kl800.com省心范文网

2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)不等关系与不等式(含解析)


第一节

不等关系与不等式

[知识能否忆起] 1.实数大小顺序与运算性质之间的关系 a-b>0?a>b;a-b=0?a=b;a-b<0?a<b. 2.不等式的基本性质 性质 对称性 传递性 可加性 性质内容 a>b?b<a a>b,b>c?a>c a>b?a+c>b+c a>b? ??ac>bc c>0 ? a>b? ??ac<bc c<0 ? 同向可加性 a>b? ??a+c>b+d c>d ? a>b>0? ??ac>bd c>d>0 ? a>b>0?an>bn(n∈N,n≥2) 同正 a>b>0? a> b(n∈N,n≥2) n n 注意 ? ? ?

可乘性

c 的符 号

?

同向同正可乘性 可乘方性 可开方性

?

[小题能否全取] 1.(教材习题改编)下列命题正确的是( A.若 ac>bc?a>b 1 1 C.若 > ?a<b a b 答案:D 2.若 x+y>0,a<0,ay>0,则 x-y 的值( A.大于 0 ) )

B.若 a2>b2?a>b D.若 a< b?a<b

B.等于 0

C.小于 0

D.不确定

解析:选 A 由 a<0,ay>0 知 y<0,又 x+y>0,所以 x>0.故 x-y>0. 3.已知 a,b,c,d 均为实数,且 c>d,则“a>b”是“a-c>b-d”的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 解析:选 B 若 a-c>b-d,c>d, 则 a>b.但 c>d,a>b?/ a-c>b-d. 如 a=2,b=1,c=-1,d=-3 时,a-c<b-d. 4. 1 ________ 3+1(填“>”或“<”). 2-1 1 = 2+1< 3+1. 2-1 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

解析: 答案:<

5.已知 a,b,c∈R,有以下命题: ①若 a>b,则 ac2>bc2;②若 ac2>bc2,则 a>b; ③若 a>b,则 a·c>b·c. 2 2 其中正确的是____________(请把正确命题的序号都填上). 解析:①若 c=0 则命题不成立.②正确.③中由 2c>0 知成立. 答案:②③

1.使用不等式性质时应注意的问题: 在使用不等式时, 一定要搞清它们成立的前提条件. 不可强化或弱化成立的条件. 如“同 向不等式”才可相加,“同向且两边同正的不等式”才可相乘;可乘性中“c 的符号”等也 需要注意. 2.作差法是比较两数(式)大小的常用方法,也是证明不等式的基本方法.要注意强化 化归意识,同时注意函数性质在比较大小中的作用.

比较两个数(式)的大小

典题导入 S3 S5 [例 1] 已知等比数列{an}中,a1>0,q>0,前 n 项和为 Sn,试比较 与 的大小. a3 a5

S3 S5 S3 S5 [自主解答] 当 q=1 时, =3, =5,所以 < ; a3 a5 a3 a5 当 q>0 且 q≠1 时,
3 5 2 3 5 S3 S5 a1?1-q ? a1?1-q ? q ?1-q ?-?1-q ? -q-1 S3 S5 - = 2 - 4 = = <0,所以 < . 4 4 a3 a5 a1q ?1-q? a1q ?1-q? q a3 a5 q ?1-q?

S3 S5 综上可知 < . a3 a5

若本例中“q>0”改为“q<0”,试比较它们的大小. S3 S5 -q-1 解:由例题解法知当 q≠1 时, - = . a3 a5 q4 S3 S5 S3 S5 当-1<q<0 时, - <0,即 < ; a3 a5 a3 a5 S3 S5 S3 S5 当 q=-1 时, - =0, 即 = ; a3 a5 a3 a5 S3 S5 S3 S5 当 q<-1 时, - >0,即 > . a3 a5 a3 a5

由题悟法 比较大小的常用方法 (1)作差法: 一般步骤是:①作差;②变形;③定号;④结论.其中关键是变形,常采用配方、因式 分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时,有时也可以 先平方再作差. (2)作商法: 一般步骤是:①作商;②变形;③判断商与 1 的大小;④结论. (3)特值法: 若是选择题、填空题可以用特值法比较大小;若是解答题,可先用特值探究思路,再用 作差或作商法判断. [注意] 用作商法时要注意商式中分母的正负,否则极易得出相反的结论.

以题试法 1.(2012· 吉林联考)已知实数 a、b、c 满足 b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,则 a、 b、c 的大小关系是( A.c≥b>a C.c>b>a ) B.a>c≥b D.a>c>b

解析:选 A c-b=4-4a+a2=(2-a)2≥0, ∴c≥b.将题中两式作差得 2b=2+2a2,即 b=1+a2. 1 3 ∵1+a2-a=?a-2?2+ >0,∴1+a2>a. ? ? 4 ∴b=1+a2>a.∴c≥b>a.

不等式的性质

典题导入 [例 2] ( ) A.a>b+1 C.a2>b2 B.a>b-1 D.a3>b3 (1)(2011· 大纲全国卷)下面四个条件中,使 a>b 成立的充分而不必要的条件是

a b (2)(2012· 包头模拟)若 a>0>b>-a,c<d<0,则下列结论:①ad>bc;② + <0; d c ③a-c>b-d;④a· (d-c)>b(d-c)中成立的个数是( A.1 C.3 B.2 D.4 )

[自主解答] (1)由 a>b+1 得 a>b+1>b, a>b; 即 且由 a>b 不能得出 a>b+1.因此, 使 a>b 成立的充分不必要条件是 a>b+1. (2)∵a>0>b,c<d<0,∴ad<0,bc>0, ∴ad<bc,故①错误. ∵a>0>b>-a,∴a>-b>0, ∵c<d<0,∴-c>-d>0, ∴a(-c)>(-b)(-d), a b ac+bd ∴ac+bd<0,∴ + = <0, d c cd 故②正确. ∵c<d,∴-c>-d, ∵a>b,∴a+(-c)>b+(-d), a-c>b-d,故③正确. ∵a>b,d-c>0,∴a(d-c)>b(d-c), 故④正确,故选 C. [答案] (1)A (2)C 由题悟法

1.判断一个关于不等式的命题的真假时,先把要判断的命题与不等式性质联系起来考 虑,找到与命题相近的性质,并应用性质判断命题的真假,当然判断的同时可能还要用到其 他知识,比如对数函数、指数函数的性质. 2.特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法,在命题真假未定时,先用特殊值试 试,可以得到一些对命题的感性认识,如正好找到一组特殊值使命题不成立,则该命题为假 命题. 以题试法 2.若 a、b、c 为实数,则下列命题正确的是( A.若 a>b,c>d,则 ac>bd B.若 a<b<0,则 a2>ab>b2 1 1 C.若 a<b<0,则 < a b b a D.若 a<b<0,则 > a b 解析:选 B A 中,只有 a>b>0,c>d>0 时,才成立;B 中,由 a<b<0,得 a2> ab>b2 成立;C,D 通过取 a=-2,b=-1 验证均不正确. )

不等式性质的应用

典题导入 [例 3] 已知函数 f(x)=ax2+bx,且 1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4.求 f(-2)的取值范围. [自主解答] f(-1)=a-b,f(1)=a+b. f(-2)=4a-2b. 设 m(a+b)+n(a-b)=4a-2b.
? ? ?m+n=4, ?m=1, 则? 解得? ?m-n=-2, ?n=3. ? ?

∴f(-2)=(a+b)+3(a-b)=f(1)+3f(-1). ∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4, ∴5≤f(-2)≤10.即 f(-2)的取值范围为[5,10].

由题悟法 利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围, 但应注意两点: 一是必须严格运用不等 式的性质; 二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围. 解决的途径是先 建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系, 最后通过“一次性”不等关系的运算求 解范围.

以题试法
?-1≤α+β ≤1, ? 3.若 α,β 满足? 试求 α+3β 的取值范围. ? ?1≤α+2β ≤3,

解:设 α+3β=x(α+β)+y(α+2β)=(x+y)α+(x+2y)β.
?x+y=1, ?x=-1, ? ? 则? 解得? ? ? ?x+2y=3, ?y=2.

∵-1≤-(α+β)≤1,2≤2(α+2β)≤6, 两式相加,得 1≤α+3β≤7. ∴α+3β 的取值范围为[1,7].

1.已知 a1,a2∈(0,1),记 M=a1a2,N=a1+a2-1,则 M 与 N 的大小关系是( A.M<N C.M=N B.M >N D.不确定

)

解析:选 B 由题意得 M-N=a1a2-a1-a2+1=(a1-1)· 2-1)>0,故 M >N. (a 2.若 m<0,n>0 且 m+n<0,则下列不等式中成立的是( A.-n<m<n<-m C.m<-n<-m<n B.-n<m<-m<n D.m<-n<n<-m )

解析:选 D 法一:(取特殊值法)令 m=-3,n=2 分别代入各选项检验即可. 法二:m+n<0?m<-n?n<-m,又由于 m<0<n,故 m<-n<n<-m 成立. 3.“1≤x≤4”是“1≤x2≤16”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 )

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析: A 由 1≤x≤4 可得 1≤x2≤16, 选 但由 1≤x2≤16 可得 1≤x≤4 或-4≤x≤-1, 所以“1≤x≤4”是“1≤x2≤16”的充分不必要条件. 1 1 1 a b 4.已知 0<a< ,且 M= + ,N= + ,则 M、N 的大小关系是( b 1+a 1+b 1+a 1+b A.M >N C.M=N 1 解析:选 A ∵0<a< , b ∴1+a>0,1+b>0,1-ab>0, B.M<N D.不能确定 )

1-a 1-b 2-2ab ∴M-N= + = >0. 1+a 1+b ?1+a??1+b? 1 1 5.若 < <0,则下列结论不正确的是( . a b A.a2<b2 C.a+b<0 B.ab<b2 D.|a|+|b|>|a+b| )

1 1 解析:选 D ∵ < <0,∴0>a>b. a b ∴a2<b2,ab<b2,a+b<0,|a|+|b|=|a+b|. 6.设 a,b 是非零实数,若 a<b,则下列不等式成立的是( A.a2<b2 1 1 C. 2< 2 ab a b B.ab2<a2b b a D. < a b )

解析:选 C 当 a<0 时,a2<b2 不一定成立,故 A 错. 因为 ab2-a2b=ab(b-a),b-a>0,ab 符号不确定, 所以 ab2 与 a2b 的大小不能确定,故 B 错. 1 1 a-b 1 1 因为 2- 2 = 2 2 <0,所以 2< 2 ,故 C 正确. ab a b a b ab a b b a D 项中 与 的大小不能确定. a b 7.若 1<α<3,-4<β <2,则 α-|β|的取值范围是________. 解析:∵-4<β <2,∴0≤|β|<4. ∴-4<-|β|≤0.∴-3<α-|β|<3. 答案:(-3,3)
? ?a,a<b, 8. (2012· 深圳模拟)定义 a*b=? ? ?b,a≥b.

已知 a=30.3, b=0.33, c=log30.3, 则(a*b)*c

=________.(结果用 a,b,c 表示) 解析:∵log30.3<0<0.33<1<30.3,∴c<b<a, ∴(a*b)*c=b*c=c. 答案:c a b 1 1 9.已知 a+b>0,则 2+ 2与 + 的大小关系是________. b a a b 1 1 a-b b-a a b 解析: 2+ 2-?a+b?= 2 + 2 ? b b a ? a 1 1 =(a-b)?b2-a2? ? ? = ?a+b??a-b?2 . a2b2

∵a+b>0,(a-b)2≥0, ∴ ?a+b??a-b?2 ≥0. a2b2

a b 1 1 ∴ 2+ 2≥ + . b a a b a b 1 1 答案: 2+ 2≥ + b a a b e e 10.若 a>b>0,c<d<0,e<0.求证: . 2> ?a-c? ?b-d?2 证明:∵c<d<0,∴-c>-d>0. 又∵a>b>0,∴a-c>b-d>0. ∴(a-c)2>(b-d)2>0. 1 1 ∴0< < . ?a-c?2 ?b-d?2 e e 又∵e<0,∴ . 2> ?a-c? ?b-d?2 x y 11.已知 b>a>0,x>y>0,求证: > . x+a y+b 证明: = x?y+b?-y?x+a? x y - = x+a y+b ?x+a??y+b?

bx-ay . ?x+a??y+b?

∵b>a>0,x>y>0, ∴bx>ay,x+a>0,y+b>0, ∴ ∴ bx-ay >0, ?x+a??y+b? x y > . x+a y+b

c 12.已知函数 f(x)=ax2+bx+c 满足 f(1)=0,且 a>b>c,求 的取值范围. a 解:∵f(1)=0,∴a+b+c=0, ∴b=-(a+c).又 a>b>c, ∴a>-(a+c)>c,且 a>0,c<0, a+c c c c ∴1>- > ,即 1>-1- > . a a a a

? a <-1, ∴? c ?a>-2,
2c

c 1 解得-2< <- . a 2

1 1 1.已知 a、b 为实数,则“a>b>1”是“ < ”的( a-1 b-1 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

)

1 1 解析:选 A 由 a>b>1?a-1>b-1>0? < , a-1 b-1 1 1 当 a=0,b=2 时, < , a-1 b-1 ∴ 1 1 < ?/ a>b>1,故选 A. a-1 b-1

2.(2012· 洛阳模拟)若-1<a<b<1,-2<c<3 则(a-b)· 的取值范围是________. c 解析:∵-1<a<b<1, ∴-2<a-b<0,∴2>-(a-b)>0. 当-2<c<0 时,2>-c>0, ∴4>(-c)[-(a-b)]>0, 即 4>c· (a-b)>0; 当 c=0 时,(a-b)· c=0; 当 0<c<3 时,0<c· [-(a-b)]<6, ∴-6<(a-b)· c<0. 综上得,当-2<c<3 时,-6<(a-b)· c<4. 答案:(-6,4) 3.某企业去年年底给全部的 800 名员工共发放 2 000 万元年终奖,该企业计划从今年 起,10 年内每年发放的年终奖都比上一年增加 60 万元,企业员工每年净增 a 人. (1)若 a=10,在计划时间内,该企业的人均年终奖是否会超过 3 万元? (2)为使人均年终奖年年有增长,该企业每年员工的净增量不能超过多少人? 解:(1)设从今年起的第 x 年(今年为第 1 年)该企业人均发放年终奖为 y 万元. 2 000+60x 则 y= (a∈N*,1≤x≤10). 800+ax 2 000+60x 假设会超过 3 万元,则 >3, 800+10x 40 解得 x> >10. 3 所以,10 年内该企业的人均年终奖不会超过 3 万元. (2)设 1≤x1<x2≤10, 则 f(x2)-f(x1)

= =

2 000+60x2 2 000+60x1 - 800+ax2 800+ax1 ?60×800-2 000a??x2-x1? >0, ?800+ax2??800+ax1?

所以 60×800-2 000a>0,得 a<24. 所以,为使人均年终奖年年有增长,该企业每年员工的净增量不能超过 23 人.

1.已知 0<a<b,且 a+b=1,下列不等式成立的是( A.log2a>0 C.2ab>2 B.2a b>1 D.log2(ab)<-2


)

1 解析:选 D 由已知,0<a<1,0<b<1,a-b<0,0<ab< ,log2(ab)<-2. 4 2.若 a>b>0,则下列不等式中一定成立的是( 1 1 A.a+ >b+ b a 1 1 C.a- >b- b a b b+1 B. > a a+1 2a+b a D. > a+2b b )

1 解析:选 A 取 a=2,b=1,排除 B 与 D;另外,函数 f(x)=x- 是(0,+∞)上的增 x 1 函数,但函数 g(x)=x+ 在(0,1]上递减,在[1,+∞)上递增,所以,当 a>b>0 时,f(a)> x 1 1 1 1 f(b)必定成立,但 g(a)>g(b)未必成立,可得,a- >b- ?a+ >b+ . a b b a 3.甲、乙两人同时从寝室到教室,甲一半路程步行,一半路程跑步,乙一半时间步行, 一半时间跑步,如果两人步行速度、跑步速度均相同,则 ( A.甲先到教室 B.乙先到教室 C.两人同时到教室 D.谁先到教室不确定 解析:选 B 设甲用时间为 T,乙用时间为 2t,步行速度为 a,跑步速度为 b,距离为 s, s s 2 2 s s s?a+b? 2s 则 T= + = + = ,ta+tb=s?2t= , a b 2a 2b 2ab a+b s?a+b? ?a+b?2-4ab s?a-b?2 2s T-2t= - =s× = >0,即乙先到教室. 2ab a+b 2ab?a+b? 2ab?a+b? a 4.若 x>y, a>b,则在①a-x>b-y,②a+x>b+y,③ax>by,④x-b>y-a,⑤ > y b 这五个式子中,恒成立的所有不等式的序号是________. x 解析:令 x=-2,y=-3,a=3,b=2, )

符合题设条件 x>y,a>b, ∵a-x=3-(-2)=5,b-y=2-(-3)=5, ∴a-x=b-y,因此 ①不成立. 又∵ax=-6,by=-6,∴ax=by,因此③也不正确. a 3 b 2 又∵ = =-1, = =-1, y -3 x -2 a b ∴ = ,因此⑤不正确. y x 由不等式的性质可推出 ②④成立. 答案:②④


赞助商链接

相关文档