kl800.com省心范文网

【状元360】高考数学一轮复习 8.11 二项式定理课件 理_图文

1.二项式定理:(A+B)N= N 1 N 1 k N k k n N C0 A + C A B +…+ C A B +…+ C n n n nB , (A+B)N的二项展开式共有 N+1 项,其中各项的系数Ck n (k - - k ∈{0,1,2,…,N})叫做 二项式系数 ,式中C n AN-kBk叫做二项 N-k k N 展开式的 通项 ,用Tk+1表示,即Tk+1=C k A B .(A - B) 的展 n N-k k 开式的第k+1项为Tk+1=(-1)kCk A B. n 2.二项式系数的性质: m n-m C = C n n . (1)对称性: (2)增减性与最大值: n +1 当k< 2 时,二项式系数是逐渐 增大 的; n +1 当k> 2 时,二项式系数是逐渐 减小 的且在中间取得最 大 值. 当N是偶数时,中间一项取得最大值 ; 当N是奇数时,中间两项相等且同时取得最大值 (3)二项式系数的和: 1 n N 已知(1+x)N=C0 + C x +…+ C n n nx , N 1 n 2 令x=1,则 = C0 + C +…+ C n n n. 1 2 3 N n 令x=-1,则0=C0 n-Cn+Cn-Cn+…+(-1) Cn. N-1 0 2 1 3 2 ∴Cn+Cn+…=Cn+Cn+…= 二项展开式的通项公式 ?a 9 x? ? ?9 3 示范1 (1)已知 ? - 的展开式中,x 的系数为 4 ,求常 2? ?x ? 数A的值. (2)(2011天津)在 ( ) 15 A.- 4 15 B. 4 3 C.-8 3 D.8 ? ? ? ? 考点一 x 2? ? - 2 x? ? 6 的二项展开式中,x2的系数为 r N-r r 分析 通项公式Tr+1=C n A B 中含有A,B,N,r,Tr+1五 个元素,只要知道其中的四个元素,就可以求出第五个元 素.在有关二项式定理的问题中,常常遇到已知这五个元素中 的若干个,求另外几个元素的问题,这类问题一般是利用通项 公式,转化为解方程(或方程组). 解析 答案 (2)C 【点评】求解时要注意二项式系数中N和r的隐含条件.N、r 均为非负整数,N≥r. 展示1 (1)试求(1+x)6(1-x)4的展开式中含x3项的系数; (2)求(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5-(x-1)6+ (x-1)7-(x-1)8的展开式中x2的系数; (3)求(A-2B+C)7展开式中A2B3C2的系数. 【解析】(1)法一 (1+x)6(1-x)4的展开式中含x3项的系数 3 1 2 2 1 3 0 为C0 ( - C ) + C C + C ( - C ) + C 6 4 6 4 6 4 6C4=-4+36-60+20=-8. 法二 (1-x2)4(1+x)2的展开式中含x3项的系数C 1 (-1)· C1 4 · 2 =-8. (2)法一 所求展开式中x2的系数为 3×2×1 法二 (x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+…+(x-1)7-(x 9 ? x - 1 ? - ? x - 1 ? 1 8 -1) = =x[(x-1)+(1-x)9], 1+?x-1? ∴所求展开式中x2的系数为-C3 9=-84. 9×8×7 2 2 2 2 3 -C2-C3-C4+…+(-C8)=-C9=- =-84. (3)(A-2B+C)7的展开式中A2B3C2的系数为 7×6 5×4 2 3 3 C7C5(-2) = 2 × 2 ×(-8)=-1 680. 方法点拨:准确熟练地写二项式定理的通项公式,正 m a 确使用指数幂的运算法则整理通项,如Am· AN=Am+N, an = Am N,(Am)N=AmN, - 等,是解题的关键. 考点二 展开式中各项系数 示范2 (1)已知(1-2x)7=A0+A1x+A2x2+…+A7x7, ①求A1+A2+A3+A4+…+A7的值; ②求A1+A3+A5+A7的值; ③求A0+A2+A4+A6的值; ④求|A0|+|A1|+…+|A7|的值. ? a? ? 1? 5 (2) ?x+x ? ?2x-x ? 的展开式中各项系数的和为2,则该展开 ? ? ? ? 式中常数项为______. 分析 记(Ax+B)N=A0+A1x+A2x2+…+ANxN=f(x),则 (1)A0+A1+A0+…+AN=f(1); (2)A0-A1+A2-A3+…+(-1)NAN=f(-1); f?1?+f?-1? (3)A0+A2+A4+A6+…= ; 2 f?1?-f?-1? (4)A1+A3+A5+A7+…= . 2 解析 (1)令x=0,(1-2· 0)7=A0,∴A0=1; 令x=1,(1-2)7=A0+A1+A2+…+A7,∴A0+A1+A0 +…+A7=-1; ①A1+A2+…+A7=(A0+A1+A2+…+A7)-A0=-1-1 =-2; ②(A1+A3+A5+A7)+(A0+A2+A4+A6)=(1-2)7; -(A1+A3+A5+A7)+(A0+A2+A4+A6)=(1+2)7; 1 ∴A1+A3+A5+A7=2(-1-37); 1 ③A0+A2+A4+A6=2(-1+37); ④令x=-1,|A0|+|A1|+…+|A7|=(1+2)7=37. (2)令x=1,则(1+A)(2-1)5=2,∴A=1. 15 1 r 5-r 对于(2x-x ) 的通项为Tr+1=C5(2x) (-x )r 5-r 5-2r =(-1)rCr 2 X ,令5-2r=1,及r=3. 5 令5-2r=-1,则r=2. 2 2 2 3 ∴展开式的常数项为(-1)3C3 · 2 + ( - 1) .C5· 2 =-40+80=40 5 【点评】所赋特殊值如何选取应视具体问题而定. 展示2 (1)设(x2+1)(2x+1)9=A