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(考试必备)浙江省金华一中2008级高三12月月考数学理


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整理日期 2011 年 2 月 24 日星期四

整理人 小セ

金华一中 2008 级高三 12 月月考

数 学 试 题(理)
150 分,共 120 分钟 一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.复数

i 在复平面上对应的点位于 3?i
B.第二象限 D.第四象限
2





A.第一象限 C.第三象限

2.已知 a ∈ R ,则“ a > 2 ”是“ a > 2a ”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 3.为了得到函数 y = lg B.必要不充分条件 D.既非充分也非必要条件





x 的图像,只需把函数 y = lg x 的图像上所有的点 10
B.向右平移 1 个单位长度 D.向下平移 1 个单位长度





A.向左平移 1 个单位长度 C.向上平移 1 个单位长度

4.已知直线 y = x + 1 与曲线 y = e x + a 相切,则 a 的值为 A.1 B.2 C.-1 D.0





5.函数 f ( x) = sin x cos x 是 A.最小正周期为 2π 且在 [0, π ] 内有且只有三个零点的函数 B.最小正周期为 2π 且在 [0, π ] 内有且只有二个零点的函数 C.最小正周期为 π 且在 [0, π ] 内有且只有三个零点的函数 D.最小正周期为 π 且在 [0, π ] 内有且只有二个零点的函数 6.函数 f ( x) = 3sin x + 5sin( x + 60 ) 的最大值是 A.8 B.7 C.6.5 D.5.5









7.若 ab ≠ 0 ,则方程 ( ax ? y + b)(bx 2 + ay 2 ? ab) = 0 表示的曲线只可能是(



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A

B

C

D

8.如图,已知三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的各条棱长都相等,且 CC1 ⊥ 底面 ABC , M 是侧棱

CC1 的中点,则异面直线 AB1 和 BM 所成的角的大小是





A.

π
2

B.

π
4

C.

π
6

D.

π
3

9.设第一象限内的点 ( x, y ) 满足约束条件 ?

?2 x ? y ? 6 ≤ 0 , ?x ? y + 2 ≥ 0 5 1 + 的最小值为 a b
D.4 ( ) ( )

若目标函数 z = ax + by ( a > 0, b > 0) 的最大值为 40,则 A.

25 6

B.

9 4

C.1

10.已知 O 为 ?ABC 的外心, AB = 4, AC = 6, BC = 8 ,则 AO i BC = A.18 B.10 C.-18 D.-10

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,满分 28 分. 11 . 设 全 集 合 U = {?1, 0,1, 2,3, 4} , 集 合 CU M = {?1,1} , N = {0,1, 2,3} , 则 集 合

M ∩N=

. .

12. 已知向量 a = (1, 0), b = (0,1), c = ka + b, d = a ? 2b , 如果 c / / d , k = 则

13.在研究性学习中,我校高三某班的一个课题研究小组做“关于横波的研究实验” .根据 实验记载, 他们观察到某一时刻的波形曲线符合函数 f ( x) = 2 sin(ω x + ? ) 的图像, 其部 分图像如图所示,则 f (0) = .

y
2

13π x 七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载 4
-2

O π

4

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14.若某几何体的三视图(单位: cm )如右图所示,则该几何体的表面积为

cm 2 .

15. A 和 B 是抛物线 L 上的两个动点,且在 A 和 B 处的抛物线切线相互垂直, 已知由 A、B 设 及抛物线的顶点 P 所成的三角形重心的轨迹也是一抛物线, 记为 L1 .对 L1 重复以上过 程,又得一抛物线 L2 ,余类推.设如此得到抛物线的序列为 L1 , L2 ,? , Ln ,若抛物线 L 的 方程为 y 2 = 6 x ,经专家计算得,

L1 : y 2 = 2( x ? 1) ,

2 1 2 4 (x ?1? ) = (x ? ) , 3 3 3 3 2 1 1 2 13 L3 : y 2 = ( x ? 1 ? ? ) = ( x ? ) , 9 3 9 9 9 ?, L2 : y 2 =

Ln : y 2 =

T 2 (x ? n ) . Sn Sn


则 2Tn ? 3S n =

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16.已知:直线 a, b ,平面 α , β , γ ,给出下列四个命题: ① a / / b, a ⊥ α , b / / β ,则 α ⊥ β ; ② a / / b, a / /α , b / / β ,则 α / / β ; ③ α ⊥ γ , β ⊥ γ ,则 α / / β ; 其中真命题是 17.设 F1、F2 分别为双曲线 C : ④ a / /α , a / / β , α ∩ β = b ,则 a / / b . (填写真命题的编号) .

x2 y2 ? = 1(a, b > 0) 的左右焦点, A 为双曲线的左顶点, a2 b2

以 F1 F2 为直径的圆交双曲线某条渐近线于 M 、N 两点,且满足 ∠MAN = 120 ,则该 双曲线的离心率为 .

三、解答题:本大题共 4 小题,满分 72 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 18. (本题满分 14 分) 在 ?ABC 中,a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边, 已知 c = 又 tan A + tan B =

7 3 3 ,?ABC 的面积为 , 2 2

3(tan A tan B ? 1) .

(I)求角 C 的大小; (II)求 a + b 的值.

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19. (本题满分 14 分) 已知 f ( x) = x 2 + ( a + 1) x + a 2 , ( a ∈ R ) , f ( x ) 能表示成一个奇函数 g ( x ) 和一个 若 偶函数 h( x ) 的和. (I)求 g ( x ) 和 h( x ) 的解析式; (II)若 f ( x ) 和 g ( x ) 在区间 ( ?∞, ( a + 1) 2 ] 上都是减函数,求 f (1) 的取值范围.

20. (本题满分 14 分) 如图,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AA1 = 2 AB = 2 AD ,且

PC1 = λ CC1 (0 < λ < 1) .
(I)求证:对任意 0 < λ < 1 ,总有 AP ⊥ BD ; (II)若 λ =

1 ,求二面角 P ? AB1 ? B 的余弦值; 3
平分 ∠B1 AC ?若存在, 求出 λ 的

(III) 是否存在 λ , 使得 AP 在平面 B1 AC 上的射影 值, 若不存在,说明理由.

21. (本题满分 15 分)

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已知椭圆

x2 a2

+

y2 b2

= 1( a > b > 0) 的两个焦点分别为 F1 (?1, 0), F2 (1, 0) ,点 P 在椭圆
2 2

上,且满足 PF1 = 2 PF2 , ∠PF1 F2 = 30 ,直线 y = kx + m 与圆 x + y = 圆相交于 A, B 两点. (I)求椭圆的方程; (II)证明 ∠AOB 为定值( O 为坐标原点) .

6 5

相切,与椭

22. (本题满分 15 分) 已知函数 f ( x ) = ?(2m + 2) ln x + mx ? (I)讨论 f ( x ) 的单调性;

m+2 (m ≥ ?1) . x

? x 2 ? 2 x ? 5 ( x ≥ 1) ? (II)设 g ( x ) = ? 1 13 .当 m = 2 时,若对任意 x1 ∈ (0, 2) ,存在 x2 ∈ ( x < 1) ? x? ?2 2

[k , k + 1] ( k ∈ N ) ,使 f ( x1 ) < g ( x2 ) ,求实数 k 的最小值.

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参考答案
一、选择题 1.B 2.A 二、填空题 11. {0, 2,3} 三、解答题 18.解: (I)∵ tan A + tan B =

3.D

4.D

5.C

6.B

7.C

8.A

9.B

10.B

12. ?

1 2

13. ? 2

14. 7π

15. ?1

16.①④

17.

21 3

3(tan A tan B ? 1) ,∴ tan( A + B ) =

且 A, B, C 为 ?ABC 的内角,∴ A + B = (II)由 S ?ABC =

2π π ,从而 C = . (7 分) 3 3

tan A + tan B =? 3, 1 ? tan A tan B

1 3 3 π ab sin C = ,及 C = 得 ab = 6 , 2 2 3

又 cos C =

a 2 + b 2 ? c 2 (a + b)2 ? c 2 ? 2ab 1 7 11 = = , c = ,∴ a + b = . (14分) 2ab 2ab 2 2 2

19.解: (I)由题意得 g ( x) = ( a + 1) x, h( x) = x 2 + a 2 ; (写出答案就给满分) (4 分)

? a +1 ≥ (a + 1) 2 ?? (II)∵ f ( x) 和 g ( x) 在区间 ( ?∞, ( a + 1) ] 上都是减函数,∴ ? 2 ?a + 1 < 0 ?
2

∴?

3 1 7 11 ≤ a < ?1 ,∴ f (1) = a + 2 + a 2 = (a + )2 + ∈ (2, ] . (14 分) 2 2 4 4

20.解: (I)以 D 为坐标原点,分别以 DA、DC、DD1 所在直线为 x 轴, y 轴, z 轴,建 立空间直角坐标系,设 AB = 1 ,则 D (0, 0, 0), A(1, 0, 0), B (1,1, 0), C (0,1, 0), B1 (1,1, 2) ,

C1 (0,1, 2), P (0,1, 2 ? 2λ ) ,从而 BD = (?1, ?1, 0), AP = (?1,1, 2 ? 2λ ) ,

∴ BDi AP = 0 ,即 AP ⊥ BD .
(II)由(I)及 λ =

(4分)

1 4 得, AP = ( ?1,1, ), AB1 = (0,1, 2) , 3 3

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4 ? ?x = 3 ? ?1 + x + y = 0 ? 设平面 AB1 P 的法向量为 n = (1, x, y ) ,则 ? ?? 3 3, ?x + 2 y = 0 ?y = ? 2 ? ?
从而可取平面 AB1 P 的法向量为 n = (2, 6, ?3) , 又取平面 ABB1 的法向量为 m = (1, 0, 0) ,且设二面角 P ? AB1 ? B 为 θ ,

所以

cos θ =

min min

=

2 7

(9分)

(III) 假设存在实数 λ (0 < λ < 1) 满足条件, 由题结合图形,只需满足 AP 分别与 AC、 1 所成的角相等, AB 即

AP i AC AP i AC

=

AP i AB1 AP i AB1

,即

2 4λ 2 ? 8λ + 6 i 2

=

5 ? 4λ 4λ 2 ? 8λ + 6 i 5



解得 λ =

5 ? 10 5 ? 10 ∈ (0,1) . 所以存在满足题意得实数 , 使得 AP 在平面 B1 AC 上 4 4
(14 分)

的射影平分 ∠B1 AC

21.解: (I)由题意, PF1 = 2 PF2 , ∠PF1 F2 = 30 , F1 F2 = 2 , 解三角形得 PF1 = 2 PF2 =

4 3 ,由椭圆定义得 2a = PF1 + PF2 = 2 3 , 3

x2 y 2 从而 a = 3, 又 c = 1 ,则 b = 2 ,所以椭圆的方程为 + = 1 (6 分) 3 2
(II)设交点 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,

? y = kx + m ? 联立 ? x 2 y 2 消去 y 得 (2 + 3k 2 ) x 2 + 6kmx + 3m 2 ? 6 = 0 ? + =1 ?3 2
?6km 3m 2 ? 6 由韦达定理得 x1 + x2 = , x1 i x2 = 2 + 3k 2 2 + 3k 2
又直线 y = kx + m 与圆 x + y =
2 2

(9 分)

6 5

相切,

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则有

m 1+ k
2

=

6 5

? 5m 2 = 6 + 6k 2 (11 分)
2 2

从而 x1 x2 + y1 y2 = x1 x2 + ( kx1 + m)( kx2 + m) = ( k + 1) x1 x2 + km( x1 + x2 ) + m

= (k 2 + 1)

3m2 ? 6 ?6km m 2 (5m 2 ? 6k 2 ? 6) + km + m2 = =0 2 + 3k 2 2 + 3k 2 2 + 3k 2
(15 分)

(14 分)

所以 OAiOB = 0 ,即 ∠AOB = 90 为定值. 22.解: (I)由题意函数 f ( x ) 的定义域为 (0, +∞ ) ,

?2 m ? 2 m + 2 ( x ? 1)[mx ? (m + 2)] +m+ 2 = x x x2 ?2 x + 2 ' (1)若 m = 0, 则f ( x ) = ,从而当 x < 1 时, f ' ( x ) > 0 ;当 x > 1 时 f ' ( x ) < 0 , x2 f ' ( x) =
此时函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0,1) ,单调递减区间为 [1, +∞ ) (3 分)

(2)若 m ≠ 0 ,则 f ( x ) =
'

m( x ? 1)[ x ? (1 + x2

2 )] m

①当 m > 0 时,∵1 + 当1 < x < 1 +

2 2 > 1 ,从而当 x < 1 或 x > 1 + 时, f ' ( x) > 0 , m m

2 时, f ' ( x ) < 0 m 2 2 , +∞ ) ,单调递减区间为 [1,1 + ] ; m m

此时函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0,1) 和 (1 + ②当 ?1 ≤ m < 0 时, 1 +

2 ≤ 0, m

此时函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0,1) ,单调递减区间为 [1, +∞ ) 综上所述,当 ?1 ≤ m ≤ 0 时,函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0,1) ,单调递减区间为

[1, +∞ ) ;当 m > 0 时,函数 f ( x) 的单调递增区间为 (0,1) 和 (1 +
间为 [1,1 +

2 , +∞ ) ,单调递减区 m

2 ]. m

(8 分)

(II)由(I)可得当 m = 2 时, f ( x ) 在区间 (0,1) 上单调递增,在 (1, 2) 上单调递减, 所以在区间 (0, 2) 上, f ( x ) max = f (1) = ?2 由题意,对任意 x1 ∈ (0, 2) ,存在 x2 ∈ [ k , k + 1] ( k ∈ N ) ,使 f ( x1 ) < g ( x2 ) 从而存在 x ∈ [ k , k + 1] ( k ∈ N )使 g ( x ) > ?2 ,
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即只需函数 g ( x ) 在区间 x ∈ [ k , k + 1] ( k ∈ N )上的最大值大于-2, 又当 k = 0 时, x ∈ [0,1], ?6 ≤ g ( x) ≤ ?
*

11 ,不符, 2
2

所以在区间 x ∈ [ k , k + 1] ( k ∈ N )上 g ( x ) max = g ( k + 1) = k ? 6 > ?2 解得 k > 2( k ∈ N ) ,所以实数 k 的最小值为3. (15 分)

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