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河南省天一大联考2017届高三上学期段考数学试卷(文科)(2) Word版含答案


2016-2017 学年河南省天一大联考高三(上)段考数学试卷(文 科) (2)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A={x|y= },B={﹣2,﹣1,1,2},则 A∩B=( )

A.{1,2} B. (1,2) C.{﹣1,﹣2} D.[1,+∞) 2.在等比数列{an}中,若 a4a5a6=27,则 a1a9=( A.3 B.6 C.27 D.9 ,则¬p 为( ) )

3.已知命题 A.? x∈R,x2+4x+6≥0 B. C.? x∈R,x2+4x+6>0 D. 4.已知函数 f(x)= A. B.3 C.1 D.

,则 f(f(1) )=(



5.已知向量 , 的夹角为 A.2 B.2 C.2

,且 =(3,﹣4) ,| |=2,则|2 + |=( D.84



6.函数 f(x)=|x﹣x A.

|的图象大致是( B.

) C .

D. 7.将函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0,﹣ 缩短为原来的一半,再向右平移 的值分别为( A. , ) C.2, D. ,﹣
1

<φ<

)图象上所有点的横坐标

个单位长度得到函数 y=sinx 的图象,则 ω,φ

B.2,

8. 曲线 y=axcosx+16 在 x= A.﹣ B. ﹣ C.

处的切线与直线 y=x+1 平行, 则实数 a 的值为 ( D.﹣



9.过双曲线

=1(a>0,b>0)的右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线

交于 A,B 两点,与双曲线的渐进线交于 C,D 两点,若|AB|≥ |CD|,则双曲 线离心率的取值范围为( )

A.[ ,+∞) B.[ ,+∞) C. (1, ] D. (1, ] 10. = 设函数 f (x) , 若关于 x 的方程 f (x) ﹣loga (x+1)

=0(a>0 且 a≠1)在区间[0,5]内恰有 5 个不同的根,则实数 a 的取值范围是 ( ) ) B. ( ,+∞) C. ( ,+∞) D. ( , )

A. (1,

11.对于正整数 k,记 g(k)表示 k 的最大奇数因数,例如 g(1)=1,g(2)=1, g(10)=5.设 Sn=g(1)+g(2)+g(3)+…+g(2n) .给出下列四个结论: ①g(3)+g(4)=10; ②? m∈N*,都有 g(2m)=g(m) ; ③S1+S2+S3=30; ④Sn﹣Sn﹣1=4n﹣1,n≥2,n∈N*. 则其中所有正确结论的序号为( A.①②③ B.②③④ C.③④ ) D.②④

12. 已知等腰直角三角形 AOB 内接于抛物线 y2=2px (p>0) ,O 为抛物线的顶点, OA⊥OB,△AOB 的面积为 16,F 为抛物线的焦点,N(﹣1,0) ,若 M 是抛物线 上的动点,则 A. B. 的最大值为( C. D. )

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.已知 sinθ+cosθ= ,则 sin(π﹣2θ)=
2



14.已知圆 M 与圆 O:x2+y2=3+2 都相切,则圆 M 的标准方程是

相内切,且和 x 轴的正半轴,y 轴的正半轴 .

15.已知数列{an}是公差不为 0 的等差数列,a1+1,a2+1,a4+1 成等比数列,且 a2+a3=﹣12,则 an= . 的取值范

16.在△ABC 中,若 3AB=2AC,点 E,F 分别是 AC,AB 的中点,则 围为 .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.) 17.已知函数 f(x)= sin2x﹣cos2x﹣m.

(1)求函数 f(x)的最小正周期与单调递增区间; (2)若 x∈[ , ]时,函数 f(x)的最大值为 0,求实数 m 的值.

18.已知圆(x﹣1)2+y2=25,直线 ax﹣y+5=0 与圆相交于不同的两点 A、B. (1)求实数 a 的取值范围; (2)若弦 AB 的垂直平分线 l 过点 P(﹣2,4) ,求实数 a 的值. 19.已知等差数列{an}满足(a1+a2)+(a2+a3)+…(an+an+1)=2n(n+1) (n∈N*) . (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn= ,求证: + +…+ <1.

20.已知函数 f(x)=log2g(x)+(k﹣1)x. (1)若 g(log2x)=x+1,且 f(x)为偶函数,求实数 k 的值; (2)当 k=1,g(x)=ax2+(a+1)x+a 时,若函数 f(x)的值域为 R,求实数 a 的取值范围. 21.已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,离心率 e= ,且椭圆 C 经过 点 P(2,3) ,过椭圆 C 的左焦点 F1 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆 C 于 A,B 两点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 G,求△PF1G 的面积 S 的取值范围. 22.已知函数 f(x)=blnx.
3

(Ⅰ)当 b=1 时,若函数 F(x)=f(x)+ax2﹣x 在其定义域上为增函数,求 a 的 取值范围; (Ⅱ)若在[1,e]上存在 x0,使得 x0﹣f(x0)<﹣ 成立,求 b 的取值范围.

2016-2017 学年河南省天一大联考高三(上)段考数学试 卷(文科) (2)
参考答案与试题解+析

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A={x|y= },B={﹣2,﹣1,1,2},则 A∩B=( )

A.{1,2} B. (1,2) C.{﹣1,﹣2} D.[1,+∞) 【考点】交集及其运算. 【分析】求出 A 中 x 的范围确定出 A,找出 A 与 B 的交集即可. 【解答】解:由 A 中 y= ,得到 x﹣1≥0,

解得:x≥1,即 A=[1,+∞) , ∵B={﹣2,﹣1,1,2}, ∴A∩B={1,2}, 故选:A.

2.在等比数列{an}中,若 a4a5a6=27,则 a1a9=( A.3 B.6 C.27 D.9



【考点】等比数列的性质. m+n=p+q? am?an=ap?aq 这一结论即可得到答案. 【分析】 直接根据等比数列中的: 【解答】解:在等比数列{an}中,a4a5a6=27, ∵a4a6=a5?a5, ∴(a5)3=27,∴a5=3,

4

∴a1a9=a5?a5=9, 故选 D.

3.已知命题 A.? x∈R,x2+4x+6≥0 B. C.? x∈R,x2+4x+6>0 D. 【考点】命题的否定.

,则¬p 为(



【分析】运用特称命题的否定是全称命题,即可得到. 【解答】解:命题 则¬p 为? x∈R,x2+4x+6≥0. 故选:A. ,

4.已知函数 f(x)= A. B.3 C.1 D.

,则 f(f(1) )=(



【考点】分段函数的应用. 【分析】利用分段函数的解+析式,逐步求解函数值即可. 【解答】解:函数 f(x)= 故选:A. ,则 f(f(1) )=f(lg1)=f(0)=30﹣1= .

5.已知向量 , 的夹角为 A.2 B.2 C.2

,且 =(3,﹣4) ,| |=2,则|2 + |=( D.84



【考点】数量积表示两个向量的夹角. 【分析】根据平面向量的数量积公式计算模长即可. 【解答】解:向量 , 的夹角为 ∴| |= =5,
5

,且 =(3,﹣4) ,

又| |=2, ∴ =4 +4 ? + +22

=4×52+4×5×2×cos =84, ∴|2 + |= 故选:C. =2 .

6.函数 f(x)=|x﹣x A.

|的图象大致是( B.

) C .

D. 【考点】函数的图象. 【分析】根据已知中函数的解+析式,分析函数零点的个数,利用排除法,可得 答案. 【解答】解:令 f(x)=|x﹣x 即 x=x |=0,

,解得:x=±1,或 x=0, |有三个零点,

故函数 f(x)=|x﹣x 故排除 A,B,C, 故选:D

7.将函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0,﹣ 缩短为原来的一半,再向右平移 的值分别为( A. , ) C.2,

<φ<

)图象上所有点的横坐标

个单位长度得到函数 y=sinx 的图象,则 ω,φ

B.2,

D. ,﹣

【考点】y=Asin(ωx+φ)中参数的物理意义.

6

【分析】根据三角函数的图象平移变换关系进行逆推即可得到结论. 【解答】解:将 y=sinx 的图象向左平移 个单位长度定点 y=sin(x+ ) , ) ,

然后图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2 得 y=sin( x+ ∵f(x)=sin(ωx+φ) , ∴ω= ,φ= 故选:A. ,

8. 曲线 y=axcosx+16 在 x= A.﹣ B. C.

处的切线与直线 y=x+1 平行, 则实数 a 的值为 ( D.﹣



【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】求出函数的导数,可得切线的斜率,由两直线平行的条件:斜率相等, 解方程可得 a 的值. 【解答】解:y=axcosx+16 的导数为 y′=a(cosx﹣xsinx) , 可得在 x= 处的切线斜率为 a(cos ﹣ sin )=﹣ a,

由切线与直线 y=x+1 平行, 可得﹣ 解得 a=﹣ 故选:A. a=1, .

9.过双曲线



=1(a>0,b>0)的右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线

交于 A,B 两点,与双曲线的渐进线交于 C,D 两点,若|AB|≥ |CD|,则双曲 线离心率的取值范围为( )

A.[ ,+∞) B.[ ,+∞) C. (1, ] D. (1, ] 【考点】双曲线的简单性质.

7

【分析】将 x=c 代入



=1 和 y=± x,求出 A,B,C,D 的坐标,由两点之

间的距离公式求得|AB|,|CD|,由|AB|≥ |CD|,求得 a 和 c 的关系,根据离 心率公式,即可求得离心率的取值范围. 【解答】解:当 x=c 时代入 则 AB= , ,则 C(c, ) ,D(c,﹣ ) , ﹣ =1 得 y=± ,则 A(c, ) ,B(c,﹣ ) ,

将 x=c 代入 y=± x 得 y=± 则|CD|= ,

∵|AB|≥ |CD| ∴ ≥ × ,即 b≥ c,

则 b 2≥ 即

c2=c2﹣a2,

c2≥a2, ,则 e≥ ,

则 e 2=

故选:B.

10. = 设函数 f (x)

, 若关于 x 的方程 f (x) ﹣loga (x+1)

=0(a>0 且 a≠1)在区间[0,5]内恰有 5 个不同的根,则实数 a 的取值范围是 ( ) ) B. ( ,+∞) C. ( ,+∞) D. ( , )

A. (1,

【考点】根的存在性及根的个数判断. 【分析】画出函数的图象,利用数形结合,推出不等式,即可得到结果. 【解答】解:函数 f(x)= ,x 在区间[﹣1,5]上的图

8

象如图: 关于 x 的方程 f(x)﹣loga(x+1)=0(a>0 且 a≠1)在区间[0,5]内恰有 5 个 不同的根,就是 f(x)=loga(x+1)恰有 5 个不同的根, 函数 y=f(x)与函数 y=loga(x+1)恰有 5 个不同的交点, 由图象可得: 故选:C. ,解得 a .

11.对于正整数 k,记 g(k)表示 k 的最大奇数因数,例如 g(1)=1,g(2)=1, g(10)=5.设 Sn=g(1)+g(2)+g(3)+…+g(2n) .给出下列四个结论: ①g(3)+g(4)=10; ②? m∈N*,都有 g(2m)=g(m) ; ③S1+S2+S3=30; ④Sn﹣Sn﹣1=4n﹣1,n≥2,n∈N*. 则其中所有正确结论的序号为( A.①②③ B.②③④ C.③④ 【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】根据已知中 g(k)表示 k 的最大奇数因数,Sn=g(1)+g(2)+g(3)+…+g (2n) .逐一分析四个结论的真假,可得答案. 【解答】解:∵g(k)表示 k 的最大奇数因数,Sn=g(1)+g(2)+g(3)+…+g (2n) . ∴①g(3)+g(4)=3+1=4≠10,故错误;
9

) D.②④

②? m∈N*,都有 g(2m)=g(m) ,故正确; ③S1+S2+S3=(1+1)+(1+1+3+1)+(1+1+3+1+5+3+7+1)=30,故正确; ④当 n≥2 时,Sn=g(1)+g(2)+g(3)+g(4)+…+g(2n﹣1)+g(2n) =[g(1)+g(3)+g(5)+…+g(2n﹣1)]+[g(2)+g(4)+…+g(2n)] =[1+3+5+…+(2n﹣1)]+[g(2×1)+g(2×2)+…+g(2×2n﹣1)] = +[g(1)+g(2)+…+g(2n﹣1)]=4n﹣1+Sn﹣1,

于是 Sn﹣Sn﹣1=4n﹣1,n≥2,n∈N*.故正确; 故选:B

12. 已知等腰直角三角形 AOB 内接于抛物线 y2=2px (p>0) ,O 为抛物线的顶点, OA⊥OB,△AOB 的面积为 16,F 为抛物线的焦点,N(﹣1,0) ,若 M 是抛物线 上的动点,则 A. B. 的最大值为( C. D. )

【考点】直线与抛物线的位置关系. 【分析】设等腰直角三角形 OAB 的顶点 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,利用 OA=OB 可求得 x1=x2,进而可求得 AB=4p,从而可得 S△OAB.设过点 N 的直线方程为 y=k (x+1) ,代入 y2=4x,过 M 作准线的垂线,垂足为 A,则|MF|=|MA|,考虑直线 与抛物线相切及倾斜角为 0°,即可得出结论. 【解答】解:设等腰直角三角形 OAB 的顶点 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 y12=2px1, y22=2px2, 由 OA=OB 得:x12+y12=x22+y22, ∴x12﹣x22+2px1﹣2px2=0,即(x1﹣x2) (x1+x2+2p)=0, ∵x1>0,x2>0,2p>0, ∴x1=x2,即 A,B 关于 x 轴对称. ∴直线 OA 的方程为:y=xtan45°=x,由 故 AB=4p, 解得 或 ,

10

∴S△OAB= ×2p×4p=4p2. ∵△AOB 的面积为 16,∴p=2, 设过点 N 的直线方程为 y=k(x+1) ,代入 y2=4x 可得 k2x2+(2k2﹣4)x+k2=0, ∴由△=(2k2﹣4)2﹣4k4=0,可得 k=±1,此时直线的倾斜角为 45°. 过 M 作准线的垂线,垂足为 A,则|MF|=|MA|, ∴ = 取得最大值 .

∴直线的倾斜角为 45°或 135°时, 故选:C.

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.已知 sinθ+cosθ= ,则 sin(π﹣2θ)= 【考点】三角函数的化简求值. 【分析】将 sinθ+cosθ= 平方求得 2sinθcosθ=﹣ ,然后由诱导公式和二倍角公 式进行求值. 【解答】解:由 sinθ+cosθ= ,得 (sinθ+cosθ)2= , 则 2sinθcosθ=﹣ , ∴sin(π﹣2θ)=sin2θ=2sinθcosθ=﹣ , 故答案是:﹣ .
11





14.已知圆 M 与圆 O:x2+y2=3+2 都相切,则圆 M 的标准方程是 【考点】直线与圆的位置关系.

相内切,且和 x 轴的正半轴,y 轴的正半轴 .

(x﹣1)2+(y﹣1)2=1

【分析】 设出圆心坐标与半径, 利用两个圆内切, 列出方程求出圆心坐标与半径, 即可求出所求圆的方程. 【解答】解:圆 O:x2+y2=3+2 ,即圆心坐标(0,0) ,半径为 +1

设圆 M 的圆心坐标(a,a) ,半径为 a(a>0) , 因为圆 M 与圆 O:x2+y2=3+2 所以 a= +1﹣a, 相内切,

所以 a=1 所以所求圆 C 的方程为: (x﹣1)2+(y﹣1)2=1. 故答案为: (x﹣1)2+(y﹣1)2=1.

15.已知数列{an}是公差不为 0 的等差数列,a1+1,a2+1,a4+1 成等比数列,且 a2+a3=﹣12,则 an= ﹣2n﹣1 .

【考点】等差数列与等比数列的综合. 【分析】由等差数列通项公式和等比数列性质,列出方程组,求出首项和公差, 由此能求出 an. 【解答】解:∵数列{an}是公差不为 0 的等差数列, a1+1,a2+1,a4+1 成等比数列,且 a2+a3=﹣12, ∴ ,

解得 a1=﹣3,d=﹣2, an=﹣3+(n﹣1)×(﹣2)=﹣2n﹣1. 故答案为:﹣2n﹣1.

16.在△ABC 中,若 3AB=2AC,点 E,F 分别是 AC,AB 的中点,则

的取值范

12

围为 ( , )



【考点】三角形中的几何计算. 【 分 析 】 设 AB=c , AC=b , BC=a , 利 用 中 线 长 定 理 可 得 c2+a2=2BE2+ ,

b2+a2=2CF2+

,由于 3c=2b.可得

=

=



,利用三角

形三边大小关系可得:a<b+c,且 a+c>b,即可得出. 【解答】解:设 AB=c,AC=b,BC=a, ∵E、F 分别是 AC,AB 的中点, ∴c2+a2=2BE2+ ,b2+a2=2CF2+ ,

∵3AB=2AC,即 3c=2b. ∴2BE2=a2﹣ 2CF2=a2+ , .



=

=

=





∵a<b+c,且 a+c>b, ∴ > ,且 <3. ∴ ∴ ∴ <( )2<9. ∈( , ) .

∈( , ) .

故答案为: ( , ) .

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三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.) 17.已知函数 f(x)= sin2x﹣cos2x﹣m.

(1)求函数 f(x)的最小正周期与单调递增区间; (2)若 x∈[ , ]时,函数 f(x)的最大值为 0,求实数 m 的值.

【考点】三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法;三角函数的 最值. 【分析】 (1)化简 f(x) ,求出 f(x)在最小正周期,解不等式,求出函数的递 增区间即可; (2)根据 x 的范围,求出 2x﹣ 【解答】解: (1)f(x)= = sin2x﹣ cos2x﹣ ﹣m )﹣m﹣ , 的范围,得到关于 m 的方程,解出即可.

sin2x﹣cos2x﹣m

=sin(2x﹣

则函数 f(x)的最小正周期 T=π, 根据﹣ 得﹣ +2kπ≤2x﹣ +kπ≤x≤ ≤ +2kπ,k∈Z,

+kπ,k∈Z, +kπ, ∈[ , +kπ],k∈Z; ],

所以函数 f(x)的单调递增区间为[﹣ (2)因为 x∈[ 则当 2x﹣ = , ,即 x= ],所以 2x﹣

时,函数取得最大值 0,

即 1﹣m﹣ =0,解得:m= .

14

18.已知圆(x﹣1)2+y2=25,直线 ax﹣y+5=0 与圆相交于不同的两点 A、B. (1)求实数 a 的取值范围; (2)若弦 AB 的垂直平分线 l 过点 P(﹣2,4) ,求实数 a 的值. 【考点】直线与圆的位置关系. 【分析】 (1)由题设知 <5,即可求实数 a 的取值范围;

(2)若弦 AB 的垂直平分线 l 过点 P(﹣2,4) ,P(﹣2,4)代入 ax﹣y+5=0 可 求实数 a 的值. 【解答】解: (1)由题设知 > . ,+∞) ; <5,故 12a2﹣5a>0,所以,a<0,或 a

故实数 a 的取值范围为(﹣∞,0)∪(

(2)P(﹣2,4)代入 ax﹣y+5=0 可得﹣2a﹣4+5=0,∴a= .

19.已知等差数列{an}满足(a1+a2)+(a2+a3)+…(an+an+1)=2n(n+1) (n∈N*) . (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn= ,求证: + +…+ <1.

【考点】数列递推式;数列的求和. 【分析】 (1)由 n=1 时,a1+a2=4,当 n=2 时,a1+a2+a2+a3=12,4a2=12,a2=3, 即可求得 a1=1,则 d=a2﹣a1=2,根据等差数列的通项公式即可求得 an=2n﹣1; (2)由(1)可知:bn= +…+ =1﹣ <1. = ,采用“裂项法”即可求得 +

【解答】解: (1)设等差数列{an}的公差为 d, 当 n=1 时,a1+a2=4, 当 n=2 时,a1+a2+a2+a3=12,即 4a2=12,a2=3, ∴a1=1, d=a2﹣a1=2,

15

∴等差数列{an}的通项公式 an=1+2(n﹣1)=2n﹣1; ∴an=2n﹣1; (2)证明:由(1)得 bn= ∴ ∴ = + +…+ = ﹣ = , ﹣ ) , ,

=(1﹣ )+( ﹣ )+…+( ﹣ ,

=1﹣ + ﹣ +…+ =1﹣ ∴ + <1, +…+ <1.

20.已知函数 f(x)=log2g(x)+(k﹣1)x. (1)若 g(log2x)=x+1,且 f(x)为偶函数,求实数 k 的值; (2)当 k=1,g(x)=ax2+(a+1)x+a 时,若函数 f(x)的值域为 R,求实数 a 的取值范围. 【考点】奇偶性与单调性的综合. 【分析】 (1)令 t=log2x,则 x=2t,代入 g(log2x)=x+1,求得函数 f(x)的解+ 析式,由 f(﹣x)=f(x) ,代入即可求得 k 的取值范围; (2)k=1,f(x)=log2[ax2+(a+1)x+a],当 a≠0 时, ,求得 0<a≤1,

当 a=0 时,f(x)=log2x,函数 f(x)的值域为 R,即可求得实数 a 的取值范围. 【解答】解: (1)令 t=log2x,则 x=2t,代入 g(log2x)=x+1, ∴g(t)=2t+1, ∴f(x)=log2(2x+1)+(k﹣1)x, 由函数 f(x)为偶函数, ∴f(﹣x)=f(x) , ∴log2(2x+1)+(k﹣1)x=log2(2﹣x+1)﹣(k﹣1)x, ∴x=﹣2(k﹣1)x,对一切 x∈R 恒成立, ∴2(k﹣1)=﹣1, ∴k= ,
16

(2)k=1,f(x)=log2[ax2+(a+1)x+a], 当 a≠0 时,要使函数 f(x)的值域为 R, 要求一元二次方程:ax2+(a+1)x+a=0, ∴ ,即 ,

解得:0<a≤1, 当 a=0 时,f(x)=log2x,函数 f(x)的值域为 R, 综合可知:实数 a 的取值范围[0,1].

21.已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,离心率 e= ,且椭圆 C 经过 点 P(2,3) ,过椭圆 C 的左焦点 F1 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆 C 于 A,B 两点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 G,求△PF1G 的面积 S 的取值范围. 【考点】直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 【分析】 (1)设椭圆的标准方程为: (a>b>0) ,e= = ,即 a=2c,

b2=a2﹣c2=3c2,将点 P(2,3) ,代入即可求得 a 和 b 的值,求得椭圆 C 的方程; (2)设直线 AB 方程为 y=k(x+2) ,代入椭圆方程,由韦达定理及中点坐标公式 求得 M(﹣ ,0) , 取值范围. 【解答】解: (1)由题意可知:焦点在 x 轴上,设椭圆的标准方程为: (a>b>0) , 由椭圆的离心率 e= = ,即 a=2c, b2=a2﹣c2=3c2, , ) ,求得 MG 的方程为 y﹣=﹣ (x﹣x0) ,由 xG∈(﹣

= 丨 F1G 丨?丨 yP 丨= 丨 xG+2 丨,即可求得△PF1G 的面积 S 的

17

将 P(2,3)代入椭圆方程: ∴a2=16,b2=12, ∴椭圆的标准方程为: ;

,解得:c2=4,

(2)设直线 AB 方程为 y=k(x+2) ,A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,AB 中点 M(x0, y0) , ∴ ,

整理得: (3+4k2)x2+16k2x+16(k2﹣3)=0, 由△>0, 由韦达定理可知:x1+x2=﹣ ,x1?x2=﹣ ,

则 x0=

=﹣

,y0=k(x0+2)=



M(﹣



) ,

线段 AB 的垂直平分线 MG 的方程为 y﹣=﹣ (x﹣x0) , 令 y=0,得 xG=x0+ky0=﹣ 由 k≠0, ∴﹣ <xG<0, 由 = 丨 F1G 丨?丨 yP 丨= 丨 xG+2 丨,xG∈(﹣ ,0) , + =﹣ ,

∴S 求△PF1G 的面积的取值范围是( ,3) .

22.已知函数 f(x)=blnx. (Ⅰ)当 b=1 时,若函数 F(x)=f(x)+ax2﹣x 在其定义域上为增函数,求 a 的 取值范围;

18

(Ⅱ)若在[1,e]上存在 x0,使得 x0﹣f(x0)<﹣

成立,求 b 的取值范围.

【考点】利用导数研究函数的单调性;导数在最大值、最小值问题中的应用. 【分析】 (Ⅰ)求出函数 F(x)的导数,问题转化为 2a≥ ﹣ 在 x∈(0,+∞)上恒成立,求出 a 的范围即可; (Ⅱ)设 h(x)=x﹣blnx+ ,问题转化为函数 h(x)=x﹣blnx+ 在[1,e] =﹣ +

上的最小值小于零,通过讨论 b 的范围,求出 h(x)的单调区间,从而进一步 确定 b 的范围即可. 【解答】解: (Ⅰ)b=1 时,F(x)=f(x)+ax2﹣x=lnx+ax2﹣x,x∈(0,+∞) , F′(x)= +2ax﹣1≥0 在 x∈(0,+∞)恒成立, 则 2a≥ ﹣ =﹣ + 在 x∈(0,+∞)上恒成立,

∴2a≥ ,a≥ ; (Ⅱ)设 h(x)=x﹣blnx+ , ,即 x0﹣blnx0+ <0 成立,

若在[1,e]上存在 x0,使得 x0﹣f(x0)<﹣ 则只需要函数 h(x)=x﹣blnx+ 又 h′(x)=1﹣ ﹣ =

在[1,e]上的最小值小于零. ,

令 h'(x)=0,得 x=﹣1(舍去)或 x=1+b. ①当 1+b≥e,即 b≥e﹣1 时,h(x)在[1,e]上单调递减, 故 h(x)在[1,e]上的最小值为 h(e) , 由 h(e)=e+ ﹣b<0,可得 b> ,

因为

>e﹣1,所以 b>



②当 1+b≤1,即 b≤0 时,h(x)在[1,e]上单调递增, 故 h(x)在[1,e]上的最小值为 h(1) ,由 h(1)=1+1+b<0, 可得 b<﹣2(满足 b≤0) .

19

③当 1<1+b<e,即 0<b<e﹣1 时,h(x)在(1,1+b)上单调递减,在(1+b, e)上单调递增, 故 h(x)在[1,e]上的最小值为 h(1+b)=2+b﹣bln(1+b) . 因为 0<ln(1+b)<1,所以 0<bln(1+b)<b, 所以 2+b﹣bln(1+b)>2,即 h(1+b)>2,不满足题意,舍去. 综上可得 b<﹣2 或 b> ,

所以实数 b 的取值范围为(﹣∞,﹣2)∪(

,+∞) .

2017 年 2 月 14 日

20


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