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(选修1-2)2.1.1合情推理(归纳推理)


合情推理 推理

演绎推理 推理与证明
直接证明 证明 间接证明

福 尔 摩 斯

柯南

三国演义----“草船借箭”
我们来推测诸葛 “先生”的推理过 程: 1.今夜恰有大雾

2.曹操生性多疑 3.北军不善水战
弓弩利于远战 4.今夜恰有东风 草船借箭必将成功

已知 判断
前提

新的 判断 结论

根据一个或几个已知的判断来确定一个 新的判断的思维过程就叫推理.

铜能导电
铝能导电 金能导电 银能导电

?

蛇类是用肺呼吸的
一切金属 都能导电. 鳄鱼是用肺呼吸的

海龟是用肺呼吸的
蜥蜴是用肺呼吸的

部分 特殊 个性

第一个数为2 第二个数为4 第三个数为6 第四个数为8

?

整 体 一 般 共 性

?

爬行动
物都是 用肺呼

吸的

第n个 数为2n.

由某类事物的部分对象具有某些特征,推出 该类事物的 全部对象都具有这些特征的推理,或 者由个别事实 概括出一般结论 的推理,称为归纳 推理(简称归纳). 即是由部分到整体,由个别到一般的推理.

你能举出归纳推理 的例子吗?

归纳推理的过程:
具体的材料 观察分析 猜想出一般性的结论

佛教《百喻经》中有这样一则故事。 从前有一 位富翁想吃芒果,打发他的仆人到果园去买,并告诉 他:"要甜的,好吃的,你才买."仆人拿好钱就去了.到了 果园,园主说:"我这里树上的芒果个个都是甜的,你尝 一个看."仆人说:"我尝一个怎能知道全体呢 我应当个 个都尝过,尝一个买一个,这样最可靠."仆人于是自己 动手摘芒果,摘一个尝一口,甜的就都买回去.带回家去, 富翁见了,觉得非常恶心,一齐都扔了.
第一个芒果是甜的 想一想: 故事中仆人的做法实际吗? 第二个芒果是甜的 换作你,你会怎么做? 第三个芒果是甜的

?

这个果园 的芒果都 是甜的

归纳推理的几个特点:
1.归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得

的结论超越了前提所包容的范围.
2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属

未知的现象,因而结论具有猜测性.
3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、 经验和实验的基础之上.

归纳推理的一般模式:
事物S1具有性质P, 事物S2具有性质P, 事物S3具有性质P,
……,

事物Sn具有性质P, (S1,S2,…,Sn是某类事物的一部分),

从而归纳出这类事物都具有性质P

热身练习
练习1: 磨擦双手能产生热, 敲击石头能产生热 , 锤击铁块能产生热 , 磨擦双手、敲击 石头、锤击铁块 都是物质运动; 所以, 。
练习2:

当n=0时,n2-n+11=11;
当n=1时,n2-n+11=11; 当n=2时,n2-n+11=13; 当n=3时,n2-n+11=17; 当n=4时,n2-n+11=23;

当n=5时,n2-n+11=31;
11,11,13,17,23,31都是质数

结论:对于所有的自然数 n,n2-n+11的值 .

例1:观察下图,可以发现
1 2 3 4 5 6

1=12, 1+3=4=22, 1+3+5=9=32, 1+3+5+7=16=42, 1+3+5+7+9=25=52, ?? 你能否从中归纳出一般性法则?
2. 1+3+?+(2n-1)=n

例:2.已知数列{a n}的第一项a1 =1,

an 且 an ?1 ? ( n =1,2,3,·· ·), 1 ? an
试归纳这个数列的通项公式.

成语“一叶知秋” 意思是从一片树叶的凋落,知道秋 天将要来到.比喻由细微的迹象看出整体

形势的变化,由个别推知一般. 谚语“瑞雪兆丰年” 物理学中牛顿发现万有引力
化学中的门捷列夫元素周期表

天文学中开普勒行星运动定律

归纳推理的过程: 归纳推理的特点:
实验观察
(1)从特殊到一般; (2)具有创造性; (3)具有或然性。

大胆猜想 验证猜想

由某类事物的部分对象具有某些特征, 推出该类事物的 全部对象都具有这些特征 的推理,或者由个别事实概括出 一般结论 的推理,称为归纳推理(简称归纳).

1、根据给出的数塔猜测 123456 ? 9 ? 7 ? 1? 9 ? 2 ? 11 12 ? 9 ? 3 ? 111 123 ? 9 ? 4 ? 1111 1234 ? 9 ? 5 ? 11111 12345 ? 9 ? 6 ? 111111 2、观察下列等式,你能得到什么结论?
1 6 ?6 ? 71, 3 1 4 1 5 2 ? 2 ? 4, ? 3 ? 4 , ? 4 ? 5 , ? 5 ? 6 , 5 4 5 2 2 3 3 4 3、观察 2 ? 2 ? 1 , 2 ? 2 ? 2 , 2 ? 2 ? 3 , ,由此我们猜想: 3 3 ?1 3 3 ? 2 3 3 ? 3 2 2?2 2 2 ?1 a a ? 2 ( D) a ? a ? m ( B) ? ( A) ? (C ) ? b b ?1 b b?2 b b?m b b?2

例5.数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E,然 后探求面数F、顶点数V和棱数E之间的关系.

四棱柱

三棱锥

八面体

三棱柱

四棱锥

尖顶塔

凸多面体 四棱柱 三棱锥 八面体 三棱柱 四棱锥 尖顶塔

面数(F)

顶点数(V)

棱数(E)

四棱柱

凸多面体 四棱柱 三棱锥 八面体 三棱柱 四棱锥 尖顶塔

面数(F) 6

顶点数(V) 8

棱数(E) 12

四棱柱

三棱锥

凸多面体 四棱柱 三棱锥 八面体 三棱柱 四棱锥 尖顶塔

面数(F) 6 4

顶点数(V) 8 4

棱数(E) 12 6

四棱柱

三棱锥

八面体

凸多面体 四棱柱 三棱锥 八面体 三棱柱 四棱锥 尖顶塔

面数(F) 6 4 8

顶点数(V) 8 4 6

棱数(E) 12 6 12

四棱柱

三棱锥

八面体

三棱柱

凸多面体 四棱柱 三棱锥 八面体 三棱柱 四棱锥 尖顶塔

面数(F) 6 4 8 5

顶点数(V) 8 4 6 6

棱数(E) 12 6 12 9

四棱柱

三棱锥

八面体

三棱柱

凸多面体 四棱柱 三棱锥 八面体 三棱柱 四棱锥 尖顶塔

面数(F) 6 4 8 5 5

顶点数(V) 8 4 6 6 5

棱数(E) 12 6 12 9 8 四棱锥

四棱柱

三棱锥

八面体

三棱柱

凸多面体 四棱柱 三棱锥 八面体 三棱柱 四棱锥 尖顶塔

面数(F) 6 4 8 5 5

顶点数(V) 8 4 6 6 5

棱数(E) 12 6 12 9 8 16 四棱锥

9

9

尖顶塔

凸多面体 四棱柱 三棱锥 八面体 三棱柱 四棱锥 尖顶塔

面数(F) 6

顶点数(V) 8

棱数(E) 12

4
8 5 5

4
6 6 5 9

6
12 9 8 16

9

猜想凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E之间的关系式为:

F+V-E=2

欧拉公式

费马素数猜想 ——一个错误的猜想
一种有趣且有很长历史的数叫费马素数, 这些数是由法国数学家费马在研究数列 Fn ? 2 2 ? 1 F 的前五项:0 ? 3 F1 ? 5 F2 ? 17 F3 ? 257 F4 ? 65537
n

发现它们都是素数,于是费马就猜想:形 如 Fn ? 22 ? 1 的数都是素数。 否定一个猜想只需举出一个反例即可!
n

F5 ? 2 ? 1 ? 4294967297 ? 641 ? 6700417
25

并不是所有猜想都是正确的! 其中的故事、、、、、、

费马
观察到都是质数,进而猜想:
任何形如 的数都是质数 这就是著名的"费马猜想"

半个世纪后,善于 计算的欧拉发现 第5个费马数不是 质数

欧拉

?

宣布了费马的这个猜想不成立,它不能作 为一个求质数的公式.以后,人们又陆续发 现

不是质数.至今这样的反例共找到了46个, 却还没有找到第6个正面的例子,也就是说 目前只有n=0,1,2,3,4这5个情况下,Fn才是 质数.

大胆猜想 小心求证

观察下列等式 6=3+3, 8=3+5, 12=5+7, 14=3+11,

10=3+7, 16=5+11 归纳出一个规律:

偶数=奇质数+奇质数
通过更多特例的检验, 从6开始,没有出现反例.

任何一个不小于6 的偶数都等于两个 奇质数的和.
2n ? p1 ? p2 (n ? N , n ? 3)
?

大胆猜想:

陈氏定理
2n ? p1 ? p2 ? p3

哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)
在陈景润之前,关于偶数可表示为 s个质数的乘积 与t个质数的乘积之和 (简称“s + t ”问题)之进展情况如下: 1920年,挪威的布朗(Brun)证明了 “9 + 9 ”。 1924年,德国的拉特马赫(Rademacher)证明了“7 + 7 ”。 1932年,英国的埃斯特曼(Estermann)证明了 “6 + 6 ”。 1937年,意大利的蕾西(Ricei)先後证明了“5 + 7 ”, “4 + 9 ”, “3 + 15 ”和“2 + 366 ”。 1938年,苏联的布赫 夕太勃(Byxwrao)证明了“5 + 5 ”。 1940年,苏联的布赫 夕太勃(Byxwrao)证明了 “4 + 4 ”。 1948年,匈牙利的瑞尼(Renyi)证明了“1 + c ”,其中c是一很大的自然数。 1956年,中国的王元证明了 “3 + 4 ”。 1957年,中国的王元先後证明了 “3 + 3 ”和 “2 + 3 ”。 1962年,中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩(BapoaH)证明了 “1 + 5 ”,中国的 王元证明了“1 + 4 ”。 1965年,苏联的布赫 夕太勃(Byxwrao)和小维诺格拉多夫(BHHopappB),及意大 利的朋比利(Bombieri)证明了“1 + 3 ”。

1966年,中国的陈景润证明了 “1 + 2 ”。
最终会由谁攻克 “1 + 1 ”这个难题呢?现在还没法预测。

?

皇冠明珠:歌德巴赫猜想

猜想----任何大于2的偶数都可以 表示为两个素数的和.

自然科学的皇后是数学, 数学的皇冠是数论, 歌德巴赫猜想则是皇冠上的明珠

练习

2. 设等差数列?an ? 的前n项和为S n , 则S4,S8 ? S4,
设等比数列?bn ? 的前n项积为Tn , S12 ? S8,S16 ? S12成等差数列.类比以上结论:

(直击高考: 浙江文第16题 ) 09

T16 则T4, ____, _____, 成等比数列. T12

T8 T4

T12 T8

a1+a2+?+an 1.已知数列{an}是等差数列,则{ } n 是等差数列。若已知数列{bn}(bn>0, n∈N*)是 等比数列,类比上述等差数列,则 是 等比数列?

3.

答:数列{

n

a1a2?an}是等比数列.

3.观察下面图形规律,在其右下角的空格 内画上合适的图形为( )

□ ● ?
? ■ ○

● ?
A. ■ B. ? C. □ D. ○

一年夏天,鲁班上山砍树,因为坡陡路滑,而且横七竖八地长满 了小树、杂草,行走非常不便。鲁班只好搀着树木、拽着茅草往上 爬。忽然,脚底一滑,身体便顺着山坡往下滚去,鲁班急中生智, 急忙抓住一把茅草,由于没有抓牢,反而感到手掌心疼痛无比。滑 到山脚,鲁班狼狈地爬了起来,伸开手掌一看,掌心已是鲜血淋漓。 鲁班非常惊奇,为何一把茅草能够划破人的手掌。鲁班顾不得疼痛, 沿着滑下来的山坡,爬上去一看,这丛茅草与别的草没有两样。鲁 班不甘心,便揪下一根茅草仔细地观察起来。这茅草的叶子很怪, 叶子两边都长着锋利的小细齿,人手握紧它一拽,手掌就会被划破。 鲁班又试着用茅草在他的手指上拉了一下,果然又划开一道血口。 鲁班从这件事中得到启发,心想:如果仿照茅草细齿,来做一件 边缘带有细齿的工具,用它来锯树,岂不比斧砍更快、更好吗?鲁 班忘记疼痛,转身下山,做起试验来。在金属工匠的帮助下,鲁班 做了一把带有许多细齿的铁条。鲁班将这件工具拿去锯树,果然又 快又省力。锯子就这样发明了。


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