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山东省威海市乳山一中2014届高三12月份限时训练 数学理 Word版含答案


高三阶段检测理科数学

2013.12.07

一、选择题:每小题 5 分,共 60 分.在给出的四个选项中,只有一项是符合要求的. 1.若 ?=

11? 1 ,则 tan? cos? = A. 3 2

B. ?

1 2

C. ?

3 2

D.

3 2

2.已知集合 A ? {x | log 4 x ? 1} , B ? {x | x ? 2} ,则 A ? CR B ? A. (??, 2) B. (0, 2) C. (??, 2] D. [2, 4)

3.已知向量 a ? (3, 4) , b ? (2, ?1) ,如果向量 a ? xb 与 b 垂直,则 x 的值为 A.

?

?

?

?

?

23 3
| x| 2

B.

3 23

C.

2 5

D. ?

2 5

4.函数 f ( x) ? 2 ? x 的图像为

5.如果若干个函数的图象经过平移后能够重合,则称这些函数为“同簇函数” .给出下列函数: ① f ( x) ? sin x cos x ; ③ f ( x) ? 2sin( x ? ② f ( x) ?

2 sin 2 x ? 1 ;

?
4

);

④ f ( x) ? sin x ? 3 cos x . B.①④ C.②③ D.③④

其中“同簇函数”的是 A.①② 6.若数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? A. ( )(?2)

2 1 an ? ,则数列 ?an ? 的通项公式 an ? 3 3
n

1 2

n ?1

B. ( )(?2)
x x

1 2

C. ( ?2)

n?2

D. (?2)
3 2

n ?1

7.已知命题 p : ?x ? R , 2 ? 3 ;命题 q : ?x ? R , x ? 1 ? x ,则下列命题中为真命题的是 A. p ? q B. p ? ?q C. ?p ? q D. ?p ? ?q

?x ? 1 3 ? 8.已知 a ? 0 , x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ,若 z ? 2 x ? y 的最小值为 ,则 a ? 2 ? y ? a ( x ? 3) ?
A.

1 4

B.

1 2

C. 1
2

D. 2

9.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 2cos

4 ? cos( A ? C ) ? ? .则 cos A ? 5

A. ?

4 5
1

A? B cos B ? sin( A ? B)sin B 2 4 3 3 B. C. D. ? 5 5 5

?x1 , x2 ? R, ( x1 ? x2 )[ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? 0 ,则 f (1 ? x) ? 0 的 10.函数 f ( x ? 1) 是 R 上的奇函数,
解集是 A . (??,0) B. (0,??) C. (??, 2) D. (2, ??)

a1 ? 2 , a8 ? 4 ,f ( x) ? x( x ? a1 )( x ? a2 ) ??? ( x ? a8 ) ,f ?( x) 为函数 f ( x) 11. 等比数列 ?an ? 中,
的导函数,则 f ?(0) ? ( A.0 B. 2 6 ) C. 29 D. 212

12.空间中, l 、 m 、 n 是三条不同的直线, ? 、 ? 、 ? 是三个不同的平面,则下列结论错误的 是 A.若 ? // ? , ? // ? , 则 ? // ? B.若 l // ? , l // ? ,? ? ? ? m, 则 l // m C.若 ? ? ? ,? ? ? , ? ? ? ? l , 则 l ? ? D.若 ? ? ? ? m, ? ? ? ? l ,? ? ? ? n, l ? m, l ? n, 则 m ? n 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在答题卡中相应题的横线上.

13.

?

3 2 1 2

(2 x ?

1 )dx = x2

. cm3.

14.已知圆锥的母线长为 5cm,侧面积为 15π cm2,则此圆锥的体积为 15.在 ?ABC 中, BC ? 3 BD , AD ? AB , A D ? 1 ,则 AC ? AD ?

????

????

???? ?

???? ????



16.已知命题 p:x2+2x-3>0;命题 q: 3 ? x ? 1 ,若“非 q 且 p”为真,则 x 的取值范围是 ____________________.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. 把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明,证明过 程或演算步骤. 17.记函数 f ( x) ? lg( x ? x ? 2) 的定义域为集合 A , 函数 g ( x) ?
2

3? | x | 的定义域为集合 B .

(1)求 A ? B 和 A ? B ; (2)若 C ? {x | 4 x ? p ? 0}, C ? A ,求实数 p 的取值范围.

b ? (cos ?,sin ?) , 0 ? ? ? ? ? 2? . 18.(本小题满分 12 分)已知 a=(2cos ? , 2sin ?),
(Ⅰ)若 a ? b ,求 | a ? 2b | 的值;(Ⅱ)设 c ? (2, 0) ,若 a ? 2b ? c ,求 ? , ? 的值. 19.(本小题满分 12 分) 已知函数 y ? f ( x) 和 y ? g ( x) 的图象关于 y 轴对称,且 f ( x) ? 2 x ? 4 x ? 2 .
2

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

(Ⅰ)求函数 y ? g ( x) 的解析式;

2

(Ⅱ)解不等式

f ( x) ? g ( x) ?| 2 x ? 1| 2

20. (本小题满分 12 分) 已知数列{an}中,a1=1,an+1=an+2n+1,且 n∈N*。 2n+1 (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn= ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn.如果对于任 anan+1 意的 n∈N*,都有 Tn>m,求实数 m 的取值范围。 21.(本小题满分 12 分) 如图,四边形 ABCD 为矩形,AD⊥平面 ABE,AE=EB=BC=2, F 为 CE 上的点,且 BF⊥平面 ACE. (1)求证:AE⊥BE; (2)求三棱锥 D-AEC 的体积; (3)设 M 在线段 AB 上,且满足 AM=2MB,试在线段 CE 上确定 一点 N,使得 MN∥平面 DAE. A E 22.(本小题满分14分) 设函数 f ( x) ? ln x ?

D

C

F M B

1 2 ax ? 2bx. 2

(Ⅰ)当 a ? ?3, b ? 1 时,求函数 f ( x) 的最大值; (Ⅱ)令 F ( x) ? f ( x) ?

1 2 a 1 ,其图象上存在一点 P ( x0 , y0 ) ,使此 ax ? 2bx ? ( ? x ? 3 ) 2 x 2

处切线的斜率 k ?

1 ,求实数 a 的取值范围; 2

(Ⅲ)当 a ? 0 , b ? ?

1 2 ,方程 2mf ( x) ? x 有唯一实数解,求正数 m 的值. 2

附加题:设函数 f ( x) ? x2 ? 2(?1)k ln x(k ? N ? ), f ' ( x) 表示 f ( x) 导函数。
(I)求函数 f ( x) 的单调递增区间; (Ⅱ)当 k 为偶数时,数列{ an }满足 a1 ? 1, an f (an ) ? an ?1 ? 3 .证明:数列{ an }中
' 2

2

不存在成等差数列的三项; (Ⅲ)当 k 为奇数时, 设 bn ?

1 f ? ? n ? ? n ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 S n ,证明不等式 2
3

?1 ? bn ? b

1

n ?1

? e 对一切正整数 n 均成立,并比较 S 2012 ? 1 与 ln 2012 的大小.

2013.12.07 理科数学 参考答案及评分标准
一、 CBCAD, DCAAC, DD 二、13. 三.解答题 17.解: A ? {x | x ? x ? 2 ? 0} ? {x | x ? 2或x ? ?1} ,----------2 分
2

10 3

14. 12π

15.

3

16. (-∞,-3)∪(3,+∞) ∪(1,2]

B ? {x | 3? | x |? 0} ? {x | ?3 ? x ? 3}

----------4 分

所以, (1) A ? B ? {x | ?3 ? x ? ?1或2 ? x ? 3} , A ? B ? R ----------6 分 (2) C ? {x | x ? ? 得: p ? 4 所以, p 的取值范围是 ?4,??? 18.解: (Ⅰ)∵ a ? b ∴ a ? b ? 0
2 2 2 又 ∵ a ?| a | ? 4 cos ? ? 4sin ? ? 4 , b ?| b | ? cos ? ? sin ? ? 1 ? ? 3

p } ,? C ? A 4

??

p ? ?1 4

----------10 分

??????????????12 分

? ?

?2

?

2

2

2

2



∴ | a ? 2b |

?

?

2

? ? ? a ? 2b

?

?

2

?2 ?? ? 2 ? a ? 4ab ? 4b ? 4 ? 4 ? 8 , ??????5 分

∴ | a ? 2b |? 2 2 .???????6 分 (Ⅱ)∵ a ? 2b ? (2cos ? ? 2cos ? , 2sin ? ? 2sin ? ) ? (2, 0) ∴?

?

?

?

?

?cos ? ? cos ? ? 1 ?cos ? ? 1 ? cos ? 即? ?sin ? ? sin ? ? 0 ?sin ? ? ? sin ?

???????8 分 ∴ cos ? ?

两 边 分 别 平 方 再 相 加 得 : 1 ? 2 ? 2cos ?

1 2

∴ cos ? ?

1 2

? ? 10 分

∵ 0 ? ? ? ? ? 2? , 且 sin ? ? sin ? ? 0 ∴ ? ? ? , ? ?

1 3

5 ? ???????12 分 3

19.解: (Ⅰ)设函数 y ? g ( x) 图象上任意一点 P( x, y ) , 由已知点 p 关于 y 轴对称点 P '(? x, y) 一 定在函数 y ? f ( x) 图象上,???????2 分 代入 y ? 2 x ? 4 x ? 2 ,得 g ( x) ? 2 x ? 4 x ? 2 ???????4 分
2

2

4

(Ⅱ)

?2 x 2 ? 2 ? 2 x ? 1 f ( x) ? g ( x) ?| 2 x ? 1| ? 2 x 2 ? 2 ?| 2 x ? 1| ? ? 2 ? 2x ?1 ? 0
???8 分

或?

?2 x 2 ? 2 ? 1 ? 2 x ? 2x ?1 ? 0

?1 ? 3 1 ? 3 ? ?1 ? 7 ?1 ? 7 ?x? ?x? ? ? ? 2 或? 2 2 ?? 2 ???????10 分 ? 1 1 ? ? x? x? ? ? ? 2 ? 2
1 1? 3 ?1 ? 7 1 或 ?x? ?x? 2 2 2 2

? 1? 3 ? ? ?1 ? 7 ? ?x? ?不等式的解集是 ? x ? ???????12 分 2 2 ? ? ? ?
20.解: (1)∵ an+1=an+2n+1, ∴ an―an-1=2n―1, 而 a1=1,∴ an=a1+(a2―a1)+ (a3―a2)+??+(an―an-1)=1+3+5+??+(2n―1)= 2n+1 2n+1 1 1 (2) 由(1)知:bn= = = ― anan+1 n2(n+1)2 n2 (n+1)2 1 1 1 ― )=1― 2 2 n (n+1) (n+1)2 n(1+2n-1) 2 =n 2 ?????5 分

1 1 1 1 ∴ Tn=( ― )+ ( ― )+......+ 12 22 22 32 3 只需要 >m 4

(

1 3 ∴数列{bn}是递增数列,∴最小值为 1― = 2 (1+1) 4 ?????12 分

3 ∴ m 的取值范围是( ,+∞) 4

21. 解:(1)证明: AD ? 平面ABE , AD // BC ∴ BC ? 平面ABE ,则 AE ? BC ……………………………………2 分 又 BF ? 平面ACE ,则 AE ? BF ∴ AE ? 平面BCE 又 BE ? 平面BCE ∴ AE ? BE ……………4 分

(2)

VD? AEC ? VE ? ADC ?

1 4 2? 3 3×2 2 ×

……………………………6 分

(3)在三角形 ABE 中过 M 点作 MG∥AE 交 BE 于 G 点,在三角形 BEC 中过 G 点作 GN∥BC 交 EC 于 N 点,连 MN,则 ……………………………8 分

1 CE 由比例关系易得 CN= 3
MG∥AE MG ? 平面 ADE, AE ? 平面 ADE, ?MG∥平面 ADE………………………………10 分
5

?平面 MGN∥平面 ADE 同理, GN∥平面 ADE ?MN∥平面 ADE 又 MN ? 平面 MGN ?N 点为线段 CE 上靠近 C 点的一个三等分点 …………………………12 分
22.解:(Ⅰ)依题意, f ( x) 的定义域为 (0, ??) , 当 a ? ?3, b ? 1 时, f ( x) ? ln x ?

3 2 x ? 2x , 2

f ?( x) ?

1 1 ? 3x 2 ? 2 x ????????2 分 ? 3x ? 2 ? x x
2

由 f ?( x) ? 0 ,得 3x ? 2 x ? 1 ? 0 ,解得 ?1 ? x ? 由 f ?( x) ? 0 ,得 3x ? 2 x ? 1 ? 0 ,解得 x ?
2

1 3

1 或 x ? ?1 3

1 1 ? x ? 0 ,? f ( x) 在 (0, ) 单调递增,在 ( , ??) 单调递减; 3 3 1 5 所以 f ( x) 的极大值为 f ( ) ? ? ln 3 ? ,此即为最大值????????4 分 3 6
(Ⅱ) F ( x) ? ln x ? ∴ a ≥ (?

x ?a 1 a 1 1 , x ? [ ,3] ,则有 k ? F ?( x0 ) ? 0 2 ? , 在 x0 ? [ ,3] 上有解, x0 2 x 2 2

1 1 1 1 1 2 x0 ? x0 ) min , x0 ? [ ,3] ? ? x0 2 ? x0 ? ? ( x0 ? 1)2 ? 2 2 2 2 2 1 2 9 3 3 所以 当 x0 ? 3 时, ? x 0 ? x 0 取得最小值 ? ? 3 ? ? ,? a ? ? ?????8 分 2 2 2 2
(Ⅲ)由 2mf ( x) ? x 得 2m ?
2

x2 x2 x2 ? ,令 G ( x) ? , f ( x) ln x ? x ln x ? x

G?( x) ?

x(2 ln x ? x ? 1) (ln x ? x) 2

令 g ( x) ? 2ln x ? x ? 1, g ?( x) ?

2 ? 1 ? 0 ,∴ g ( x) 在 (0, ??) 单调递增,?????10 分 x

而 g (1) ? 0 ,∴在 x ? (0,1), g ( x) ? 0 ,即 G?( x) ? 0 ,在 x ? (1, ??), g ( x) ? 0 ,即 G?( x) ? 0 , ∴ G ( x) 在 (0,1) 单调递减,在 (1, ??) 单调递增,?????12 分 ∴ G ( x) 极小值= G (1) ? 1,令 2m ? 1 ,即 m ?

1 2 时方程 2mf ( x) ? x 有唯一实数解. 14 分 2 1 附加题:解:(I)定义域为 ? x x ? 0? , f ' ( x) ? 2 x ? 2(?1)k x 2 ' 当 k 为奇数时, f ( x) ? 2 x ? ? 0 恒成立, x

? f ( x)的单调递增区间为(0, ??). ??? ??? 2 分
当 k 为偶数时, f ( x) ? 2 x ?
'

2 2( x 2 ? 1) 2( x ? 1)( x ? 1) ? ? , x x x
6

又 x ? (0, ??) ,? x ? 0, x ? 1 ? 0 , 由 f ( x) ? 0 , x ? 1 ,
'

? f ( x)的单调递增区间为(1, ??). ??? ??? 4 分
(Ⅱ) 当 k 为偶数时, f ' ( x) ? 2 x ?

2 2 ' , ? f (an ) ? 2an ? an x 2 2 ) ? an ?1 ? 3 an

由已知, a1 ? 1, an f (an ) ? an ?1 ? 3 ,? an (2an ?
' 2

2 2 2 2 2 ? 2an 2 ? 2 ? an ?1 ? 3 ,? 2an ? an ?1 ? 1 ,? 2( an ? 1) ? an ?1 ? 1

? ?an 2 ? 1? 是以 2 为公比的等比数列.

? an 2 ? 1 ? 2 ? 2n ?1 ,? an 2 ? 2n ? 1 . ??? ??? 6 分
数列{ an }中假设存在三项 am , ak , an 成等差数列,不妨设 m ? k ? n ,
2
2

2

2

则 2ak ? am ? an ,又 am ? 2 ? 1 , ak ? 2 ? 1 , an ? 2 ? 1 ,
2 2 2 2 m 2 k 2 n

? 2(2k ? 1) ? 2n ? 1 ? 2m ? 1? 2k ?1 ? 2n ? 2m ,? 2k ?1?m ? 2n?m ? 1,
等式左边为偶数,右边为奇数,不可能成立,
2 }中不存在成等差数列的三项 ??? ??? 9 分 ?假设不成立,数列{ an

(Ⅲ) 当 k 为奇数时, f ( x) ? 2 x ?
'

2 x

1 ' 1 1 1 1 f ( n) ? n ? , S n ? 1 ? ? ? ? ? 2 n 2 3 n 1 1 n ?1 要证 ?1 ? bn ? bn?1 ? e ,即证 (1 ? ) ? e ,两边取对数, n 1 1 ??? ??? 10 分 即证 ln(1 ? ) ? n n ?1 1 1 设 1 ? ? t ,则 n ? (t ? 1) , n t ?1 1 1 ? ln t ? 1 ? (t ? 1) ,构造函数 g (t ) ? ln t ? ? 1(t ? 1) , t t 1 1 ? x ? 1 ,? g ' (t ) ? ? 2 ? 0 , t t ? bn ?
? g (t )在(1, +?)上单调递增, g (t ) ? g (1) ? 0 ,
即 ln t ? 1 ? ,? ln(1 ? ) ?

1 t

1 n

1 1 ,即 ?1 ? bn ? bn?1 ? e . ??? ??? 12 分 n ?1

7

1 1 1 1 1 1 S2012 ? 1 ? (1 ? ? ? ? ? ) ?1 ? ? ?? ? 2 3 2012 2 3 2012 1 1 1 1 1 1 1 1 ,? ? ? ? ? ? ln(1 ? ) ? ? ln 2 ? ln(1 ? ) ? ln(1 ? ) ? ?ln(1 ? ) n n ?1 2 3 2012 2 3 2011 3 4 2012 ? ln 2 ? ln ? ln ? ? ? ln 2 3 2011 3 4 2012 ? ln(2 ? ? ??? ) ? ln 2012 2 3 2011 1 1 1 ? ? ??? ? ln 2012 ??? ??? ??? 14 分 2 3 2012

8


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