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江西省南昌市三校(南昌一中、南昌十中、南铁一中)2017届高三第四次联考(理数)


江西省南昌市三校(南昌一中、南昌十中、南铁一中)2017 届 高三第四次联考
数学(理科)
考试时间:120 分钟 试卷总分:150 分 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.在复平面内,复数 A. 第四象限

2?i ( i 是虚数单位)对应的点位于( 1? i
B. 第三象限 C. 第二象限

) D.第一象限

2.设集合 U ? ?0,1, 2,3, 4,5? , A ? ?1, 2? , B ? x ? Z | x ? 5 x ? 4 ? 0 ,则 CU ? A ? B ? ?
2

?

?



) B.?5? C.?1,2,4? D.?0, 4,5?

A.?0,1,2,3?

3. 等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 已知 a2 a5 ? 2a3 , 且 a4 与 2a7 的等差中项为 ( ) B.31 C.33 D.36

5 , 则 S5 ? 4

A.29

4.右图是一个几何体的三视图,其中俯视图中的曲线为四分之一圆, 则该几何体的表面积为( ) A. 3 C.4 B. 3 ?

? 2 ? D. 4 ? 2

5.执行如图所示的算法,则输出的结果是( A.1 B.

) D.2

4 3

C.

5 4

6.如图,在 ?OMN 中, A, B 分别是 OM , ON 的中点,若 OP ? xOA ? yOB ? x, y ? R ? ,且

??? ?

??? ?

??? ?

1

点 P 落在四边形 ABNM 内(含边界),则

y ?1 的取值范围是( x? y?2
?1 3? ? ? ?1 2? ? ?



A. ? , ? 3 3

?1 2 ? ? ?

B. ? , ? 3 4

?1 3 ? ? ?

C. ? , ? 4 4

D. ? , ? 4 3

7. 已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0,| ? |?

?
2

) 的最小正周期为 ? ,且其图像向左平移


? 3

个单位后得到函数 g ( x) ? cos ? x 的图像,则函数 f ( x ) 的图像( A.关于直线 x ? C.关于点 (

?
12

对称

B.关于直线 x ? D.关于点 (

?
12

, 0) 对称

5? , 0) 对称 12

5? 对称 12

8.若二项式 ( A.

m 5 2 1 6 2 x ? ) 的展开式中的常数项为 m ,则 ?1 ( x ? 2 x)dx ? ( 5 x



1 3

B. ?

1 3

C. ?

2 3

D.

2 3


9.已知函数 f ( x) ? lg x , a ? b ? 0 , f ( a ) ? f (b) ,则 C. 2 ? 3

a2 ? b2 的最小值等于( a?b
D. 2 3 .

A. 2 2 10. 已知定义在 ? 0, ( )

B. 5

? ?

??

? 上的函数 f ? x ? , f ' ? x ? 为其导数,且 f ? x ? ? f ' ? x ? tan x 恒成立,则 2?

A. 3 f ?

?? ? ?? ? ?? 2f ? ? ?4? ?3?

B. 2 f ?

?? ? ?? ? ?? f ? ? ?6? ?4?
2 f ( ) ? sin 1 6

C. 3 f ?

?? ? ?? ? ?? f ? ? ?6? ?3?

D. f (1) ?

?

11.在等腰梯形 ABCD 中, AB / / CD ,且 AB ? 2, AD ? 1, CD ? 2x ,其中 x ? ? 0,1? , 以 A, B 为焦点且过点 D 的双曲线的离心率为 e1 ,以 C , D 为焦点且过点 A 的椭圆的离心率 为 e2 ,若对任意 x ? ? 0,1? ,不等式 t ? e1 ? e2 恒成立,则 t 的最大值是( A. 3 B. 5 C .2 )

D. 2

2

?1 ? 1 ? x ? 12.已知函数 f ? x ? ? ? ? ?3 f ? x ? 2?
内所有零点的和为( A.16 ) B.30

x ? ? ?? , 2? x ?[2 , ? ?)

8? ,则函数 g ? x ? ? f ? x ? ? cos ? x 在区间 ?0 ,

C.32

D.40

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 已知 为偶函数, 当 时, , 则曲线 在点

处的切线方程是_______________.

? x ? 0, y ?1 ? 14.已知不等式组 ? x ? y ? 0, 则z ? 的最大值为 x ?1 ? 4 x ? 3 y ? 12, ?



15.冬季供暖就要开始,现分配出 5 名水暖工去 3 个不同的居民小区检查暖气管道,每名水 暖工只去一个小区,且每个小区都要有人去检查,那么分配的方案共有 作答) 16. 如果 f ( x) 的定义域为 R ,对于定义域内的任意 x ,存在实数 a 使得 f ( x ? a) ? f (? x) 成立,则称此函数具有“ P ( a ) 性质”. 给出下列命题: ①函数 y 种.(用数字

? sin x 具有“ P(a ) 性质”;

②若奇函数 y ? f ( x) 具有“ P (2) 性质”,且 f (1) ? 1 ,则 f (2015) ? 1 ;

0) 成中心对称,且在 (?1, 0) 上单调 ③若函数 y ? f ( x) 具有“ P (4) 性质”, 图象关于点 (1,
递减,则 y ? f ( x) 在 ( ?2, ?1) 上单调递减,在 (1, 2) 上单调递增; ④若不恒为零的函数 y ? f ( x) 同时具有“ P (0) 性质”和 “ P(3) 性质”, 且函数 y ? g ( x) 对

?x1 , x2 ? R ,都有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| g ( x1 ) ? g ( x2 ) | 成立,则函数 y ? g ( x) 是周期函数.
其中正确的是 (写出所有正确命题的编号).

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 10 分)某校高一某班的某次数学测试成绩(满分为 100 分)的茎叶图和频 率分布直方图都受了不同程度的破坏,但可见部分,如图,据此解答下列问题:

3

(1)求分数在[50,60]的频率及全班人数; (2)求分数在[80,90]之间的频数,并计算频率分布直方图中[80,90]间的矩形的高. 18.(本小题满分 12 分)在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,且 a2 是 a1 与 a3 ? 1的等差中项. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若数列 ?bn ? 满足 bn ?

n(n ? 1)an ? 1 ,(n ? N * ) .求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn . n(n ? 1)

19.(本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? sin ?

? ? ? 3? ? 5? ? ? ? 2 x ? ? 2sin ? x ? ? cos ? x ? 4? 4 ? 6 ? ? ?

? ?. ?

(1)求函数 f ? x ? 的最小正周期和单调递增区间; (2)若 x ? ? 值. 20.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD , ? DAB 为 直角, AB // CD , AD ? CD ? 2 AB ? 2 , E , F 分别为 PC , CD 的 中点. (1)证明: AB ? 平面 BEF ; (2)若 PA ?

?? 3 ? ?? ? ? , ? ,且 F ? x ? ? ?4? f ?x ? ? cos ?4 x ? ? 的最小值是 ? ,求实数 ? 的 3? 2 ? ?12 3 ?

2 5 ,求二面角 E ? BD ? C 的大小; 5

(3)求点 C 到平面 DEB 的距离.

4

21.(本小题满分 12 分) 已知抛物线 E : y 2 ? 2 px( p ? 0) ,直线 x ? my ? 3 与 E 交于 A , B 两点,且 OA? OB ? 6 , 其中 O 为坐标原点. (1)求抛物线 E 的方程;

??? ? ??? ?

k2 , CB 的斜率分别为 k1 , (2) 已知点 C 的坐标为 (-3,0) , 记直线 CA 、 证明:
为定值.

1 1 ? 2 ? 2m 2 2 k1 k2

22. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? xe2 x ? ln x ? ax . (1)当 a ? 0 时,求函数 f ( x ) 在 [ ,1] 上的最小值; (2)若 ?x ? 0 ,不等式 f ( x ) ? 1 恒成立,求 a 的取值范围;

1 2

1 1 ? 2 1 1 (3)若 ?x ? 0 ,不等式 f ( ) ? 1 ? e x ? e ? 1 x 恒成立,求 a 的取值范围. x x x ee

5

数学(理科)参考答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 题号 答案 1 A 2 D 3 B 4 C 5 A 6 C 7 C 8 D 9 A 10 C 11 B 12 C

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.2x+y+1=0 14. 3 15.150 16.①③④

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 10 分)某校高一某班的某次数学测试成绩(满分为 100 分)的茎叶图和频 率分布直方图都受了不同程度的破坏,但可见部分,如图,据此解答下列问题:

(1)求分数在[50,60]的频率及全班人数; (2)求分数在[80,90]之间的频数,并计算频率分布直方图中[80,90]间的矩形的高. 10=0.08. 解析:(1)分数在[50,60]的频率为 0.008× 2 由茎叶图知,分数在[50,60]之间的频数为 2,所以全班人数为0.08=25. .....5 分 (2)分数在[80,90]之间的频数为 25-2-7-10-2=4,频率分布直方图中[80,90]间的矩 4 10=0.016. .............10 分 形的高为25÷ 18.(本小题满分 12 分)在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,且 a2 是 a1 与 a3 ? 1的等差中项. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若数列 ?bn ? 满足 bn ?

n(n ? 1)an ? 1 ,(n ? N * ) .求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn . n(n ? 1)

试题解析:(1)设等比数列 ?an ?的公比为 q ,

6

a2 是 a1 与 a3 ? 1 的等差中项,即有 a1 ? a3 ?1 ? 2a2 ,
即为 1 ? q 2 ? 1 ? 2q ,解得 q ? 2 , 即有 an ? a1q (2) bn ?
n?1

? 2n?1 ;.............5 分

1 ? n?n ? 1?an 1 1 ? ?1 ? an ? ? 2n?1 ? ? ? ?, n?n ? 1? n?n ? 1? ? n n ?1?

数列 ?bn ?的前 n 项和

1 1 ? 1 ? 2n 1 1 ? 1 1 1 Sn ? 1 ? 2 ? 22 ? ? ? 2n?1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ?1? ? 2n ? ?? n n ?1? 1? 2 n ?1 n ?1 ? 2 2 3

?

?

.............12 分 19. (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? sin ?

? ? ? 3? ? ? 5? ? ? ? 2 x ? ? 2sin ? x ? ? cos ? x ? ?. 4? 4 ? ? 6 ? ? ?

(1)求函数 f ? x ? 的最小正周期和单调递增区间; (2)若 x ? ? 值.

?? 3 ? ?? ? ? , ? ,且 F ? x ? ? ?4? f ?x ? ? cos ?4 x ? ? 的最小值是 ? ,求实数 ? 的 3? 2 ? ?12 3 ?

∴T ?

2? ? ? ,......................3 分 2

由 2 k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2 k? ?

?
2

得 k? ?

?
6

? x ? k? ?
7

?
3

?k ? Z ?,

∴函数 f ? x ? 的单调增区间为 ? k? ?

? ?

?

?? , k? ? ? ? k ? Z ? .............5 分 6 3?

(2) F ? x ? ? ?4? f ? x ? ? cos ? 4 x ?

? ?

??
? 3?

?? ? ? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? ?4? sin ? 2 x ? ? ? ?1 ? 2sin 2 ? 2 x ? ?? ? 2sin 2 ? 2 x ? ? ? 4? sin ? 2 x ? ? ? 1 6? ? 6 ?? 6? 6? ? ? ? ?
? ? ?? ? ? 2 ?sin ? 2 x ? ? ? ? ? ? 1 ? 2? 2 .....................7 分 6? ? ? ?
∵ x??
2

?? ? ? ?? ? ? ? , ? ,∴ 0 ? 2 x ? ? ,∴ 0 ? sin ? 2 x ? ? ? 1 ...........8 分 6? 6 2 ?12 3 ? ?



?? ? ? ? 0 时,当且仅当 sin ? 2 x ? ? ? 0 时, f ? x ? 取得最小值-1,这与已知不相 6? ?
符;...........9 分

20.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥

P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABC D, ?DAB 为直角, AB // CD ,

AD ? CD ? 2 AB ? 2 , E , F 分别为 PC , CD 的中点.
(1)证明: AB ? 平面 BEF ;

(2)若 PA ?

2 5 ,求二面角 E ? BD ? C 的大小; 5

(3)求点 C 到平面 DEB 的距离.

8

试题解析:(1)证:由已知 DF∥AB 且 ? DAB 为直角,故 ABFD 是矩形, 从而 AB ? BF. 又 PA ? 底面 ABCD, ∴平面 PAD ? 平面 ABCD, ∵AB ? AD,故 AB ? 平面 PAD,∴AB ? PD, 在 ΔPCD 内,E、F 分别是 PC、CD 的中点,EF//PD, ∴ AB ? EF. 由此得 AB ? 平面 BEF .............4 分 (2)以 A 为原点,以 AB,AD,AP 为 x 轴,y 轴,z 轴正向建立空间直角坐标系, 则 BD ? (?1, 2, 0), BE ? (0,1,

??? ?

??? ?

5 ) 5

设平面 CDB 的法向量为 n1 ? (0,0,1) ,平面 EDB 的法向量为 n2 ? ( x , y, z ) ,



? ?n2 ? BD ? 0 ? ? ? n2 ? BE ? 0

?? x ? 2 y ? 0 ?? ? ? n 可取 ? 2 ? 2,1, ? 5 5z ?0 ?y ? 5 ?

z

?

?

P

E

设二面角 E-BD-C 的大小为 ? ,则

D

y F

C

cos? ?| cos ? n1 , n2 ?|?
所以, ? ?

| n1 ? n2 | 5 2 = , ? | n1 | ? | n2 | 1? 10 2

A

B

x

?
4

............8 分

? ? ?? ? DC ? n ? 4 2 10 (3)由(2)知 n2 ? 2,1, ? 5 , D C ? (2,0,0) , d ? ? ? ? n 5 10

?

?

所以,点 C 到平面 DEB 的距离为 21.(本小题满分 12 分)

2 10 ......12 分 5

已知抛物线 E : y 2 ? 2 px( p ? 0) ,直线 x ? my ? 3 与 E 交于 A , B 两点,且 OA? OB ? 6 , 其中 O 为坐标原点.

??? ? ??? ?

9

(1)求抛物线 E 的方程;

k2 , CB 的斜率分别为 k1 , (2) 已知点 C 的坐标为 (-3,0) , 记直线 CA 、 证明:
为定值.

1 1 ? 2 ? 2m 2 2 k1 k2

? y 2 ? 2 px 试题解析:(1)解:设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,联立方程组 ? ,消元得 ? x ? my ? 3

y 2 ? 2 pmy ? 6 p ? 0 ,
所以 y1 ? y2 ? 2 pm ,

y1 y2 ? ?6 p .……………………………………………………………………2 分
??? ? ??? ? ( y1 y2 )2 OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? ? y1 y2 ? 9 ? 6 p ? 6 ,……………………………6 分 又 OA? 4 p2
所以 p ?

1 ,从而抛物线 E 的方程为 y 2 ? x .………………………………………5 分 2

(2)因为 k1 ?

y1 y1 y2 y2 ? ? , k2 ? , x1 ? 3 my1 ? 6 x2 ? 3 my2 ? 6

所以

1 6 1 6 ? m ? , ? m ? ,……………………………………………6 分 k1 y1 k2 y2 1 1 6 6 ? 2 ? 2m 2 ? ( m ? ) 2 ? ( m ? ) 2 ? 2 m 2 2 k1 k2 y1 y2 1 1 1 1 ? ) ? 36( 2 ? 2 ) ? 2m2 …………………………………8 分 y1 y2 y1 y2

因此

? 2m2 ? 12m(

y ?y ( y ? y )2 ? 2 y y ? 2m2 ? 12m? 1 2 ? 36? 1 2 2 2 1 2 ? 2m2 y1 y2 y1 y2
又 y1 ? y2 ? 2 pm ? m ,

y1 y2 ? ?6 p ? ?3 ,……………………………………………………………9 分
所以

1 1 ?m m2 ? 6 2 2 ? ? 2 m ?? 2 m ? 12 m ? ? 36 ? ? 2m2 ? 24 .………………11 分 2 2 k1 k2 3 9

10



1 1 ? 2 ? 2m2 为定值.……………………………………………12 分 2 k1 k2

[来

22. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? xe2 x ? ln x ? ax .
(1)当 a ? 0 时,求函数

1 f ( x ) 在 [ ,1] 上的最小值; 2

(2)若 ?x ? 0 ,不等式

f ( x ) ? 1 恒成立,求 a 的取值范围;

1 1 ? 2 1 1 (3)若 ?x ? 0 ,不等式 f ( ) ? 1 ? e x ? e ? 1 x 恒成立,求 a 的取值范围. x x x ee
试题解析:(1) a ? 0 时,
/ 2x f ( x) ? xe2 x ? ln x ,? f ( x ) ? ( 2 x ? 1)e ?

1 , x

易知函数

?1 ? f / ( x) 在 ? ,1? 上是增函数, ?2 ?

又?

1 1 f / ( ) ? 2e ? 2 ? 0 ,所以当 x ? [ ,1] 时, f / ( x) ? 0 , 2 2
1 1 e f ( x ) 在区间 [ ,1] 上递增,所以 f ( x ) min ? f ( ) ? ? ln 2 ……………4 分 2 2 2

即函数

(2) 因为 ?x ? 0 ,不等式

f ( x ) ? 1 恒成立,

即a

xe2 x ? ln x ? 1 e ln x e 2 x ? (ln x ? 2 x ) ? 1 ? 2 x e ln x ?2 x ? (ln x ? 2 x ) ? 1 ? ? ? ?2 x x x ? x ? 1? e ln x ? 2 x ? ln x ? 2 x ? 1 ? xe 2 x ? ln x ? 1 ? 2, x
……………………8 分

易证 e x

当 ln x ? 2 x ? 0 时取等号,? a ? 2
2 x

1 1 1 1 ? ? 2 2 (3)由 f ( 1 ) ? 1 ? 1 e ? e ? 1 x , ? 1 e x ? ln 1 ? a ? 1 ? 1 e x ? e ? 1 x , x x x x x x x x e e e e x x ?1 ?1 , ? a ? x ln x ? x ? e ? 1 对任意 x ? 0 成立, ? x ln x ? x ? a ? e ? 1 x x ee ee

11

x x ?1 ?1 g / ( x ) ? ln x ? x , 令函数 g ( x ) ? x ln x ? x ? e ? 1 ,所以 x e e ( e ? 1 ) e ee
当 x ? 1 时, g / ( x) ? 0 ,当 0 ? x ? 1 时, g / ( x) ? 0 ,

1 ?1 e e ? 1 g ( x ) 所以当 x ? 1 时,函数 取得最小值 g (1) ? ?1 ? , ? ?1 ? 1 1 e e e ( e ? 1)e

? a ? ?1 ?

e (e ? 1)e
1 e

…………………12 分

12


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