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河北省石家庄市第二中学2017届高三上学期第四期考试理数试题Word版含答案.doc


数学(理)试题
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项 是符合题目要求的. 1.若集合 M ? {x | x ? A. M ? N

n 1 n 1 ? , n ? Z } , N ? {x | x ? ? , n ? Z } ,则( 3 6 6 2
B. M ? ?N C. N ? ?M D. M ? N ? ?



2.已知 x ? 2 ,则命题: “ ?y ? (0, ??), xy ? 1 ”的否定为(
a



A. ?y ? (0, ??), xy ? 1 C. ?y ? (0, ??), xy ? 1 3.已知 x ? y ,且 x, y ? R ? ,则( A. lg x ? lg y ? 0 C. ( ) ? ( ) ? 0
x y

B. ?y ? (??,0), xy ? 1 D. ?y ? (0, ??), xy ? 1 )

B. cos x ? cos y ? 0

1 2

1 2

D.

1 1 ? ?0 x y

4.在坐标平面内已知向量 n ? (?3,6) , x ? (1, ?1) , m ? (2,3) ,则 m 在 n ? x 上的投影是 ( A. )

?

?

??

??

? ?

35 6

B. 35

C.

65 5

D. 65

5.一个几何体由多面体和旋转体的整体或一部分组合而成,其三视图如图所示,则该几何体 的表面积是( A. ? ? 1 ) B. ? ? 2 C.

3? ? 3 ? 2 2

D. 3? ? 5 ? 2 2

?2 x ? y ? 3 ? 0 ? 6. x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 6 ? 0 , 若 z ?y ? 则实数 k k x 取得最小值的最优解不唯一, ?y ? x ?
的值为( A. ) B.-2 或 ?

1 或1 2 4 或0 3

1 2

C. ? ) C.

1 或1 2 4 3

D.-2 或 1

7.已知 2sin ? ? 1 ? cos ? ,则 tan ? ? ( A. ? B.

4 或0 3

?

4 3

D.

8.若 x ? A 的同时,还有

1 1 1 ? A ,则称 A 是“好搭档集合” ,在集合 B ? { , ,1, 2,3} 的所有 x 3 2


非空子集中任选一集合,则该集合是“好搭档集合”的概率为( A.

7 31

B.

7 32

C.

1 4

D.

8 31

9.《九章算术·商功》中有一道题这样的数学题目: “今有壍堵,下广二丈,裘一十八丈六 尺,高二丈五尺,问体积几何?”这个问题的答案是( )

【说明】 (1)壍堵:古代数学名词,指两底面为直角三角形的直棱柱 (2)广:东西的距离,裘:南北的距离,此处分别指直角三角形的两条直角边长 (3)丈:长度单位,1 丈=10 尺 A.15500 立方尺 尺 B.46500 立方尺 C. 23250 立方尺 D.9300 立方

2? ? ) 的图象向右平移 个单位后得到函数 g ( x) 的图象,若函 3 4 a 7? ] 上均单调递增,则实数 a 的取值范围是( 数 g ( x) 在区间 [0, ] 和 [4a, ) 3 6 ? ? ? ? ? 7? ? 3? ) ] A. [ , ] B. [ , ) C. [ , D. [ , 3 2 6 3 6 24 4 8
10.现将函数 f ( x) ? sin(2 x ? 11.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1 , F2 ,过 F2 的直线交双曲线 a 2 b2

的右支于 P, Q 两点,若 | PF 1 |?| F 1F 2 | ,且 PF2 ? A.

???? ?

7 5

B.

4 3

C.

2

? 2 ???? F2Q ,则该双曲线的离心率为( 3 10 D. 3



12.已知直线 l1 与 l2 垂直相交于点 P ,且 l1 , l2 分别与 y 轴相交于点 A, B ,若 l1 , l2 正好分别是 函数 f ( x) ? ? A.

?ln x,0 ? x ? 1 ?PAB 的面积的取值范围是( 图象上点 P 1, P 2 处的切线,则 ? ln x , x ? 1 ?
B. (0, ??) C.



( 1 ?? , )

(0, 2)

D. (0,1)

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.已知 {an } 为等差数列, Sn 为其前 n 项和,若 a1 ? 9 , a3 ? a5 ? 0 ,则 S8 ? 14.已知向量 a ? (1, m) , b ? (3, ?2) ,且 (a ? b) ? (a ? b) ,则 m ? . .

?

?

? ?

? ?

15.已知: M 是 x 轴的动点, N 是 y 轴上的动点,若以 MN 为直径的圆 C 与直线

2 x ? y ? 4 ? 0 相切,则圆 C 周长的最小值为



16.定义一:对于一个函数 f ( x)( x ? D) ,若存在两条距离为 d 的直线 y ? kx ? m1 和

y ? kx ? m2 ,使得 x ? D 时, kx ? m1 ? f ( x) ? kx ? m2 恒成立,则称函数 f ( x) 在 D 内有
一个宽度为 d 的通道. 定义二:若一个函数 f ( x) 对于任意给定的正数 ? ,都存在一个实数 x0 ,使得函数 f ( x) 在

[ x0 , ??) 内有一个宽度为 ? 的通道,则称 f ( x) 在正无穷处有永恒通道.
下列函数① f ( x) ? log2 x ;② f ( x ) ?

sin x 2 2 ;③ f ( x) ? x ? 1 ;④ f ( x) ? ? x ;⑤ x


f ( x) ? 2? x ;⑥ f ( x) ?

1 ,其中存在正无穷处有永恒通道的函数序号是 x

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分 10 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c ,已知 cos 2( B ? C ) ? 3cos A ? 1. (1)求角 A 的大小; (2)若 ?ABC 的面积 S ? 15 3 , b ? 5 3 ,求 sin B sin C 的值.

18. (本小题满分 12 分) 设 Sn 为正项数列 {an } 的前 n 项和,且 S n ? (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ?

1 (an ? 3)(an ? 1) . 4

an?1 an ,求数列 {bn ? 2} 的前 n 项和为 Sn . ? an an?1

19. (本小题满分 12 分) 已知直线 l1 : x ? y ?1 ? 0 与椭圆 C : 中点 M 恰在直线 l2 : x ? 2 y ? 0 上. (1)求椭圆 C 的离心率; (2)若椭圆 C 的焦点关于直线 l2 的对称点在单位圆 x ? y ? 1上,求椭圆 C 截直线 l2 所得
2 2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 相交于 A, B 两点,线段 AB 的 a 2 b2

的弦长是多少? 20. (本小题满分 12 分)

?BAC ? 90? ,AB ? AC ? 2 ,A1 A ? 4 ,A1 在底面 ABC 如图, 在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,
的射影为 BC 的中点 E , D 为 B1C1 的中点. (1)求三棱锥 D ? A1BC 的体积; (2)求二面角 A1 ? BD ? B1 的平面角的余弦值.

21. (本小题满分 12 分) 已知:抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F , A, B 是抛物线上的两动点,点 A 在第四象限,且有
2

??? ? ??? ? AF ? ? FB ( ? ? 0 ) .
(1)请用 ? 表示点 A 的坐标;

(2)点 M 是抛物线在 A, B 两点处的两条切线的交点,求 FM ? AB 的值; (3)试用 ? 表示 ?ABM 的面积 S ,并求 S 的最小值. 22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

???? ? ??? ?

1 2 1 x ? (a 2 ? a) ln x ? x(a ? ) . 2 2

(1)若函数 f ( x) 在 x ? 2 处取得极值,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)讨论函数 f ( x) 的单调性; (3)设 g ( x) ? a2 ln x2 ? x ,若 f ( x) ? g ( x) 对 ?x ? 1 恒成立,求实数 a 的取值范围.

试卷答案 一、选择题: 1.B;2. A;3. C;4. C;5.D;6.D;7.B;8.A;9. B;10.C ;11.A.;12.D 12. . 答案:D

解:设 P1(x1,lnx1),P2(x2,-lnx2)(不妨设 0<x1<1,x2>1),则由导数的几何意义得到 切线 l1 和切线 l2 的斜率分别为: k1= ,k2=,由已知得 k1k2=-1,∴x1x2=1,∴x2= , (x-x2),

所以切线 l1 的方程为 y-lnx1= 即 y-lnx1=-x1(x),

(x-x1),切线 l2 的方程为 y+lnx2=-

分别令 x=0 得 A(0,-1+lnx1),B(0,1+lnx1), 又 l1 与 l2 的交点为 P( ,lnx1+ ),

∴S△ PAB= 故选 D.

=

,∴0<S△ PAB<1.

二.填空题: 13. -12;14. ?2 3 ;15.

4 5 ? ;16. ②③⑤⑥; 5

16:解析:① f ( x) ? ln x ,随着 x 的增大,函数值也在增大,无渐近线,故不存在一个实 数 x0 , 使得函数 f ?x ? 在 ?x0 ,??? 内有一个宽度为 ? 的通道, 故 f ?x ? 在正无穷处无永恒通道; ② f ( x) ?

sin x ,随着 x 的增大,函数值趋近于 0 ,对于任意给定的正数 ? ,都存在一个实 x

数 x0 , 使得函数 f ?x ? 在 ?x0 ,??? 内有一个宽度为 ? 的通道, 故 f ?x ? 在正无穷处有永恒通道; ③ f ( x) ?

x2 ?1 ,随着 x 的增大,函数值也在增大,有两条渐近线 y ? ? x ,对于任意给

定的正数 ? ,都存在一个实数 x0 ,使得函数 f ?x ? 在 ?x0 ,??? 内有一个宽度为 ? 的通道,故

f ?x ? 在正无穷处有永恒通道;④ f ( x) ? x2 ,随着 x 的增大,函数值也在增大,无渐近线,
故不存在一个实数 x0 ,使得函数 f ?x ? 在 ?x0 ,??? 内有一个宽度为 ? 的通道,故 f ?x ? 在正无 穷处无永恒通道;⑤ f ( x) ? e ,随着 x 的增大,函数值趋近于 0 ,趋近于 x 轴,对于任意 给定的正数 ? ,都存在一个实数 x0 ,使得函数 f ?x ? 在 ?x0 ,??? 内有一个宽度为 ? 的通道,
?x

故 f ?x ? 在正无穷处有永恒通道.⑥ f ( x) ? ③⑤⑥.

1 为反比例函数,x 轴为渐近线,故答案为:② x

三.解答题: 17.解:(1)由已知,可得 2cos2A+3cos A-2=0, 即(2cos A-1)(cos A+2)=0, 解得 cos A= 或 cos A=-2(舍去).因为 0<A<π,所以 A= .(4 分)

(2)由 S= bcsin A = bc×

bc=15

,得 bc=60.

又 b= 5 3 ,知 c= 4 3 . 由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A=75+48-60=63,故 a= 3 7 .(8 分) 又由正弦定理得 sin Bsin C= sin A·sin A= sin2A= 18. 解: (1)因为: S n ?

5 .(10 分) 7

1 (an ? 3)(an ? 1) , 4

当 n ? 1 时, a1 ? S1 ?

1 (a1 ? 3)(a1 ? 1) , a1 ? 0 4

计算得出 a1 ? 3 ,所以,数列 {an } 是

等差数列,首项为 3,公差为 2. 所以: an ? 3 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1.(5 分) (2)由(1)可得 bn ?

an?1 an 2n ? 3 2n ? 1 1 1 ? ? ? ? 2 ? 2( ? ) ,(8 分) an an?1 2n ? 1 2n ? 3 2n ? 1 2n ? 3

数列 {bn ? 2} 的前 n 项和

1 1 1 1 1 1 Tn ? 2n ? 2[( ? ) ? ( ? ) +? ? ( ? )] ? 2n 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 3

1 1 4n ? 2( ? )? (12 分) 3 2n ? 3 6n ? 9
19. 【解析】 (1)设 A 、 B 两点的坐标分别为 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 )

?x ? y ?1 ? 0 ? 2 2 2 2 2 2 2 由 ? x2 y 2 得: ? a ? b ? x ? 2a x ? a ? a b ? 0 ? 2 ? 2 ?1 b ?a
2a 2 2b2 , y1 ? y2 ? ?( x1 ? x2 ) ? 2 ? 2 x1 ? x2 ? 2 a ? b2 a ? b2
∴ M 是 AB 的中点,故 M 点的坐标为 (

a2 b2 , ) ,又 M 点在直线 l 2 上: a 2 ? b2 a 2 ? b2



a2 2b 2 ? ?0 a 2 ? b2 a 2 ? b2
2 2

∴ a2 ? 2b2 ? 2(a2 ? c2 ) ∴ a ? 2c ∴ e ?

c 2 ? (5 分) a 2

(2 )由(1)知 b ? c ,不妨设椭圆的一个焦点坐标为 F (b, 0) ,设 F (b, 0) 关于直线 l2 :

x ? 2 y ? 0 的对称点为 ( x0 , y0 ) ,

? y0 ? 0 1 3 ? ? ? ?1 x0 ? b ? ? ? ? x ?b 2 5 则有 ? 0 解得: ? ?y ? 4 b ? x0 ? b ? 2 ? y0 ? 0 0 ? ? 5 ? ? 2 2
2 2 2 2 2 由已知 x0 ? y0 ? 1, ∴ ( b) ? ( b) ? 1 , ∴ b ? 1 。

3 5

4 5

∴所求的椭圆的方程为:

x2 ? y 2 ? 1(9 分) 2

联立 l2 : x ? 2 y ? 0 易求得要求弦长为: 20. (1):连结 A1E,易证 A1D∥AE.

2 15 (12 分) 3

又因为 AE⊥平面 A1BC,所以 A1D⊥平面 A1BC.(2 分) BC= 2 2 , A1E= 42 ? 2 ? 14 , A 1D ?

2 (4 分)

1 1 2 14 (6 分) VD ? A1BC ? ? ? BC ? A1 E ? A1 D ? 3 2 3

(2)解:方法一: 作 A1F⊥BD 且 A1F∩BD=F,连接 B1F. 由 AE=EB= 2,∠A1EA=∠A1EB=90° ,得 A1B=A1A=4. 由 A1D=B1D,A1B=B1B,得△ A1DB 与△ B1DB 全等. 由 A1F⊥BD,得 B1F⊥BD,因此∠A1FB1 为二面角 A1-BD-B1 的平面角. 4 由 A1D= 2,A1B=4,∠DA1B=90° ,得 BD=3 2,A1F=B1F= , 3 1 由余弦定理得 cos∠A1FB1=- .(12 分) 8 方法二:以 CB 的中点 E 为原点,分别以射线 EA,EB 为 x,y 轴的正半轴,建立空间直角 坐标系 E-xyz,如图所示.

由题意知各点坐标如下: A1(0,0, 14),B(0, 2,0),D(- 2,0, 14),B1(- 2, 2, 14). → → → 因此A1B=(0, 2,- 14),BD=(- 2,- 2, 14),DB1=(0, 2,0). 设平面 A1BD 的法向量为 m=(x1,y1,z1),平面 B1BD 的法向量为 n=(x2,y2,z2). → ? A1B=0, ?m· ? 2y1- 14z1=0, 由? 得? () → - 2 x - 2 y + 14 z = 0 , ? 1 1 1 ? BD=0, ?m· 可取 m=(0, 7,1).

→ ? DB1=0, ?n· ? 2y2=0, 由? 即? → ?- 2x2- 2y2+ 14z2=0, ? BD=0, ?n· 可取 n=( 7,0,1). 于是|cos〈m,n〉|= |m· n| 1 = . |m|· |n| 8

1 由题意,所求二面角的平面角是钝角,故二面角 A1-BD-B1 的平面角的余弦值为- (12 8 分) 21. 解析:(1)设 A( x1 , y1 ),B ( x2 , y2 ) 由 AF ? ? FB(? ? 0) 可得: ?

??? ?

??? ?

?1 ? x1 ? ? ( x2 ? 1)
2 2 2 2 ?? y1 ? ? y2 ? y1 ? ? y2 ? x1 ? ? x2

? x1 ? ?

又因为点 A 在第四象限,所以:点 A(?, ?2 (2)提示:(1)知 A(?, ?2

? ) (3 分)
2

) 先求得两条切线的方程: ? ) , B( , ? ? 2

1

l AM : y ? 2 ? ? ?

1

?

( x ? ? ) , lBM : y ? 1 ? ?) , 1

?

1 ? ? (x ? )

?

联立求解得: M (?1,

?

所以: FM ? AB =(-2,? (3) |AB| ? x1 ? x2 ? 2 ?

???? ? ??? ?

?

1 2 ) ( ? -?, +2 ?) =0 (7 分)

?

?

1

?

???2? ( ?+
1 )2 ? ? ? 1

1

?

2 )

| FM |? 4 ? ( ? ?
所以: S ?

?

?
(12 分)

1 1 1 3 | AB || FM |? ( ? ? ) ?4 2 2 ? a ? a ? 1? x

22.试题解析: (1)由 f ? ? x ? ? x ?

? 1, f ? ? 2? ? 0 ,得 a ? ?1 或 a ? 2 (舍去)

经检验,当 a ? ?1 时,函数 f ? x ? 在 x ? 2 处取得极值.

a ? ?1 时, f ? x ? ?
则 f ?1? ? ?

1 2 2 x ? 2 ln x ? x , f ? ? x ? ? x ? ? 1 2 x

1 , f ? ?1? ? ?2 2

所以所求的切线方式为 y ?

1 ? ?2 ? x ? 1? ,整理得 4 x ? 2 y ? 3 ? 0 .(3 分) 2

(2) f ? x ? 定义域为 ? 0, ?? ?

f ?? x? ? x ?

x2 ? x ? a2 ? a ? x ? a ?? x ? a ? 1? , a2 ? a ?1 ? = x x x

?

?

令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x ? a 或 x ? 1 ? a

1 ,则 a ? 1 ? a ,且 1 ? a ? 0 2 1 1 ①当 a ? 时, a ? 1 ? a ? ? 0 , f ? ? x ? ? 0 ,此时 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上单调递增; 2 2 1 ②当 0 ? a ? 时, f ? x ? 在 ? 0, a ? 和 ?1 ? a, ?? ? 上单调递增,在 ? a,1 ? a ? 上单调递减; 2
∵a ? ③当 a ? 0 时, f ? x ? 在 ? 0,1 ? a ? 上单调递减, ?1 ? a, ?? ? 上单调递增.(7 分) (3)由题意,

1 2 x ? a 2 ? a ln x ? x ? a 2 ln x 2 ? x , 2

?

?

x2 1 2 2 2 2 2 即 x ? a ? a ln x ? a ln x ,即 3a ? a ? 对任意 x ? 1 恒成立, 2 2 ln x

?

?

令 h ? x? ?

x ? 2ln x ? 1? x2 ,则 h? ? x ? ? , 2ln x 2ln 2 x

令 h? ? x ? ? 0 ,得 x ? 当x?

e ,即 h ? x ? 在 1, e 上单调递减,

?

?

?

e, ?? 上单调递增,

?

e 时 h ? x ? 取得最小值 h

? e? ? e

2 ∴ 3a ? a ? e ,解得

1 ? 1 ? 12e 1 ? 1 ? 12e ?a? 6 6

又∵ a ?

? 1 ? 1 ? 12e 1 ? 1 , ? ,所以 a 的取值范围为 ? ? 2 6 2? ?

.(12 分)


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