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一种新的卷积反演快速算法


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第 l 卷 第 4期  9 l如 年 8胃  9















报 

J u n 1。 o ra 艟

U ES   0r Ch n   T     ia

VO1 1  N o 4 .9 .  Au .9 0 ¥ 19 



种新 的卷积反 演快 速算法 
舒 勤  张 有 正 
( 无线 电技 术系 )  

.  

、  

[ 摘薹 ] 提 出了—种 新 的卷积 反 演瓷速 算法, 目 常规 的快 遗 算 法 节省运 算 量, 适应 序 列 的 长  比 前 且
度 为无 限的 情况.   关t锕 : 卷积 应潸: 离散 傅 氏蛭数; 运算 量  算涛 

0 引

言 

卷积反 演, 或反卷 积是 依 照卷积 方程 

y 睢 x[ []= 嗣 h    []

【 ) 1 

由已知的 xn . [] []yn 求解 埘。 ; n 或已知 h.、 ] ] i]   求解 x  式( )  ] 1 的意义也可 由图 1 表示。  

反 在稽 辨识 卷积  
起 越来越 普遍 的 重视 - . ~    

成 图 强 像. 篮

遵 墼越  诊断 地 碧声    

厂  

—  1
图l  

震勘探数据处理等许多领域有十分广泛的应 用价值。反卷问题已引 近年来, 文献上已介绍了不少反卷算法 

L———一   _

。由于解决反卷问题时类型 及侧 重面各有不 同 ,  

所 以综合 评 价这 些方法 并非 三言 两语 之 事。本 文着 重讨 论 卷积反 演 的快 速算法 。  

不失 一 般性, 假定 已知 珈 ]yn 术解 ^ nj 它 们 均 为 因序 列, 长 度 分 别 记 作 M 、 , ’ [] [ ]且 其 M 和 
M l 并 有M ‘ , =M , 一M   I  + .

目前, 解决 上述 同题 的快 速算 法为: N 为周 期, ≥M  , []y ] 以 N 将xn、  周期 化 

茸 M = xn N] Ⅳ ∑ [ +r  

(   2)

- M = yn N   y   ∑ [+r]

(   31

对  [ 了 帕 作 DF ( 散 F ui 级数 ) 帕. [ S离 orr e 的正变 换( 也记 作 DF ) 到  Ⅳ明、 嘲 。 式 ( ) S 得 [   由 1 

和D S 卷 定 , 得   [【 帕= [ r] 的D S   I 的 积 理 可 到 帕 [ 主h + ) F 为 nN
‘ 

H [ =Y k/ 蜩   ] x  蜩 

( ) 4  

这里及以后均假定氟 [ 妇≠ 0 。作矾 [ 叼的D S F 逆变换( 记作IF )由 D S, 此得到  
^ =I S H 妇} [ DF { [  
N ≥M  的要 求是 为 了使 时域 信 号  [] [   M 、  、  
方便 。  
奉 文于 l 8 年 1 1 99 月 3日收 到, 3月 l 收 到修 改 稿. 1日  

n =0~ N一1  

(   5)

] 是  ”  M   [ 的原 样 重复 ,没 有混  ]Y h阳

迭 。 也 有人 用 DFT( 离散 F u e 变换 ) 成 上述 计算 。DF o rr i 完 S与 DF T虽无 本 质 差 异, DF 灵 活  但 S

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30 7 















报 

l 9卷 

上 述 算 法 能 够 利 用 F T 因 而 运 算 量 较 少 . 本 文 将 提 出 一 种 新 的 反 卷 积 的 DF F , S算 法 , 特 点  其
如下:  

( )仅要求 N>M  , 1 - h 因一般^  >^ , 以,   所 运算 量更 少 。   ( )M  M  以任意, 至 无限 . 2 、 可 甚  

1 算

法 

11 基本 算 法  .
可 以证 明, 当 

Ⅳ ≥M^  
时, 5 也成立 , 式( ) 由此 可得 b n 。 i]  

(6)  

证 设  z 、 ( ) H() 0 x 、 M 、 [ 的 :变换 , z   p  )由式( ) 卷 积 定 理  ) y z 、 : 分  为 M y ^闷 令 = ( , 1及
可得  

p如 ) =H[x ( )  ( ] ep  ]

p如 )  ( ]

( ) 7  

由于在 ∞的 任意采 样 点, 7 均成 立, 式( ) 因此对 任 意正 整 数 Ⅳ 及整数 , 有 

士   =e 鲁 )[ 鲁明 c x鲁)H    c     ][ x ]x    s ,   这 熹讲 0  H    删为eoY   里    p 鲁 [ 鲁 )  p) 川、 e ] [f, x x] ( i
He ( )的 匀 样 期 列, 期为N 即 别为 I、 ] n的D S] [   [p ̄] 均 采 周 序 周 xj , 分   n  、 ] I : 叼、 ] 瓦I E   
]、月  , [ 因而, N ≥M  由此求 出的 珥 [ 仍满 足式 ( ) 当 时, 叼 5 ,证 毕 。  

基于上述分析, Ⅳ≥M  可保证  [   [ 和  [ 均不混选( 取 ,  、     通常  >^ , )但不必    M , 要 。因 { ^ 1,故仅 需 ^[ 为 ^ 1的原 样重复 即可 , 这 只要 N ≥Ml 芋求  ]    D] 而 就能 保证 。  
捌 1 已知n   , , , , , 7 8 9 0 1 =q 1 2 3 4 5   , , ,1 ,1,… 

xn =1 2 [] , ,一1 ,一4 1 , ,一1 ,3 0 q q q ?  ,1 , '     ? ?
y帕 =2 ,一】 [ ,5 ,一1 ,一7 6 2 5 5 4 , ,1 , , ,一6 ,一9 0 ?- , ,?  

求解 h . M  

因   1. 1   8 故 M =^ .  一M  = , N=4 由式( ) ( ) +1 4 取 , 2 、 3 得到  [ 3 [ 由此算  n、 闻。   得墨 [ y [ 然后利用式( ) 5 得到 ^H, 明、  明, 4 ( ) []结果见表 1 。表 2 为常规快速算法取 Ⅳ=1 6的计算 
结果 。  
表 1   N=4  

.  

[] n 
0   2  

再 [] n 
0  

墨  ] ~[    
2  

~ []     
—2  

日 k  ~ ]  
—1  

^[ 】 n 
2  

l  
2  

1  
0  

5  
2  

2.    J 2
2  

—2  1  一 4
6  

3 j4 -   
3  

1  
—1 — 

3  

—1  

—9  

2十   j2

—2 +i 4 1 

3  4 +  

—3  

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4期 



勤等 : 一种 新的 卷积 反演快 建算 法   



 



 



 

咖 
0   l  

M 
2  

XE  ,] k
2   —2  

哟 
7 9 88 .3   58 40 .    7
2 4 5l 2.8   十J0 3 48 4 .8     2 印2 3 0.     一f B 孵5 7 3.    

玑哟 
一l  

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2  

1  
2   3  

2  
一l   —4  


5  

—24 6 l _ 8   十i . 60 10   7

1O 8 7 .    6 +i . 6 l 30     9
4.2     8 B4 24 42 .1     5酾 l 4 .    -i . 6     l 3 48

l  
~l   -3  

i  

+ 48 8 4 i 2  



07 l 】  

一¨ 

4.D     8 32 i .3    5 5 28

4  
5  


l  
I  

一7  
6  
一   一

2 2 IJ  
0. 53 砬   

—2 j4 一 1 
一∞ .4     953

3 4    
—0 4 72 .4  

0  
0  

52   3 8
 

+l.9   J 2 83 3
5 54 8 .l    

_ 27 90 『.     7
-0黜 . 4  

6  
7   8  

l  
3   0  

l  2
5   5  


+O j 884 2   


∞ l1  

- 36 51 3 .1  
—3 7 8 1 .1  

+ 04 42 j .1   
15 7   . 1  0

0  
0   0  

1.5  7 67  

+f .0     3 760
2  

+ 840 2 j .    1
6  

+n .8 9 6l  
3  

9   l  0

0  

6  


1 6 78 . 5    3


—3 7 7 9 .1   

157 l . 1   

0   0  

760 0   

+ 840 3 j ,1   
554 8 .    1 + { 65   3 1  l


—J .8    16 l9
一08 8 4 .2     一f . 4 2 04     1
—0.4     47 2

0   儿 

—9  

7∞ l l .    — .85   8    2
O.2  3 05  

一∞ .4     95l

0  
l  2
n  H 

0  
、  0
0   0  


+ 7528 J .    3
2 2    
4. 3 2 舯    +f 5 52   3  8


一1 . 8 3 32     9
—2 1  +f4
加 .∞ 3 6   3  8. 7   笠 .8 l 45  

+ 27 9 0 j.    7
3 4    
58 1 4 .6     十 f .6   13 48 488   .2  4

0  
0  
0   0  

0  
0   0  

7. l   o7 i

f. 8 4 48     2


一,o34   4 .  8 8
—79 8 8 .3    

- 24 4 2 1 .1   
I0 B 7 .6     0  

l  5

0  

0  

2. 6   勰  1



1. 60 1 0   7

+ 584 0   .    7

一j .9      O6 l 3

不难 看出, 本算 法 的运算量 更 少, 尤其 当 M 。 较大而 M   相对 较小 的时 候 .  

12 权 算法  . 本 算 法 的另 一 个 特 点 是 能 适应 x . []的 长 度 为 无 限 的 情 况 。 因 为 M  . , 限 时 , 嗍 yn M 无 式  () ( ) 2 、 3 的求和 也是 不难 计算 的 .  
假定 M h 限且 已知, Ⅳ≥ 有 取   , 时, 过 一般有 两 种可 能 :  

(  I J式( ) ( ) 和存 在, 与 M . 为有 限 值的 反卷 情 况井 无差异  2 .3 之 这 M  ( )对 x . [ 式 ( ) 3 之和 虽不 存在 , 2 嗍 y , 2 ( ) 但对 x  . [ 的加 权序 列 x [   [   [ y闻  帕、0  (
运 算 , 此 得 到  由

]  =

xn   nI] [] [M n :ynA一, 为非零复 数 ) 式(  3 之 和 存 在, A , 2 (  J J 于是 , 可按基 本算 法 对 x []n ]  丌   

^ n:m r { [    I] S   )
最后 去权, 得到 待求 的 h ^  []

(9  )
( 0  1)

hn :A ^ H  e]   []

H ~0

Ⅳ一1  

这 种处 理方 法称 权修 正算 法, 或权 算法 。显 然 , 本 算法 为权算 法政 权  : 1 基 的特例 。 难 看出 , 不   对 坝 zJ (  删 zJ 匀采 样的采 样点 取 在 半 径 为 i 的 圆 周 ==J  ̄p  J 即可 导 出权    y z)  均 Al Al ( 上,

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电.子











报 

l 9卷 

算法 。由于对任意 丘 这个 圆都 位 于 日 z 的收 敛 域内, () 因而 , 要此 时  只
就有 效 .  

] 、  

] 在  存 权算法 

然 而 , M   M   无 限 的 反 卷 问 题 中,   常 未 知 , 为 不 可 能 从 无 限 太 的 M   M  中 算 出  对 为 M 常 因

M  .所 以, 的选 取 一般只 能试 探, Ⅳ 结论 如 下:  

( )若 M。 限, 对任意 Ⅳ≥M  A有  I 有 则 及

h [   帕=I S 日 [ =   DF { 蛔} 0

n  ~ N一1  ^  

且当 n O~ M^ 时,   DF {   ]不变。这时式(O 存在, = 一1 A I S 再 } 1) 由此得到 h 嵋。 [  
【 )若 M  限, I 所述 情况一 般不 会 发生 , 2 无 则( ) 因为 对不 同的 Ⅳ 或 A 由 ,  
. , 

∞  

∞  

咖 = h + Ⅳ] ∑ hn r A ” ’ ∑  n r = [+ N]     
知 , 迭影 响 是 不 相 同 . 混  

(2  1)

当 

无 限时, h I] 以   n 表示权 算法 的 近似 解, 即 

n≈h M = i [ ]    —  帕 
当 hI] 因序 列 时, n为 有 

n =0~ N1I .  

( ) 1  3

h ]    =

I = ∑hn r A  = [ ∑h r ]   n   ] [+N] ¨ ’ h帕+  + Ⅳ  叶
r O     l  

= ~Ⅳ一1 (4  0   1)

定义计 算谩 差e  为 

e i [一 n= h+ ]— +  [l。B ^ : n   [l l [ r Ar Eln=o   = l ]h ] ∑ ̄ n N  I   ] e 】 ∑ 卜 h     h + 
e :  
^=O   … 0 —1   ^一Ⅳ 

(   )

式中  
:  

= ∑ hn r A { ∑l [+ N]  称作逼近 误差 P= l叫 l ,  ∑ ^ 称作截尾误差,  
=O r。】     H Ⅳ   

∞ 

讨论 若∑I[ l , hn <∞ 则Ⅳ取的充分太, l 可将  P均限制得很小, . 此外, 还可以 增大Il A 以缩  小 当∑l[ 不存在时 。   h啊l , 将趋于无穷, 不过, 这种情况并无工程意义。  
常规快 速算法 要求 Ⅳ≥M   所 以, M  M  限时 , 样的 N 不存 在 , 时, 的 处理办 法是  , 当 无 这 此 它

 ̄xI]y阅 截 断, n、 [ 取有 限长 度区 间内的 
很大 , 成 选取解 的 困难 . 造  

( 此 区 问 内 啊、 } 的加 权序列  [i [ ) 或     ! ] h、 帕   n

来 近似计算 ^ 1 这 除 了引入 不必要 的 误差外 , 不 同的 截 取 区间及 不 同的权 A 计算 结 果有 时差 异  D] , 对 , 例 2 已知x  、 [] 因序 列, [ yn 为 且  x 闷 =1 2 3 4 ,一 f , , , ,5  


.  

。  

1 n +  

n=0 ,2 ? ,1 ,??  

yn =1 2 1 3 2 4 4 ,…  [] ,1 , 2 , 3 ,3 5
‘  



』  

=  o

l1 1 H 一 1 n lZ … 11 + ) 2 ( O =,  
求 解 h啊  [ 对不 同的 N 及 A, 别采 用 本文 方 法和 截新方 法计 算, 算 结果 列 于表 3 4 分 计 、 。表 中 Ⅳ 除 表 示方  法的 循环周 期外, 还表 示截 断方法 截取 的计 算 区间 为 [ N—I , n O, ] 即 =O~ N—I 。  

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勤等 : 一种 新 的卷积 反演 快速 算法   

可 以 看 到 , =4 8 A=12 , N ,及 . 5 2时 .    

表 3  

N:4  

本算法之解恒为( , 10 ) 所以, 11 0, 0 , 可 
窿 ^   1,0, 0 )  ] 1 10 。丽截 断 方法 ,  
对 不 同 的Ⅳ 和   其 解 是 不 同 的 , 过 , 不 从 

方 法 


^  H   h Ⅳ1 h 胴   h [    [    ]   3 2
10.  l 0 0   0 0 . 
gO 0 1 0 0 .   0 . 

本  12 5 1.  方     0
法  2   10 . 

0.   0
0.   0

表 中还 可 以看 出, 有 当 Ⅳ 及 1 l 充  只   均
分 大时, 断方 法才 能得到 满 意的结 果 . 截  

截 

1  

6 .  75
8 .  25

6.   5
2 .  83

—1 .  —1 5 85 8  


断  12   .5

—5 .  一' .   11 7 9 9

方 
法 

2  
4  

-2 .  88
—0 4 . 

4 .  63
1. 11  

1 86 2 . 
1 .  01 8

—4 .  68
—1 6 . 

表4  

N:8  

方 法 
本 
方 
法 

^  回   ^ 1   ] ^ E] ^ N  ^     2    囹  
1. 笛 
2  

[] 5 
0.   0
0 .0  

^ 网   
0.   0
0 .0  

^ 册   
0.   0
0.   0

1.   0



l0.  1 .     0 衄 0
l0 .0 1 0 .       0 0

0.   0.   0 0
0.   0.   0 0

0  

截 
断 

1  
1.   笛

9 0 3  


7 .   -5 .5 — 5.5 —5 .5 0      

—5 .5  

—5 .5  

—5 5  
. .

.  2

7 6 -2 .   —6.   —1 5 — 4.   3.  - 5 5 7.   4 9

—1 8.   —3 1 3 1 3 1  

方 
法 

2  
4  

-2.   2
1.   0

1 2 ∞ .   —3.   0.   3.  1 2 3 1
10 .0 1 0 0     0  


0.   0
0.   ∞

0.   0
0.   ∞

0.   0
0.   ∞

0 0 0 .∞      

2 结 束 语 
本文证 明了采用 DF S技术 解决 反 卷问题 时, 只要 DF S的 阶数 Ⅳ 不小于 待求 系统 的长 度 即 可,   丽不是 常规用 法所 要求 的 Ⅳ 不得 小 于输出信 号 的 长度 。 因而 , 算 法更 节 省运 算量, 本 由此 带来 的另 


个 明显的好 处是使 DF S反 卷算 法 也适 用于 x , y' 为 无 限长序 列 的情 况  . [   I1 -  ̄   尽 管分 析时假 定  [] 0 但这 并 币火 其 一 盘≠ , 般性 。 因 为 一 算 得  旦 [ 有零点(   即存 在某 

些  使 
由于 

] o, = )则可另取 Ⅳ N≥ ) 重新计算, 【   或  总会保证置  ≠ 0 [ 的假定成立。 这是 
[ ≠ 0 阳 ,关 于 这 一问 题 的 详 细 讨论 可 参 阅 文 献 

[ 有 零 点意 味着有 些采 样点 恰巧 采在 州 = 的零 点 处, 所 以只 要 移动 采 样 点 的 位置 ( 明 ) 这 

可 通 过 重 取 Ⅳ 或 A 来 实现 ) 可 保 证 新 的  即 [] 6。  

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报 

1 9卷 







献 

l i  s - b d  R a d M T 。  

6 p ka A      b r : n

。 P o  I E   1 8 7 1 :8   rc E E 9 6; 4f ) 2~ 8   5

2  Pa o l  A  Th   r b e o r a r  ̄in z r sl  e o v l d n [ EE T a s 0 I   1 7 , T 一2   p ul s e p o lm  ft sr o  e o n d  ̄ n o u o a a E   rn     T 98 【 4

.  

( ) 16 18 1: 2 ~ 2 
3  Mmd i . nn a a a ∞ d c m ̄ uJn I E   Ta e J MJl   mt- n n v eo lt   E E o rm O  G   1 8 ; n E 9 l GE一1 3 : 6 ~ l 1 9( ) 1 1 7 
4  yalS d _ R , d a  J r ad  m a Be n r  B , at W t  T .] s lo i msfr 】   zo v ]t n I EE  ry 01 卿   : t g rh a a t o P d n oui   E e o Ta s 7  

l8 9 5;^ s s P一3 ( 1 14~ 12 3 1: 7 8  5 孔 凡年 时城 善积反 演时新 方法 电子 学报 1 8  1 4 : 9 5 3( ) 8~ 1  4 18 1 2 : 0~ 9   9 8; 6( ) 9 5

6 趣鸣 生 -茅于海  利用 广 ̄F c e 变挺计 算战 性誊积 与誊积 反 演  电子 学报  o dr

' A  V 臭奉 淬母 ,R  谢  ̄J ; w l 董士加  榜耀 坩 译 .数字 信号 处 理 . 京 : 学 出版 牡 , 9 1 - 北 科 18  

A  N E   FAS W T ALGoRr HM   OF  DECONVOLUTI r oN 

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Q  l

z  

 ̄ u hn  o zeg

( p o R doT c n g ) De t f ai  ch do y 

Ab ua t: A  lw a t ag rt m  fd c v l t  s p o o e . l t o   p r t n   s c f e fs  lo i h o   c o o u i i  r p s d A  o   f o e a i s n n o o
c r b  a e y t i  t o   sc mp rd  t   h  r d to a a ta g rt m . d i c n al e s v db   hsme h d a   o   a e wih t e ta i n lfs  o i i l h An  t a     e a o s i l o   h   r be o e o v l t   f n nt b   s  u t be f rte p o lm  fd c n o u in o i f i—d r t n s u n e   l a o i u ai   q e c s. o

Ke  od :dc noui ; dsrt fuir eis( y w rs eovlt n o i ee er   r c   e s e DFS , oeai ; ag rh ) pr o tn l oi m  t


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