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2017西城一模数学理科附答案


西城区高三统一测试

数学(理科)2017.4
第Ⅰ卷(选择题
共 40 分)

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符 合题目要求的一项. 1.已知全集 U ? R ,集合 A ? {x | x ? 2} , B ? {x | x ? 0} ,那么 A ? ?U B ? (A) {x | 0 ≤ x ? 2} (C) {x | x ? 0} 2.在复平面内,复数 (A)第一象限 (C)第三象限
2 2 3.函数 f ( x) ? sin x ? cos x 的最小正周期是

(B) {x | 0 ? x ? 2} (D) {x | x ? 2}

i 的对应点位于 1? i
(B)第二象限 (D)第四象限

(A)

? 2

(B) ?

(C)

3? 2

(D) 2 ?

4.函数 f ( x) ? 2x ? log2 | x | 的零点个数为 (A) 0 (B) 1
?? ? ?? ?

(C) 2

(D) 3

5.在 △ ABC 中,点 D 满足 BC ? 3 BD ,则 (A) AD ? (C) AD ?
?? ? ?? ? ? 2 ?? ? 1 ?? AB ? AC 3 3 ? 1 ?? ? 2 ?? AB ? AC 3 3

(B) AD ? (D) AD ?
?? ?

?? ?

? 2 ?? ? 1 ?? AB ? AC 3 3 ? 1 ?? ? 2 ?? AB ? AC 3 3

6.在正方形网格中,某四面体的三视图如图所示.如果小 正方形网格的边长为 1,那么该四面体最长棱的棱长为 (A) 2 5 (B) 4 2 (C) 6 (D) 4 3

第 1 页共 11 页

7.数列 {an } 的通项公式为 an ? | n ? c | ( n ? N* ) .则“ c ≤1 ”是“ {an } 为递增数列”的 (A)充分而不必要条件 (C)充要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

8.将五个 1,五个 2,五个 3,五个 4,五个 5 共 25 个数填入一个 5 行 5 列的表格内(每 格填入一个数) ,使得同一行中任何两数之差的绝对值不超过 2.考察每行中五个数之 和,记这五个和的最小值为 m ,则 m 的最大值为 (A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 11

第Ⅱ卷(非选择题
2

共 110 分)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.在 (1 ? 2 x)5 的展开式中, x 的系数为____. (用数字作答)

10.设等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn .若 a1 ? 3 , S2 ? 9 ,则 an ? ____; Sn ? ____.

11.执行如右图所示的程序框图,输出的 S 值为____.

? x ? cos? , 12. 曲线 ? ( ? 为参数) 与直线 x ? y ? 1 ? 0 相交于 A, B 两点, ? y ? 1 ? sin ?
则 | AB | ? ____.

b ≥1 . 13. 实数 a , b 满足 0 ? a ≤ 2 , 若 b ≤ a2 , 则

b 的取值范围是____. a

14. 如图, 正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为 2, 点 P 在正方形 ABCD 的边界及其内部运动. 平面区域 W 由所有满足 A1 P ≤ 5 的点 P 组成,则 W 的面积是____;四面体 P ? A1 BC 的 体积的最大值是____.

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三、 解答题: 本大题共 6 小题, 共 80 分. 解答应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分) 在△ ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 a tan C ? 2c sin A . (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)求 sin A ? sin B 的取值范围.

16. (本小题满分 14 分) 如图,在正四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? AB , E , F 分别为 PB , PD 的中点. (Ⅰ)求证: AC ? 平面 PBD ; (Ⅱ)求异面直线 PC 与 AE 所成角的余弦值; (Ⅲ)若平面 AEF 与棱 PC 交于点 M ,求
PM 的值. PC

17. (本小题满分 13 分) 在测试中,客观题难度的计算公式为 Pi ? 数, N 为参加测试的总人数. 现对某校高三年级 240 名学生进行一次测试,共 5 道客观题.测试前根据对学生的了解,预估了 每道题的难度,如下表所示:
题号 考前预估难度 Pi 1 0.9 2 0.8 3 0.7 4 0.6 5 0.4

Ri ,其中 Pi 为第 i 题的难度, Ri 为答对该题的人 N

测试后,随机抽取了 20 名学生的答题数据进行统计,结果如下:
题号 实测答对人数 1 16 2 16 3 14 4 14 5 4

(Ⅰ)根据题中数据,估计这 240 名学生中第 5 题的实测答对人数; (Ⅱ)从抽样的 20 名学生中随机抽取 2 名学生,记这 2 名学生中第 5 题答对的人数为 X,求 X 的分布列和数学期望;
? ? P (Ⅲ)试题的预估难度和实测难度之间会有偏差.设 P i 为第 i 题的实测难度,请用 i 和 P i

设计一个统计量,并制定一个标准来判断本次测试对难度的预估是否合理.

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18. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ex ? x2 . 设 l 为曲线 y ? f ( x) 在点 P( x0 , f ( x0 )) 处的切线, 其中 x0 ?[?1,1] . (Ⅰ)求直线 l 的方程(用 x0 表示) ; (Ⅱ) 设 O 为原点, 直线 x ? 1 分别与直线 l 和 x 轴交于 A, B 两点,求△ AOB 的面积的最小 值.

1 2

19. (本小题满分 14 分) 如图, 已知椭圆 C :
| AF | ? 3 .

x2 y 2 1 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 , A(?a,0) , F 为椭圆 C 的右焦点. a 2 b2 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 设 O 为原点, 直线 OM 与直线 x ? 4 交于点 D , P 为椭圆上一点, AP 的中点为 M . 过 O 且平行于 AP 的直线与直线 x ? 4 交于点 E .求证: ?ODF ? ?OEF .

20. (本小题满分 13 分) 如图,将数字 1,2,3,?,2n (n ≥ 3) 全部填入一个 2 行 n 列的表格中,每格填一个数字.第 一行填入的数字依次为 a1 , a2 ,?, an ,第二行填入的数字依次为 b1 , b2 ,?, bn . 记 Sn ? ? | ai ? bi | ? | a1 ? b1 | ? | a2 ? b2 | ? ? ? | an ? bn | .
i ?1 n

(Ⅰ)当 n ? 3 时,若 a1 ? 1 , a2 ? 3 , a3 ? 5 ,写出 S3 的所有可能的取值; (Ⅱ)给定正整数 n .试给出 a1 , a2 ,?, an 的一组取值,使得无论 b1 , b2 ,?, bn 填写的顺序 如何, Sn 都只有一个取值,并求出此时 Sn 的值; (Ⅲ)求证:对于给定的 n 以及满足条件的所有填法, Sn 的所有取值的奇偶性相同.

第 4 页共 11 页

西城区高三统一测试

高三数学(理科)参考答案及评分标准
2017.4 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1.A 5.D6.C7.A 2.A 8.C 3.B 4.C

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 40 10. 3 ? 2n?1 ; 3 ? (2n ? 1) 11. 6
1 4 π 12. 2 13. [ , 2] 14. ; 3 4 2

注:第 10,14 题第一空 2 分,第二空 3 分. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 其他正确解答过程,请参照评分标准给分. 15. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由 a tan C ? 2c sin A , 得
a sin C ? ? 2sin A .[1 分] c cos C sin A sin C ? ? 2sin A .[3 分] sin C cos C

由正弦定理得 所以 cos C ?

1 .[4 分] 2 因为 C ? (0, π) ,[ 5 分]
所以 C ?

π .[6 分] 3
2π ? A) [7 分] 3

(Ⅱ) sin A ? sin B ? sin A ? sin(

3 3 ? sin A ? cos A [8 分] 2 2 π ? 3sin( A ? ) .[9 分] 6

π 2π ,所以 0 ? A ? ,[10 分] 3 3 π π 5π 所以 ? A ? ? ,[11 分] 6 6 6
因为 C ? 所以

1 π ? sin( A ? ) ≤1 ,[12 分] 2 6
3 , 3] .[13 分] 2

所以 sin A ? sin B 的取值范围是 (

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16. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)设 AC ? BD ? O ,则 O 为底面正方形 ABCD 中心.连接 PO . 因为 P ? ABCD 为正四棱锥, 所以 PO ? 平面 ABCD . 所以 PO ? AC . [1 分] [2 分]

又 BD ? AC ,且 PO ? BD ? O , [3 分] 所以 AC ? 平面 PBD . [4 分] (Ⅱ)因为 OA , OB , OP 两两互相垂直,如图建立空间直角坐标系 O - xyz .[5 分] 因为 PB ? AB ,所以 Rt△ POB ? Rt△ AOB . 所以 OA ? OP . [6 分] 设 OA ? 2 .
C (?2,0,0) ,D(0, ?2,0) ,P(0,0, 2) ,E (0,1,1) ,F (0, ?1,1) . 所以 A(2,0,0) ,B(0, 2,0) ,

所以 AE ? (?2,1,1) , PC ? (?2,0, ?2) .[7 分] 所以 | cos? AE , PC ? |?
?? ? ?? ?

?? ?

?? ?

| AE ? PC | | AE || PC |
?? ? ?? ?

?? ? ?? ?

?

3 . 6
3 .[9 分] 6

即异面直线 PC 与 AE 所成角的余弦值为 (Ⅲ)连接 AM . 设

?? ? ?? ? PM ? ? ,其中 ? ?[0,1] ,则 PM ? ? PC ? (?2? ,0, ?2? ) ,[10 分] PC
?? ? ?? ? ?? ?

所以 AM ? AP ? PM ? (?2 ? 2? ,0, 2 ? 2? ) . 设平面 AEMF 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,又 AF ? (?2, ?1,1) ,所以
? ? ?? ?n ? AE ? 0, ??2 x ? y ? z ? 0, 即? ? ?? ? ? ?2 x ? y ? z ? 0. ?n ? AF ? 0, ?

?? ?

所以 y ? 0 .令 x ? 1 , z ? 2 ,所以 n ? (1,0, 2) .[12 分] 因为 AM ? 平面 AEF ,所以 n ? AM ? 0 ,[13 分] 即 ?2 ? 2? ? 2(2 ? 2? ) ? 0 ,
1 PM 1 ? .[14 分] 解得 ? ? ,所以 3 PC 3
?? ?

第 6 页共 11 页

17. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)因为 20 人中答对第 5 题的人数为 4 人,因此第 5 题的实测难度为 所以,估计 240 人中有 240 ? 0.2 ? 48 人实测答对第 5 题.[3 分] (Ⅱ) X 的可能取值是 0,1,2.[4 分]
P ( X ? 0) ?
2 C16 C1 C1 32 C2 12 3 ? ; P( X ? 1) ? 162 4 ? ; P( X ? 2) ? 24 ? .[7 分] 2 95 C 20 19 C20 C20 95

4 ? 0.2 .[2 分] 20

X 的分布列为: X
0
12 19

1
32 95

2
3 95

P
[ 8 分]
EX ? 0 ?

12 32 3 38 .[10 分] ? 1? ? 2 ? ? 19 95 95 95

(Ⅲ)将抽样的 20 名学生中第 i 题的实测难度,作为 240 名学生第 i 题的实测难度.
1 2 2 2 ?? P ??P ? ?P 定义统计量 S ? [( P 1 1 ) ? (P 2 2 ) ? ? ? (P n n ) ] ,其中 Pi 为第 i 题的预估难度.并规 n

定:若 S ? 0.05 ,则称本次测试的难度预估合理,否则为不合理.[11 分]

1 S ? [(0.8 ? 0.9)2 ? (0.8 ? 0.8)2 ? (0.7 ? 0.7)2 ? (0.7 ? 0.6)2 ? (0.2 ? 0.4)2 ] 5
? 0.012 .[12 分]

因为 S ? 0.012 ? 0.05 , 所以,该次测试的难度预估是合理的. [13 分]

注:本题答案不唯一,学生可构造其它统计量和临界值来进行判断.如“预估难度与实测 难度差的平方和” , “预估难度与实测难度差的绝对值的和” , “预估难度与实测难度差的绝 对值的平均值”等,学生只要言之合理即可.

18. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)对 f ( x) 求导数,得 f ?( x) ? ex ? x , [1 分] 所以切线 l 的斜率为 f ?( x0 ) ? e x0 ? x0 ,[2 分]

1 2 由此得切线 l 的方程为: y ? (e x0 ? x0 ) ? (e x0 ? x0 )( x ? x0 ) , 2 1 2 即 y ? (ex0 ? x0 ) x ? (1 ? x0 )ex0 ? x0 .[4 分] 2
第 7 页共 11 页

(Ⅱ)依题意,切线方程中令 x ? 1 ,

1 2 1 得 y ? (ex0 ? x0 ) ? (1 ? x0 )ex0 ? x0 ? (2 ? x0 )(ex0 ? x0 ) .[5 分] 2 2
所以 A(1, y) , B(1,0) .

1 所以 S△AOB ? | OB | ? | y | 2 ? 1 1 | (2 ? x0 )(ex0 ? x0 ) | 2 2

1 1 ? | (1 ? x0 )(e x0 ? x0 ) | , x0 ? [?1,1] .[7 分] 2 2 1 1 设 g ( x) ? (1 ? x)(ex ? x) , x ? [?1,1] .[8 分] 2 2 1 1 1 1 1 则 g ?( x) ? ? (ex ? x) ? (1 ? x)(e x ? ) ? ? ( x ? 1)(e x ? 1) .[10 分] 2 2 2 2 2
令 g ?( x) ? 0 ,得 x ? 0 或 x ? 1 .
g ( x) , g ?( x) 的变化情况如下表:
x

?1

( ? 1, 0)
?

0 0

(0,1)
?

1

g ?( x) g ( x)

3 1 1 ( ? ) 2 2 e



1



1 1 (e ? ) 2 2

所以 g ( x) 在 ( ? 1, 0) 单调递减;在 (0,1) 单调递增,[12 分] 所以 g ( x)min ? g (0) ? 1 , 从而△ AOB 的面积的最小值为 1.[13 分]

19. (本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ)设椭圆 C 的半焦距为 c .依题意,得

c 1 ? , a ? c ? 3 .[2 分] a 2
解得 a ? 2 , c ? 1 . 所以 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 3 , 所以椭圆 C 的方程是

x2 y2 ? ? 1 .[4 分] 4 3

(Ⅱ)解法一:由(Ⅰ)得 A(?2,0) .设 AP 的中点 M ( x0 , y0 ) , P( x1 , y1 ) . 设直线 AP 的方程为: y ? k ( x ? 2) (k ? 0) ,将其代入椭圆方程,整理得

第 8 页共 11 页

(4k 2 ? 3) x2 ? 16k 2 x ? 16k 2 ? 12 ? 0 ,[6 分]
所以 ?2 ? x1 ? 所以 x0 ? 即M(

?16k 2 .[7 分] 4k 2 ? 3

?8 k 2 6k , y0 ? k ( x0 ? 2) ? 2 , 2 4k ? 3 4k ? 3

?8 k 2 6k , 2 ) .[8 分] 2 4k ? 3 4k ? 3

6k 2 3 所以直线 OM 的斜率是 4k ?2 3 ? ? ,[9 分] ?8 k 4k 4k 2 ? 3
所以直线 OM 的方程是 y ? ?

3 3 x .令 x ? 4 ,得 D(4, ? ) .[10 分] k 4k

直线 OE 的方程是 y ? kx .令 x ? 4 ,得 E (4,4k ) .[11 分] 由 F (1,0) ,得直线 EF 的斜率是

4k 4k ,所以 EF ? OM ,记垂足为 H ; ? 4 ?1 3

3 1 因为直线 DF 的斜率是 k ? ? ,所以 DF ? OE ,记垂足为 G .[13 分] 4 ?1 k ?
在 Rt△EHO 和 Rt△DGO 中, ? ODF 和 ?OEF 都与 ?EOD 互余, 所以 ?ODF ? ?OEF .[14 分] 解法二:由(Ⅰ)得 A(?2,0) .设 P( x1 , y1 ) ( x1 ? ?2) ,其中 3x12 ? 4 y12 ? 12 ? 0 . 因为 AP 的中点为 M ,所以 M ( 所以直线 OM 的斜率是 kOM ?

x1 ? 2 y1 , ). 2 2

[ 6 分]

y1 ,[ 7 分] x1 ? 2
[ 8 分]

所以直线 OM 的方程是 y ?

y1 4 y1 x .令 x ? 4 ,得 D(4, ). x1 ? 2 x1 ? 2

直线 OE 的方程是 y ?

y1 4 y1 x .令 x ? 4 ,得 E (4, ) .[ 9 分] x1 ? 2 x1 ? 2 4 y1 ,[10 分] 3( x1 ? 2)

由 F (1,0) ,得直线 EF 的斜率是 k EF ?

因为 k EF ? kOM ?

4 y1 y 4 y12 ? 1 ? ? ?1 , 3( x1 ? 2) x1 ? 2 3( x12 ? 4)

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所以 EF ? OM ,记垂足为 H ;[12 分] 同理可得 k DF ? kOE ?

4 y1 y 4 y12 ? 1 ? ? ?1 , 3( x1 ? 2) x1 ? 2 3( x12 ? 4)

所以 DF ? OE ,记垂足为 G .[13 分] 在 Rt△EHO 和 Rt△DGO 中, ? ODF 和 ?OEF 都与 ?EOD 互余, 所以 ?ODF ? ?OEF .[14 分] 20. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ) S3 的所有可能的取值为 3,5,7,9.[3 分] (Ⅱ)令 ai ? i (i ? 1,2, ?, n) ,则无论 b1 , b2 ,?, bn 填写的顺序如何,都有 Sn ? n2 . [5 分] 因为 ai ? i , 所以 bi ?{ n ? 1, n ? 2,?,2n} , (i ? 1, 2,?, n) .[6 分] 因为 ai ? bi (i ? 1, 2,?, n) , 所以 Sn ? ? | ai ? bi | ? ? (bi ? ai ) ? ? bi ? ? ai ?
i ?1 i ?1 i ?1 i ?1 n n n n

i ? n ?1

? i ? ?i ? n
i ?1

2n

n

2

.[8 分]

{a1 , a2 ,?, an } ? {1,2,?, n} , 注: 或 {a1 , a2 ,?, an } ? {n ? 1, n ? 2,?,2n} 均满足条件.
(Ⅲ)解法一:显然,交换每一列中两个数的位置,所得的 Sn 的值不变. 不妨设 ai ? bi ,记 A ? ? ai , B ? ? bi ,其中 i ? 1, 2,?, n .
i ?1 i ?1 n n n n n n

则 S n ? ? | ai ? bi | ? ? (ai ? bi ) ? ? ai ? ? bi ? A ? B .[ 9 分]
i ?1 i ?1 i ?1 i ?1 2n

因为 A ? B ? ? i ?
i ?1

2n(2n ? 1) ? n(2n ? 1) , 2

所以 A ? B 与 n 具有相同的奇偶性.[11 分] 又因为 A ? B 与 A ? B 具有相同的奇偶性, 所以 Sn ? A ? B 与 n 的奇偶性相同,
第 10 页共 11 页

所以 Sn 的所有可能取值的奇偶性相同.[13 分] 解法二:显然,交换每一列中两个数的位置,所得的 Sn 的值不变.

? ? ? | ai? ? bi? | ,不妨 考虑如下表所示的任意两种不同的填法, S n ? ? | ai ? bi | , S n
i ?1
i ?1

n

n

设 ai ? bi , ai? ? bi? ,其中 i ? 1, 2,?, n .[ 9 分]

a1

a2

? ?
n

an

a1?
b1?
n n

a2?
b2?
n

? ?
n

an?
bn?

b1

b2
n

bn

? ? ? (bi ? ai ) ? ? (bi? ? ai?) ? (? bi ? ? bi?) ? (? ai ? ? ai?) . Sn ? Sn
i ?1 i ?1 i ?1 i ?1 i ?1 i ?1

对于任意 k ?{1, 2,?, 2n} , ①若在两种填法中 k 都位于同一行,

? 的表达式中或者只出现在 ? bi ? ? bi? 中,或只出现在 ? ai ? ? ai? 则 k 在 Sn ? Sn
i ?1 i ?1 i ?1 i ?1

n

n

n

n

中,且出现两次,

? 的结果中得到 ?2k .[11 分] 则对 k 而言,在 Sn ? Sn
②若在两种填法中 k 位于不同行,

? 的表达式中在 ? bi ? ? bi? 与 ? ai ? ? ai? 中各出现一次, 则 k 在 Sn ? Sn
i ?1 i ?1 i ?1 i ?1

n

n

n

n

? 的结果中得到 0 . 则对 k 而言,在 Sn ? Sn ? 必为偶数. 由①②得,对于任意 k ?{1, 2,?, 2n} , Sn ? Sn
所以,对于表格的所有不同的填法, Sn 所有可能取值的奇偶性相同.[13 分]

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