圆 C 的标准方程为+y =1. (2)由(1)知 P(4 ,8),kOP= ,
2

2

所以直线 l 的斜率 kl=- .

设直线 l 的方程为 y=- x+t,由 5y -2ty+t -4=0, 2 2 2 则Δ =4t -4?5?(t -4)>0,解得 t <5, 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 y1+y2=,y1y2= ,
2 2



由弦长公式得|MN|=

|y2-y1|=

?

=

.

又点 O 到直线 l 的距离为 d=

= |t|,

7

所 以 S △ OMN=|MN|?d=?

?

|t|=

?2



?(t +5-t )=

2

2

,当且仅当

t =5-t 时等号成立,又 t <5,易知当 t=±

2

2

2

时,△OMN 的面积取得最大值

,

此时直线 l 的方程为 y=- x±

.

精彩 5 分钟 1.已知双曲线-=1(a>0,b>0),F1,F2 分别是它的左、右焦点,A 是它的右顶点,过点 F1 作一条斜 率为 k 的直线交双曲线于异于顶点的两点 M,N, 若∠ MAN=90°, 则该双曲线的离心率为 ( B ) (A) (B)2 (C) (D)

解题关键:把∠MAN=90°转化为

?

=0.

解析:由题意可得过点 F1 的直线方程为 y=k(x+c)(k≠0),联立方程 (b -a k )x -2a k cx-a c k -a b =0. 设 M(x1,y1),N(x2,y2), 则 x1+x2= ,x1x2=.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

消去 y 得

因为∠MAN=90°, 所以 ?
2

=(x1-a)?(x2-a)+y1y2=x1x2-a(x1+x2)+a +k (x1+c)(x2+c)=0,
2 2 2 2

2

2

所以(1+k )x1x2+(ck -a)(x1+x2)+a +k c =0, 即-(1+k )
3 2 2 4 2

+(ck -a)

2

+a +k c =0,

2

2 2

所以-2a c-3a c +c =0, 即--3+e =0,即
2 2

=0,又 e>1,解得 e=2.

2.已知抛物线 C:y =2px(p>0),A(异于原点 O)为抛物线上一点,过焦点 F 作平行于直线 OA 的 直线 ,交抛物线 C 于 P,Q 两点.若过焦点 F 且垂直于 x 轴的直线交直线 OA 于点 B, 则 |FP|?|FQ|-|OA|?|OB|等于( A ) (A)0 (B)1 (C)-1 (D)2 解题关键:联立方程组,利用根与系数的关系及弦长公式求解.

8

解析:设直线 OA 的斜率为 k(k≠0),则直线 OA 的方程为 y=kx,由

得 A( , ),

易知 B(, ),PQ:y=k(x-),



消去 x 得

-y- =0,
2

设 P(x1,y1),Q(x2,y2),由根与系数的关系得 y1y2=-p , 根据弦长公式得 |FP|?|FQ|= =(1+)|y1y2| 2 =(1+)p , |y1|? |y2|

而|OA|?|OB|=

?

=(1+)p ,

2

所以|FP|?|FQ|-|OA|?|OB|=0.

9


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