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广东省广州市2013-2014学年学年高一数学上学期期末教学质量监测试题


广东省广州市 2013-2014 学年学年高一数学上学期期末教学质量监 测试题(扫描版)

1

2

3

4

高一数学参考答案与评分标准 说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几 种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点 和能力比照评分标准给以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答 未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不 得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误, 就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题考查共10小题,每小题5分,满分50分. 题号 答案

1 B

2 D

3 D

4 D

5 D

6 C

7 C

8 C

9 B

10 B

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11. 2 12. 9 13. 60
0

14. ④

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15.(本小题满分 12 分) 解: (1)当 m ? 5 时, A ? x ? 3 ? x ? 5 , B ? x x ? 7 ,

?

?

?

?

…………2 分 …………4 分 …………6 分 …………8 分

? A? B ?

? x ? 3 ? x ? 5? ,

? U A ? ? x x ? ?3或x ? 5? ,
∴ CU A ? B =R . (2) A ? x ? 3 ? x ? 5 , 即 m > 4 . 实数 16.(本小题满分 12 分) 解: (1) ∵ A(4,1), B ? 6,3? , C ? 0, y0 ? ,且 CA ? CB ,

?

?

A ? B , ∴ 5 < 2m - 3 ,

…………10 分 …………12 分

的取值范围为 (4, +

).

CA ? CB ?


? 0 ? 4?

2

? ? y0 ? 1?

2

…………2 分 …………4 分
2 2

? 0 ? 6?
2

2

? ? y0 ? 3?
2

2

? 0 ? 4? ? ? y0 ?1?

?

? 0 ? 6? ? ? y0 ? 3?

,

…………5 分 …………6 分 …………8 分

∴ y0 ? 7 . (2) ∵ AC ^ AB , ∴ k AB ? k AC ? ?1 ,

5



3 ? 1 y0 ? 1 ? ? ?1 , 6?4 0?4

…………9 分 …………10 分 …………11 分

解得 y0 ? 5 .

k BC ?

3?5 1 ?? , 6?0 3

∴直线 BC 的方程为 y ? 5 ? ?

1 ? x ? 0 ? ,即 x ? 3 y ? 15 ? 0 . …………12 分 3

17.解:证明: (1)设 BD 与 AC 的交点为 F .连接 E , F .

? E , F 分别为 DD1 , DB 的中点 ? EF // BD1
又? BD1 ? 平面 AEC , EF ? 平面 AEC ,

…………1 分 …………2 分 …………3 分 …………4 分

? BD1 / / 平面 AEC .
(2)在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,

?四边形 ABCD 是正方形, ? AC ? BD
又在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,

…………5 分

? DD1 ? 平面 ABCD ,
又 AC ? 平面 ABCD ,? DD1 ? AC ,

…………6 分 …………7 分 …………8 分 …………9 分 …………10 分

DD1 ? 平面 D1DB , BD ? 平面 D1DB , BD ? DD1 ? D ,

? AC ? 平面 D1DB ? AC ? 平面 AEC ,?平面 D1DB ? 平面 AEC

(3) 以点 D 为坐标原点,以 DA 方向为 x 轴, DC 方向为 y 轴, DD1 方向为 z 轴,建立空间 直角坐标系, 由正方体的棱长为 2,知 D1 ? 0, 0, 2 ? , B ? 2, 2, 0 ? , C ? 0, 2, 0 ? , …………11 分

, , ? , Q ? 0, 2, z ? 则 D1 B 的中点 P ?111

………12 分
2 2 ? 2 ? ?1 ? z ? ,

? PQ ?

?1 ? 0? ? ?1 ? 2? ? ?1 ? z ?
2 2

…………13 分 …………14 分

?当 z ? 1时(此时 Q 为棱 C1C 的中点), PQ 有最小值 2 .

6

18.解(1)由题意可知,当月产量为 x 台时,总成本 g ( x) 为 20 ? 2 x 万元。……2 分 又 f ( x) ? R( x) ? g ( x) ,

? 1 2 ?? x ? 8 x ? 20, 0 ? x ? 10, 故 f ( x) ? ? 2 ? 30 ? 2 x, x ? 10. ?
( f ( x) ? ?

…………6 分

1 2 x ? 8 x ? 20, 0 ? x ? 10, f ( x) ? 30 ? 2 x, x ? 10 ,解析式与定义域各一分) 2

(2)当 0 ? x ? 10 时, f ( x) ? ?

1 ( x ? 8) 2 ? 12 , 2

…………8 分 …………10 分

当 x ? 8 时,有最大值 12 万元;

当 x ? 10 时, f ( x) ? 30 ? 2 x 是减函数, f ( x) ? 30 ? 2 ?10 ? 12 万元. …………12 分 所以,当月产量为 8 台时,公司所获利润最大,最大利润是 12 万元. …………14 分

19. 解(1) 当 a ? 0 , C : x ? y ? 4 y ?
2 2

51 7? 2 ? 0 , x2 ? ? y ? 2? ? ? ? ? ,…………1 分 25 ?5?
…………2 分 …………3 分

2

A(?1,1), B(2,4) ,∴ AB : x ? y ? 2 ? 0 ,经过圆心 ? 0, 2 ?
∴圆 C 截直线 AB 所得的弦长为

14 . 5

(2)

? x ? a ? 2 ? ? y ? 2 ?2

?7? ? ? ? , CP ? CQ , ?5?

2

∴ ?CPQ 为等腰直角三角形,

PQ ?

7 2 5

…………4 分

∴ C 到直线 AB 的距离为 Rt ?CPQ 斜边上的中线, 故圆心 C ? a, 2 ? 到直线 AB : x ? y ? 2 ? 0 的距离为

7 2 , 10

…………5 分

∴d ?

a?2?2 12 ? ? ?1?
2

?

7 2 , 10

…………6 分

解得 a ? ?

7 . 5

…………7 分

(3) 若圆 C 与线段 AB 有公共点,a 的最小值应在线段 AB 左侧取得, 圆 C 与直线 AB 相 切时可能取得. …………8 分

7

设直线 AB : x ? y ? 2 ? 0 与圆 C ? x ? a ? ? ? y ? 2 ? ? ? ? 相切于点 T ( xT , yT ) ,
2 2

?7? ?5?

2

则有

a?2?2 1?1

?

7 , 5

…………9 分

解得 a ? ?

7 2 7 2 ,或者 a ? (舍去) 5 5
2 2

…………10 分

(联立方程得 2 x ? 2ax ? a ? 去)), 当a ? ?

49 7 2 7 2 ? 0 ,有 ? ? 0 ,解得 a ? ? , 或者 a ? (舍 25 5 5

7 2 7 2 时,联立直线方程 AB : x ? y ? 2 ? 0 和 CT : x ? y ? 2 ? ?0, 5 5
…………11 分

? 7 2 ?0 ?x ? y ? 2 ? ? 5 ?x ? y ? 2 ? 0 ?
解得 x ? ? ∵ ?1 ? ?

7 2 7 2 ,y?? ?2, 10 10

…………12 分

7 7 2 ? 2,?T ? AB (或 CT ? ? 2 ? CA,?T ? AB ).………13 分 5 5

故 a min ? ?

7 2 . 5
2? x ? 1 2? x ? 1

…………14 分

20.(1)函数 f ? x ? 的定义域为 R , f (? x) ?

…………1 分

f (? x) ?

2? x ? 1 (2? x ? 1) ? 2 x 1 ? 2 x 2x ?1 ? ? ? ? 2? x ? 1 (2? x ? 1) ? 2 x 1 ? 2 x 2x ? 1

…………2 分 …………3 分

即 f (? x) ? ? f ( x) ,所以 f ( x) 是奇函数. (2)设 x1 , x2 ? R ,且 x1 ? x2 ,则

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ?

2 x1 ? 1 2 x2 ? 1 ? 2 x1 ? 1 2 x2 ? 1
? 2(2 x1 ? 2 x2 ) , (2 x1 ? 1)(2 x2 ? 1)

…………4 分

…………5 分

? x1 ? x2 , 2x1 ? 2x2 ? 0 , 2x1 ? 1 ? 0 , 2x2 ? 1 ? 0 , f ? x1 ? ? f ? x2 ? . …………6 分
所以,函数 f ? x ? 在 R 上是增函数. (3) g ( x) ? f ( x) ? …………7 分

4 x ? m 2 x ? 1 4 x ? m ?4 x ? 2 x ? 1 ? m , ? ? ? 2x ? 1 2x ? 1 2x ? 1 2x ? 1
8

因为函数 g ( x) 在 x ? ? ?2, 2? 上有零点,

? 方程 ?4x ? 2x ?1 ? m ? 0 有解.
? m ? 4x ? 2x ? 1 ,设 h ? x ? ? 4 x ? 2 x ? 1 , x ? ? ?2, 2?
方程 ?4x ? 2x ? 1 ? m ? 0 有解 ? y ? h ? x ? 与

…………8 分 …………9 分

y ? m 两图像有交点.
…………10 分

x 2 令 2 ? t ,? t ? ? , 4 ? , h ? t ? ? t ? t ? 1 , 4

?1 ?

? ?

…………11 分

当t ?

1 ?1? 3 时, h ? t ? 有最小值 h ? ? ? , 2 ?2? 4

…………12 分 …………13 分 …………14 分

当 t ? 4 时, h ? t ? 有最大值 h ? 4 ? ? 13 . 故实数 m 的取值范围为 ? ,13? 4

?3 ?

? ?

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