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江西省2012届高三二轮复习文科数学精品测试卷 第5讲 立体几何

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第五讲(文科) 测试题 一.选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1. (2011 年高考江西卷· 文)将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图 1 所示,则该几 何体的左视图为( )

4 图1 2 某几何体的三视图如图 2 如下,则该几何体的体积是( A. 12 C. 48 B. 16 D. 64 俯视图 3.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图 3 所示,则其侧面积等于( ... A. 3 C. 2 3 B.2 D.6 ) ) 4 正视图 3 侧视图 图2

4.已知两条直线 m, n ,两个平面 ? , ? ,给出下列四个命题

m ① // n,

m ?? ? n ??

? ② // ? , m ? ? , n ? ? ? m // n

图3

m ③ // n, m // ? ? n // ?
其中正确命题的序号为( A.① ③ B.② ④ )

? ④ // ? , m // n, m ? ? ? n ? ?

C.① ④

D.③ ④

5. 已 知 S , A, B, C 是 球 O 表 面 上 的 点 , SA ? 平面 ABC, AB ? BC , SA ? AB ? 1 ,

BC ? 2 ,则
球 O 的表面积等于( A.4 ? ) C.2 ? D. ? )

B.3 ?

6.已知一个四面体的一条边长为 6 ,其余边长均为 2 ,则此四面体的外接球半径为 (

A.

5 3

B. 5

C.

15 3

D.

15 5


7.已知正四棱锥 S ? ABCD 中, SA ? 2 3 ,那么当该棱锥的体积最大时,它的高为( A.1 B. 3 C.2 D.3

8.若正方体的棱长为 2 ,则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为( )

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A.

2 6

B.

2 3

C.

3 3

D.

2 3
2

9. (2011 年高考湖北卷·文)设球的体积为 V 1 ,它的内接正方体的体积为 V 最合适的是( ) A. V 1 比 V C. V 1 比 V
2

,下列说法中

大约多一半B. V 1 比 V 大约多一倍 D. V 1 比 V

2

大约多两倍半 大约多一倍半

2

2

10.在 正四棱 柱 ABCD? A1 B1C1 D1 中 , AB ? 1, AA ? 3 ,E 为 AB 上 一个 动点 ,则 1

D1 E ? CE 的最小值为(
A. 2 2 B.

) C.

10

5 ?1

D. 2 ?

2

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11.已知在半径为 2 的球面上有 A.B.C.D 四点, AB=CD=2,则四面体 ABCD 的体积的最大值为 若 _______.
? 12.设线段 BC ? ? , AB ? ? , CD ? BC 且 CD 与平面 ? 成 30 角, AB ? BC ? CD ? 2 , 且

则 AD =_____. 13.已知球 O 的表面上四点 A.B.C.D, DA ? 平面 ABC,AB ? BC,DA=AB=BC= 3 ,则球 O 的 体积等 于 .

14. 已知 ?ABC 的三边长为 a , b, c ,内切圆半径为 r (用 S ?ABC 表示?ABC的面积) ,则

1 r (a ? b ? c) ;类比这一结论有:若三棱锥 A ? BCD 的内切球半径为 R ,则三 2 棱锥体积 V A?BCD ? .

S ?ABC ?

15.如图 4, 正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 1, 线段 B1D1 上有两个动点 E, 且 EF ? F, 现有如下四个结论:

2 . 2

AC ? BE; ①
② EF//平面 ABCD; ③ 三棱锥 A—BEF 的体积为定值; ④ 直线 AF 与 BE 可能相交. 其中正确结论的序号是 . 图4

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二.解答题(共 75 分) 16. (本小题满分 12 分)如图 5,正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直.EF//AC, AB= 2 ,CE=EF=1 (Ⅰ )求证:AF//平面 BDE; (Ⅱ )求证:CF⊥ 平面 BDF;

图5 17. (本小题满分 12 分) (2011 年高考全国新课标卷·文)如图 6,四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 为平行四边形, ?DAB ? 60? , AB ? 2 AD , PD ? 底面 ABCD. (I)证明: PA ? BD ; (II)设 PD=AD=1,求棱锥 D-PBC 的高.

图6

18.(本小题满分 12 分)一个四棱锥的三视图和直观图如图 7 所示,E 为侧棱 PD 的中点. (1)求证:PB//平面 AEC; P (2)求三棱锥 E ? ACD 的体积.
P P

1
A
主视图

E
D D

C

B

左视图

D 2 2
A
60?

P

C 俯视图
2

A B
图7

D

C

2
B

19.如图 8,已知直四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 的底面是直角梯形, AB ? BC , AB // CD , 且 E ,F 分别是棱 BC ,B1C1 上的动点, EF // CC1 ,CD ? DD1 ? 1 ,AB ? 2, BC ? 3 . (Ⅰ )证明:无论点 E 怎样运动,四边形 EFD1D 都为矩形; (Ⅱ )当 EC ? 1 时,求几何体 A ? EFD1D 的体积.

20.(本小题满分 13 分)

图8

图9

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如图 9,棱柱 ABC ? A1B1C1 的侧面 BCC1B1 是菱形, B1C ? A1B (Ⅰ )证明:平面 AB1C ? 平面 A1BC1 ; (Ⅱ )设 D 是 AC1 上的点,且 A B // 平面 B1CD ,求 A D : DC1 的值. 1 1 1

? 21. 本小题满分 14 分) ( 如图 10, 平面 ABDE⊥ 平面 ABC, ABC 是等腰直角三角形, AC=BC=4,
四边形 ABDE 是直角梯形,BD//AE,BD⊥ BA, BD ? 中点. (I)求证:OD//平面 ABC; (II)能否在 EM 上找一点 N,使得 ON⊥ 平面 ABDE?若能, 请指出点 N 的位置,并加以证明;若不能,请说明理由.

1 AE ? 2, O、M 分别为 CE、AB 的 2

图 10

一、1~5 D B D C A 提示:

第五讲(文科) 测试题 6~10 C C B D B

P

2.在四棱锥 P-ABCD,其中底面 ABCD 是矩形,PA⊥ 底面 ABCD, 且 AD=4,AB=3,PA=4,如图 1. V ?

1 ? 4 ? 3 ? 4 ? 16 ,故选 B 3

C D 图1 A

B

3.由正视图知:三棱柱是以底面边长为 2,高为 1 的正三棱柱, 所以底面积为 2 ?

3 ? 4 ? 2 3 ,侧面积为 3 ? 2 ?1 ? 6 ,选 D. 4

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m 4. ① 正确;② , n 可能异面,不正确;③ 可能在面 ? 内,不正确;④ 正确,故选 C n
5. 由已知,球 O 的直径为 2 R ? SC ? 2 ,?表面积为 4? R 2 ? 4? . 6. 利用等体积法.如图, VABCD ? VO? ABC ? VO? ABD ? VO? ACD ? VO?BCD , 有 所以 VABCD ? ( S 为四面体的表面积) ,可求得 R ?

1 S ?R 3

15 ,选 C 3

7 . 设 底 面 边 长 为

a , 则 高

所 以 体 积





,则

,当 y 取最值时,

,解得 a=0 或 a=4

时,体积最大,此时

,故选 C.

8. 由题意知 以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体为正八面体 (即两个同底同高同棱长 的正四棱锥) ,所有棱长均为 1,其中每个正四棱锥的高均为

2 , 2

故正八面体的体积为 V ? 2V正四棱锥 =2 ? ?12 ?

1 3

2 2 , 故选 B. = 2 3

10 . 如 图 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 , 则 C (1,1, 0) , D1 (0,1, 3) , 可 设 E ( x,0,0) , 那 么

D1 E ? CE ? x 2 ? 4 ? ( x ? 1) 2 ? 1 ,再转化到平面直角坐标系中, x 轴上动点 ( x, 0) 到两
定点 M (0, ?2), N (1,1) 的距离和,其最小值为 MN ?

(1 ? 0) 2 ? (1 ? 2) 2 ? 10 ,故选 B

4 3 二、11. 3
15 .①③ ②

12. 2 2

9? 13. 2

1 R( S ?ABC ? S ?ABD ? S ?ACD ? S ?BCD 14. 3

?

提示: 11.过 CD 作平面 PCD,使 AB⊥ 平面 PCD,交 AB 与 P,设点 P 到 CD 的距离为 h ,则有

1 1 2 V四面体ABCD ? ? 2 ? ? 2 ? h ? h ,当直径通过 AB 与 CD 的中点时, hmax ? 2 22 ? 12 ? 2 3 ,故 3 2 3

Vmax ?

4 3 3

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12. AD ?| AD | ,

uuu r

uuu r uur uuu uuu u r r uur uuu uuu u r r | AD |2 ?| AB ? BC ? CD |2 ? ( AB ? BC ? CD)2 uur 2 uuu 2 uuu 2 uur uuu uuu uuu uuu uur u r r u r r r r u ? AB ? BC ? CD ? 2 AB ? BC ? 2BC ? CD ? 2CD ? AB
? 4 ? 4 ? 4 ? 0 ? 0 ? 2 ? 2 ? 2 ? cos120o ? 8 ,
故 AD ?| AD | ? 2 2 13.补形法 可将多面体补成棱长为 3 的球内接正方体,则 2R ? 3 ? 3 , R ? O 的体积为

uuu r

3 ,故球 2

9? 2 .

14.连接内切球球心与各点,将三棱锥分割成四个小棱锥,它们的高都等于 R,底面分别为 三棱锥的各个面,它们的体积和等于原三棱锥的体积.答 案:

1 R( S ?ABC ? S ?ABD ? S ?ACD ? S ?BCD 3

?

15. ①易知正确;棱锥的高为顶点 A 到底面 BEF 的距离,也就是点 A 到面 BDD1B1 的距离 ②

为定值 正确.

2 1 2 2 1 2 2 1 ,底面 BEF 为定值 ? ,得 V ? ? 正确;④ 不 ?1 ? ? ? ,故③ 2 2 2 4 3 4 2 12

三、16.如图 2 证明: )设 AC 于 BD 交于点 G.因为 EF∥ (Ⅰ AG,且 EF=1,AG=

1 AG=1 2

所以四边形 AGEF 为平行四边形,所以 AF∥ EG 因为 EG ? 平面 BDE,AF ? 平面 BDE,所以 AF∥ 平面 BDE (Ⅱ )连接 FG.因为 EF∥ CG,EF=CG=1,且 CE=1, 所以平行四边形 CEFG 为菱形.所以 CF⊥ EG. 因为四边形 ABCD 为正方形,所以 BD⊥ AC. 又因为平面 ACEF⊥ 平面 ABCD,且平面 ACEF∩ 平面 ABCD=AC, 所以 BD⊥ 平面 ACEF.所以 CF⊥ BD.又 BD∩ EG=G,所以 CF⊥ 平面 BDE.

图2

17.解: )因为 ?DAB ? 60?, AB ? 2 AD , 由余弦定理得 BD ? 3 AD ,从而 BD2+AD2= (Ⅰ AB2, 故 BD ? AD. 又 PD ? 底面 ABCD,可得 BD ? PD. 所以 BD ? 平面 PAD. 故 PA ? BD. (Ⅱ )如图,作 DE ? PB,垂足为 E.已知 PD ? 底面 ABCD,则 PD ? BC. 由(Ⅰ )知 BD ? AD,又 BC//AD,所以 BC ? BD.故 BC ? 平面 PBD,BC ? DE.则 DE ? 平 面 PBC.

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由题设知,PD=1,则 BD= 3 ,PB=2,根据 BE· PB=PD· BD,得 DE=

3 ,即棱锥 D—PBC 2

的高为

3 . 2

18.解: (1)由图形可知该四棱锥和底面 ABCD 是菱形,且有一角为 60? ,边长为 2,锥体 高度为 1. 设 AC,BD 和交点为 O,连 OE,OE 为△ DPB 的中位线, OE//PB,EO ? 面 EAC ,PB ? 面 EAC 内,? PB//面 AEC. (2)三棱锥 E ? ACD 底面三角形 ACD 的面积为:

1 AD ? DC ? sin120? ? 3 2
1 , 2

因为 E 是 PD 的中点, 所以三棱锥 E ? ACD 高是四棱锥 P ? ABCD 高的一半, 即 所以: VE ? ABCD ?

1 1 3 ? 3? ? 3 2 6

19.解: )在直四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中, DD1 // CC1 ,∵ // CC1 ,∴ // DD1 , (Ⅰ EF EF 又∵ 平面 ABCD // 平面 A1B1C1D1 ,平面 ABCD ? 平面 EFD1D ? ED , 平面 A B1C1D1 ? 平面 EFD1D ? FD1 ,∴ // FD1 ,∴ 四边形 EFD1D 为平行四边形, ED 1 ∵ 侧棱 DD1 ? 底面 ABCD ,又 DE ? 平面 ABCD 内,∴ 1 ? DE ,∴ 四边形 EFD1D 为矩 DD 形; (Ⅱ )证明:连结 AE ,∵ 四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 为直四棱柱, ∴ 侧棱 DD1 ? 底面 ABCD ,又 AE ? 平面 ABCD 内,∴ 1 ? AE , DD 在 Rt ?ABE 中, AB ? 2 , BE ? 2 ,则 AE ? 2 2 ;在 Rt ?CDE 中, EC ? 1 , CD ? 1 , 则 DE ? 2 ; 在 直 角 梯 形 中 ABCD , AD ?

BC 2 ? ( AB ? CD ) 2 ? 10 ; ∴AE 2 ? DE 2 ? AD2 , 即

AE ? ED,
又∵ ? DD1 ? D ,∴AE ? 平面 EFD D ;由(Ⅰ )可知,四边形 EFD1D 为矩形,且 ED 1

DE ? 2 , DD1 ? 1 ,
∴ 矩形 EFD1D 的面积为 SEFD D ? DE ? DD1 ? 1

2,

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∴ 几何体 A ? EFD1D 的体积为 VA? EFD1D ?

1 1 4 S EFD1D ? AE ? ? 2 ? 2 2 ? . 3 3 3

20.解:如图 3(Ⅰ )因为侧面 BCC1B1 是菱形,所以 B1C ? BC1 又已知 B1C ? A1 B,且A1 B ? BC1 ? B 所又 B1C ? 平面 A1BC1,又 B1C ? 平面 AB1C , 所以平面 AB1C ? 平面 A1BC1 . (Ⅱ )设 BC1 交 B1C 于点 E,连结 DE, 则 DE 是平面 A1BC1 与平面 B1CD 的交线, 因为 A1B//平面 B1CD,所以 A1B//DE. 又 E 是 BC1 的中点,所以 D 为 A1C1 的中点. 即 A1D:DC1=1. 21.证明: (I)取 AC 中点 F,连结 OF、FB

图3

? F是AC 中点, O为CE中点,? OF // EA 且OF ?
∴ F//DB,OF=DB∴ 四边形 BDOF 是平行四边形

1 1 EA, 又BD // AE 且BD ? AE 2 2

∴ OD//FB

又? FB ? 平面 MEG,OD ? 平面 MEG∴ 面 ABC. OD (II)当 N 是 EM 中点时,ON⊥ 平面 ABDE. 证明:取 EM 中点 N,连结 ON、CM,∵ AC=BC,M 为 AB 中点,∴ AB, CM⊥ 又∵ ABDE⊥ ABC,面 ABDE ? 面 ABC=AB,CM ? 面 ABC,∴ AB, 面 面 CM⊥ ∵ 是 EM 中点,O 为 CE 中点,∴ N ON//CM, ∴ 平面 ABDE. ON⊥


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