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【金版学案】2015届高考数学总复习 第七章 第十节抛物线(二)课时精练试题 文(含解析)


第十节
题号 答案 1 2 3

抛物线(二)
4 5 6 7

1.设双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线与抛物线 y=x +1 只有一个公共点,则 双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C. 5 D. 10

x2 y2 a b

2

b ? ?y= x, b 解析:取双曲线的一条渐近线为 y= x,联立? a a ? ?y=x2+1, ②
将①式代入②式并整理,得 ax -bx+a=0.
2



b2 由题意可得,Δ =b -4a =0,∴ 2=4, a 2 b 则双曲线的离心率 e= 1+ 2= 5.故选 C. a
2 2

答案:C 2.抛物线 y =-12x 的准线与双曲线 - =1 的两条渐近线所围成的三角形的面积等 9 3 于 ( ) A.3 3 B.2 3 C.2 D. 3 解析:抛物线的准线为 x=3,双曲线的两条渐近线 y=± 1 所求三角形的面积 S= ?2 3?3=3 3.故应选 A. 2 答案:A 3.设抛物线 y =8x 的焦点为 F,准线为 l,P 为抛物线上一点,PA⊥l,A 为垂足,如 果直线 AF 的斜率为- 3,那么|PF|=( ) A.4 3 B.8 C.8 3 D.7 解析: 如图,
2 2

x2 y2

3 x. 3

由 kAF=- 3知∠AFM=60°. 又 AP∥MF,所以∠PAF=60°.
1

又|PA|=|PF|, 所以△APF 为等边三角形. 故|PF|=|AF|=2|MF|=2p=8. 答案:B 4. (2013?江阴模拟)P 为抛物线 y = 4x 上任意一点, P 在 y 轴上的射影为 Q, 点 M(4,5), 则 PQ 与 PM 长度之和的最小值为( ) A. 34+2 B. 34+1 C. 34-1 D. 34 解析:焦点 F(1,0),PM+PQ=PM+P F-1,而 PM+PF 的最小值是 MF= 34,所以答案 为 34-1. 答案:C 5.已知 F 是抛物线 y =x 的焦点,A,B 是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为( ) 3 5 7 A. B.1 C. D. 4 4 4 解析:如图,
2 2

3 3 由抛物线的定义知, |AM|+|BN|=|AF|+|BF|=3, |CD|= , 所以中点 C 的横坐标为 - 2 2 1 5 = . 4 4 答案:C 6.已知直线 l1:4x-3y+6=0 和直线 l2:x=-1,抛物线 y =4x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是( ) 11 37 A.2 B.3 C. D. 5 16
2

解析:

2

直线 l2:x=-1 为抛物线 y =4x 的准线,由抛物线的定义知,点 P 到 l2 的距离等于点 P 到抛物线的焦点 F(1,0)的距离,故本题化为在抛物线 y2=4x 上找一个点 P 使得点 P 到点 F(1,0)和直线 l1 的距离之和最小, 最小值为 F(1,0)到直线 l1: 4x-3y+6=0 的距离, 即 dmin |4-0+6| = =2.故选 A. 5 答案:A 7.(2012?山东卷)已知双曲线 C1: 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率 为 2,若抛物线 C2:

2

x2 y2 a b

x2=2py(p>0)的焦点到双曲线 C1 的渐近线的距离为 2,则抛物线 C2 的方程为(
8 3 2 A.x = y 3 2 C.x =8y 16 3 2 B.x = y 3 2 D.x =16y

)

解析:由双曲线 2- 2=1 的离心率为 2 得 c=2a,又因为抛物线焦点?0, ?到双曲线渐 a b ? 2? 近线 a y=±bx 的距离 答案:D 8.抛物线 y =4x 的焦点到准线的距离是______. 解析:焦点 F(1,0),准线方程 x=-1, ∴焦点到准线的距离是 2. 答案:2 9.过抛物线 y =2px(p>0)的焦点 F 作倾斜角为 45°的直线交抛物线于 A,B 两点,若 线段 AB 的长为 8,则 p=______.
2 2

x2 y2

?

p?

?ap? ?2? ? ?
a +b
2

ap
2



2 2 =2,所以 p=8,即抛物线 C2 的方程为 x =16y.故选 D. 2a

y =2px, ? ? p 解析:由题意可知过焦点的直线方程为 y=x- ,联立有? p 2 y=x- ? 2 ?

2

? x -3px+

2

p2
4

3

=0,又|AB|= 答案: 2

+1

2

p

2

-4? =8? p=2. 4

p2

10.已知直线 l 过抛物线 C 的焦点,且与 C 的对称轴垂直,l 与 C 交于 A,B 两点,|AB| =12,P 为 C 的准线上一点,则△ABP 的面积为________.

? ? 2 2 2 解析:设抛物线方程为 y =2px,则焦点坐标为? ,0?,将 x= 代入 y =2px 可得 y = 2 ?2 ? p2,|AB|=12,即 2p=12,所以 p=6.点 P 在准线上,到 AB 的距离为 p=6, 1 所以△PAB 的面积为 ?6?12=36. 2 答案:36
p p
11.(2013?北京顺义区高三第一次统练)在平面直角坐标系 xOy 中,设抛物 线 y =4x 的焦点为 F, 准线为 l, P 为抛物线上一点, PA⊥l, A 为垂足. 如果直线 AF 的倾斜角为 120°, 那么|PF|=____________. 解析: 抛物线的焦点坐标为 F(1,0), 准线方程为 x=-1.因为直线 AF 的倾斜角为 120°, 所以∠AFO=60°, 又 tan 60°= , 所以 yA=2 3.因为 PA⊥l, 所以 yP=yA=2 3, 1- - 2 代入 y =4x,得 xP=3,所以|PF|=|PA|=3-(-1)=4. 答案:4 12.(2012?陕西卷)如图所示是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 m,水面 宽 4 m.水位下降 1 m 后,水面宽____________m.
2

yA

解析:设水面与桥的一个交点为 A,如图建立直角坐标系,则 A 的坐标为(2,-2).设 2 抛物线方程为 x =-2py(p>0),代入点 A 得 p=1,设水位下降 1 m 后水面与桥的交点坐标 2 为(x0,-3),则 x0=-2?(-3),x0=± 6,所以水面宽度为 2 6 m.

4

答案:2 6 13.(2013?东城检测)已知动圆过定点 F(0,2),且与定直线 l:y=-2 相切. (1)求动圆圆心的轨迹 C 的方程; (2)若 AB 是轨迹 C 的动弦,且 AB 过点 F(0,2),分别以 A、B 为切点作轨迹 C 的切线, 设两切线交点为 Q,求证:AQ⊥BQ. (1)解析:依题意,圆心的轨迹是以 F(0,2)为焦点,l:y=-2 为准线的抛物线, 因为抛物线焦 点到准线的距离等于 4, 2 所以圆心的轨迹方程是 x =8y. (2)证明:因为直线 AB 与 x 轴不垂直, 设 AB:y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2).

y=kx+2, ? ? 由? 1 2 y= x , ? ? 8

可得 x -8kx-16=0,x1+x2=8k,x1x2=-16.

2

1 2 1 抛物线方程为 y= x ,求导得 y′= x. 8 4 1 1 所以过抛物线上 A、B 两点的切线斜率分别是 k1= x1,k2= x2, 4 4 1 1 1 k1?k2= x1? x2= x1?x2=-1. 4 4 16 所以 AQ⊥BQ. 14.(2012?潮州期末)已知圆心为 P 的动圆与直线 y=-2 相切,且与定圆 x +(y-1) =1 内切,记点 P 的轨迹为曲线 E. (1)求曲线 E 的方程; (2)设斜率为 2 2的直线与曲线 E 相切,求此时直线到原点的距离.
2 2

解析:(1)设圆心 P(x,y),∵圆 P 与直线 y=-2 相切, ∴圆 P 的半径 R=|y+2|. 2 2 又∵圆 P 与定圆 x + (y-1) =1 内切,∴|y+2|-1=|FP|,∴|y+1|=|FP|,∴点 P 到直线 y=-1 和点(0,1)距离相等, ∴点 P 的轨迹是以点(0,1)为焦点, 以直线 y=-1 为准 2 线的抛物线,∴曲线 E 的方程是 x =4y. (2)设斜率为 2 2的直线方程为 y=2 2x+m, 由?
2

?y=2 2x+m, ?x2=4y,

消去 y,得 x -8 2x-4m=0,由直线与曲线 E 相切,得 Δ =(-

2

8 2) +16m=0, 解得 m=-8,所以直线方程为 y=2 2x-8,即 2 2x-y-8=0.
5

所以原点到该直线的距离为 d=

|-8| 2
2

8 = . +1 3

15.(2013?广东卷)已知抛物线 C 的顶点为原点,其焦点 F(0,c)(c>0)到直线 l:x 3 2 -y-2=0 的距离为 .设 P 为直线 l 上的点,过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA,PB,其 2 中 A,B 为切点. (1)求抛物线 C 的方程; (2)当点 P(x0,y0)为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程; (3)当点 P 在直线 l 上移动时,求|AF|?|BF|的最小值. |0-c-2| 3 2 2 解析:(1)依题意,设抛物线 C 的方程为 x =4cy,由 = 结合 c>0,解得 2 2 c=1. 2 所以抛物线 C 的方程为 x =4y. 1 2 1 2 (2)抛物线 C 的方程为 x =4y,即 y= x ,求导得 y′= x. 4 2

? ? 设 A(x1,y1),B(x2,y2)?其中y1= ,y2= ?, 4 4? ? 1 1 则切线 PA,PB 的斜率分别为 x1, x2, 2 2
所以切线 PA 的方程为 y-y1= (x-x1) ,即 y= x- +y1,即 x1x-2y-2y1=0. 2 2 2 同理可得切线 PB 的方程为 x2x-2y-2y2=0. 因为切线 PA,PB 均过点 P(x0,y0),所以 x1x0-2y0- 2y1= 0,x2x0-2y0-2y2=0, 所以(x1,y1),(x2,y2)为方程 x0x-2y0-2y=0 的两组解. 所以直线 AB 的方程为 x0x-2y- 2y0=0. (3) 由抛物线定义可知|AF|=y1+1,|BF|=y2+1, 所以|AF|?|BF|=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1. ? ?x0x-2y-2y0=0, 2 2 2 联立方程? 2 消去 x 整理得 y +(2y0-x0)y+y0=0. ?x =4y, ? 2 2 由一元二次方程根与系数的关系可得 y1+y2=x0-2y0,y1y2=y0, 2 2 所以|AF|?|BF|=y1y2+ (y1+y2)+1=y0+x0-2y0+1. 又点 P(x0,y0)在直线 l 上,所以 x0=y0+2, 1?2 9 ? 2 2 2 所以 y0+x0-2y0+1=2y0+2y0 +5=2?y0+ ? + , 2? 2 ? 1 9 所以当 y0=- 时, |AF|?|BF|取得最小值,且最小值为 . 2 2

x2 1

x2 2

x1

x1

x2 1

6


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