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河北省衡水中学2013-2014学年高一下学期二调考试 数学理试题 Word版含答案


衡水中学 2013—2014 学年度下学期第二次调研考试 高一年级数学(理科)试卷
第Ⅰ卷(选择题
共 60 分)

一、 选择题: (共 12 个小题,每题 5 分,共 60 分。下列每个小题所给选项只有一项符合题 意,请将正确答案的序号填涂在答题卡上) 1. 某单位共有老、中、青职工 430 人,其中有青年职工 160 人,中年职工人数是老年职工人 数的 2 倍,为了解职工身体状况,现采用分层抽样方法进行调查,在抽取的样本中有青年职 工 32 人,则该样本中的老年职工人数为( A.9 B.18 C.27 D.36 2. 一位母亲记录了儿子 3—9 岁的身高,数据(略) ,由此建立的身高与年龄的回归模型为
?

)

y ? 7.19 x ? 73 .93 ,用这个模型预测这个孩子 10 岁时的身高,则正确的叙述是(
A.身高一定是 145.83cm C.身高在 145.83cm 左右 B.身高在 145.83cm 以上 D.身高在 145.83cm 以下 )

)

3. 阅读如图所示的语句:当输入的 m ? 168, n ? 72 时,输出的结果为( A.48 4. B.24
5 4 3

C.12
2

D. 6

若 f ( x) ? 3 x ? 4 x ? 5 x ? 2 x ? 2 x ? 1 , 当 x ? 2 时,则 V 4 的值为( A.50 B.52 ) C.104 D.106

5. 一个盒子中装有 4 张卡片,每张卡片上写一个数字,数字分别是 1?2?3?4.现从盒子中随机 抽取卡片.若一次抽取 3 张卡片,求 3 张卡片上数字之和大于 7 的概率( A. )

7 24

B.

11 24
xn n

C.

7 16

D.

1 2
) 1 n

- 6. 如图是求样本 x1,x2,…,x10 平均数 x 的程序框图,图中空白框中应填入的内容为( A.S=S+xn B.S=S+ C.S=S+n D.S=S+

-1-

第 6 题

第7题

7.甲、乙两名同学在 5 次体育测试中的成绩统计如上面的茎叶图所示,则下列结论正确的是 ( ) - - A. x 甲< x 乙;乙比甲稳定 - - C. x 甲> x 乙;乙比甲稳定 - - B. x 甲> x 乙;甲比乙稳定 - - D. x 甲< x 乙;甲比乙稳定 )

8. 某程序框图如图所示,若输出的 S=57,则判断框内为( A.k>4? B.k>5? C.k>6? D.k>7?

i ?1 s ?1
WHILE “条件”

s ? s ?i i ? i ?1
WEND PRINT s END 9题

9. 如果上边程序运行后输出的结果是 720,那么在程序 WHILE 后面的“条件”应为( A. i ? 7 B. i ?? 7 C. i ?? 7 D. i ? 7



10. 如 图 , ABCD 为 正 四 面 体 , AD ? 面? 于 点 A , 点

B、C、D 均在平面 ? 外,且在平面 ? 的同一侧,线段 BC 的
中点为 E ,则直线 AE 与平面 ? 所成角的正弦值为 ( ) ?E

-2-

A.

3 3

B.

3 2
) B.相切

C.

2 2

D.

1 2

11. 设直线 x+ky-1=0 被圆 O:x2+y2=2 所截弦的中点的轨迹为 M,则曲线 M 与直线 x-y -1=0 的位置关系是( A.相离

C.相交

D.不确定

12. 若直角坐标平面内两点 P,Q 满足条件:①P,Q 都在函数 f(x)的图象上;②P,Q 关于原点对称, 则称点对(P,Q)是函数 f(x)的一个“友好点对”(点对(P,Q)与点对(Q,P)为同一个“友好点对”).已

?2 x 2 ? 4 x ? 1, x ? 0 ? 知函数 f(x)= ? 2 则 f(x)的“友好点对”有( ? x ,x ? 0 ?e
A.0 B.1 C. 2 D. 4 第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题: (每题 5 分,共 30 分,把答案填在题中横线上) 13.下面是 2× 2 列联表: y1 x1 x2 合计 则表中 b 的值分别为 ___ . a 22 b y2 21 25 46

)个.

合计 73 47 120

14.从正六边形的 6 个顶点中随机选择 4 个顶点,则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等 于_________. 15. 某程序的框图如图所示 , 执行该程序,若输入的 p 为 24 ,则输出的 n, S 的值分别为 ____________. 16. 设 f(x)是定义在 R 上的增函数,且对于任意的 x 都有 f(-x)+f(x)=0 恒成立.如果实数 m、 n满 足不等式 f(m2-6m+21)+f(n2-8n)<0,那么 m2+n2 的取值范围是___________.

-3-



三、解答题: 17. (本题满分 10 分)箱子中装有 6 张卡片,分别写有 1 到 6 这 6 个整数. 从箱子中任意 取出一张卡片,记下它的读数 x ,然后放回箱子,第二次再从箱子中取出一张卡片,记下它 的读数 y ,试求: (1) x ? y 是 5 的倍数的概率; (2) x , y 中至少有一个 5 或 6 的概率。

18 (本题满分 12 分) 为调查乘客的候车情况,公交公司在某站台的 60 名候车乘客中随机抽取 15 人,将他们的候车时间(单位:分钟)作为样本分成 5 组,如下表所示: 组别 一 二 三 候车时间 人数 2 6 4

[0,5)

[5,10) [10,15)
-4-

四 五 (1)求这 15 名乘客的平均候车时间;

[15, 20)
[20, 25]

2 1

(2)估计这 60 名乘客中候车时间少于 10 分钟的人数; (3)若从上表第三、四组的 6 人中随机抽取 2 人作进一步的问卷调查,求抽到的两人恰好 来自不同组的概率. 19. (本题满分 12 分) 从某学校高三年级 800 名学生中随机抽取 50 名测量身高,被抽取的学生的身高全部介于 155 cm 和 195 cm 之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组 [155,160) ;第二组 [160,165);……第八组[190,195],如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.

(1)根据已知条件填写下面表格: 组别 样本数 (2)估计这所学校高三年级 800 名学生中身高在 180 cm 以上(含 180 cm)的人数. 1 2 3 4 5 6 7 8

20. (本小题共 12 分)如图,已知正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的底面边长为 2,侧棱长为 3 2 ,点 E 在侧棱 AA1 上, 点 F 在侧棱 BB1 上, 且 AE ? 2 2 , BF ? (Ⅰ)求证: CF ? C1 E (Ⅱ)求二面角 E ? CF ? C1 的大小.

2.

21. (本题满分 12 分)已知直角坐标平面上点 Q(2,0)和圆 C:x2+y2=1,动点 M 到圆 C 的切线长与|MQ|的比等于 2 。 (1)求动点 M 的轨迹方程,并说明它表示什么曲线;

-5-

(2)若直线 y ? x ? 2 与曲线相交于 AB 两点,求弦 AB 的长。

22. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) ,若 y ? 数,则称 f ( x ) 为“一阶比增函数”.

f ( x) 在 (0, ??) 上为增函 x

(1)若 f ( x ) ? ax 2 ? ax 是“一阶比增函数”,求实数 a 的取值范围; (2) 若 f ( x ) 是“一阶比增函数”, 当 x2 ? x1 ? 0 时, 试比较 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 与 f ( x1 ? x 2 ) 的大小;

-6-

2013-2014 学年度高一下学期二调考试数学试题答案(理科)
一、选择题: BCBDD AAADA 二、填空题: 13. 74 三、解答题: 17. 解 基本事件共有 6× 6=36 个。 (1) x+y 是 5 的倍数包含以下基本事件: (1,4) (4,1) (2,3) (3,2) (4,6) (6,4) (5,5)共 7 个。 所以,x+y 是 5 的倍数的概率是 14. CC

1 5

15. 5,30

16. (9,49)

7 。------------5 分 36

(2)此事件的对立事件是 x,y 都不是 5 或 6,其基本事件有 4 ? 4 ? 16 个,所以,x,y 中至少有一个 5 或 6 的概率是 1 ? 18 解:(1)由图表得: 2.5 ?

16 5 ? .------------10 分 36 9

2 6 4 2 1 ? 7.5 ? ? 12.5 ? ? 17.5 ? ? 22.5 ? 15 15 15 15 15

? 10.5 ,所以这 15 名乘客的平均候车时间为 10.5 分钟 ------------4 分
(2)由图表得:这 15 名乘客中候车时间少于 10 分钟的人数为 8,所以,这 60 名乘客中候车 时间少于 10 分钟的人数大约等于 60 ?

8 ? 32 15

------------8 分

(3) 设第三组的乘客为 a, b, c, d ,第四组的乘客为 e, f ,“抽到的两个人恰好来自不同的组” 为事件 A . 所得基本事件共有 15 种,即 (a, c), (a, b), (a, d ), (a, e), (a, f ), (b, c), (b, d ),

(b, e), (b, f ), (c, d ), (c, e), (c, f ), (d , e), (d , f ), (e, f ) ,
其中事件 A 包含基本事件 8 种,所以 P ( A) ?

8 8 ,即所求概率等于 15 15

------------12 分

19.解: (1)由频率分布直方图得第七组的频率为 1-(0.008× 2+0.016× 2+0.04× 2+0.06)× 5=0.06, ∴第七组的人数为 0.06× 50=3. 同理可得各组人数如下: 组别 样本数 1 2 2 4 3 10 4 10 5 15 6 4 7 3 8 2

-7-

-----------8 分 (2)由频率分布直方图得后三组的频率为 0.016× 5+0.06+0.008× 5=0.18. 估计这所学校高三年级身高在 180 cm 以上(含 180 cm)的人数为 800× 0.18=144. --12 分 20. 解: (1)由已知可得 CC1 ? 3 2, CE ? C1 F ? 22 ? (2 2) 2 ? 2 3.

EF 2 ? AB 2 ? ( AE ? BF ) 2 , EF ? C1 E ? 2 2 ? 2 ? 6

2

于是有 EF 2 ? C1 E 2 ? C1 F 2 , CE 2 ? C1E 2 ? CC12 . 所以 C1 E ? FE, C1E ? CE. 又 EF ? CE ? E. 所以 C1 E ? 平面 CEF. 由 CF ? 平面 CEF,故 CF ? C1 E. ------------6 分 (2)在△ CEF 中,由(1)可得 EF ? CF ? 6, CE ? 2 3 于是有 EF 2 ? CF 2 ? CE 2 , 所以 CF⊥EF. 又由(1)知 CF ? C1E ,且 EF ? C1E ? E ,所以 CF⊥平面 C1EF. 又 C1 F ? 平面 C1EF,故 CF⊥C1F. 于是∠EFC1 即为二面角 E-CF-C1 的平面角. 由(1)知△ C1EF 是等腰直角三角形,所以∠EFC1=450,即所求二面角 E-CF-C1 的大 小为 450. ------------12 分 21. 设直线 MN 切圆于 N,则动点 M 组成的集合是:P={M| |MN|= 2 |MQ|} 因为圆的半径|ON|=1,所以|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1 设点 M 的坐标为(x,y) 则

x 2 ? y 2 ? 1 ? 2 ( x ? 2) 2 ? y 2
2

整理得 ( x ? 4)

? y2 ? 7

它表示圆,该圆圆心的坐标为(4,0) ,半径为 7 ………………8 分 (2)由圆心到直线 y ? x ? 2 的距离 d ?

2 2

所以 | AB |? 2 R ? d = 2 5 …………12 分
2 2

-8-

22. 解: (I)由题

y?

在 (0, ??) 是增函数, f ( x ) ax 2 ? ax ? ? ax ? a x x

由一次函数性质知 当 a ? 0 时, y ? ax ? a 在 (0, ??) 上是增函数, 所以 a ? 0 ………………4 分

(Ⅱ) f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ? x2 ) ………………5 分 证明如下:因为 f ( x ) 是“一阶比增函数”,即

f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数, x

又 ?x1 , x2 ? (0, ??) ,有 x1 ? x1 ? x2 , x2 ? x1 ? x2 所以

f ( x1 ) f ( x1 ? x2 ) f ( x2 ) f ( x1 ? x2 ) , ? ? x1 x1 ? x2 x2 x1 ? x2

所以 f ( x1 ) ?

x f ( x1 ? x2 ) x1 f ( x1 ? x2 ) , f ( x2 ) ? 2 x1 ? x2 x1 ? x2
x1 f ( x1 ? x2 ) x2 f ( x1 ? x2 ) ? ? f ( x1 ? x2 ) x1 ? x2 x1 ? x2
………………12 分

所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ? x2 )

-9-


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