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空间直角坐标系及点的坐标表示


空间直角坐标系

提 问:
我们知道,在平面直角坐标系中,平面上任 意一点的位置都有唯一的坐标来表示. 那空间中任意一点的位置怎样用坐标来 表示?

下图是一个房间的示意图,下面来 探讨表示电灯位置的方法.
z
4 3

墙 墙 地面
4

1

(4,5,3)
5

O 1

y

x

一、空间直角坐标系建立
从空间某一个定点0 引三条互相垂直且有相 同单位长度的数轴,这 样就建立了空间直角坐 标系0-xyz.

z

o

y

x 点O叫做坐标原点,x轴、y轴、z轴叫做 坐标轴,这三条坐标轴中每两条确定一个坐标 平面,分别称为xoy平面、 yoz平面、和 Zox 平面.

在空间直角坐标系中,让 右手拇指指向x轴的正方向, 食指指向y轴的正方向,若中 指指向z轴的正方向,则称这 个坐标系为右手直角坐标系.

Z

Y X

说明: ☆本书建立的坐标系
都是右手直角坐标系.
x o

z

y

二、空间直角坐标系的画法:
z

1.X轴与y轴、x轴与z轴均成1350, 而z轴垂直于y轴.
0 135 2.y轴和z轴的单位长度相同, o

x轴上的单位长度为y轴(或z 轴)的单位长度的一半.

1350

y

x

三、空间任一点坐标的求法
过点M作三个平面分别垂直 于x轴、y轴、z轴分别交于P、 R、Q(即点A在坐标平面的射 影)。点P、R、Q在相应坐标 轴上的坐标依次为x,y,z则 有序实数对(x,y,z)叫做 点M的坐标

z
R

M ( x, y, z )

o

Q

y

x

P

例1、在如图长方体中,已知 OA = 3, OC = 4, OD? = 2, 试求其顶点的坐标。
z D' C'

A'
O

B'

C y x A B

z D' C'

1.坐标平面内的点
B'

A'
O

xoy平面上的点表示为(x,y,0)
C y

yoz平面上的点表示为(0,y,z) xoz平面上的点表示为(x,0,z)

x A

B

2.坐标轴上的点
x轴上的点表示为(x,0,0) y轴上的点表示为(0,y,0) z轴上的点表示为(0,0,z)

四、空间中点坐标公式

空间两点A( x1 , y1 , z1 ) B( x2 , y2 , z2 )的中点 x1 + x2 y1 + y2 z1 + z2 坐标为( , , ) 2 2 2
1 9 例2:A(1, 2, 4), B(0, 2,5)的中点坐标为( ,2,) 2 2 A(0,1, 4)和B点的中点坐标为C为(2,3,5),

求B点的坐标。

求下列各点的坐标 (3,2,2.5) 1、A(6, 2, 4), B(0, 2,1)的中点坐标为_____ ( 2,1.5,6 ) 2、A(3,1, 4), B(1, 2,8)的中点坐标为______

3、AB的中点坐标为(3,1, 4),其中B点坐标为 (6,2,8) (0,0,0),那么A点的坐标为_______


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