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福建省漳州市龙海二中2015-2016学年高二数学上学期期末试卷 文(含解析)


2015-2016 学年福建省漳州市龙海二中高二(上)期末数学试卷(文 科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分) 1.“x>0”是“ A.充分非必要条件 >0”成立的( )

B.必要非充分条件

C.非充分非必要条件 D.充要条件 2.“a>0”是“方程 y2=ax 表示的曲线为抛物线”的( A.充分不必要 C.充要
2

)条件.

B.必要不充分 D.既不充分也不必要 )

3.命题“? x∈R,2x +1>0”的否定是( A.? x∈R,2x +1≤0 B.
2

C. 4.抛物线 x =4y 的焦点坐标是( A.(1,0) B.(0,1)
2

D. ) C.( ) D.( )

5.某企业为了监控产品质量,从产品流转均匀的生产线上每间隔 10 分钟抽取一个样本进行 检测,这种抽样方法是( A.抽签法
x

) C.系统抽样法 ) C.2x+ln2 D. ) D.分层抽样法

B.随机数表法

6.已知函数 f(x)=2 ,则 f′(x)=( A.2x B.2xln2

7. 已知点 F 是抛物线 y2=4x 的焦点, 点 P 在该抛物线上, 且点 P 的横坐标是 2, 则|PF|= (

A.2 8.若椭圆 +

B.3 =1 的离心率 e=

C.4 ,则 m 的值为( )

D.5

A.1

B.



C. )

D.3 或

9.函数 y=x3﹣x2﹣x 的单调递增区间为(

-1-

A. C.

B. D. )

10.执行如图所以的程序框图,如果输入 a=5,那么输出 n=(

A.2 11.已知椭圆

B.3

C.4

D.5

(0<b<3),左右焦点分别为 F1,F2,过 F1 的直线交椭圆于 A,B 两 ) D.

点,若|AF2|+|BF2|的最大值为 8,则 b 的值是( A. 12.已知双曲线 近线的距离等于( A. ﹣ B. C.

=1 的右焦点与抛物线 y2=12x 的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐 ) B. C.3 D.5

二、填空题(本大题共 4 小题,每题 4 分,共 16 分) 13.数据﹣2,﹣1,0,1,2 的方差是 .

14.某城市近 10 年居民的年收入 x 与支出 y 之间的关系大致符合 =0.9x+0.2(单位:亿元), 预计今年该城市居民年收入为 20 亿元,则年支出估计是 15.已知双曲线 的一条渐近线方程为 y=x,则实数 m 等于 亿元. .

-2-

16.函数 f(x)=

﹣2ax+2a+1 的图象经过四个象限的充要条件是



三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分) 17.设命题 p:实数 x 满足 x2﹣4ax+3a2<0,其中 a>0;命题 q:实数 x 满足 x2﹣5x+6≤0

(1)若 a=1,且 q∧p 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若 p 是 q 必要不充分条件,求实数 a 的取值范围. 18.有编号为 A1,A2,?A10 的 10 个零件,测量其直径(单位:cm),得到下面数据:

编号 直径

A1 1.51

A2 1.49

A3 1.49

A4 1.51

A5 1.49

A6 1.51

A7 1.47

A8 1.46

A9 1.53

A10 1.47

其中直径在区间[1.48,1.52]内的零件为一等品. (Ⅰ)从上述 10 个零件中,随机抽取一个,求这个零件为一等品的概率; (Ⅱ)从一等品零件中,随机抽取 2 个. (ⅰ)用零件的编号列出所有可能的抽取结果; (ⅱ)求这 2 个零件直径相等的概率. 19.已知顶点在坐标原点,焦点在 x 轴上的抛物线被直线 y=2x+1 截得的弦长为 物线方程. 20.已知﹣2≤x≤2,﹣2≤y≤2,点 P 的坐标为(x,y) (1)求当 x,y∈Z 时,点 P 满足(x﹣2)2+(y﹣2)2≤4 的概率; (2)求当 x,y∈R 时,点 P 满足(x﹣2)2+(y﹣2)2≤4 的概率. 21.已知平面直角坐标系 xoy 中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为 右顶点为 D(2,0),设点 A(1, ). (1)求该椭圆的标准方程; (2)若 P 是椭圆上的动点,求线段 PA 的中点 M 的轨迹方程; (3)过原点 O 的直线交椭圆于 B,C 两点,求△ABC 面积的最大值,并求此时直线 BC 的方程. , ,求此抛

22.已知 m∈R,函数 f(x)=(x2+mx+m)ex.
-3-

(1)若函数 f(x)没有零点,求实数 m 的取值范围; (2)若函数 f(x)存在极大值,并记为 g(m),求 g(m)的表达式; (3)当 m=0 时,求证:f(x)≥x2+x3.

2015-2016 学年福建省漳州市龙海二中高二(上)期末数学试卷(文科) 参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分) 1.“x>0”是“ A.充分非必要条件 >0”成立的( )

B.必要非充分条件

C.非充分非必要条件 D.充要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】简易逻辑. 【分析】当 x>0 时,x >0,则
2

>0,显然成立,

>0,x >0,时 x>0 不一定成立,

2

结合充要条件的定义,我们可得“x>0”是“ 【解答】解:当 x>0 时,x2>0,则 ∴“x>0”是“ 但 >0

>0”成立的充分非必要条件.

>0”成立的充分条件;

>0,x2>0,时 x>0 不一定成立 >0”成立的必要条件; >0”成立的充分不必要条件;

∴“x>0”不是“ 故“x>0”是“ 故选 A

【点评】判断充要条件的方法是:①若 p? q 为真命题且 q? p 为假命题,则命题 p 是命题 q 的充分不必要条件;②若 p? q 为假命题且 q? p 为真命题,则命题 p 是命题 q 的必要不充分 条件;③若 p? q 为真命题且 q? p 为真命题,则命题 p 是命题 q 的充要条件;④若 p? q 为假 命题且 q? p 为假命题,则命题 p 是命题 q 的即不充分也不必要条件.⑤判断命题 p 与命题 q

-4-

所表示的范围,再根据“谁大谁必要,谁小谁充分”的原则,判断命题 p 与命题 q 的关系.

2.“a>0”是“方程 y2=ax 表示的曲线为抛物线”的( A.充分不必要 C.充要 B.必要不充分 D.既不充分也不必要

)条件.

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】规律型. 【分析】结合抛物线的定义,利用充分条件和必要条件的定义进行判断. 【解答】解:若方程 y2=ax 表示的曲线为抛物线,则 a≠0. ∴“a>0”是“方程 y =ax 表示的曲线为抛物线”的充分不必要条件. 故选 A. 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利用抛物线的定义是解决本题的关键, 比较基础.
2

3.命题“? x∈R,2x +1>0”的否定是(
2



A.? x∈R,2x2+1≤0 B. C. 【考点】全称命题;命题的否定. 【专题】规律型. 【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论. 【解答】解:∵命题? x∈R,2x2+1>0 是全称命题, ∴根据全称命题的否定是特称命题得命题的否定是: “ 故选:C. 【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定,要求掌握特称命题的否定是全称命题,全称 命题的否定是特称命题,比较基础. ”,. D.

4.抛物线 x2=4y 的焦点坐标是(


-5-

A.(1,0)

B.(0,1)

C.(



D.(



【考点】抛物线的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】先根据标准方程求出 p 值,判断抛物线 x =4y 的开口方向及焦点所在的坐标轴,从而 写出焦点坐标. 【解答】解:∵抛物线 x2=4y 中,p=2, ∴焦点坐标为 (0,1), 故选:B. 【点评】 本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用, 抛物线 x2=2py 的焦点坐标为 (0, ) , 属基础题. =1,焦点在 y 轴上,开口向上,
2

5.某企业为了监控产品质量,从产品流转均匀的生产线上每间隔 10 分钟抽取一个样本进行 检测,这种抽样方法是( A.抽签法 ) C.系统抽样法 D.分层抽样法

B.随机数表法

【考点】系统抽样方法. 【专题】概率与统计. 【分析】根据系统抽样的特点,样本是在总体个数比较多的情况下,遵循一定的规则,具有 相同的间隔,得到的一系列样本,即可得到答案. 【解答】解:由题意知,这个抽样是在传送带上每隔 10 分钟抽取一产品,是一个具有相同间 隔的抽样,并且总体的个数比较多, ∴是系统抽样法, 故选:C. 【点评】本题考查了系统抽样.抽样方法有简单随机抽样、系统抽样、分层抽样,抽样选用 哪一种抽样形式,要根据题目所给的总体情况来决定,若总体个数较少,可采用抽签法,若 总体个数较多且个体各部分差异不大,可采用系统抽样,若总体的个体差异较大,可采用分 层抽样.属于基础题.

6.已知函数 f(x)=2x,则 f′(x)=(



-6-

A.2

x

B.2 ln2

x

C.2 +ln2

x

D.

【考点】导数的运算. 【专题】导数的综合应用. 【分析】利用导数运算法则即可得出. 【解答】解:f(x)=2x,则 f'(x)=2xln2, 故选:B. 【点评】本题考查了导数运算法则,属于基础题.

7. 已知点 F 是抛物线 y =4x 的焦点, 点 P 在该抛物线上, 且点 P 的横坐标是 2, 则|PF|= (

2



A.2

B.3

C.4

D.5

【考点】抛物线的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】确定抛物线 y =4x 的准线方程,利用 P 到焦点 F 的距离等于 P 到准线的距离,即可求 得结论. 【解答】解:抛物线 y =4x 的准线方程为:x=﹣1, ∵P 到焦点 F 的距离等于 P 到准线的距离,P 的横坐标是 2, ∴|PF|=2+1=3. 故选:B. 【点评】本题考查抛物线的性质,利用抛物线定义是解题的关键,属于基础题.
2 2

8.若椭圆

+

=1 的离心率 e=

,则 m 的值为(



A.1

B.



C.

D.3 或

【考点】椭圆的简单性质. 【专题】计算题. 【分析】分别看焦点在 x 轴和 y 轴时长半轴和短半轴的长,进而求得 c,进而根据离心率求得 m.

-7-

【解答】解:当椭圆

+

=1 的焦点在 x 轴上时,a=

,b=

,c=

由 e=

,得

=

,即 m=3

当椭圆

+

=1 的焦点在 y 轴上时,a=

,b=

,c=

由 e=

,得

=



即 m= 故选 D



【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质.解题时要对椭圆的焦点在 x 轴和 y 轴进行分类讨 论.

9.函数 y=x ﹣x ﹣x 的单调递增区间为( A. C. 【考点】利用导数研究函数的单调性. 【专题】导数的综合应用.

3

2

) B. D.

【分析】先对函数进行求导,然后令导函数大于 0 求出 x 的范围即可. 【解答】解:∵y=x3﹣x2﹣x, ∴y′=3x ﹣2x﹣1, 令 y′≥0 即 3x ﹣2x﹣1=(3x+1)(x﹣1)≥0 解得:x≤﹣ 或 x≥1 故函数单调递增区间为 故选:A. 【点评】本题主要考查导函数的正负和原函数的单调性的关系.属基础题. ,
2 2

-8-

10.执行如图所以的程序框图,如果输入 a=5,那么输出 n=(



A.2 【考点】程序框图. 【专题】图表型.

B.3

C.4

D.5

【分析】根据题中的程序框图,模拟运行,分别求出 p,q,a 的值,通过判断条件是否成立, 若成立,则继续执行循环体,若不成立,则结束运行,输出此时 n 的值. 【解答】解:a=5,进入循环后各参数对应值变化如下表: p q n 5 2 15 25 3 20 结束

∴结束运行的时候 n=3. 故选:B. 【点评】本题考查了程序框图的应用,考查了条件结构和循环结构的知识点.解题的关键是 理解题设中语句的意义,从中得出算法,由算法求出输出的结果.属于基础题.

11.已知椭圆

(0<b<3),左右焦点分别为 F1,F2,过 F1 的直线交椭圆于 A,B 两 ) D.

点,若|AF2|+|BF2|的最大值为 8,则 b 的值是( A. B. C.

【考点】椭圆的简单性质. 【专题】数形结合;转化思想;圆锥曲线的定义、性质与方程.
-9-

【分析】利用椭圆的定义可得:|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a=6,|AF2|+|BF2|的最大值为 8,可 得|AB|的最小值为 4,当 AB⊥x 轴时,|AB|取得最小值为 4,利用 =4,解出即可得出.

【解答】解:∵|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a=6,|AF2|+|BF2|的最大值为 8, ∴|AB|的最小值为 4, 当 AB⊥x 轴时,|AB|取得最小值为 4, ∴ =4,解得 b2=6,b= .

故选:D. 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

12.已知双曲线 近线的距离等于( A.



=1 的右焦点与抛物线 y2=12x 的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐 ) B. C.3 D.5

【考点】双曲线的简单性质;抛物线的简单性质. 【专题】计算题. 【分析】确定抛物线 y =12x 的焦点坐标,从而可得双曲线的一条渐近线方程,利用点到直线 的距离公式,即可求双曲线的焦点到其渐近线的距离. 【解答】解:抛物线 y2=12x 的焦点坐标为(3,0) ∵双曲线 ∴4+b2=9 ∴b =5 ∴双曲线的一条渐近线方程为 ,即
2 2

的右焦点与抛物线 y2=12x 的焦点重合

∴双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 故选 A.

- 10 -

【点评】本题考查抛物线的性质,考查时却显得性质,确定双曲线的渐近线方程是关键.

二、填空题(本大题共 4 小题,每题 4 分,共 16 分) 13.数据﹣2,﹣1,0,1,2 的方差是 2 . 【考点】极差、方差与标准差. 【专题】计算题. 【分析】先求出该组数据的平均数,再根据方差公式求出其方差. 【解答】解:∵数据﹣2,﹣1,0,1,2, ∴ = ∴S2= , [(﹣2﹣0)2+(﹣1﹣0)2+(0﹣0)2+(1﹣0)2+(2﹣0)2]=2,

故答案为 2; 【点评】本题考查方差的定义与意义:一般地设 n 个数据,x1,x2,?xn 的平均数 ,是一道 基础题;

14.某城市近 10 年居民的年收入 x 与支出 y 之间的关系大致符合 =0.9x+0.2(单位:亿元), 预计今年该城市居民年收入为 20 亿元,则年支出估计是 18.2 亿元. 【考点】回归分析. 【专题】概率与统计. 【分析】根据 y 与 x 具有线性相关关系,且满足回归方程 y=0.8x+0.1,只需将今年该城市居 民收入为 15 亿元代入 x,求出 y 的值即可. 【解答】解:∵某城市近 10 年居民的年收入 x 和支出 y 之间的关系大致是 =0.9x+0.2,

∵x=20, ∴y=0.9×20+0.2=18.2(亿元). 故答案为:18.2. 【点评】本题考查线性回归方程的应用,考查学生的计算能力,考查利用数学知识解决实际 问题的能力,属于基础题.

- 11 -

15.已知双曲线

的一条渐近线方程为 y=x,则实数 m 等于 4 .

【考点】双曲线的简单性质. 【专题】计算题. 【分析】根据双曲线的方程求得渐近线方程为 y= x,根据题意 =2,求得 m 值.

【解答】解:∵双曲线 又已知一条渐近线方程为 y=x,∴ 故答案为 4.

的渐近线方程为 y= =2,m=4,

x,

【点评】本题考查双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用,求得渐近线方程为 y= x,是解题的关键.

16.函数 f(x)= . 【考点】二次函数的图象. 【专题】计算题.

﹣2ax+2a+1 的图象经过四个象限的充要条件是 ﹣

【分析】利用导数研究函数的单调性,可得 f(﹣2)与 f(1)中,一个是函数的极大值而另 一个是函数的极小值.结合题意可得 f(﹣2)f(1)<0,得到关于 a 的不等式,解之即可得 出实数 a 的范围,从而得到所求充要条件. 【解答】解:∵f(x)= ﹣2ax+2a+1,

∴求导数,得 f′(x)=a(x﹣1)(x+2). ①a=0 时,f(x)=1,不符合题意; ②若 a>0,则当 x<﹣2 或 x>1 时,f′(x)>0;当﹣2<x<1 时,f′(x)<0,

∴f(x)在(﹣2,1)是为减函数,在(﹣∞,﹣2)、(1,+∞)上为增函数;

- 12 -

③若 a<0,则当 x<﹣2 或 x>1 时,f′(x)<0;当﹣2<x<1 时,f′(x)>0,

∴f(x)在(﹣2,1)是为增函数,在(﹣∞,﹣2)、(1,+∞)上为减函数 因此,若函数的图象经过四个象限,必须有 f(﹣2)f(1)<0, 即( )( )<0,解之得﹣ .

故答案为:﹣ 【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与极值、函数的图象、充要条件的判断 等知识,属于基础题.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分) 17.设命题 p:实数 x 满足 x ﹣4ax+3a <0,其中 a>0;命题 q:实数 x 满足 x ﹣5x+6≤0
2 2 2

(1)若 a=1,且 q∧p 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若 p 是 q 必要不充分条件,求实数 a 的取值范围. 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】简易逻辑. 【分析】(1)利用一元二次不等式的解法可化简命题 p,若 p∧q 为真,则 p 真且 q 真,即可 得出; (2)若 p 是 q 的必要不充分条件? 【解答】解:(1)p:实数 x 满足 x ﹣4ax+3a <0,其中 a>0 ?(x﹣3a)(x﹣a)<0,∵a>0 为,所以 a<x<3a; 当 a=1 时,p:1<x<3; 命题 q:实数 x 满足 x ﹣5x+6≤0?2≤x≤3;若 p∧q 为真,则 p 真且 q 真,∴2≤x<3;
2 2 2

故 x 的取值范围是[2,3) (2)p 是 q 的必要不充分条件,即由 p 得不到 q,而由 q 能得到 p; ∴(a,3a)? [2,3]? ,1<a<2

- 13 -

∴实数 a 的取值范围是(1,2). 【点评】考查解一元二次不等式,p∧q 的真假和 p,q 真假的关系,以及充分条件、必要条件、 必要不充分条件的概念.属于基础题.

18.有编号为 A1,A2,?A10 的 10 个零件,测量其直径(单位:cm),得到下面数据:

编号 直径

A1 1.51

A2 1.49

A3 1.49

A4 1.51

A5 1.49

A6 1.51

A7 1.47

A8 1.46

A9 1.53

A10 1.47

其中直径在区间[1.48,1.52]内的零件为一等品. (Ⅰ)从上述 10 个零件中,随机抽取一个,求这个零件为一等品的概率; (Ⅱ)从一等品零件中,随机抽取 2 个. (ⅰ)用零件的编号列出所有可能的抽取结果; (ⅱ)求这 2 个零件直径相等的概率. 【考点】古典概型及其概率计算公式;等可能事件;等可能事件的概率. 【专题】概率与统计. 【分析】(1)考查古典概型用列举法计算随机事件所含的基本事件数,从 10 个零件中随机 抽取一个共有 10 种不同的结果,而符合条件的由所给数据可知,一等品零件共有 6 个,由古 典概型公式得到结果. (2)(i)从一等品零件中,随机抽取 2 个,一等品零件的编号为 A1,A2,A3,A4,A5,A6.从 这 6 个一等品零件中随机抽取 2 个,所有可能的结果有 15 种. (ii)从一等品零件中,随机抽取的 2 个零件直径相等记为事件 B,列举出 B 的所有可能结果 有:{A1,A4},{A1,A6},{A4,A6},{A2,A3},{A2,A5},{A3,A5},共有 6 种.根据古典概型 公式得到结果. 【解答】(Ⅰ)解:由所给数据可知,一等品零件共有 6 个. 设“从 10 个零件中,随机抽取一个为一等品”为事件 A,则 P(A)= (Ⅱ)(i)一等品零件的编号为 A1,A2,A3,A4,A5,A6. 从这 6 个一等品零件中随机抽取 2 个, 所有可能的结果有:{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5}, {A1,A6},{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4}, = ;

- 14 -

{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6}共有 15 种. (ii)“从一等品零件中,随机抽取的 2 个零件直径相等”记为事件 B B 的所有可能结果有:{A1,A4},{A1,A6},{A4,A6}, {A2,A3},{A2,A5},{A3,A5},共有 6 种. ∴P(B)= .

【点评】本小题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率等基础 知识,考查数据处理能力及运用概率知识解决简单的实际问题的能力.

19.已知顶点在坐标原点,焦点在 x 轴上的抛物线被直线 y=2x+1 截得的弦长为 物线方程. 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;抛物线的标准方程. 【专题】计算题.

,求此抛

【分析】设出抛物线的方程,直线与抛物线方程联立消去 y,进而根据韦达定理求得 x1+x2 的 值,进而利用弦长公式求得|AB|,由 AB=
2

可求 p,则抛物线方程可得.

【解答】解:由题意可设抛物线的方程 y =2px(p≠0),直线与抛物线交与 A(x1,y1),B (x2,y2) 联立方程 可得,4x +(4﹣2p)x+1=0
2





,y1﹣y2=2(x1﹣x2) = =

= 解得 p=6 或 p=﹣2 ∴抛物线的方程为 y2=12x 或 y2=﹣4x

=

【点评】本题主要考查了抛物线的标准方程.解题的关键是对抛物线基本性质和标准方程的 熟练应用

20.已知﹣2≤x≤2,﹣2≤y≤2,点 P 的坐标为(x,y) (1)求当 x,y∈Z 时,点 P 满足(x﹣2)2+(y﹣2)2≤4 的概率;
- 15 -

(2)求当 x,y∈R 时,点 P 满足(x﹣2) +(y﹣2) ≤4 的概率. 【考点】几何概型. 【专题】概率与统计. 【分析】(1)因为 x,y∈Z,且|x|≤2,|y|≤2,基本事件是有限的,所以为古典概型,这 样求得总的基本事件的个数,再求得满足 x,y∈Z,且(x﹣2) +(y﹣2) ≤4 的基本事件的 个数,然后求比值即为所求的概率. (2)因为 x,y∈R,且围成面积,则为几何概型中的面积类型,先求区域为正方形 ABCD 的面 积以及(x﹣2)2+(y﹣2)2≤4 的点的区域即以(2,2)为圆心,2 为半径的圆的面积,然后 求比值即为所求的概率. 【解答】解:如图,点 P 所在的区域为长方形 ABCD 的内部(含边界), 满足(x﹣2) +(y﹣2) ≤4 的点的区域为以(2,2)为圆心,2 为半径的圆面(含边界).
2 2 2 2

2

2

(1)当 x,y∈Z 时,满足﹣2≤x≤2,﹣2≤y≤2 的点有 25 个, 满足 x,y∈Z,且(x﹣2) +(y﹣2) ≤4 的点有 6 个, 依次为(2,0)、(2,1)、(2,2)、(1,1)、(1,2)、(0,2); ∴所求的概率 P= .
2 2

(2)当 x,y∈R 时, 满足﹣2≤x≤2,﹣2≤y≤2 的面积为:4×4=16, 满足(x﹣2)2+(y﹣2)2≤4,且﹣2≤x≤2,﹣2≤y≤2 的面积为: =π ,

∴所求的概率 P=

=



【点评】本题考查的知识点是几何概型概率计算公式,计算出满足条件和所有基本事件对应 的几何量,是解答的关键,难度中档.
- 16 -

21.已知平面直角坐标系 xoy 中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为 右顶点为 D(2,0),设点 A(1, ). (1)求该椭圆的标准方程; (2)若 P 是椭圆上的动点,求线段 PA 的中点 M 的轨迹方程;



(3)过原点 O 的直线交椭圆于 B,C 两点,求△ABC 面积的最大值,并求此时直线 BC 的方程.

【考点】直线与圆锥曲线的关系;轨迹方程;椭圆的标准方程. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】(1)利用椭圆的标准方程及其性质即可得出; (2)分别设点 P(x0,y0),线段 PA 的中点 M(x,y).利用中点坐标公式及“代点法”即 可得出; (3)对直线 BC 的斜率分存在于不存在两种情况讨论,当直线 BC 的斜率存在时,把直线 BC 的方程与椭圆的方程联立,解得点 B,C 的坐标,利用两点间的距离公式即可得出|BC|,再利 用点到直线的距离公式即可得出点 A 到直线 BC 的距离, 利用三角形的面积计算公式即可得出, 再利用导数得出其最值. 【解答】解;(1)由题意可设椭圆的标准方程为 ∵右顶点为 D(2,0),左焦点为 ∴a=2, , . , . ,c 为半焦距.

∴该椭圆的标准方程为

(2)设点 P(x0,y0),线段 PA 的中点 M(x,y).

由中点坐标公式可得

,解得

.(*)

∵点 P 是椭圆上的动点,∴



- 17 -

把 (*) 代入上式可得

, 可化为



即线段 PA 的中点 M 的轨迹方程为一焦点在 x 轴上的椭圆



(3)①当直线 BC 的斜率不存在时,可得 B(0,﹣1),C(0,1). ∴|BC|=2,点 A 到 y 轴的距离为 1,∴ =1;

②当直线 BC 的斜率存在时,设直线 BC 的方程为 y=kx,B(x1,y1),C(﹣x1,﹣y1) (x1<0).

联立

,化为(1+4k2)x2=4.解得







∴|BC|=

=2

=



又点 A 到直线 BC 的距离 d=





=

=





=

=



令 f(k)=

,则



令 f′(k)=0,解得

.列表如下:

- 18 -

又由表格可知: 当 k=

时, 函数 f (x) 取得极小值, 即

取得最大值 2, 即



而当 x→+∞时,f(x)→0, 综上可得:当 k=

→1. ,即 .

时,△ABC 的面积取得最大值

【点评】熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、中点坐标公式及“代点法”、分类讨论的思想 方法、直线与椭圆相交问题转化为直线的方程与椭圆的方程联立解方程组、两点间的距离公 式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、利用导数研究函数的单调性及其极值.

22.已知 m∈R,函数 f(x)=(x2+mx+m)ex. (1)若函数 f(x)没有零点,求实数 m 的取值范围; (2)若函数 f(x)存在极大值,并记为 g(m),求 g(m)的表达式; (3)当 m=0 时,求证:f(x)≥x +x . 【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值. 【专题】综合题;分类讨论. 【分析】(1)若函数没有零点,则对应的方程(x +mx+m)e =0 没有实根,根据指数的性质, 我们易将问题转化为二次方程根的个数判断问题,由此列出关于 m 的不等式,解不等式即可 得到答案. (2)求出函数的导函数,由于其表达式中含有参数 m,故可对 m 的取值进行分类讨论,综合 讨论过程即可得到答案. (3)当 m=0 时,f(x)=x2ex,构造函数 ?(x)=ex﹣1﹣x,求出函数的导函数后,我们易判断 出函数的单调区间及最小值,若最小值大于等于 0 即可得到结论. 【解答】解:(1)令 f(x)=0,得(x2+mx+m)ex=0,所以 x2+mx+m=0. 因为函数 f(x)没有零点,所以△=m2﹣4m<0,所以 0<m<4.
- 19 2 x 2 3

(2)f'(x)=(2x+m)e +(x +mx+m)e =(x+2)(x+m)e , 令 f'(x)=0,得 x=﹣2,或 x=﹣m, 当 m>2 时,﹣m<﹣2.列出下表: x (﹣∞,﹣m) ﹣m (﹣m,﹣2) ﹣2 + me
﹣m

x

2

x

x

(﹣2,+∞) 0
﹣2

f'(x) f(x)↗

0 ↘

﹣ (4﹣m)e

+



当 x=﹣m 时,f(x)取得极大值 me﹣m. 当 m=2 时,f'(x)=(x+2)2ex≥0,f(x)在 R 上为增函数, 所以 f(x)无极大值. 当 m<2 时,﹣m>﹣2.列出下表:

x

(﹣∞,﹣2) +

﹣2 0

(﹣2,﹣m) ﹣m (﹣m,+∞) ﹣ 0 +

f'(x) f(x)↗

(4﹣m)e﹣2 ↘
﹣2

me﹣m ↗

当 x=﹣2 时,f(x)取得极大值(4﹣m)e , 所以 (3)当 m=0 时,f(x)=x e ,令 ?(x)=e ﹣1﹣x,则 ?'(x)=e ﹣1, 当 x>0 时,φ '(x)>0,φ (x)为增函数;当 x<0 时,φ '(x)<0,φ (x)为减函数,
2 x x x

所以当 x=0 时,φ (x)取得最小值 0. 所以 φ (x)≥φ (0)=0,e ﹣1﹣x≥0,所以 e ≥1+x, 因此 x2ex≥x2+x3,即 f(x)≥x2+x3. 【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性,利用函数研究函数的极值,其中 根据已知函数的解析式,求出函数的导函数是解答此类问题的关键.
x x

- 20 -


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