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2011届高考数学第一轮点拨复习测试题3

指数函数和对数函数复习回顾 湖南 周友良 曾令军 综合脉络 1. 以指数函数、对数函数为中心的综合网络 2. 指数式与对数式有如下关系(指数式化为对数式或对数式化为指数式的重要依据): a b ? N ? b ? loga N(a ? 0 且 a ? 1) 指数函数与对数函数互为反函数, 它们的图象关于直线 y ? x 对称, 指数函数与对数函 数的性质可以自己总结做表对比。 3. 指数函数,对数函数是高考重点之一 指数函数,对数函数是两类重要的基本初等函数, 高考中既考查双基, 又考查对蕴含其中 的函数思想、等价转化、分类讨论等思想方法的理解与运用. 因此应做到能熟练掌握它们的 图象与性质并能进行一定的综合运用. 典型例题讲解: | x ? m| ? n, 例 1.定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 4) ? f ( x) ,当 2 ? x ? 6 时, f ( x ) ? ( ) 1 2 f (4) ? 31 . (1) 求 m, n 的值; (2) 比较 f (log3 m) 与 f (log3 n ) 的大小. 解: (1)∵ f ( x ? 4) ? f ( x) , ∴ f (2) ? f (6) , ( ) ∵ f (4) ? 31 ,∴ ( ) 1 2 |2 ? m| 1 ? n ? ( ) |6? m| ? n ? 31 ? m ? 4 . 2 1 2 |4 ? 4| ? n ? 31 ? n ? 30 , (2) ∵ 1 ? log3 4 ? 2 ? 5 ? log3 4 ? 4 ? 6, ∴ f (log 3 m) ? f (log 3 4) ? f (log 3 4 ? 4) ? ( ) 1 2 log3 4 ? 30, 1 log3 81 1 1 log3 而 f (log3 n ) ? f (log3 30) ? ( ) 30 ? 30,? log3 4 ? log3 ? ( ) log3 4 ? ( ) 30 , 2 30 2 2 ∴ f (log3 m) ? f (log3 n) 81 81 例 2.方程 lgx+x=3 的解所在区间为( A.(0,1) C.(2,3) B.(1,2) D.(3,+∞) ) 分析:在同一平面直角坐标系中,画出函数 y=lgx 与 y=-x+3 的图象(如图 2).它们的交点横坐标 x0 ,显然在区间(1,3)内,由 此可排除 A,D.至于选 B 还是选 C,由于画图精确性的限制,单凭 直观就比较困难了.实际上这是要比较 x0 与 2 的大小.当 x=2 时, lgx=lg2,3-x=1.由于 lg2<1,因此 x0 >2,从而判定 x0 ∈(2,3),故本题应选 C. 说明:本题是通过构造函数用数形结合法求方程 lgx+x=3 解所在的区间.数形结合, 要在结合方面下功夫.不仅要通过图象直观估计,而且还要计算 x0 的邻近两个函数值,通 过比较其大小进行判断. 例 3.设 a>0, f (x)= (1) 求 a 的值; (2) 试判断 f (x )的反函数 f 1 (x)的奇偶性与单调性. 解:(1) 因为 f ( x ) 在 R 上是奇函数, 所以 f (0) ? 0 ? ?1 - ex a ? x 是 R 上的奇函数. a e 1 ? a ? 0 ? a ? 1(a ? 0) , a (2) f ( x) ? ln x ? x2 ? 4 (x ? R ) ? f ?1 (?x) ? 2 ? ln ? x ? x2 ? 4 x ? x2 ? 4 ? ? ln ? ? f ?1 (x) , ? f ?1 (x) 为奇函数. 2 2 ?1 用定义法可证 f (x) 为单调增函数. (也可用原函数证明) 例 4. 是否存在实数 a, 使函数 f (x )= loga (ax 2 ? x) 在区间 [2, 4] 上是增函数? 如果存在, 说明 a 可以取哪些值; 如果不存在, 请说明理由. ?1 1 ? ?2 解: 设 u(x) ? ax ? x , 对称轴 x ? .(1) 当 a ? 1 时, ? 2a ? a ? 1; 2a ? ?u (2) ? 0 2 ?1 1 ? ?4 (2) 当 0 ? a ? 1 时, ? 2a ? 0 ? a ? . 综上所述: a ? 1 8 ? ?u (4) ? 0 例 5.定义在 R 上的单调函数 f(x)满足 f(3)=log 2 3 且对任意 x,y∈R 都有 f(x+y)=f(x)+f(y). (1)求证 f(x)为奇函数; (2)若 f(k·3 )+f(3 -9 -2)<0 对任意 x∈R 恒成立,求实数 k 的取值范围. x x x 分 析 : 欲 证 f(x) 为 奇 函 数 即 要 证 对 任 意 x 都 有 f(-x)=-f(x) 成 立 . 在 式 子 f(x+y)=f(x)+f(y)中, 令 y=-x 可得 f(0)=f(x)+f(-x)于是又提出新的问题, 求 f(0)的值. 令 x=y=0 可得 f(0)=f(0)+f(0)即 f(0)=0,f(x)是奇函数得到证明. (1)证明:f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R), 令 x=y=0,代入①式,得 f(0+0)=f(0)+f(0),即 f(0)=0. 令 y=-x,代入①式,得 f(x-x)=f(x)+f(-x),又 f(0)=0,则有 0=f(x)+f(-x).即 f(-x)=-f(x)对任意 x∈R 成立,所以 f(x)是奇函数. ① (2)解:f(3)=log 2 3>0,即 f(3)>f(0),又 f(x)在 R 上是单调函数,所以 f(x)在 R 上 是增函数,又由(1)f(x)是奇函数. f(k·3 )<-f(3 -9 -2)=f(-3 +9 +2), 3 2x x x x x x x k·3 <-3 +

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