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广东省陆丰市碣石中学2012-2013学年高二上学期期末数学理试题

碣石中学 2012-2013 学年高二上学期期末数学理试题

一、选择题 (每题 5 分,共 40 分) 1.已知等差数列{an }中, a7 ? a9 ? 16,则a8 的值是( )

A.16

B.8

C.7

D.4

2.命题 ?x ? R, x2 ? x ? 0 的否定( )

A. ?x ? R, x2 ? x ? 0

B. ?x ? R, x2 ? x ? 0

C. ?x ? R, x2 ? x ? 0

D. ?x ? R, x2 ? x ? 0

3.已知命题 p、q,“非 p 为真命题”是“p 或 q 是假命题”的( )

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

4.已知△ABC 中,AB= 3,AC=1 且 B=30°,则△ABC 的面积等于( )

A.

3 2

B.

3 4

C. 23或 3

D.

43或

3 2

?? 2x+y≥4 5.设 x,y 满足?x-y≥-1
??x-2y≤2

,则 z=x+y( )

A.有最小值 2,最大值 3

B.有最小值 2,无最大值

C.有最大值 3,无最小值

D.既无最小值,也无最大值

6.函数 y=x+x-1 1+5(x>1)的最小值为(



A.5

B.6

C.7

D.8

7.设 P 是双曲线 x 2 a2

?

y2 9

? 1上一点,该双曲线的一条渐近线方程是3x ? 4 y ? 0 ,

F1, F2 分别是双曲线的左、右焦点,若 PF1 ? 10 ,则 PF2 等于( )

A.2

B.18

C.2 或 18

D.16

8.已知曲线 C:y=2x2,点 A(0,-2)及点 B(3,a),从点 A 观察点 B,要使视线不被曲线 C

挡住,则实数 a 的取值范围是( )

A.(4,+∞)

B.(-∞,4]

C.(10,+∞)

D.(-∞,10]

二、填空题(每题 5 分,共 30 分) 9.椭圆 x 2 ? y 2 ? 1的离心率为________.
4
??
10.向量 a ? (1,2,?2),b ? (?2, x, y), 且 a// b ,则 x ? y =________.
11.两灯塔 A, B 与海洋观察站 C 的距离都等于 2km ,灯塔 A 在 C 北偏东 450 处, 灯塔 B 在 C

南偏东150 处, 则 A, B 之间的距离为________.

12.已知点 ?1,1? 是椭圆 x2 ? y2 ? 1某条弦的中点,则此弦所在的直线方程为:________.
42 13.已知正项数列{an}的首项 a1=1,前 n 项和为 Sn,若以(an,Sn)为坐标的点在曲线
y=12x(x+1)上,则数列{an}的通项公式为________.

14.已知 F 是抛物线 y2 ? 4x 的焦点, A, B 是抛物线上两点, ?AFB 是正三角形,则该正三角

形的边长为________.

三、解答题(本题共 6 小题,共 80 分)

?

?

15.(本题满分 12 分)若 a ? (2, ?3,5), b ? (?3,1, ?4) .

??

??

??

求 (1) a? b (2) a? b (3) | a? 2 b |

16.(本题满分 12 分)已知?an? 是等差数列,其中 a1 ? 25, a4 ? 16 .
(1)求通项公式 an ;
(2)数列?an? 从哪一项开始小于 0;
(3)求 a1 ? a3 ? a5 ? ? a19 值.

17.(本题满分 14 分)

在△ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b, c ,已知 b ? 5, c ? 3,

sin(B ? C) ? 2sin B . (1)求边 a 的长;

(2)求 cos(B ? π ) 的值. 6

18.(本题满分 14 分)

设数列?an? 的前 n 项和为 Sn ? 2n?1 ? 2 ,数列?bn? 是公差不为 0 的等差数列,其中

b2 、 b4 、 b9 依次成等比数列,且 a2 ? b2 .

(1)求数列?an? 和?bn? 的通项公式;

(2)设 cn

?

bn an

,求数列?cn? 的前 n 项和Tn .

19.(本题满分 14 分) 已知四棱锥 P ? ABCD 的底面为直角梯形, AB ∥ DC , ?DAB ? 90 , PA ? 底面 ABCD , 且 PA ? AD ? DC ? 1, AB ? 2 , M 是 PB 的中点.
(1)证明:面 PAD ? 面 PCD ; (2)求平面 AMC 与平面 ABC 夹角的余弦值.

20.(本题满分 14 分)

如图,已知椭圆

x2 a2

?

y2 b2

=1(a>b>0)的离心率 e

?

6, 3

过点 A(0,-b)和 B(a,0)的直线与原点的距离为 3 . 2

(1)求椭圆的方程. (2)已知定点 E(-1,0),若直线 y=kx+2(k≠0)与椭圆交于
C、D 两点. 问:是否存在 k 的值,使以 CD 为直径的圆过 E 点?请说明理由.

碣石中学高二上学期期末考试理科数学参考答案

一、选择题(每题 5 分,共 40 分)

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

B

B

B

D

B

D

C

D

二、填空题(每题 5 分,共 30 分)

17. 解:(I)在△ ABC 中,由正弦定理得 a ? b . sin A sin B
由 sin(B ? C) ? 2sin B 及 B ? C ? π ? A 得 sin A ? 2sin B . ………………………3 分

所以 a ? b sin A ? 2b sin B ? 2b ? 2 5 . …………………………………………6 分 sin B sin B

(II)在△ ABC 中,由余弦定理得 cos B ? a2 ? c2 ? b2 ? (2 5)2 ? 32 ? ( 5)2 ? 2 5 .

2ac

2?3?2 5

5

……………………………………………………………9 分

所以 sin B ? 1? cos2 B ? 5 . ………………………………………………………11 分 5

因此, cos(B ? π ) ? cos B cos π ? sin B sin π ? 2 5 ? 3 ? 5 ? 1 ? 2 15 ? 5 .

6

6

6 5 2 52

10

………………………………………………………14 分

19.

20、解:解析:(1)直线 AB 方程为:bx-ay-ab=0.

依题意

?c

? ?

a

?

?

6, 3

解得

?a ? ?

3,

? ??

ab ? a2 ? b2

3 2

?b ? 1

∴ 椭圆方程为 x2 ? y2 ? 1. 3

…………………………………………5 分

?y ? kx ? 2,

(2)假若存在这样的

k

值,由

? ?

x

2

?

3

y

2

?

3

?

得 (1? 3k 2 ) 0

x2

?12kx ? 9 ?

0.

∴ ? ? (12k)2 ? 36(1? 3k 2 ) ? 0



………………………………7 分



C

(

x1



y1

)



D(

x2



y2

)

,则

? ??

x1

?

? ??

x1

?

x2

?

? 12k 1? 3k

? x2

?

9 1? 3k 2

2





而 y1 ? y2 ? (kx1 ? 2)(kx2 ? 2) ? k 2 x1x2 ? 2k(x1 ? x2 ) ? 4 . ……………………10 分

要使以 CD 为直径的圆过点 E(-1,0),当且仅当 CE⊥DE 时,则 y1 ? y2 ? ?1 ,即
x1 ?1 x2 ?1

y1 y2 ? (x1 ?1)(x2 ?1) ? 0 ∴ (k 2 ? 1)x1x2 ? 2(k ? 1)(x1 ? x2 ) ? 5 ? 0



将②式代入③整理解得 k ? 7 .经验证, k ? 7 ,使①成立.

6

6

综上可知,存在 k ? 7 ,使得以 CD 为直径的圆过点 E. 6

……………………14 分